Aula 1 Derivando fun»c~oes trigonom etricas Nesta aula estaremos deduzindo derivadas de fun»c~oes trigonom etricas. Estaremos tamb em aresentando as fun»c~oes trigonom etricas inversas e deduzindo suas derivadas. Admitiremos que as seis fun»c~oes trigonom etricas s~ao cont ³nuas nos ontos onde est~ao de nidas. Recordemo-nos de que, ela roosi»c~ao 11.1, aula 11, temos o rimeiro limite fundamental, sen lim =1!0 Como conseqäu^encia, deduziremos agora as derivadas das fun»c~oes seno e cosseno. Teorema 1.1 (sen ) 0 =cos (cos ) 0 = sen Demonstra»c~ao. Seja f() = sen. Consideremos ent~ao, fazendo =, f = f( + ) f() sen( + ) sen = = sen cos +sen cos sen =sen cos 1 +cos sen f 0 f( + ) f() () = lim!0 cos 1 sen =sen lim +cos lim!0!0 101
Derivando func»~oes trigonom etricas 10 Agora, temos lim!0 sen =1,e cos 1 (cos 1)(cos +1) lim = lim!0!0 (cos +1) = lim!0 sen (cos +1) = lim!0 (cos 1) =lim!0 (cos +1) sen Portanto, f 0 () =(sen) 0+(cos) 1=cos. Assim (sen ) 0 =cos, aratodo R. lim sen!0 cos +1 =1 0 =0 Agora, cos =sen ¼.Porderiva»c~ao em cadeia, ³ ¼ i 0 (cos ) 0 = sen ³ ¼ ³ ¼ =cos 0 =(sen) ( 1) = sen Proosi»c~ao 1.1 (tg ) 0 =sec (cotg ) 0 = cosec (sec ) 0 =sec tg (cosec ) 0 = cosec cotg Demonstra»c~ao. Para deduzir estas novas f ormulas, basta fazer uso das rela»c~oes tg = sen cos ; cos cotg = sen e alicar a regra de deriva»c~ao de um quociente, da descoberta ara o leitor. sec = 1 cos ; cosec = 1 sen ³ u 0 u 0 v uv 0 =. Deiamos o razer v v 1.1 Fun»c~oes trigonom etricas inversas e suas derivadas A fun»c~ao arco-seno. Para cada n umero real a, 1 a 1, eisteum unico arco orientado, ¼= ¼=, tal que sen = a. Dizemos que e o arco cujo seno e a, ou que e oarco-seno de a, e denotamos isto or =arcsena Sumarizando,
Derivando func»~oes trigonom etricas 103 =arcsena se e somente se ( sen = a ¼= ¼= α = arc sen a a / α A / - Assim, or eemlo (con ra), arc sen 1 = ¼ 3 ; arc sen = ¼ µ ; arc sen 1 = ¼ 3 6 ; arc sen( 1) = ¼ A fun»c~ao arco-cosseno. Para cada n umero real a, 1 a 1, eisteum unico arco orientado, 0 ¼, tal que cos = a. β = arc cos a β a Dizemos que e o arco cujo cosseno e a, ou que e oarco-cosseno de a, e denotamos isto or =arccosa Sumarizando, =arccosa seesomentese ( cos = a 0 ¼
Derivando func»~oes trigonom etricas 104 Assim, or eemlo, arccos 1 = 0, arccos( =) = ¼=4, arccos( 1=) = ¼=3, arccos( 1) = ¼. A fun»c~ao arco-tangente. Para cada n umero real a, 1 <a<+1, eiste um unico arco orientado, ¼= < <¼=, tal que tg = a. Dizemos que e o arco cuja tangente e a, ou que e oarco-tangente de a, e denotamos isto or = arc tg a γ = arc tg a / a ' γ - / Sumarizando, = arc tg a se e somente se ( a =tg ¼= < <¼= Assim, de nem-se as fun»c~oes arc sen e arccos,ara 1 1,earc tg ara todo R. Algumas calculadoras cient ³ cas camam essas fun»c~oes elas teclas INV SIN, INV CS, INV TAN,eµas vezes elas teclas SIN 1, CS 1, TAN 1. Proosi»c~ao 1. (arc sen ) 0 = 1 1 ; (arccos ) 0 1 = ; 1 1 <<1 1 <<1 Demonstra»c~ao. Sendo 1 <<1, (arc tg ) 0 = 1 ; 1 <<+1 1+ =arcsen seesomentese sen = ; e ¼= <<¼=
