Teoremas e Propriedades Operatórias

Capítulo 10 Teoremas e Propriedades Operatórias Como vimos no capítulo anterior, mesmo que nossa habilidade no cálculo de ites seja bastante boa, utilizar diretamente a definição para calcular derivadas de funções é uma tarefa um tanto quanto trabalhosa, que pode se transformar num processo penoso e cansativo. Para evitar este tipo de transtorno, precisamos estabelecer regras gerais que permitam, a partir de umas poucas derivadas conhecidas, derivar qualquer função que possa ser obtida, a partir daquelas outras, por meio de operações elementares, isto é, adição, multiplicação por constante, multiplicação e divisão. Este é o objetivo das regras que iremos ver a seguir, que, uma vez demonstradas, transformam o processo de derivar funções em simples manipulações algébricas, o que torna esta tarefa menos penosa e até mesmo fácil e agradável. 10.1 Regras de derivação 10.1.1 Derivada de uma função constante Teorema 1 Se f(x c, para todo x do seu domínio, então f é derivável e f (x 0 para todo x do domínio de f. Esta primeira regra de derivação diz que a derivada de uma função constante é identicamente igual a zero. Este resultado se torna óbvio se lembrarmos que a derivada de uma função pode ser interpretada como a declividade da reta tangente ao seu gráfico em cada ponto. O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal, que é sua própria tangente, cujo coeficiente angular é igual a zero em qualquer um de seus pontos. Veja a figura, onde tomamos a função f(x c : Observe que o quociente f(x f(x 0 x x 0 > f:x->c; > quoc:(f(x-f(x[0]/(x-x[0]; 3.8.6.4. 1.8 1.6 1.4 1. 4 0 x 4 c c x x 0 0, para x x 0. Veja que o Maple calcula este quociente corretamente: f : x c quoc : 0 Como a razão incremental acima é zero, concluímos que: f (x x x 0 f(x f(x 0 x x 0 0. 10.1. Derivada de uma constante vezes uma função Seja f uma função derivável e c uma constante qualquer. Defina g como o produto de c por f, isto é, g(x (cf (x cf (x.

144 Cap. 10. Teoremas e Propriedades Operatórias Podemos, agora, enunciar a segunda regra de derivação, dada pelo teorema a seguir. Teorema Seja g c f. Se f é uma função derivável então, g é derivável e g (x cf (x. Demonstração g(x + g(x Assim, como por hipótese f é derivável, segue que c f(x + c f(x 0 disso, usando a definição de derivada e os cálculos acima, g (x 0 0 Simbolicamente, escrevemos simplesmente g(x + g(x c f(x + c f(x ( (f(x + f(x c g(x + g(x 0 c ( 0 (cf c f. (c f(x + (c f(x. existe e, portanto, g é derivável. Além f(x + f(x c f (x Exemplo A função g(x 5x pode ser vista como o produto da constante 5 pela função f (x x. g (x (5 x 5 (x 5. 10.1.3 Derivada da soma Teorema 3: A regra da soma Seja h a função definida como a soma de duas funções deriváveis f e g, isto é, Então h é derivável e, Demonstração Como h(x f(x + g(x, então: h(x + h(x h(x (f + g(x f(x + g(x. h (x (f + g (x f (x + g (x. (f + g (x + f + g(x f(x + f(x ( + g(x + g(x Assim, a derivada Assim, como f e g, por hipótese, são deriváveis, existe o ite de cada uma das parcelas do lado direito da expressão acima. Logo, pela linearidade do ite (o ite da soma é igual a soma dos ites, a função h é derivável e segue, imediatamente, que: h (x (f + g (x 0 ( 0 (f + g(x + (f + g(x f(x + f(x + ( 0 ( f(x + f(x 0 g(x + g(x f (x + g (x + g(x + g(x Quando não há dúvida sobre a variável que estamos considerando nas derivadas, simplesmente escrevemos (f + g f + g ou seja, a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas. Usando a notação de Leibniz, podemos escrever esta regra como d (f + g dx df dx + dg dx Observação Podemos aplicar a regra da soma, repetidamente, para achar a derivada da soma de três ou mais funções deriváveis. Por exemplo, (f + g + h (f + g + h f + g + h. As duas regras anteriores têm como conseqüência imediata os corolários a seguir:

