Capítulo 5 - Distribuições cojutas de probabilidades e complemetos 5.1 Duas variáveis aleatórias discretas. Distribuições cojutas, margiais e codicioais. Idepedêcia Em relação a uma mesma eperiêcia podem ser cosideradas várias variáveis aleatórias. Eemplos: a) Trasmissão/recepção de siais em que cada um é classificado como: alta, média ou baia qualidade. Cosiderem-se as v.a. X - º de siais de alta qualidade Y - º de siais de baia qualidade Trata-se de duas variáveis discretas. 1 b) Fabrico de peças cilídricas X - comprimeto da peça Y - diâmetro da peça Trata-se de duas variáveis cotíuas. Nos Capítulos 3 e 4 estudou-se a distribuição de probabilidade de v.a. (discretas ou cotíuas), cosideradas isoladamete. Para duas ou mais v.a. o seu comportameto simultâeo é estudado usado as chamadas distribuições de probabilidade cojutas. Defiição: Dadas duas variáveis aleatórias discretas, chama-se fução de probabilidade cojuta a f XY (, ) P( X,Y ), tal que (1) f XY (, ) 0,, () f XY (, ) 1 Eemplo: Laçameto de dois dados perfeitos. Seja Orgaização da fução de probabilidade cojuta em tabela: X - º de vezes que sai a face 6 Y - º de vezes que sai a face 5 0,1, 0,1, Y \ X 0 1 0 16/36 8/36 1/36 P( X 0,Y 0) 4 6 4 6 P( X 1,Y 0) 4 6 1 6 P( X 0,Y 1) P( X 1,Y 1) 1 6 1 6 Gráfico: 1 8/36 /36 0 1/36 0 0 P( X,Y 0) 1 6 1 6 P( X 0,Y ) 3 P( X 1,Y ) 0 P( X,Y 1) 1/36 P( X,Y ) 0 P( X,Y ) 1 0 0 1 8/36 /36 16/36 8/36 1/36 0 0 1 3 3 4
A partir da tabela podem calcular-se também as probabilidades (chamadas margiais) para X ou Y. Por eemplo: P( X 0) f XY ( 0,0) + f XY ( 0,1) + f XY ( 0,) f XY 0, 0 Estas probabilidades podem ser acrescetadas à tabela da fução de probabilidade cojuta: Y \ X 0 1 P( Y ) 0 16/36 8/36 1/36 5/36 1 8/36 /36 0 10/36 1/36 0 0 1/36 5/36 10/36 1/36 1 P X 5 Nota: verificar que X ~ Bi, 1 6 e Y ~ Bi, 1 6 (diz-se que X e Y são ideticamete distribuídas) Defiição: Se X e Y forem v.a. discretas com fução de probabilidade cojuta f XY (, ), as fuções de probabilidade margiais de X e Y são f X f Y f XY (, ) P X P Y f XY (, ) Nota: dada uma fução de probabilidade cojuta, E( X), V( X), E( Y) e V( Y) podem ser calculados usado a f.p. cojuta ou as f.p. margiais: µ X f X E X f XY (, ) f XY, 6 Defiição: Dadas as v.a. discretas X e Y com f.p. cojuta f XY (, ), a fução de probabilidade codicioada de Y dado X (tal que f X > 0) é e verifica f Y (1) f Y f (, ) XY P Y X 0, () f Y Nota: Defiições semelhates para X dado Y. 7 f X 1 (tem as propriedades de uma f.p.) Defiição: O valor esperado codicioado de Y dado X é E Y µ Y f Y e a respectiva variâcia codicioada é µ Y V Y f Y Eemplo (cot.): Y X1 P( Y 0 X 1) 8 36 10 36 8 10 P( Y 1 X 1) 36 10 36 P( Y X 1) 10 0 10 36 0 E( Y X 1) 0 8 10 + 1 10 10 Y X0 P( Y 0 X 0) 16 36 5 36 16 5 P( Y 1 X 0) 8 36 5 36 8 5 P( Y X 0) 1 36 5 36 1 5 E Y X 0 0 16 5 + 1 8 5 + 1 5 10 5 8
