Limites (c alculo e signi cado)

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1 Unidade 3 Limites c alculo e signi cado) C alculos de ites s~ao importantes ferramentas auxiliares no estudo de fun»c~oes e seus gr a cos. A de ni»c~ao formal de ite e matematicamente so sticada. Faremos uma explora»c~ao intuitiva do conceito de ite e de suas propriedades, atrav es de exemplos e interpreta»c~oes gr a cas. 3. Introdu»c~ao intuitiva ao c alculo de ites Nesta se»c~ao, estudaremos os primeiros exemplos de ites. Exemplo 3. Considere a fun»c~ao fx) =x +3. Quando x assume uma in nidade de valores aproximando-se mais e mais de 0, o n umero x +3assume uma in nidade de valores, aproximando-se de 0+3=3. Dizemos que o ite de fx), quando x tende a 0, eiguala3, e escrevemos fx) =x +3)=3 Exemplo 3. Aqui temos uma lista de outros exemplos intuitivos.. x = a x!a a R). x n = a n x!a n N, a R) 3. Sendo px) =a n x n + a n x n + + a x + a 0,comoscoe cientes a n ;::: ;a 0 todos reais), px) =a n x n x!x 0 + a n x n a x 0 + a 0 = px 0 ) 0 x 3 3 x 3 3) 4. x! x + = x! x! x +) = = 9

2 Semana 3. Limites 0 De ni»c~ao 3. Nos exemplos anteriores, de ites de fx), comx tendendo a x 0, tivemos sempre x 0 no dom ³nio da fun»c~ao fx) e x!x0 fx) =fx 0 ). Quando isto ocorre, dizemos que a fun»c~ao fx) e cont ³nua no ponto x 0. No pr oximo exemplo, temos um ite em que x! x 0,masx 0 n~ao est a no dom ³nio de f. Exemplo 3.3 Calcular x! x 3 8 x. Solu»c~ao. Note que, sendo fx) = x3 8, temos que 6 Domf). Quando x se x aproxima de, x 3 se aproxima de 8. Umc alculo direto nos d a ent~ao x 3 8 x! x = 0 0 Este resultado, 0=0, e um s ³mbolo de indetermina»c~ao ocorrendo em uma tentativa de c alculo de um ite. A ocorr^encia desta express~ao signi ca que o ite ainda n~ao foi calculado. Para contornar o s ³mbolo de indetermina»c~ao 0=0, neste exemplo fazemos uso da f ormula de fatora»c~ao x 3 a 3 =x a)x + ax + a ): x 3 8 x! x = x )x +x +4) x! x = x +x +4) pois x 6= 0) x! = + +4= Exemplo 3.4 C alculo de um ite com mudan»ca de vari avel) Calcular 3p x + x Um c alculo direto nos d a 0=0, uma indetermina»c~ao. Fazendo y = 3p x +,temosy 3 = x +,eportantox = y 3. Quando x tende a 0, y tende a em s ³mbolos: se x! 0, ent~ao y! ). E a ³ temos 3p x + x y = y! y 3 y = y! y )y + y +) = y! y + y + = 3

3 Semana 3. Limites 3. Limites in nitos. Limites quando x! Consideremos agora a fun»c~ao fx) =. Temos que o dom ³nio de f e o conjunto x dos n umeros reais diferentes de 0, isto e, Domf) =R f0g. Tabela 3.. x x fx) = x 0; 5 0; 5 4 0; 0; ; 0; ; 0 0; ; 00 0; Observe a tabela 3.. Na primeira coluna da tabela 3., temos valores de x cada vez mais pr oximos de 0. Na segunda coluna, notamos que os valores de x est~ao ainda mais pr oximos de zero do que os valores de x. Assim temos x =0.Na ultima coluna, vemos que os valores correspondentes de fx) ==x tornam-se cada vez maiores. Dizemos que o ite de fx), quando x tende a 0 e \+ in nito", e escrevemos fx) =+ ou seja, x =+ A interpreta»c~ao geom etrica de =+pode ser visualizada na gura 3.. x Agoraobserveatabela3.. Notamosagoraque,µamedidaquex cresce inde nidamente, assumindo valores positivos cada vez maiores, fx) = torna-se cada vez mais x pr oximo de 0. Istotamb em e sugerido pela gura 3.. Neste caso, dizemos que o ite de fx), quando x tende a \+ in nito", e iguala0, e escrevemos x!+ x =0 Na segunda coluna da tabela 3. tamb em ilustramos: x!+ x =+. Tamb em visualizamos os fatos: x! x =+ e x! x =0.

