Infer^encias sobre o vetor de M edia: Regi~oes de Con an»ca e Intervalos Simult^aneos. (Johnson & Wichern, Cap. 5)

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1 Infer^encias sobre o vetor de M edia: Regi~oes de Con an»ca e Intervalos Simult^aneos (Johnson & Wichern, Cap. 5) Dizemos que R(X) e uma regi~ao de 100(1 α)% de con an»ca para θ se Pr(R(X) compreender θ)=1 α. Aregi~aodecon an»caparaovetordem ediaµquandose disp~oedeumaamostraaleat oriadadistribui»c~aon p (µ, ) e dada por n(¹x µ) T S 1 (¹X µ)<= (n 1)p n p F p,n p(1 α) F p,n p (1 α) - representando o quantil acumulado de 100(1 α)% da distribui»c~ao F p,n p Este resultado e obtido usando-se a distribui»c~ao amostral da estat ³stica T 2 apresentada na aula anterior. Observe que a regi~ao de con an»ca e dada pelo hiperelips oide de eixos determinados pelos autovetores da matriz de covari^ancia amostral S e cujas medidas s~ao proporcionais µas raizes quadradas dos respectivos autovalores. Para veri car se um dado vetor µ 0 pertence µa regi~ao de con an»ca, basta calcular n(¹x µ 0 ) T S 1 (¹X µ 0 ) e comparar com (n 1)p n p F p,n p(1 α). 1

2 Para p >= 4 n~ao e poss ³vel representar visualmente a regi~ao de con an»ca. No entanto, podemos calcular as medidas dos eixos do hiperelips oide de con an»ca centrado em ¹X: n(¹x µ) T S 1 (¹X µ)<=c 2 = (n 1)p n p F p,n p(1 α) Lembre-se que os semi-eixos t^em medida λj c n = λ j (n 1)p n(n p) F p,n p(1 α). Exemplo: Construir uma regi~ao de con an»ca para o vetor de m edia, usando os dados sobre readia»c~ao em fornos de microondas. Os dados est~ao nas tabelas 4.1 e 4.5 do livro-texto. 2

3 O departamento de controle de qualidade de uma fabricante de fornos de microondas foi cobrado pelo governo federal a monitorar a quantidade de radia»c~ao quando as portas dos microondas s~ao fechadas. Observa»c~oes da radia»c~ao emitida atrav es das portas fechadas de n = 42 fornos selecionados ao acaso foram feitas. Medidas de radia»c~ao tamb em foram feitas com as portas abertas dos 42 fornos selecionados. Este conjunto de dados foi trabalhado no nal do cap ³tulo 4, exemplos 4.10 e Nestes exemplos veri cou-se que a suposi»c~ao de normalidade n~ao era apropriada e uma transforma»c~ao pot^encia dos dados foi buscada. Vamos trabalhar aqui com a pot^encia 0,25 ou seja,araizquartadaescalaoriginaldamedida de radia»c~ao. 3

4 Nogr a coaseguir, eposs ³velverquecomesta transforma»c~ao nas duas medidas, os pontos nos qq-plots apresentam um comportamento mais pr oximo do linear. 4

5 Pede-se construir uma elipse de 95% de con- an»ca para o vetor de m edia, considerando a escala dos dados transformados de modo que a suposi»c~ao de normalidade e razo avel. Para isso vamos primeiro calcular o vetor de m edia e a matriz de vari^ancia amostrais. dados=read.table(" avia/ mad484/microondas.txt",header=t) dadost=dados for (i in 1:2) dadost[,i]=dadost[,i] (1/4) xbarra=mean(dadost) S=cov(dadosT) IS=solve(dadosT) DES=eigen(S) n=42, p=2, qf(.95,p,n-p) 5

