Matem atica para Funcion arios P ublicos

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1 Matem atica para Funcion arios P ublicos Arist oteles pensava que a matem atica iniciou-se pelos sacerdotes no Egito, `porque l a, µa classe sacerdotal, era permitido tempo livre' (Metaf ³sica 98b 2-2). Her odoto, entretanto, acreditava que a geometria foi criada porque a inunda»c~ao anual do Nilo demandava inspe»c~ao, a m de redeterminar delimita»c~oes de terras. Realmente, Dem ocrito chamava os eg ³pcios de `esticadores de cordas'. De um ponto de vista los o co, e interessante que os eg ³pcios sustentavam que a matem atica vinha de uma fonte divina. Ela foi dada a eles pelo deus Thoth. Neste livro, encontraremos uma vis~ao, chamada Aristotelianismo, que v^e a matem atica ascendendo do animal humano, e outra vis~ao, chamada Platonismo, que v^e a matem atica descendendo de um terreno divino. O Papiro de Moscou Nossas unicas fontes de informa»c~ao sobre a matem atica do Egito antigo s~ao o Papiro Matem atico de Moscou e o Papiro Matem atico Rhind. O Papiro Matem atico de Moscou data de 850 a.c., aproximadamente ao tempo de Abra~ao. V. S. Golenishchev adquiriu-o em 89 e trouxe-o a Moscou. O problema mais interessante no Papiro Matem atico de Moscou e o Problema. Este e um c alculo do volume de um tronco de uma pir^amide truncada, usando a f ormula correta. Um tronco de pir^amide e uma pir^amide com uma pir^amide semelhante cortada de seu topo. Se tem uma base quadrada de lado a, e um topo quadrado de lado b, e se sua altura eh, ent~ao, como perceberam os eg ³pcios antigos, o volume do tronco de pir^amide e h(a 2 +ab +b 2 ) Repare que se b = 0, obtemos a f ormula para o volume de uma pir^amide de base quadrada: a 2 h=. N~ao sabemos como os eg ³pcios chegaram a estas f ormulas. Talvez tenha sido por tentativa e erro. Veja Plat~ao, Fedra 27c-d

2 2 O Papiro Rhind O Rhind Papiro Matem atico e uma c opia de um trabalho ainda mais antigo. Foi copiado por um escriba (escritur ario eg ³pcio) chamado Ahmes, em 650 a.c., µa epoca em que Jos e foi o governador de Egito. Alexander Henry Rhind adquiriu-o em Luxor, Egito, em 858, e o Museu brit^anico comprou-o de seu patrim^onio em 865. O Papiro Matem atico Rhind abre prometendo o leitor `um profundo estudo de todas as coisas, percep»c~ao de tudo que existe, conhecimento de todos os segredos obscuros'. Na realidade, e uma seqäu^encia de problemas resolvidos de matem atica elementar, um livro da Cole»c~ao Schaum para escribas aspirantes. Estes escribas tinham que calcular quantos tijolos eram necess arios para construir uma rampa de um certo tamanho, quantos p~aes eram precisos para alimentar os trabalhadores escravos, e assim por diante. Para multiplicar 70 por, os eg ³pcios fariam como segue: 70 = = 560 = 90 Em geral, o m etodo consistia em montar duas colunas, cada uma encabe»cada por um dos multiplicadores. As entradas na primeira coluna eram dobradas, enquanto aquelas na segunda coluna eram divididas por 2 (subtraindo-se primeiramente, se o n umero fosse ³mpar). Finalmente, as entradas na primeira coluna, ao lado de entradas ³mpares da segunda coluna (as demarcadas), eram somadas. (O m etodo funciona porque as entradas ³mpares na segunda coluna correspondem a 's na express~ao em base 2 do segundo multiplicador.) O Papiro Matem atico Rhind nos mostra como os eg ³pcios dividiam, extra ³am ra ³zes quadradas, e resolviam equa»c~oes lineares. Eles usavam a f ormula (=) r 2 para a area de um c ³rculo (dando ; 6 como uma aproxima»c~ao para ¼), e zeram trabalho interessante com progress~oes aritm eticas. O problema 6, por exemplo, era achar uma progress~ao aritm etica com 0 termos, com soma 0, e com diferen»ca comum 2 =8. Fra»c~oes unit arias Do Papiro Matem atico Rhind, aprendemos que os eg ³pcios antigos expressavam todas as fra»c~oes (exceto 2/) como somas de fra»c~oes unit arias distintas (isto e, fra»c~oes da forma =n, com n um inteiro positivo). Assim eles escreviam 2=9 como =6 + =8, e 8= como Em 880, J. J. Sylvester provou que qualquer fra»c~ao pr opria a=b pode ser escrita como uma soma de fra»c~oes unit arias distintas. Isto e certamente verdadeiro quando 2 raz~ao (N. do T.)