O coceito de idepedêcia de acotecimetos pode ser estedido a variáveis aleatórias. Defiição: Dadas duas v.a. discretas X e Y, se uma das seguites codições se verificar etão as outras também se verificam e as v.a. são idepedetes (1) f XY (, ) f X f Y,, () f Y f Y,, com f X > 0 (3) f X f X,, com f Y > 0 Eemplo (cot.): Serão X e Y idepedetes? Não, porque, por eemplo, P( X,Y ) 0 P( X )P( Y ) Cosequêcia da defiição de idepedêcia: Se X e Y são idepedetes, etão P( X A e Y B) P( X A) P( Y B) 9 5. Duas variáveis aleatórias cotíuas. Distribuições cojutas, margiais e codicioais. Idepedêcia Do mesmo modo que para caracterizar uma v.a. cotíua foi ecessário itroduzir o coceito de fução de desidade de probabilidade, defie-se para duas variáveis aleatórias cotíuas a fução de desidade de probabilidade cojuta. Defiição: A fução de desidade de probabilidade cojuta para duas v.a. cotíuas, X e Y, represetada por f XY,, satisfaz: (1) f XY (, ) 0, + + () f XY (, )dd 1 f XY (, ) (3) P ( X,Y) R R dd região R 10 Defiição: Dadas duas v.a. cotíuas, X e Y, com f.d.p. cojuta f XY (, ), as fuções de desidade de probabilidade margiais de X e Y são dadas por f X f Y + f XY (, )d + f XY (, )d Defiição: Dadas duas v.a. cotíuas, X e Y, com f.d.p. cojuta f XY (, ), a fução de desidade de probabilidade codicioada de Y dado X (tal que f X > 0) é f Y f (, ) XY f X e verifica: (1) f Y + 0, () f Y d 1 Defiição: O valor esperado codicioado de Y dado X é µ Y f Y E Y + d e a respectiva variâcia codicioada é µ Y V Y + f Y d Nota: Defiições semelhates para X dado Y. A defiição de idepedêcia coicide com a que foi dada para as variáveis discretas mas em que (, ), f X, f Y, f Y e f X são f XY fuções de desidade de probabilidade. f Y (3) P Y B X B d 11 1
5.3 Covariâcia e correlação Pretede-se uma medida que meça algum aspecto da variação cojuta de duas variáveis aleatórias. Iterpretação do sial da covariâcia: cov( X,Y) > 0: Defiição: a covariâcia etre duas v.a., X e Y, é dada por Y E X µ X cov X,Y [( Y µ Y )] Se ambas as v.a. forem discretas tem-se µ - + + - Y ( µ X ) µ Y f XY (, ) µ Se ambas as v.a. forem cotíuas tem-se Nota: potos com iguais probabilidades. Y + + ( µ X ) µ Y f XY, dd 13 14 cov( X,Y) 0: cov( X,Y) < 0: Propriedades da covariâcia: 1) cov( X,Y) E( XY) µ X µ Y ) cov( X,Y) cov( Y, X) 3) cov( X, X) V( X) 4) cov( ax,y) acov( X,Y) cov( X,Y) + cov( Z,Y) 5) cov X + Z,Y 6) cov X i, j 1 Y j j 1 cov ( X i,y j ) 15 16
Eemplo (cot.): Calcular a covariâcia etre X e Y Y \ X 0 1 0 16/36 8/36 1/36 1 8/36 /36 0 1/36 0 0 E( XY) 0 0 16 +...+1 1 36 36 +...+ 0 36 X e Y ~ Bi, 1 6 E X logo E( Y) 1 6 1 3 cov( X,Y) 36 1 9 1 18 Sigificado: em média há uma tedêcia para decrescer quado cresce e vice-versa. O valor absoluto da covariâcia ão é iterpretável porque esta pode ser arbitrariamete alterada por uma mudaça de escala (propriedade 4). 