Artigos Vento sintético e a simulação de Monte Carlo uma orma de considerar a característica aleatória e instável do carregamento dos ventos em estruturas Sasquia Hizuru Obata Mestre em Engenharia Civil Escola Politécnica USP; Doutoranda em Arquitetura Macenzie; Proessora de Estruturas de Concreto e Tecnologias Construtivas FAAP. São Paulo SP [Brasil] sasquia@terra.com.br Neste artigo, aresenta-se uma orma de considerar a característica aleatória e instável do carregamento dos ventos, estudo de muita imortância ara torres, estruturas leves, construções de grande altura, estruturas em membranas, tensoestruturas e arquiteturas têxteis. Demonstra-se, com base em uma revisão bibliográica, a sequência de alicação do Método do Vento Sintético, como uma rotina de rocedimentos a ser alicada no desenvolvimento de rojetos, tendo como reerência a roosta do reconhecido do rojetista estrutural Eng. Dr. Mario Franco, ara a análise e carregamentos aleatórios e instáveis dos ventos nas estruturas, e como orma de simulação or meio do Método de Monte Carlo. Focando-se simlesmente no ato e na intenção de entendimento mais didático do que na aresentação de roteiro de rocedimentos de análise, este estudo ode roorcionar o que se entende como acilitação aos estudantes de engenharia, ermitindo uma leitura simliicada aos iniciantes em rojetos quanto à obtenção de resultados dos esorços e ou deslocamentos quando se considera o vento em sua condição de carregamento aleatório e instável. Palavras-chave: Carregamento aleatório. Monte Carlo. Procedimento. Vento.Vento Sintético. Exacta, São Paulo, v. 7, n. 1,. 77-85, jan./mar. 009. 77
Lista de Símbolos 1 Introdução S() esectro natural de otência do vento. X 1 requência adimensional. requência em Hertz. V velocidade média do vento. ν 3 rajadas de ventos como medições de velocidades durante três segundos. ν 600 rajadas de ventos como medições de velocidades durante 600 segundos. z cota ou altura de medições das velocidades dos ventos. ν 0 ν 0 é a velocidade básica do vento. b e arâmetros da norma NBR613. q ressão de vento de máxima amlitude ou ressão de vento de ico. ressão média de vento ou ressão estática de vento. F e orça estática do vento. C a coeiciente de arrasto. A área da rojeção vertical da estrutura que contribui ara geração da orça no onto considerado P e ressão eetiva do vento. CP i coeicientes de ressão interna. CP e coeicientes de ressão externa. P ressão lutuante do vento. d dierencial da lutuante. C(), φ(), A(), B() comonentes adequadas ara o vento da integral de Fourier. E[x ] valor quadrático médio ou valor médio ou eserado de x. σ variância do valor do vento. R x (t=0) área sob a curva esectral. S() σ esectro reduzido associado à escala logarítmica. c coeiciente de amlitude. m comonentes harmônicos de ases aleatórias. A análise de estruturas submetidas ao vento é determinante tanto ara as estruturas de grande altura quanto ara as leves, como é o caso das membranas e cabos. Para isso hão de se comatibilizar as análises estruturais às características aleatórias e roriedades instáveis que o vento ossui como carregamento. Essa comatibilização ode ser reresentada elo Método do Vento Sintético, roosto or Franco (1993), or meio da geração de séries históricas de carregamentos, de considerações estatísticas e do Método de Monte Carlo, ara simulações numéricas e valores aleatórios, esse rocesso será descrito no desenvolvimento deste artigo. O método do vento sintético O Método do Vento Sintético tem como remissa os conceitos undamentais estatísticos e as simulações numéricas, o que lhe conere elevado grau de semelhança ao vento real, sendo, ortanto, utilizado como reerência em diversos trabalhos acadêmicos como os de Leite (1998), de Carril Junior (000), de Menin (00), de Lazanha (003) e de outros de ordem rojetual como a rória alicação de Franco ara o ediício Centro Emresarial Nações Unidas, na Marginal do Rio Pinheiros, em São Paulo. A simulação de Monte Carlo no Método do Vento Sintético utiliza-se de uma série de dados aleatórios. Para as ressões lutuantes, executamse transormadas aroriadas, como as de Fourier, ara gerar amostras reresentativas com as roriedades estatísticas do vento. Esse rocedimento tem como onto de artida um esectro de otência, em que ode ser alicado o de Davenort, indicado ara essa sequência, da qual se estabelece um esectro reduzido e, conseqüentemente, a divisão entre a ressão média e a lutuante. 78 Exacta, São Paulo, v. 7, n. 1,. 77-85, jan./mar. 009.