3 o numerador a =. Suponha-o verdadeiro para fra»c~oes pr oprias com numerador <a (coma>). Seja =q a maior fra»c~ao unit aria menor que a=b. Ent~ao q < a b < q ConseqÄuentemente 0<aq b<a. Mas a b = q + aq b Pela hip otese de indu»c~ao, aq b e uma soma de fra»c~oes unit arias distintas. Al em disso, nenhuma delas e q, pois q > aq b Isto completa a prova e nos d a um modo para achar uma soma de fra»c~oes unit arias distintas igual a uma fra»c~ao pr opria dada. Por exemplo, para expressar =7 da maneira eg ³pcia, arredondamos 7= para cima ao inteiro mais pr oximo, isto e,. Ent~ao = e a maior fra»c~ao unit aria menor que =7. Temos 7 = 2 2 A maior fra»c~ao unit aria menor que 2=2 e =, e obtemos 2 2 = 2 ConseqÄuentemente 7 = Note que esta n~ao e a unica possibilidade. Por exemplo, tamb em temos 7 = Recentemente Paul Erdos colocou o problema de mostrar que sen e um inteiro >, ent~ao =n e uma soma de tr^es fra»c~oes unit arias distintas. Este problema ainda n~ao foi resolvido, embora existam alguns resultados parciais: m + 2 = m + + (m + )(2m + ) m + = m (m + )(m + 2) + (m + )(m + ) 8m + 5 = 2(m + ) + 2(m + )(m + 2) + 2(m + 2)(8m + 5) m + 2 = m + + m + + m (m + )(m + 2)

4 O Grande Contra-Senso da Pir^amide Tentativas tem sido feitas de usar as dimens~oes da Grande Pir^amide (constru ³da em torno de 2600 a. C.) para tirar conclus~oes sobre a matem atica eg ³pcia. Por exemplo, a rma-se que metade do per ³metro da base da pir^amide, dividido por sua altura, e igual a ;. Disto sup~oe-se que os eg ³pcios de 2600 a. C. conheciam o valor de ¼ com duas casas decimais. Contra esta especula»c~ao vaga, adiantamos as seguintes considera»c~oes. () Atrav es dos s eculos, pessoas tem levado pedras da pir^amide para seus pr oprios projetos de constru»c~ao; a superf ³cie original da pir^amide ent~ao desapareceu, e n os n~ao temos modo algum de saber suas dimens~oes originais com precis~ao de lugar de duas casas decimais. (2) H a d uzias de raz~oes que se pode calcular dadas as dimens~oes alegadas de uma pir^amide; n~ao e surpreendente se uma deles acontecer estar pr oximo de ¼. () No Papiro Rhind, o valor usado para ¼ e aproximadamente ; 6; se os eg ³pcios conhecessem uma aproxima»c~ao melhor para ¼ em 2600 a. C., eles n~ao teriam usado uma pior em 650 a.c. Exerc ³cios. Usando o fato de que o volume de uma pir^amide e base altura mostre que a f ormula eg ³pcia para o volume do tronco de pir^amide est a correta. 2. Calcule µa maneira eg ³pcia.. Encontre uma progress~ao aritm etica de 0 termos, soma 0 e diferen»ca comum 8.. Se o escriba recebe + = de cada 2 por»c~oes, enquanto o Diretor do Templo Ilahum recebe 0 de cada 2 por»c~oes, quanto leva o Diretor quando o escriba recebe 2 + =6 + =8 p~aes? 5. Expresse = como uma soma de fra»c~oes unit arias distintas. 6. Expresse todas as fra»c~oes pr oprias, com denominador, µa maneira eg ³pcia. 7. Expresse =25 como soma de fra»c~oes unit arias distintas. 8. Mostre que se p e primo, 2 pode ser expresso como soma de duas fra»c~oes p unit arias distintas de exatamente uma maneira. 9. Mostre que a express~ao dada acima, para =(m + 2) como uma soma de tr^es fra»c~oes unit arias distintas, est a correta. Martin Gardner d a um bom relato de contra-sensos da Grande Pir^amide em Fads and Fallacies in the Name of Science (Manias e Fal acias em Nome da Ci^encia)

5 5 0. Mostre que sep+q = ef, enquantop +e =gq (come,f,g,peq inteiros positivos) ent~ao p = ef + efg + fgp. Mostre que, para resolver o problema de ErdÄos, seria su ciente mostrar que se p e um primo da forma 2m + ent~ao =p e uma soma de tr^es fra»c~oes unit arias distintas. Desa os para Especialistas. Seja a=b uma fra»c~ao pr opria, e x, y, z, w inteiros positivos distintos tal que a=b =l=x +l=y +l=z +l=w. Prove que w<288b Mostre que e a maior fra»c~ao pr opria que pode ser expressada usando cinco fra»c~oes unit arias distintas.. Prove que n~ao h a nenhum inteiro n tal que toda fra»c~ao pr opria possa ser escrita como uma soma de n ou menos fra»c~oes unit arias distintas. Quest~ao para Reda»c~ao. Um arque ologo encontrou uma velha pedra de constru»c~ao eg ³pcia medindo c ubito por c ubito por c ubito. 'Esta pedra data de 000 a. C.,' ele diz. 'E se voc^e somar a dist^ancia entre os cantos opostos µa diagonal de um dos lados, voc^e obt em uma soma de ; 5 c ubitos. Isto prova que os eg ³pcios de 000 a. C. usavam o valor ; 5 para¼.' Componha uma resposta fundamentada a esta declara»c~ao para convencer este bom professor que ele perdeu sua sagacidade.