17 Medida cujo sial dá a mesma idicação mas que é adimesioal e cujo valor absoluto já é iterpretável: Defiição: A correlação ou coeficiete de correlação etre duas v.a. X e Y é ρ XY Propriedades: 1) 1 ρ XY 1, X,Y Y cov X,Y V( X)V Y ) a) ρ XY 1 sse Y ax + b com a > 0 b) ρ XY 1 sse Y ax + b com a < 0 18 Demostração: 1) a) ρ XY 1 ) b) Pela demostração aterior, Cosidere-se a v.a. auiliar X + Y, sabe-se que V X + Y 0, X,Y, por outro lado V X + Y X E + Y E ( X ) + E Y E X µ X + E Y + E( XY) µ Y 1 + 1 + ρ XY 0 ρ XY 1 E X + Y µ X µ Y σ µ Xµ Y Y + E( XY) µ Xµ Y V X + Y 0 ρ XY 1 mas V X + Y 0 X + Y costate, o que demostra o resultado. Teorema: Se X e Y são idepedetes etão Y ρ XY 0 Demostração: Vamos admitir que X e Y são ambas discretas (seria semelhate para ambas cotíuas, substituido os itegrais por somatórios) b) ρ XY 1 Repetir a demostração aterior X com a v.a. auiliar Y 19 0
X e Y são idepedetes sse f XY logo (, ) f X E XY f Y,, f XY (, ) f X f Y f X f Y E( X)E Y pelo que Y 0 e ρ XY 0 Muito importate: a proposição iversa ão é verdadeira, isto é ρ XY Y 0 ão implica X e Y idepedetes Eemplo: Y \ X -1 0 1 P( Y ) -1 0 1/6 0 1/6 0 1/1 1/ 1/1 /3 1 0 1/6 0 1/6 1/1 5/6 1/1 1 P X Tem-se E( X) E( Y) 0 e E( XY) 0, pelo que Y 0, mas X e Y ão são idepedetes. 5.4 Combiações lieares de variáveis aleatórias Defiição: dadas p v.a.,, X,..., X p e p costates c 1,c,...,c p, Y c 1 + c X +...+c p X p é uma combiação liear de, X,..., X p. 1 Valor esperado duma combiação liear: 1) E( c 1 + c X ) c 1 E( ) + c E( X ) Demostração: ( c 1 1 + c ) f ( 1, ) E c 1 + c X 1 c 1 1 f ( 1, ) + c f ( 1, ) 1 c 1 E( ) + c E( X ) ) Geeralização de (1) 1 E c 1 + c X +...+c p X p c 1 E + c E X +...+c p E X p Variâcia duma combiação liear: 1) V c 1 + c X c 1 V( ) + c V( X ) + c 1 c cov(, X ) Demostração: V( c 1 + c X ) [ ] E c 1 + c X E ( c 1 + c X ) E c 1 + c X + c 1 c X [ ] c 1 µ 1 + c µ + c E( X ) + c 1 c E( X ) c 1 E c 1 E( ) µ 1 c 1 µ 1 c µ c 1 c µ 1 µ [ ] + c [ E( X ) µ ] + [ µ 1 µ ] + c 1 c E X c.q.d. 3 4
) Geeralização de (1) p c i V X i V c 1 +...+c p X p 3) Caso particular de ) + p p + c i c j cov X i, X j j i+1 Se cov( X i, X j ) 0, i j, ou seja, se as v.a. forem ão correlacioadas duas a duas tem-se p c i V X i V c 1 +...+c p X p Nota: o mesmo acotece se as v.a. forem idepedetes duas a duas, uma vez que, como já se viu, esse caso as covariâcias duas a duas são ulas. 5 Casos especiais de somas de variáveis aleatórias: I) Propriedade reprodutiva da distribuição biomial a) Se ~ Bi( 1, p), X ~ Bi(, p) e e X forem idepedetes, etão + X ~ Bi( 1 +, p) ( + X represeta o úmero de sucessos em 1 + provas de Beroulli idepedetes com P(sucesso) costate e igual a p) b) (Geeralização) Se X i ~ Bi( i, p), i 1,...,k, idepedetes, etão k +...+X k ~ Bi i, p Caso particular: X i ~ Ber( p) Bi( 1, p), i 1,..., idepedetes, etão +...