Método de Monte Carlo e ISO

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1 Método de Monte Carlo e ISO GUM para cálculo l de incerteza Prof. Dr. Antonio Piratelli Filho Universidade de Brasilia (UnB) Faculdade de Tecnologia Depto. Engenharia Mecânica 1

2 Introdução: Erro x incerteza Resultado da medição: 0,1 0,5 mm Erro da medida equivale ao valor 0,5 mm Erro: estimado pela metade da menor divisão da escala do instrumento ou pelo desvio padrão experimental das medidas Entretanto, o termo Erro não leva em conta outras fontes de erros, como por exemplo a temperatura, erros dos padrões, etc : ISO propôs uma metodologia para determinar um valor que leve em conta estas outras influências no valor incerto ( 0,xx), chamando este valor de incerteza de medição em substituição a erro

3 ISO GUM 008 e VIM ISO GUM Guia para Expressão da Incerteza de Medição (008) VIM Vocabulário Internacional de Termos Gerais e Fundamentais em Metrologia (008) pdf 3

4 Documentos de Referência 4

5 Terminologia - VIM Incerteza de medição: parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos valores que poderiam ser razoavelmente atribuídos ao mensurando Incerteza padrão: incerteza do resultado de uma medição expressa como um desvio padrão Incerteza padrão do tipo A: incerteza padrão determinada pela análise estatística dos resultados Incerteza padrão do tipo B: incerteza padrão determinada por outros meios, como experiência anterior, laudos de calibração de padrões, etc. 5

6 Terminologia - VIM Incerteza padrão combinada: incerteza padrão do resultado de uma medição, quando este resultado é obtido por meio de valores de várias outras grandezas, sendo igual à raiz quadrada positiva de uma soma de termos, sendo estes as variâncias ou covariâncias destas outras grandezas, ponderadas de acordo com quanto o resultado da medição varia com mudanças nestas grandezas. Incerteza expandida: grandeza definindo um intervalo em torno do resultado de uma medição com o qual se espera abranger uma grande fração da distribuição dos valores que possam ser razoavelmente atribuídos ao mensurando. 6

7 Aplicação L padrão L padrão Resolução Temperatura planeza desalinhamento deform. elástica Paquímetro 7

8 Aplicação MMC 8

9 Aplicações Dureza Brinell, Vickers e Rockwell Força Pressão Temperatura Calibração de blocos padrões Grandezas elétricas Geometria de cordões de solda etc 9

10 Cálculo da incerteza ISO GUM 1. Expressão relacionando variáveis de entrada (x i ) com variável de saída (y) do instrumento y f x x, x,, 1, 3 x n. Determinar as incertezas padrão, associadas às variáveis x i Modos de cálculo da incerteza padrão Análise estatística Outros meios, como experiência anterior ou laudos de calibração Tipo A Tipo B 10

11 Incerteza padrão Distribuição Normal de probabilidades Incerteza padrão do tipo A: u A i s n Incerteza padrão do tipo B: ub i a 11

12 Incerteza padrão Distribuição Retangular de probabilidades Incerteza padrão do tipo B: ub i a 3 1

13 Incerteza padrão Distribuição Triangular de probabilidades Incerteza padrão do tipo B: u B i a 6 13

14 3. Determinação da Incerteza padrão combinada (uc) Incerteza padrão do resultado de uma medição, quando este resultado é obtido por meio de valores de várias outras grandezas sendo igual à raiz quadrada obtido por meio de valores de várias outras grandezas, sendo igual à raiz quadrada positiva de uma soma de termos, sendo estes as variâncias ou covariâncias destas outras grandezas, ponderadas de acordo com quanto o resultado da medição varia com mudanças nestas grandezas , n i n i j j i j i n i i i c x x u x f x f x u x f y u Termo associado à correlação entre variáveis 14

15 Termos da expressão Nesta expressão da incerteza padrão combinada, temos: Coeficiente de sensibilidade: f x i Incerteza padrão: u(x i ) Covariância entre variáveis x i ex j :u(x i,x j ) 15

16 Propagação de incertezas x y x 1 Blocos padrões x x y 1 1 x x y s y s y s x 1 x y 1 x 1 x y s x s x s 1 x x y s s s 16 1 y

17 4. Determinação da Incerteza expandida (U): grandeza definindo um intervalo em torno do resultado de uma medição com o qual se espera abranger uma grande fração da distribuição dos valores que possam ser razoavelmente atribuídos ao mensurando. U k u c Fator de abrangência (k) é determinado com auxílio da distribuição de probabilidades t de Student, a partir: do valor do número de graus de liberdade efetivo () calculado pela fórmula de Welch-Satterthwaite da probabilidade de abrangência (p) (95 a 99%) eff N u i1 4 c 4 u i 17

18 Tabela de cálculo (ISO GUM) Quantidade Valor da quantidade Incerteza padrão Coeficiente de sensitividade Contribuição para incerteza Xi xi u(xi) ci=x/xi ui(x)=ci.u(xi) X1 x1 u(x1) c1 u1(x) X x u(x) c u(x) Xn xn u(xn) cn un(x) X x Total u X u1 un 18

19 Observações Incerteza deve ser calculada levando em conta todas as variáveis que são fontes de erro na medição Cálculo deve ser feito a partir dos desvios padrões de cada fonte de erro envolvida (incertezas padrão), seja calculado (tipo A), seja estimado (tipo B) Apresentação final do resultado da medição: corrigindo o erro sistemático e apresentando a incerteza expandida de medição para a probabilidade bilid d de abrangência adotada d (p): Valor verdadeiro U (p) 19