6 (Comandos em elipsemicroondas.txt) 6

7 Intervalos de Con an»ca Simult^aneos para os componentes do vetor de m edia Seja X N p (µ, ). Vimos que se a e um vetor de constantes em R p, ent~ao Z=a T X N(a T µ,a T a). Logo,seX 1,X 2,...,X n eumaamostraaleat oria da N p (µ, ), segue que Z 1,Z 2,...,Z n, de nidos por Z i = a T X i, i = 1,..,n e uma amostra aleat oria da N(a T µ,a }{{}} T {{ a } ). µ Z σ 2 Z Da teoria normal univariada, temos que um intervalo de 100(1 α)% de con an»ca para µ Z =a T µ e dado por IC(µ Z,1 α):a T ¹X±t n 1 (1 α/2) a T Sa n 7

8 Claramente, poder ³amos construir v arios intervalos de con an»ca sobre combina»c~oes lineares dos componentes do vetor µ, cada um associado com um coe ciente de con an»ca 1 α, escolhendo diferentes vetores de constantes a. Por em, o coe ciente de con an»ca conjunto do conjunto de intervalos resultantes n~ao ser a mais 1 α. E desej avel associar um coe ciente de con- an»ca COLETIVO de 1 α aos intervalos de con an»ca que podem ser gerados para todas as escolhas de a. Naturalmente, um pre»co dever a ser pago pela conveni^encia de uma con an»ca simult^anea grande para todos os intervalos: intervalos que s~ao mais largos (menos precisos) do que os intervalos apresentados anteriormente via a distribui»c~ao amostral t com n 1 graus del liberdade. 8

9 Dadooconjuntodedadosobservadosx 1,x 2,...,x n e um a particular t = n(a T x a t µ) a T Sa <=t n 1 (1 α/2) ou, equivalentemente, t 2 = n(at x a t µ) 2 a T Sa <=t 2 n 1 (1 α/2) Uma regi~ao de con an»ca simult^anea e dada para o conjunto de valores a T µ tais que t 2 e relativamente pequeno para todas as escolhas de a. Parece razo avel esperar que o valor t 2 n 1 (1 α/2) sejasubstitu ³doporumvalormaior,c 2,quando a rma»c~oes s~ao feitas para muitas escolhas de a. 9

10 Considerando os valores de a para os quais t 2 <=c 2, somos naturalmente levados a max a t 2 =max a n(a T x a t µ) 2 a T Sa Usando os resultados sobre desigualdades do cap ³tulo 2, e f acil ver que o m aximo ocorrer a para a S 1 (¹x µ). Ora, isto nos levar a µa estat ³stica T 2. Por conveni^encia, costuma se referir a esses intervalos como intervalos-t 2. Em particular, tomando os vetores a's como os vetores da base can^onica do R p, obt em-se p(n 1) ¹x j ± n p F p,n p(1 α) sjj n, j=1,2,...,n 10

11 Agoraosintervalos-T 2 coletivamentet^emn ³vel de con an»ca 1 α. Observe que tamb em podemos construir intervalos de con an»ca para rela»c~oes estruturais entre os componentes do vetor µ como, por exemplo, intervalos para as diferen»cas entre os componentes de µ. Fazendo a T =(0,...,0, 1 }{{} i- esima entrada,0,...0, 1 }{{} r- esima entrada,0,...,0), teremos atµ=µ i µ r, at¹x=¹x i ¹x r e a T Sa=s ii +s rr 2s ir. O intervalo para a diferen»ca µ i µ r ser a dado por ¹x i ¹x r ± p(n 1) n p F sii +s rr 2s p,n p(1 α) ir n 11

12 Exemplo: Obtivemos uma elipse de 95% de con an»ca para o vetor µ nos dados sobre radia»c~ao em microondas. Pede-se construir os intervalos-t 2 de95%decon an»caparaoscomponentes individuais do vetor µ, identi candoos como as \sombras" da elipse de 95% de con an»ca sobre os eixos coordenados. Pedese tamb em construir os intervalos baseados na distribui»c~ao t e compar a-los com os correspondentes intervalos T 2. linf1= lsup1= linf2= lsup2=