+X ~ Bi, p 6 II) Propriedade reprodutiva da distribuição de Poisso a) Se ~ Poisso( λ 1 ), X ~ Poisso λ X forem idepedetes, etão + X ~ Poisso( λ 1 + λ ) e e (Este caso pode ser visto como um limite do caso I)a)) b) (Geeralização) Se X i ~ Poisso( λ i ), i 1,...,k, idepedetes, etão +...+X k ~ Poisso k λ i III) Propriedade reprodutiva da distribuição Normal Se ~ N µ 1,σ 1, X ~ N µ,σ e e X forem idepedetes, etão c 1 + c X ~ N c 1 µ 1 + c µ,c 1 σ 1 + c ( σ ) IV) Mudaça de escala a distribuição epoecial Se X ~ Ep λ e c > 0, etão Y cx ~ Ep λ c Demostração: Seja para > 0 F Y P Y P ( cx ) P X c F X c 1 e λ c uma vez que para X ~ Ep( λ ), F X 1 e λ, > 0 7 8
5.5 Desigualdade de Chebchev * Esta desigualdade permite relacioar probabilidades, relativas a uma qualquer v.a., discreta ou cotíua, com os parâmetros µ e σ : Proposição: Para qualquer v.a. X, com valor esperado µ e desvio padrão σ, verifica-se (só é útil para c > 1). Eemplo: 1 c P X µ cσ c P( X µ cσ) (qq v.a. X) 1.5 0.444 0.5 3 0.111 4 0.063 Estes valores são úteis se ão cohecermos a distribuição da variável, mas podem ser muito pessimistas. Por eemplo para X ~ N µ,σ, podem ser determiados eactamete e comparados com aqueles: c P X µ cσ X ~ N µ,σ P( X µ cσ) (qq v.a. X) 1.5 0.1336 0.444 0.0456 0.5 3 0.007 0.111 4 0.0001 0.063 * Ecepto para Probabilidades, Erros e Estatística 9 30 Demostração: Cosidere-se a v.a. auiliar Y, defiida da seguite forma 1, se X µ cσ Y 0, caso cotrário Tem-se E( Y) 1 P( Y 1) P( X µ cσ), por outro lado como 0 ou 1, e pela defiição de Y, Logo ( X µ ) ( X µ ) Y e ( X µ ) Y c σ Y E( X µ ) c σ E( Y) σ c σ P X µ cσ P( X µ cσ) 1 c 5.6 Teorema do Limite Cetral Este teorema justifica a grade utilidade e importâcia da distribuição ormal. T.L.C.: Se para todo o iteiro positivo,,..., X forem v.a. idepedetes e ideticamete distribuídas com valor esperado µ e variâcia σ, etão para cada z, real, tem-se X i µ lim P z σ Φ( z) Cosequêcia: Para,..., X as mesmas codições e grade verifica-se P a < X i < b Φ b µ Φ a µ σ σ 31 3
Observações: A demostração do teorema eige algumas ferrametas matemáticas avaçadas. Como E( X i ) µ, V( X i ) σ e,..., X são v.a. idepedetes tem-se E X i µ e V X i σ pelo que X i µ X i µ E 0 V σ σ 1 As v.a.,..., X podem ser discretas ou cotíuas. A aproimação das distribuições Biomial e Poisso à distribuição ormal (ver Capítulo 4), pode ser justificada por este teorema. Geralmete cosidera-se grade se 30. 33 Eemplo: Supoha-se que ao adicioar úmeros reais cada úmero é arredodado previamete para o iteiro mais próimo. Admita-se que os erros de arredodameto são v.a. idepedetes e ideticamete distribuídas com distribuição uiforme cotíua o itervalo [-0.5;0.5] (esta suposição é razoável se descohecermos à partida tudo sobre os referidos úmeros reais e admitirmos que também eles se distribuem uiformemete e idepedetemete algum itervalo) a) Qual é a probabilidade de que, ao adicioar 1500 úmeros, o valor absoluto do erro seja superior a 15? Pode afirmar-se que o valor absoluto do erro está certamete compreedido etre 0 e 750, mas este valor é muito pessimista. 