20 Roteiro para cálculo (ISO GUM) Diagrama Causa Efeito Incertezas das grandezas de entrada Coeficientes de Sensibilidade Componentes de Incerteza padrão Incerteza padrão combinada Graus de liberdade efetivo Fator de Abrangência Incerteza expandida 0

21 Observações Limitações do ISO GUM Linearização do Modelo: o modelo pode ser não linear ou complexo Suposição da normalidade do mensurando: a distribuição de probabilidades pode não ser gaussiana (não atender ao teorema do limite central) Cálculo dos graus de liberdade efetivo 1

22 ISO GUM Supplement (008): Monte Carlo Para superar as limitações do ISO GUM, o método da simulação de Monte Carlo pode ser aplicada para a avaliação da incerteza de medição (ISO GUM Supplement 008) ISO GUM Supplement (008) Simulação de Monte Carlo / / /d / / df

23 Simulação de Monte Carlo - SMC procedimento numérico para solução de problemas matemáticos por meio da simulação de variáveis aleatórias ferramenta e tapaaco para combinar dst distribuições buçõesde probabilidade utiliza a geração de números aleatórios para a simular os valores de variáveis aleatórias técnica que é bastante utilizada devido ao aumento da velocidade de processamento de dados dos computadores 3

24 Cálculo da incerteza Monte Carlo 1 - Estabelecer modelo de equação do mensurando em função das grandezas das fontes de entrada xi ( Definição do mensurando) y f x x, x,, 1, 3 - Selecionar as fontes de incertezas significantes (Estimativas das Incertezas) x n 4

25 Cálculo da incerteza Monte Carlo 3 - Definir o número M de iterações de Monte Carlo M=10 6 deve produzir um intervalo de abrangência de 95% para a a variável resposta y, para um ou dois dígitos significativos. Procedimento adaptativo: ti M é escolhido adotando d uma tolerância numérica, calculada em função do número de dígitos significativos adotado (n dig ), representando o valor referência z na forma l onde 1 l z c Exemplo: u(y)=0,00035 g pode ser reescrito como 35 x 10-5 (n dig =), sendo c=35 e l=-5, assim =0,000005, g. 5

26 Cálculo da incerteza Monte Carlo 4 Extração (simulação) de M amostras {x i1,x i,...,x im } de cada x i fonte de incerteza de cada entrada, considerada como uma variável aleatória com uma função densidade d de probabilidade bilid d p(x i ) Software: Matlab (funções rand ou randn), R-project, S-plus 5 - Calcular os M resultados {y 1,y,...,y M } pela equação que define o mensurando para M amostras {x i1,x i,...,x, im }para cada variável x i 6 Determinar os valores de média e desvio padrão de y calculado ~ y 1 M M y r r1 u 1 M 1 M ~ ~ y y r y r1 6

27 Exemplo Calibração de massa m W a 1 m a R mr 1 W R onde: m W é a massa desconhecida, m R é a massa do padrão, m R é a massa adicional para balancear R com W, W é a densidade da massa W R é a densidade da massa R a é a densidade do ar 7

28 Exemplo Considerando m W,c uma massa convencional (densidade 0 =8000 kg/m 3 ) que balanceia a massa W no ar ( a0 =1, kg/m 3 ), temos 1 1 Em termos das massas convencionais m W,c, m R,c e m R,c a equação i i i l fi 0 0, a c W W a m W m inicial fica R W a a c R c R c W m m m ,,, Fazendo m=m W,c -m nom, onde m nom =100 g, temos o modelo final 1 1 nom R W a a c R c R m m m m ,,

29 Exemplo Variáveis de entrada Xi Distribuição Parâmetros Esperança (mg) Desvio padrão (mg) m R,c N(, ) ,000 0,050 δm R,c N(, ) 1,34 0,00 Esperança x=(a+b)/ (kg/m 3 ) Semi-intervalo (b-a)/ (kg/m 3 ) a R(a,b) 1,0 0,10 R(a,b) 8x10 3 1x10 3 W R R(a,b) 8,00x10 3 0,05x10 3 Tolerância numérica: adotando 1 dígito significativo para u(m), ndig=1, temos z= e assim =0, =0,005 Monte Carlo com M = 0,7 x 10 7

30 Exemplo Resultados comparativos: ISO GUM e Monte Carlo (MCM) Método m u(m) Menor intervalo (estimado) (estimado) de abrangência (95%) d min d max Validação (δ=0,005) GUM 1 1,340 0,0539 [1,185;1,3395] 0,0451 0,0430 Não MCM 1,341 0,0754 [1,0834;1,385] GUM 1,340 0,0750 [1,0870;1,3810] 0,0036 0,0015 Sim GUM1 modelo linear, GUM modelo não linear

31 Exemplo Resultados GUM (1.a ordem) x Monte Carlo GUM (1.a ordem) MC --- IA para GUM (95%) IA para MC (95%)

32 Softwares MatLab ( Excel R-Project ( S-plus ( Evaluator ( Outros

33 Conclusões Publicação do ISO GUM Supplement vem de encontro às necessidades apontadas com o uso da metodologia do ISO GUM Simulação de Monte Carlo permite a avaliação da incerteza em modelos não lineares ou assimétricos Velocidade de processamento de dados dos computadores atuais tem possibilitado a simulação de um número muito grande de dados e favorece o uso da simulação de Monte Carlo 33

34 Referências Guia para Expressão da incerteza de medição, ISO GUM (008) Guia para Expressão da incerteza de medição, Suplemento 1, ISO GUM Supplement (008) Vocabulário Internacional de Termos Gerais e Fundamentais em Metrologia, VIM (008) 34