Artigos A arcela lutuante é então decomosta em um número inito de unções harmônicas roorcionais à requência ressonante da estrutura, com os ângulos de ase variando aleatoriamente. Em cada uma das arcelas de ressões lutuantes é alicado o esorço do vento, tendo como base o conceito de correlação esacial, como se elas ossem transormadas em rajadas equivalentes, isto é, essa alicação será realizada ao longo do temo de duração da rajada e em um onto desavorável da estrutura. Os outros ontos da estrutura são obtidos elas unções de correlação horizontal e vertical. Essa lógica arte da não incidência do vento em um determinado instante em vários ontos com amlitudes máximas. Dessas alicações, obtém-se o esectro de resosta em que se determinam os valores de esorços ou deslocamentos máximos de cada alicação, sendo o valor característico da resosta determinado estatisticamente elo Teorema de Gumbel. Como último asso, a estrutura deve ser solicitada novamente e dessa vez, com a combinação que gerou a resosta mais róxima ao valor característico, em que se identiicam os valores de esorços ou deslocamentos característicos da estrutura em estudo. 3 O Método de Monte Carlo O Método de Monte Carlo baseia-se na simulação de variáveis aleatórias ara resolução de roblemas diversos na engenharia, como os citados, e alguns descritos a seguir, orém, quanto à revisão de investimentos e reixações, a maioria das ublicações é das áreas econômica e inanceira. Talavera et al. (000) citam que a avaliação do esectro de otência de raios gamas elo Método de Monte Carlo tem sido um meio rático ante a evolução da ciência, em que já se notam cerca de 10% de eiciência entre os valores simulados e os obtidos exerimentalmente dos aarelhos eletrônicos de esectros. Por outro lado, nota-se a redução dos erros em 3%; assim, justiicam que, não obstante a recisão de tais técnicas de simulação, deve ser avaliada antes de se incororar à rotina na qual a recisão e a alta resolução são reonderantes. Shairo (001) aresenta o Método de Monte Carlo como o único modo razoável de calcular a unção de exectativa or meio da simulação, com o objetivo de convergir ara as roriedades da amostra, de caráter estocástico, utilizando o Teorema do Limite Central, relativo aos estudos de distribuições normais. Kramer (000) diz que o oco rincial de seus estudos é exor que a simulação de Monte Carlo se aroxima dos sistemas luidos turbulentos e comlexos e se trata de uma técnica moderna. O Método de Monte Carlo é considerado muito simles e lexível ara ser alicado em roblemas de uma ou de diversas variáveis. No entanto, como deende do número de simulações 1 ara reduzir o erro da estimativa da solução rocurada, ode tender, na rática, a um rocesso muito lento, mesmo em ace dos rocedimentos comutacionais. O uso desse método de simulações oi emregado, rimeiro em 194, no desenvolvimento da bomba atômica, em razão da grande comlexidade do roblema. No entanto, oi batizado de Monte Carlo or ser a cidade mais amosa elos seus cassinos e jogos de roleta, disositivos que roduzem números aleatórios. Embora existam muitas alicações ara o método de Monte Carlo, uma das mais intuitivas e que o ilustra é o cálculo da área sob uma un- Exacta, São Paulo, v. 7, n. 1,. 77-85, jan./mar. 009. 79