34 Cosiderem-se as v.a. E i - erro a parcela i 1500 T - erro total T E i Tem-se E( E i ) 0 e V( E i ) ( 0.5 ( 0.5 )) 1 E( T) 1500 0 0 V( T) 1500 1 15 1500 1 1 Pelo T.L.C. coclui-se que T E i ~ a N 0,15 Logo P( T > 15) 1 P( T 15) 1 P( 15 T 15) 1 P 15 15 T 15 15 15 1 P 1.34 T 15 1.34 ( Φ( 1.34) ) 0.180 1 Φ 1.34 1 0.9099 0.0901 35 b) Quatos úmeros podem ser somados () para que T E i P E i < 10 0.9 E( T ) 0 V( T ) 1 Pelo T.L.C. coclui-se que T ~ a N 0, 1 P( 10 < T < 10) Φ 10 1 Φ 10 1 1 Φ Como Φ Φ 10 1 1 Φ 10 1 0.9 Φ 10 1 10 0.95 1 Φ 1 ( 0.95) 1.645 1 6.079 1 6.079 443.45 Resposta: 443 36
Pode-se "observar" o T.L.C. em "acção": Eemplo: Vamos realizar a eperiêcia do eercício aterior. Para isso seleccioamos totalmete ao acaso e de modo idepedete úmeros reais um dado itervalo e fazemos a difereça para o iteiro mais próimo (isto é equivalete a seleccioar aleatoriamete "erros" ao acaso o itervalo [-0.5;0.5]), em seguida somam-se os erros. Temos etão uma observação de T. Repetimos este processo 1000 vezes (isto pode ser feito em computador). Em seguida costruímos o histograma das frequêcias relativas das 1000 observações de S T µ σ T 1 e sobreposmo-lhe a desidade da distribuição N 0,1 37 Resultados: 1 Relative Frequec 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.5 0.30 Histogram of s1 - -1 0 1 s1 38 5 10 Histogram of s5 Relative Frequec 0.0 0.1 0. 0.3 0.4-3 - -1 0 1 3 s5 Relative Frequec 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 Histogram of s10-3 - -1 0 1 3 s10 39 A aproimação parece boa mesmo só com 10. (Uma eplicação é que a distribuição de partida é simétrica e cotíua) 40
Eperimetemos com outra distribuição: Resultados: Eemplo: Seja X i ~ Ep( 1), por eemplo, itervalo de tempo etre chegadas um processo de Poisso com taa λ 1. A v.a. T X i represeta o itervalo de tempo até à -ésima chegada. Vamos repetir o procedimeto descrito o eemplo aterior. Ou seja, para cada, obtemos 1000 observações de S T µ σ T ( µ E( X i ) 1 σ V( X i ) 1) Em seguida costruímos o histograma das frequêcias relativas das 1000 observações de S e sobreposmo-lhe a desidade da distribuição N 0,1. 1 Relative Frequec 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 Histogram of se1 0 4 6 8 10 se1 41 4 5 0 Histogram of se5 Histogram of se0 Relative Frequec 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 Relative Frequec 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 - -1 0 1 3 4 se5 - -1 0 1 3 se0 43 44
30 40 Histogram of se30 Histogram of se40 Relative Frequec 0.0 0.1 0. 0.3 Relative Frequec 0.0 0.1 0. 0.3 0.4-0 4 se30-0 4 se40 Aqui temos de ter maior para que a aproimação comece a ser razoável. 45 46