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14 Uma Compara»c~ao entre os intervalos T 2 e os intervalos separados A tabela a seguir mostra uma compara»c~ao entre os comprimentos dos intervalos de con- an»ca separados e os intervalos\simult^aneos" T 2 para alguns valores selecionados de p, n e α=0,05%. n t n 1 (0.975) p=4 p= Os valores nas duas ultimas colunas da tabela (n 1)p correspondem a n p F p,n p(.95). 14

15 A compara»c~ao feita e impr opria, pois o n ³vel de con an»ca associado a qualquer cole»c~ao de intervalos T 2, para p xado, e 0,95, e o n ³vel global associado com uma cole»c~ao de intervalos separados via distribui»c~ao t deve ser menor do que 0,95. Uma outra abordagem, conhecida como M etodo de Bonferroni de Compara»c~oes M ultiplas, ser a considerada. O m etodo leva este nome devido µa desigualdade de Bonferroni. SejaA 1,A 2,...,A m umacole»c~aodeeventosnum espa»co de probabilidade tais que P(A i )=1 α i, i=1,...,m. Ent~ao, P ( m i=1 A i) =1 P(\pelo menos um dos A i s e falso )>= >=1 m i=1 P(Ac i )=1 m i=1 α i=1 (α 1 +α α m ). 15

16 A desigualdade de Bonferroni permite ao investigador controlar a taxa de erro α 1 +α α m, sem olhar a estrutura de correla»c~ao por tr as dos intervalos de con an»ca. Assim, se o problema envolve a constru»c~ao de m intervalos importantes, a id eia e fazer α i =α/m e tomar os intervalos separados dados por a T ( ) ¹X±t n 1 1 α a T Sa 2m n Observe que agora vale que o coe ciente coletivo de con an»ca e pelo menos 1 α m + α m α }{{ m} m termos =1 α. 16

17 Portanto, com um coe ciente de con an»ca global de pelo menos 1 α, podemos construir os seguintes m=p intervalos para os componentes do vetor µ: IC(µ i,1 α): ¹X i ±t n 1 ( 1 α 2p ) sii n, i=1,2,...,p. Esses intervalos, podem ent~ao, de forma mais apropriada, ser comparados aos intervalos T 2. Exemplo: Usando novamente os dados sobre radia»c~ao em fornos de microondas, pede-se compararosintervalost 2 paraoscomponentes do vetor de m edia com os intervalos via Bonferroni. 17

18 linf1t= , lsup1t= linf2t= , lsup2t=

19 A tabela a seguir ilustra uma compara»c~ao entre os comprimentos dos intervalos via Bonferroni e T 2 para alguns valores selecionados de p, m = p, n e α = 0,05. As entradas nas tr^es colunas referentes aos diferentes valores de p selecionados representam a raz~ao entre o comprimento do intervalo via Bonferroni e o comprimento do intervalo T 2. n p= ,88 0,69 0, ,90 0,75 0, ,91 0,78 0, ,91 0,80 0,62 0,91 0,81 0,66 Podemos ver desta tabela que os intervalos via Bonferroni produzem intervalos mais estreitos quando m=p. Devido µa facilidade de aplica»c~ao e aos resultados mais e cientes em termos de estima»c~ao, geralmente e prefer ³vel usar os intervalos simult^aneos via Bonferroni. 19

20 Infer^encias sobre um vetor de m edia para grandes amostras Quando o tamanho da amostra e grande, testes de hip oteses e regi~oes de con an»ca para µ podem ser constru ³dos mesmo que a popula»c~ao subjacente n~ao seja normal. Veja os exerc ³cios 5.15, 5.16 e Neles, para n grande, somos capazes de fazer infer^encias sobre o vetor de m edia da popula»c~ao apesar da distribui»c~ao populacional ser discreta. De fato, desvios fortes de uma popula»c~ao normal podem ser superados para tamanhos amostrais grandes. Ambos, testes de hip oteses e intervalos de con- an»ca simult^aneos, ter~ao n ³veis nominais aproximados. 20