ção não negativa, como aresentado em Thomas Jr. et al. (00), na Equação 1 e na Figura 1: Área sob a curva Área de retângulo (X) Número de ontos contados sob a curva Número de ontos aleatórios (1) Portanto, quanto mais ontos orem estudados, melhor será a estimativa, mas é reciso salientar algumas desvantagens no caso de áreas sob curvas, como a alta de um limite de erro e a rória diiculdade de deinir a coordenada máxima (altura do retângulo), mesmo que se tenha deinido o intervalo das abscissas. No entanto, ode se tornar uma estimativa muito rática ara unções de muitas variáveis ou variáveis comlexas (THOMAS JR. et al., 00). 4 Esectro do vento Conorme descrito no Método do Vento Sintético, o esectro natural de otência do vento, S(), a ser utilizado será o de Davenort, descrito ela seguinte exressão: S ( ) = s (X)dx Figura 1: Pontos aleatórios sob e sobre a curva Fonte: A autora. X 1 3(1 + X 1 ) 4 3 () Em que o valor a ser adotado de X 1 será: X = 10 1 V (3) O valor de X 1 é o roosto or Franco (1993) e também citado or Zhou et al. (00) como sendo o valor adotado ela norma canadense NBC-1995, em que se consideraram a acilidade e a segurança, mas ligeiramente dierente do valor original que tem seu melhor ajuste exerimental na escala de comrimento L igual a 100, segundo Davenort aud Blessmann (1998). Em relação à velocidade, V, Franco (1993) estabeleceu uma simliicação, mas nessa descrição se alica o rocedimento desenvolvido or Carril Junior (000), em que a velocidade média do vento varia com a altitude e a categoria do terreno, conorme método descrito da NBR613 ara cálculo da resosta dinâmica na direção do vento. Nesse caso, a norma estabelece as ressões lutuantes corresondentes às rajadas derivadas de medições de velocidades v 3, em três segundos e em uma cota z; já a velocidade média corresonde a medições em 600 segundos, ν 600. z ν 600 ( z) = 0,69 bv0 10 z ν 3 ( z) = bv0 10 (4) (5) A velocidade V 0 é básica do vento, em três segundos, ara a cota igual a z=10m em terreno aberto de categoria II, assim como os valores de b e são ornecidos ela norma brasileira, e é dada ela Tabela 1: 80 Exacta, São Paulo, v. 7, n. 1,. 77-85, jan./mar. 009.
Artigos Tabela 1: Valores dos arâmetros b e Categoria I II III IV V P 0,095 0,15 0,185 0,3 0,31 P 1,3 1,00 0,86 0,71 0,50 Fonte: NBR613. A ressão de máxima amlitude, ou de ico, q deine-se or: q = 0,613 ν 3 A ressão média, ou estática, é obtida or: = 0,613ν Do valor da ressão média, calcula-se a orça estática, F e, atuante em um onto da estrutura ela Equação 8, a seguir: Fe = C a A( ) = C a 600 A(0,613 ν 600 ) (6) (7) (8) Em que: C a : Coeiciente de arrasto, A: Área da rojeção vertical que contribui ara geração da orça no onto considerado. A ressão lutuante, então, ode ser calculada como segue em 10, ara uma ressão máxima, e, como exresso em 11, ara uma ressão eetiva: = q = 0,613( ν = q e = 0,613( ν 3 ν600 ) 3 ν 600 ) (10) (11) A orça da arte lutuante, em razão das rajadas, é decomosta em unções harmônicas conorme o esectro de otência das rajadas. 