W.Bianchini, A.R.Santos 145 Corolário 1: Derivada de uma combinação linear Se f e g são duas funções deriváveis e a e b são dois números reais fixos, então a função h af + bgé derivável e h (a f + b g a f + b g Observação Se a e b são dois números reais quaisquer, a expressão a f + b g é denominada uma combinação linear de f e g. Corolário : Derivada de um polinômio Para n inteiro positivo, já vimos que (x n n x n 1. Aplicando este resultado e as regras obtidas acima ao polinômio obtemos imediatamente que p(x a 0 + a 1 x + a x +... + a n x n, p (x a 1 + a x +... + n a n x (n 1 Com este resultado fica muito fácil determinar a equação de uma reta tangente ao gráfico de um polinômio. Exercício 1 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y 5 x 3 3 x + 10 no ponto (1, 1. 10.1.4 Derivada do produto Seria natural pensarmos, tendo em vista a regra da soma para derivadas, que a derivada do produto de duas funções deriváveis seria o produto das suas derivadas. Será esta afirmação verdadeira? Considere, por exemplo, a função f(x x x x. Se, por um lado, (x x, por outro x 1. O que nos leva, no caso da afirmação acima ser verdadeira, a concluir que x 1! O exemplo acima nos mostra que, de um modo geral, a derivada de um produto não é o produto das derivadas. Para descobrir qual é a regra que nos fornece a derivada que estamos procurando calcular, é preciso observar, com um pouco mais de atenção, a razão incremental da definição de derivada para o produto de duas funções (f g(x + (f g(x f(x + g(x + f(x g(x e, a partir desta observação, tentar, de alguma maneira, relacionar esta expressão com as derivadas de f e g. A interpretação geométrica do numerador como áreas de retângulos nos dá uma pista de como isto pode ser feito: g(x+ x III II g(x I f(x f(x+ x A área do retângulo maior, formado pelos quatro menores, representa o produto f(x + g(x + e a área do retângulo escuro, o produto de f(x g(x. A diferença entre esses dois fatores é a soma das áreas dos retângulos I, II e III, isto é, (f(x + f(x g(x + (f(x + f(x (g(x + g(x + f(x (g(x + g(x. Assim, podemos escrever a razão incremental da derivada f g como: f(x + g(x + f(x g(x + ( ( f(x + f(x g(x + g(x g(x + f(x + (f(x + f(x (g(x + g(x

146 Cap. 10. Teoremas e Propriedades Operatórias Como f e g são deriváveis, existe o ite das duas primeiras parcelas do lado direito da expressão acima. Além disso, como g é derivável, então é contínua (veja Diferenciabilidade e continuidade e, portanto, g(x + 0 g(x. Logo, supondo f e g deriváveis, podemos concluir que o ite da terceira parcela da expressão anterior também existe, pois ( (f(x + f(x (g(x + g(x f(x + f(x 0 0 (g(x+ g(x f (x 0 0 0 Daí, concluímos que 0 h(x + h(x 0 existe e, portanto, h é derivável. Calculando este ite temos que: h (x (f g (x ( 0 0 f(x + g(x + f(x g(x (f g(x + (f g(x ( g(x + f(x (f(x + f(x] + 0 0 g(x + g(x (f(x + f(x (g(x + g(x Como vimos, o ite da terceira parcela desta última expressão é zero e, daí temos a fórmula h (x (f g (x f (x g(x + f(x g (x. Se não houver possibilidade de dúvidas sobre qual é a variável independente, podemos escrever simplesmente Demonstramos, portanto, o seguinte teorema: (f g f g + f g. Teorema 4: Regra do produto Se f e g são duas funções deriváveis, então h f g é derivável e (f g (x f (x g(x + f(x g (x. Usando a notação de Leibniz, este resultado pode ser escrito da seguinte maneira ( ( d (fg df dg g + f dx dx dx Observação Podemos aplicar a regra do produto, repetidamente, para achar a derivada do produto de três ou mais funções deriváveis. Por exemplo, (f g h (f g h + (f g h (f g + f g h + f g h f g h + f g h + f g h. Exemplo Calcule a derivada de f(x (0 x 5 3 x 4 + x 3 + 4 x (x 7 8 x 5. Solução Podemos, primeiro, efetuar a multiplicação e depois derivar ou usar a regra do produto. Usando a regra do produto, temos: f (x ((0 x 5 3 x 4 + x 3 + 4 x (x 7 8 x 5 (0 x 5 3 x 4 + x 3 + 4 x (x 7 8 x 5 + (0 x 5 3 x 4 + x 3 + 4 x (x 7 8 x 5 (100 x 4 1 x 3 + 3 x + 8 x (x 7 8 x 5 + (0 x 5 3 x 4 + x 3 + 4 x (7 x 6 40 x 4 A regra do produto pode ser aplicada para determinarmos a derivada da potência de uma função. Este resultado é estabelecido no corolário a seguir.