4 Semana 3. Limites 6 y x Figura 3.. =+,ouseja,µamedidaquex se aproxima de 0, y = x fx) torna-se cada vez maior. Tamb em x!+ x =0,ouseja,µamedidaem que x cresce, tomando valores cada vez maiores, fx) aproxima-se de 0. E ainda x! x =0 Tabela 3.. x x fx) = x 4 0; ; ; ; ;00000 Com estes exemplos simples damos in ³cio µa nossa algebra de ites. Ao calcular ites podemos fazer uso da seguinte "tabuada":

5 Semana 3. Limites 3 +) ++) =+ ) + ) = ) =+ +) ) = +) 3 =+ ) 3 = ) inteiro positivo par) =+ ) inteiro positivo ³mpar) = =0 + + c =+ c constante) + c = c constante) c +) = + se c>0 se c<0 c ) = + se c<0 se c>0 + c = + se c>0 se c<0 c = + se c<0 se c>0 Mas aten»c~ao! Cautela com essa nova \aritm etica"! Os \resultados", +) +), ) ++), 0 ) s~ao novos s ³mbolos de indetermina»c~ao. Nada signi cam como valores de ites. Se chegarmos a algum deles no c alculo de um ite, temos que repensar o procedimento de c alculo. Exemplo 3.5 Calcular 3x x x!+ x 3 +4 Solu»c~ao. Uma substitui»c~ao direta nos d a 3x x x!+ x 3 +4 = + +) + +4 Para evitarmos s ³mbolos de indetermina»c~ao, quando x!, colocamos em evid^encia as pot^encias de x de maior grau, no numerador e no denominador. 3x x x!+ x 3 +4 x 3 = ) x x x!+ x ) x 3 3 = x x x!+ x + 4 ) x 3 = ) = ) = 3 + =0 + Exemplo 3.6 Calcular x! x5 x 3 )

6 Semana 3. Limites 4 Temos x! x5 x 3 )= ) 5 ) 3 = ) ) = )+ +), portanto chegamos a um s ³mbolo de indetermina»c~ao. Podemos no entanto fazer x! x5 x 3 ) = x! x5 )=+ 0) = +. x px) Nos ites da forma, em que px) e qx) s~ao polin^omios em x, prevalecem os termos de maior grau de ambos os polin^omios, ou seja, x! qx) se px) =a n x n + a n x n + + a x + a 0 ; ent~ao qx) =b m x m + b m x m + + b x + b 0 px) = a nx n x! x! px) x! qx) = x! a n x n b m x m Por exemplo, nos exemplos que acabamos de estudar, bastar ³amos fazer 3x x x!+ x x = x!+ x = 3 3 x!+ x = 3 + =0 x! x5 x 3 )= x! x5 =+) 5 =+ Mas aten»c~ao. Isto s o vale para ites envolvendo polin^omios, em que x!.

7 Semana 3. Limites Problemas. Calcule os ites. a) x! x 4 x d) b) x! x x x +5x 7 x! p x +3)x 4) e) x! p 5 f) x!. Calcule os ites. x + h) 3 x 3 c) h!0 h x 3 +8 x 4 6 a) c) x!+ x!+ x +3 x + 3p x x x +3 x 3 8x 5 b) x!+ d) x!+ 3p x + x + x +3) 3 3x) x 5 +5 Respostas e sugest~oes. a) 4 b) =9. Sugest~ao: x +5x 7=x +7)x ) c) 3x d) 5 p 0 e) 5 f) 3=8. Sugest~ao: x 3 +a 3 =x+a)x ax+a ). a). Sugest~ao: p 3 x = x =3 b) 0. Sugest~ao: d) 7 3px + x+ = 3 q x + x+) 3 c) 0