5 Decomosição da ressão lutuante A arcela lutuante do vento deve ser considerada justamente como um rocesso estocástico, ergódico, de média zero, odendo ser adequada à reresentação or uma integral de Fourier e ainda de modo discreto, a saber: ( t) = C( ) cos[π t φ( )] d Em que: (1) Como alternativa que se ode utilizar nas estruturas em membranas, considerando a conveniência de alicar a carga sobre a área de um elemento de membrana, cita-se a adoção de uma ressão eetiva, que não envolve o coeiciente de arrasto, mas os de ressão interna e externa, resectivamente C i e C e (OBATA, 004). Nesse caso, a ressão eetiva do vento, segundo a NBR613, será corresondente ao valor da exressão 9: e = ( Ce Ci ) (9) C ( ) = A ( ) + B ( ) B( ) φ( ) = arctan A( ) A( ) = ( t) cosπtdt B( ) = ( t) senπtdt (13) (14) (15) (16) Exacta, São Paulo, v. 7, n. 1,. 77-85, jan./mar. 009. 81
No caso deste artigo, a transormada de Fourier, reresentada ela Equação 1, está discretamente comosta somente ela unção cosseno 3 de orma corresondente ao coeiciente de correlação e unção de autocorrelação. Ainda ode ser visto elo gráico das unções seno e cosseno, na Figura, que o máximo do cosseno é igual ao valor 1 em zero e a π radianos ou 360º, dierentemente do seno que em zero é mínimo e igual a zero. Salienta-se, ainda, que o valor da média da unção é obviamente igual a zero ara ambas as unções trigonométricas. 1.5 1 0.5 0-0.5 0 45 90 135 180 5 70 315 360 405 450-1 -1.5 cos sin Figura : Gráico das unções seno e cosseno Fonte: A autora. Como se utilizam unções harmônicas e, no caso do vento sintético, em que é reciso transladar uma unção harmônica lateralmente em relação à outra, a unção cosseno é mais conveniente, ois ermite, nesse tio de rocesso, a adequação dos máximos e mínimos das séries de dados, isso orque esta unção ossui máximo valor quando o ângulo em que oera é zero. Mudar a unção cosseno ara a direita ou esquerda or um ângulo φ(t) resulta em uma nova unção harmônica que será maximizada em um π eríodo w(t) de valor igual w(t) =, em que φ(t) φ(t) é denominado ângulo de ase. Essa mudança do ângulo de ase da unção harmônica, de modo aleatório, é a razão da comatibilidade desse rocedimento de simulação com a aleatoriedade de ato das ações dos ventos. Para tornar rático o rocesso do vento sintético, utiliza-se a roriedade de equivalência aresentada na Equação 17, em que o valor quadrático médio é o valor médio ou eserado de x e ode ser calculado como valor médio. Também ara a determinação da ressão lutuante, alica-se o conceito no qual a variância resulta igual ao valor quadrático médio, tendo-se a média nula. Se o valor médio or nulo, a variância será igual ao valor quadrático médio. σ E[ x ] = x x ( x) dx = E[ x ] ( E[ x]) = x σ = ( t) Rx ( τ = 0) = S x( ω) dω = ( x) dx+ 0 x E[ x ] (17) (18) (19) Da Equação 19 aresentada, ode-se, então, dizer que a área sob a curva esectral corresonde ao valor quadrático médio e, consequentemente, à variância. σ = 0 ( t) = S( ) d (0) Admite-se ainda o ato da comonente lutuante oder ser reresentada or um número inito m de unções harmônicas, sendo recomendado or Franco (1993) que seja, no mínimo, igual a 11, escolhidas no intervalo de temo de interesse que vai de 0,5 segundo a 600 segundos. Portanto, aós essas considerações, a Equação 1 é adequadamente reresentada or: 8 Exacta, São Paulo, v. 7, n. 1,. 77-85, jan./mar. 009.