W.Bianchini, A.R.Santos 147 Corolário 3: Regra da potência generalizada (para n inteiro positivo Seja n um inteiro positivo, se f é uma função diferenciável, então (f n (x n f n 1 (x f (x, onde, como usualmente, por f n estamos denotando o produto de n fatores iguais a f. Para demonstrar este corolário basta aplicar a regra da derivada, deduzida nesta seção, ao produto de n fatores iguais a f. Exemplo Seja g(x (x 3 17 x + 35. Vamos aplicar as regras de derivação já estabelecidas para calcular g (x. Como g(x (f(x n, onde f(x x 3 17 x + 35, pelo Corolário 3, temos que g (x (x 3 17 x + 35 f (x. Pelas regras da soma, da potência e da multiplicação por constante, sabemos que f (x 3 x 17. Assim, g (x (x 3 17 x + 35 (3 x 17. Exercício 1. Mostre que é obtido o mesmo resultado se efetuarmos primeiro a operação (x 3 17 x + 35 e depois derivarmos a expressão resultante.. Derive a função g(x (x 4 x 3 + 18 x + 14 100. 10.1.5 Derivada do quociente Da mesma forma que na regra do produto, a derivada do quociente de duas funções não é o quociente das derivadas. (Você consegue dar um exemplo que mostre a veracidade desta afirmação?. A regra do quociente é estabelecida no teorema abaixo: Teorema: Regra do quociente Se f e g são duas funções deriváveis e g(x 0, então h(x ( f f(x (x g g(x é derivável e h (x f (x g(x f(x g (x (g(x Demonstração O numerador da razão incremental apresenta a mesma dificuldade que apareceu no estudo da regra do produto. A solução é fazer o que fizemos naquele caso, ou seja, somar e subtrair determinados termos. Assim, f(x+ g(x+ f(x g(x f(x + g(x f(x g(x + (g(x + g(x f(x + g(x f(x g(x + f(x g(x f(x g(x + (g(x + g(x ( ( ( ( f(x + f(x g(x f(x g(x + g(x g(x + g(x g(x + g(x Por hipótese f e g são deriváveis e, observando que g é contínua (por quê?, temos também que g(x. Logo o ite 0 f(x+ g(x+ f(x g(x h (x 0 0 existe e, conseqüentemente, h é derivável e f(x+ g(x+ f(x g(x 0 f(x + g(x f(x g(x + (g(x + g(x f(x + g(x f(x g(x + f(x g(x f(x g(x + (g(x + g(x g(x+ 0