Derivando func»~oes trigonom etricas 105 Por deriva»c~ao iml ³cita da equa»c~ao sen =, temos Portanto (arc sen ) 0 = (sen ) 0 =1) (cos ) 0 =1 ) 0 = 1 cos = 1 1 sen = 1 1 1 1. Para 1 <<1, = arccos se e somente se cos =, e0 <<¼. Por deriva»c~ao iml ³cita temos (cos ) 0 =1) (sen ) 0 =1 ) 0 = 1 sen = 1 1 cos = 1 1 Portanto (arccos ) 0 1 =. 1 Finalmente, ara R, = arc tg seesomentese tg = ; e ¼= <<¼= Por deriva»c~ao iml ³cita temos Portanto (arc tg ) 0 = 1 1+. 1. Problemas (tg ) 0 =1) (sec ) 0 =1 ) 0 = 1 sec = 1 1+tg = 1 1+ 1. Sendo f() =sen, mostre que f 0 () =cos, fazendo uso da f ormula ara calcular o limite de sen sen q = sen q cos + q f quando! 0. = f( + ) f() = sen( + ) sen
Derivando func»~oes trigonom etricas 106 ϕ d A Figura 1.1.. A dist^ancia d = A (veja gura 1.1) que um roj etil alcan»ca, quando disarado de um can~ao com velocidade inicial v 0, or um cano inclinado com um ^angulo de eleva»c~ao ' em rela»c~ao ao c~ao (orizontal), e dada ela f ormula d = v 0 g sen ' sendo g a acelera»c~ao da gravidade local. alcance m aimo? Resosta. 45 ±. Qual e o ^angulo ' que roorciona 3. Calcule as derivadas das seguintes fun»c~oes. (a) =sec 1 (b) =cosec( +4) (c) =cotg( 3 ) (d) f() =cos3 cos 4 (e) = 1 sen 4 (f) g() =cos 3 (cos a signi ca (cos a) ) (g) =tg sec 3 () f() =tg 3 (3 +1) (i) = sec 5 (j) f() =lnj cosec + cotg j (k) = e 3 tg (l) g() =ln(lnsec) (m) = sen (n) f() =lnj sec +tgj Resostas. (a) sec 1 tg 1 (b) cosec( +4)cotg( +4) 1 (c) (3 ) cosec ( 3 ) (d) 6 sen 3 4 (e) 1 sen 4 (f) 3sen6 (g) 3tg 3 sec 3 +tgsec 5 () 9tg (3 +1)sec (3 +1) (i) sec 5+10 sec 5 tg 5 (j) cosec (k) e 3 sec 3e 3 tg (l) tg ln sec (m) sen cos ln + sen (n) sec 4. Calcule as derivadas das seguintes fun»c~oes. (a) =arcsen (b) f() = (1 + arccos 3) 3 (c) f() =lnarctg arc sen 3 (d) =3 (e) arc tg g() = (tg ) Resostas. (a) 1=( 1 ) (b) 9(1 + arccos 3) = 1 9 (c) (1+ 4 )arctg (d) (3 ln 3) 3 arc sen 3 = 1 6 (e) (tg ) arc tg [cotg sec arc tg +(lntg)=(1 + )] 5. Determine 0 or deriva»c~ao iml ³cita. (a) = sen (b) e cos = e (c) + arc sen = e
Derivando func»~oes trigonom etricas 107 Resostas. (a) 0 = sen 1 cos (b) 0 = e cos e 1 (c) 0 = (e arc sen ) e 1 e sen +e 6. Esboce os gr a cos das fun»c~oes, analisando-as reviamente atrav es de derivadas e limites aroriados. (a) = +sen (b) = arc tg (c) = + arc tg Resostas. (Daremos as derivadas como suorte µas solu»c~oes.) (a) 0 =1+cos, 00 = sen. Ao esquisar retas ass ³ntotas do gr a co, voc^e vaise sen dearar com os limites lim! 1. Use o seguinte racioc ³nio. Como 1 sen 1 ara todo R, temos 1 sen 1,aratodo>0. Da ³, usando um teorema de sen sen confronto (sandu ³ce), temos lim!+1 =0.Calculetamb em lim! 1. (b) 0 = 1, 1+ 00 = (c) (1+ ) 0 =1+ 1, 1+ 00 = (1+ ) (a) 3 (b) / /4 0 1 3 - / (c) / / - / - /