Artigos m ( t) = 1 C π cos Tr r t φ (1) S t (n) Ressonância Em que: C = ( ) S( ) d () 18 64 3 16 8 4 1 0,5 0,5 0,15 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 (m) r =T /T r = -r (3) Sendo o valor r o número do harmônico coincidente com a requência ressonante, e T r o eríodo associado. Para os cálculos de C, Franco (1993) roõe uma imortante roriedade e simliicação, ou seja, que sejam calculados elo esectro reduzido, em razão da roorcionalidade entre o esectro natural de otência S(), e o reduzido associado à S () escala logarítmica, reresentada or, de tal orma que a amlitude de cada uma das unções harmônicas ique reresentada or 4: C = = m =1 c σ (4) Para a deinição dos valores de cada C, Franco (1996) atribui como o quarto harmônico o da ressonância da estrutura conorme Figuras 3 e 4 a seguir, visando a englobar os outros modos de requência. Em razão de uma série de estudos sobre estruturas de aço e de concreto na região de ressonância, Franco (1996) também sugere que seja realizada uma correção de redução igual a dois da amlitude ressonante. Para que a soma dos coeicientes ermaneça igual à unidade, os coeicientes imediatamente suerior e inerior são também corrigidos, como segue: Figura 3: Decomosição da ressão lutuante em =11 harmônicos Fonte: Franco, 1996 Vento Médio (48%) Rajadas (5%)! c = r * c r cr c ( 1) ( 1) * = c r + r 4 cr c ( 1) ( 1) * = c r+ + r+ 4 Ressonância Figura 4: Peril de ressões sugerido or Franco (1996), aresentando o harmônico corresonde à ressonância Fonte: Franco, 1996 (5) (6) (7) Portanto, ara a análise or meio da metodologia do vento sintético, criam-se séries de car- Exacta, São Paulo, v. 7, n. 1,. 77-85, jan./mar. 009. 83
regamentos, sendo que cada uma delas comosta elo carregamento estático e m comonentes harmônicos de ases aleatórias determinadas como a da estrutura. Das resostas estruturais ara cada carregamento, obtém-se o valor máximo ara cada série. Dessas resostas, realizam-se análises estatísticas como se ossem uma distribuição normal em que se determina o valor de resosta característico máximo, com incerteza de 5%, como exresso na Equação a seguir: Resosta 95% = 1,65σ + m 6 Considerações inais (8) Dada a aresentação deste assunto, cita-se que a Metodologia do Vento Sintético, ara o estudo e alicação de carregamentos de características aleatórias, como no caso de ventos, rimeiro assa elo leno entendimento da metodologia, razão rincial da descrição básica, ael deste artigo. Portanto, o correto entendimento da metodologia az com que a alicação não se limite a uma simles erramenta de decomosição de carregamentos em artes médias e lutuantes ou aleatórias, mas como um avanço nas análises ossíveis das estruturas. Do mesmo modo, a ossibilidade do desrendimento do conhecimento básico assa elo entendimento das inormações que retensamente este artigo buscou encontrar. Synthetic Wind and Monte Carlo simulation A way to consider the aleatory and instable characteristic o wind action in structures In this article, it is resented a ossibility to consider the random and unstable characteristic o the loads o winds, which is an imortant study or towers, light structures, high constructions, membranes structures, tensor-structures and textile architectures. The sequence o alication o the Method o the Synthetic Wind is made rom a bibliograhical revision to demonstrate as a routine o rocedures to be alied in the develoment o rojects using as reerence the roosal o recognized structural lanner Dr. Mario Franco, or the analysis random and unstable actions o the winds in the structures, and also a simulation orm through Method o Monte Carlo. Focusing this article and its intention more in didactic understanding than in the resentation o an ossibility o analysis rocedures, this study allows a simliied reading to the engineering students and beginners in rojects related to the obtaining o results o the eorts and or dislacements, when the wind is considered with random and unstable conditions. Key words: Monte Carlo. Procedure. Random loads. Synthetic Wind. Wind Notas 1 O número de simulações ara o Método de Monte Carlo aresentado como adequado é de cerca de N =10.000, segundo Rochman (004). Para a área inanceira no mínimo N=100 é o valor alicado aos diversos estudos estatísticos, segundo Breidt (004). A cota oi 10m e categoria II segundo a NBR613/88, de onde se obteve a seguinte razão: 600 v 600 = = 0,69 = 0,48 3 v 3 ou seja, 48% da orça do vento corresonde ao valor médio e 5% o das rajadas, sua arte lutuante; assim Franco ode deinir as relações entre essas ações distintas e tendo realizada a generalização ara as demais categorias e altitudes. 3 A unção de Fourier é dada or: + + 1 1 x( t) = x( t)cosωtdt cosωtdω + x( t)senωtdt senωtdω 0 π 0 π, normalmente aresentada como: [ ] [ ] x( t) = A( ω) cosωtdω+ B( ω) senωtdω 0 e matematicamente em correlação a unção esectral a comonente B (w) é nula. 0, 84 Exacta, São Paulo, v. 7, n. 1,. 77-85, jan./mar. 009.