148 Cap. 10. Teoremas e Propriedades Operatórias ( 0 f(x + f(x f (x g(x f(x g (x (g(x ( 0 g(x f(x ( 0 g(x + g(x Usando a notação de Leibniz, podemos escrever esta regra como: ( ( ( d f d f d x g f d g d,x d x g g. g(x + g(x Exemplo Calcule a derivada de f(x x 3+x 3. Solução f (x ( x (3 + x 3 ( x (3 + x 3 (3 + x 3 (3 + x ( x 3 x 3 (3 + x 3. Em particular, a regra do quociente nos permite obter os dois resultados expressos nos corolários abaixo. Corolário 4: Derivada da recíproca de uma função Se f é uma função diferenciável em x e f(x 0, então, a função g 1 f é diferenciável e g ( 1 f f f. Exercício Calcule a derivada das seguintes funções: (a f(x 1 x (b f(x 1 x Corolário 5: Regra da potência para n inteiro qualquer Se n é um número inteiro, então (x n n x (n 1. Já vimos como, conseqüência direta da definição de derivada, que se n é um inteiro positivo então (x n n x (n 1. - Utilizando o corolário anterior, prove que esta regra vale para n inteiro negativo. - Se n 0, como é possível interpretar este corolário? 10. Exercícios adicionais 1. Calcule as derivadas das seguintes funções: (a f(x ( x + 1 ( 1 x + 4 x + 8 (b f(x (x 3 + x 5 (x 4 99 (c g(x 1 7 x+7 (d g(x x+x 4 (x+1 x 3 (e f(x [ x3 +1 x 3 +3 ] (x x 1 + 1 (f g(x 1+6 x+x 1 7 x (g y x 3 (x + 1 (x + 1 (h y (x 5 + 1 x (x5 + 1 (i f(s 3 (s 3 s (j h(y y y 1 y. Ache uma função de x cuja derivada seja a função dada a seguir: (a f(x 3 x (d f(x 1 (b f(x 4 x 3 + 3 x x (e f(x a n x n + a n 1 x (n 1 +... + a 0 (c f(x 3 x + x 5

W.Bianchini, A.R.Santos 149 (f Nos ítens anteriores, ache outra função de x cuja derivada seja a função dada. 3. Calcule as quatro primeiras derivadas de: (a y 8 x 3 (b f(x 8 x 11 x + (c g(x 8 x 3 + 7 x x + 9 (d h(x x 4 13 x 3 + 5 x + 3 x (e y(x x ( 5 4. Calcule a derivada indicada em cada caso: (a y se y x 1 x (c (b y se y x 1 x x 1 x 1+x (d d (x 3 + 1 x 3 dx (e d500 f(x dx 500, onde f(x x 131 3 x 79 + 4 5. Determine uma fórmula geral para y (n, em cada caso: (a y 1 1 x (b y 1 1+3 x (c y x 1+x 6. Ache todas as derivadas não nulas de f(x x 6 x 4 + 3 x 3 x + 10.3 Problemas 1. Se f(x x 1 x+1, para x 1, calcule f (1 e f (1.. Sejam f e g duas funções diferenciáveis cujos valores e os de suas derivadas nos pontos x 1 e x são dados na tabela abaixo. x f(x g(x f (x g (x 1 3 5 4 π 6 7 Determine o valor da derivada de: (a f + g em x (b f g em x 1 e em x (c f g em x 1 (d g f em x (e 4 f em x 1 (f g em x 3. Sejam f e g as funções cujos gráficos são mostrados abaixo e seja u(x f(x g(x e v(x f(x g(x. (a Calcule u (1 (b Calcule v (6 4 3 f 1 g 0 x 4 6 4. (a Se f + g é derivável em x 0, f e g são necessariamente deriváveis em x 0? (b Se f g e f são deriváveis em x 0, que condições f deve satisfazer para que se possa garantir que g seja diferenciável em x 0? 5. Sejam g e h funções diferenciáveis, definidas em toda a reta e que satisfazem as seguintes propriedades: (i g(x + h(x 1 (ii g (x h(x (iii h(x > 0, em todo o seu domínio. Prove que h (x g(x h(x.