21 As vantagens associadas com grandes amostras podem ser parcialmente compensadas por uma perda de informa»c~ao amostral causada pelo uso somente das estat ³sticas sum ario ¹X e S. Por outro lado, como (¹X,S) e uma estat ³stica su ciente para popula»c~oes normais, quanto mais pr oximas da normal multivariada forem as distribui»c~oes das popula»c~oes, mais e cientemente a informa»c~ao amostral ser a utilizada ao fazer infer^encias. Todas as infer^encias sobre µ quando se tem grandes amostras s~ao baseadas na distribui»c~ao de qui-quadrado. 21

22 Proposi»c~ao1: SejaX 1,X 2,...,X n umaamostra aleat oriadeumapopula»c~aocomm ediaµematriz de vari^ancia positiva de nida. Quando n p e grande, a hip otese H 0 : µ = µ 0 e rejeitada em favor de H 1 : µ µ 0, ao n ³vel de signi c^ancia α, se n(¹x µ 0 ) T S 1 (¹x µ 0 )>χ 2 p(1 α) Comparando este teste com o obtido via teoria normal, no in ³cio destas notas, vemos que a estat ³stica de teste e a mesma, o que muda e o valor cr ³tico. Um exame mais minucioso revela, por em, que ambos os testes produzir~ao os mesmos resultados em situa»c~oes nas quais o teste χ 2 e apropriado. De fato, (n 1)p n p F p,n p(1 α) e χ 2 p(1 α) s~ao aproximadamente iguais para n >> p. 22

23 Proposi»c~ao2: SejaX 1,X 2,...,X n umaamostra aleat oria de uma popula»c~ao com m edia µ e matriz de vari^ancia positiva de nida. Se n p e grande, a T ¹X± χ 2 a T Sa p(1 α) n compreeder a a T µ, para todo a com probabilidade aproximadamente 1 α. Consequentemente, podemos fazer a rma»c~oes simult^aneas para os p componentes do vetor de m edias dadas por ¹x i ± χ 2 sii p(1 α) n, i=1,2,...,p Observa»c~ao: Elipses de con an»ca para pares de componentes tamb em podem ser facilmente constru ³das. 23

24 Aquest~aodequ~aograndedeveserotamanho da amostra n~ao e simples de ser respondida. Em uma ou duas dimens~oes, tamanhos amostrais em torno de 30 a 50 podem geralmente ser considerados grandes. A medida que o n umero de caracter ³sticas torna-se maior, certamente tamanhos amostrais maiores ser~ao exigidos para que as distribui»c~oes assint oticas forne»cam boas aproxima»c~oes das verdadeiras distribui»c~oes das v arias estat ³sticas de teste. Na falta de estudos de nitivos os autores simplesmente prop~oem que n p deve ser grande, reconhecendo que o caso real pode ser mais complicado do que isso. Uma aplica»c~ao com p = 2 e n = 50 e muito diferente de uma aplica»c~ao com p = 52 e n = 100 apesar de ambas apresentarem n p=48. 24

25 Deve-se realizar as mesmas veri ca»c~oes exigidas para os m etodos baseados na normal. Apesar de pequenos desvios da normalidade n~ao causarem quaisquer di culdades para n grande, desvios extremos podem causar problemas. Especi camente, a taxa de erro verdadeira pode estar bem afastada do n ³vel nominal α. Se, combasenosq-qplotseoutrosesquemasde investiga»c~ao outliers e outras formas de desvios extremos aparecem, a»c~oes corretivas apropriadas, incluindo transforma»c~oes, s~ao desej aveis. 25

26 Exerc ³cios recomendados do cap ³tulo 5: 1 a 11, 15, 16 e 17, 18 a