Artigos Reerências ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Forças devidas ao vento em ediicações NBR-613. Rio de Janeiro: ABNT, 1988. 80. BLESSMANN, J. Introdução ao estudo das ações dinâmicas do vento. 1. Ed. Porto Alegre: UFRGS, 1998. BREIDT, F. J. Simulation estimation o quintiles rom a distribution with nown mean. American Statistical Association, Institute o Mathematical Statistics and Interace Foundation o North America. Journal o Comutational and Grahical Statistics. v 13, n.,. 487-498, 004. CARRIL JUNIOR, C. F. Análise numérica e exerimental do eeito dinâmico do vento em torres metálicas treliçadas ara telecomunicações. Tese (Doutorado) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, 000. FRANCO, M. Direct Along-wind Dynamic Analysis o Tall Structures. Boletim Técnico da Escola Politécnica, Universidade de São Paulo. São Paulo: EPUSP, 1993... Aostila xerocoiada Ediícios Altos de Concreto Armado. v. 1, discilina PEF 717. Deartamento de Engenharia de Estruturas e Fundações. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, 1996. KRAMER, P. R. A review o some Monte Carlo Simulation Methods or Turbulent Systems. Deartment o Mathematical Sciences Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY, 000. Disonível em: <htt://www.ri. edu/~rame/public/mcaer.d>. Acesso em: 15 jul. 004. LAZANHA, E. C. Análise dinâmica elasto-lástica de estruturas metálicas sob excitação aleatória de vento. Dissertação (Mestrado)- Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, 003. LEITE, W. C. Análise dinâmica estocástica de estruturas de cabos de comortamento não linear sob vibrações aleatórias devidas ao vento. Tese (Doutorado)- Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, 1998. MENIN, R. C. G. Análise estática e dinâmica de torres metálicas estaiadas. Dissertação (Mestrado)- Universidade de Brasília, Brasília, DF, 00. OBATA, S. H. Análise dinâmica de membranas rétensionadas de comortamento não linear sob excitação aleatória do vento. Qualiicação Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, out. 004. ROCHMAN, R. R. Análise de métodos numéricos ara reciicação de oções. Dissertação (Mestrado). Escola de Administração de Emresas de São Paulo da Fundação Getulio Vargas. Disonível em: <htt://www. gvs.br/academico/roducao>. Acesso em: 9 set. 004. SHAPIRO, A. Monte Carlo Simulation Aroach to Stochastic Programming. Proceedings o the 001 Winter Simulation Conerence. School o Industrial & Systems Engineering, Georgia Institute o Technology Atlanta, B. A. Peters; J. S. Smith; D. J. Medeiros; M. W. Rohrer (Ed.), 001. TALAVERA, M. G.; NEDER, H.; DAZA, M. J; QUINTANA, B. Towards a roer modeling o detector and source characteristics in Monte Carlo simulations. Alied Radiation and Isotoes. Pergamon, Elsevier Science, 000. THOMAS Jr., G. B.; FINNEY, R. L.; WEIR, M.D., GIORDANO, F. R. Cálculo de George B. Thomas Jr., V.1. Tradução de Paulo Boschcov. Pearson Education do Brasil. Addison Wesley, 00. ZHOU, Y.; KIJEWSKI, T.; KAREEM, A. Along-Wind Load Eects on Tall Buildings: Comarative Study o Major International Codes and Standards. 788, Journal o Structural Engineering, June 00. Recebido em 8 nov. 008 / arovado em 8 jan. 009 Para reerenciar este texto OBATA, S. H. Vento sintético e a simulação de Monte Carlo uma orma de considerar a característica aleatória e instável do carregamento dos ventos em estruturas. Exacta, São Paulo, v. 7, n. 1,. 77-85, jan./mar. 009. Exacta, São Paulo, v. 7, n. 1,. 77-85, jan./mar. 009. 85