150 Cap. 10. Teoremas e Propriedades Operatórias 6. Mostre que as tangentes às curvas y x +45 x e y x 4 x +1 7. (a Esboce o gráfico da função g(x x 4 x 9. (b Calcule g (x e explicite o seu domínio. em x 3 são perpendiculares entre si. 8. A seguir traçamos, em conjunto, o gráfico da função y xn 1+x e da sua derivada, para n 0, 1, e 3. n0 0.8 0.6 0.4 0. 4 0 x 4 0. 0.4 0.6 1 0.8 0.6 0.4 0. 4 0 x 4 0. 0.4 n1 1 n 0.8 0.6 0.4 0. 4 0 x 4 0. 0.4 0.6 n3 4 4 0 x 4 4 (a Identifique, em cada caso, qual o gráfico da função e qual o gráfico da sua derivada. (b Mostre que, para n 0 e n, existe um único ponto no gráfico da curva y f(x onde a reta tangente é horizontal. (c Mostre que, para n 1, há dois pontos no gráfico da curva y f(x em que a reta tangente é horizontal. (d Mostre que, para 3 n, (0, 0 é o único ponto no gráfico da curva y xn 1+x em que a reta tangente é horizontal. (e Parece haver dois pontos no gráfico da curva y x3 1+x, em que a reta tangente tem coeficiente angular igual a 1. Determine estes pontos. (f Seja y x3 1+x. Parece haver três pontos no gráfico da curva y f (x em que a reta tangente é horizontal. Determine estes pontos. 9. (a Se f(x 1 x, obtenha uma fórmula para f (n (x, onde n é um inteiro positivo. Quanto vale f (n (1? (b Se f(x x, obtenha uma fórmula para f (n (x, onde n é um inteiro positivo. (c Se f(x é um polinômio de grau n, mostre que, se n < k, f (k (x 0. 10. (a Se f(x 1 x +x, tente achar uma fórmula para f (n (x. (Você deve se convencer de que, desta maneira, os cálculos são por demais trabalhosos tornando esta tarefa quase impossível! 1 (b Use a identidade x (x+1 1 x 1 x+1 para calcular as derivadas mais facilmente e, então, achar uma expressão para f (n (x. Observação: Este método de dividir uma fração em frações mais simples é denominado decomposição em frações parciais e será visto em detalhes no Capítulo Técnicas de Integração. 11. (a Obtenha um polinômio f(x de grau, tal que f(0 5, f (0 3, f (0 4. (b Obtenha um polinômio f(x de grau, tal que f(1 5, f (1 3, f (1 4. 1. Sabendo que (1 + x n é um polinômio de grau n, isto é, (1 + x n a 0 + a 1 x + a x +... + a n x n prove a fórmula do Binômio de Newton. Sugestão: Derive sucessivamente ambos os membros da equação acima e calcule o valor dos coeficientes fazendo x 0, em cada uma das expressões encontradas.

W.Bianchini, A.R.Santos 151 13. Seja P (x (x r (x s. (a Mostre que se r s, então P (r P (s 0, mas P (r 0 e P (s 0. (b Mostre que se r s, então P (r 0 e P (r 0 Observação: Os números r e s, soluções da equação P (x 0, são chamados raízes do polinômio P. Se r s, então r é uma raiz dupla. O problema acima mostra que r é uma raiz dupla se, e somente se, P (r 0 e P (r 0. Assim, em um ponto que é raiz dupla, o gráfico de P é tangente ao eixo dos x (Por quê?. 14. Considere o polinômio P(x (x r 1 (x r... (x r m, onde r 1, r...r m são números reais chamados raízes de P. (a Mostre que se não há raízes iguais, então P(r j 0 mas P (r j 0, para cada j. (b Mostre que se r j r k e k j, então P (r j 0 e (x r j é um fator tanto de P quanto de P. 10.4 Para você meditar: Uma demonstração mais simples da regra do quociente - o que está faltando? Usando a regra do produto, demonstramos a seguir a regra do quociente: Sejam f e g duas funções diferenciáveis e seja h f, definida nos pontos onde g 0. Então f h g e, aplicando g a regra do produto à função f, temos que: f h g + h g Daí, obtemos: h f h g. g Substituindo o valor de h nesta última expressão, vem que h f f g g g f g f g g o que demonstra a regra do quociente. f g f g g Você é capaz de descobrir o erro na demonstração dada acima? Em outras palavras, se todos os algebrismos aplicados na demonstração acima estão corretos, você é capaz de explicar por que o raciocínio acima não demonstra a regra do quociente?