A ESTIMATIVA DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO PELOS MÉTODOS DO ISO GUM 95 E DE SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO

A ESTIMATIVA DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO PELOS MÉTODOS DO ISO GUM 95 E DE SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO Paulo Roberto Gumarães Couto INMETRO-DIMCI-DIMEC-LAPRE prcouto@nmetro.gov.br

INTRODUÇÃO 3 ISO GUM 95 4. Estmatva da ncerteza conforme o ISO GUM 95 5.. Defnção do mensurando 5.. Dagrama causa-efeto 5..3 Avalação das ncertezas-padrão 6..3. Avalação tpo A das ncertezas-padrão 6..3. Avalação tpo B das ncertezas-padrão 6..4 Dagrama de dspersão 7..4. Coefcente de correlação de Pearson 8..5 Cálculo dos coefcentes de sensbldade 8..6 Componentes de ncertezas 0..7 Cálculo da ncerteza combnada..7. Incerteza combnada de fontes de entrada não correlaconadas..7. Incerteza combnada de fontes de entrada correlaconadas..8 Cálculo dos graus de lberdade efetvos 3..9 Determnação do fator de abrangênca 4..0 Estmatva da ncerteza expandda 4. Expressão numérca do resultado de medção 4 3 ESTIMATIVA DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO PELO MÉTODO DE MONTE CARLO 5 4 ESTUDO DE CASO COM AS APLICAÇÕES DO ISO GUM 95 E DO MÉTODO DE MONTE CARLO 7 4. Metodologa do ISO GUM 95 7 4.. Defnção do Mensurando 7 4.. Dagrama causa-efeto 8 4..3 Avalação das ncertezas-padrão 9 4..3. Incerteza referente à precsão ntermedára do método 9 4..3. Incerteza referente à repettvdade da amostra 9 4..3.3 Incertezas referentes à ρ 0(), ρ, ρ e ρ 0() 0 4..3.4 Incerteza referente à ρ medda 0 4..3.5 Incerteza referente à temperatura 4..4 Coefcentes de sensbldade referentes às fontes de ncertezas 4..5 Componentes de ncertezas 3 4..6 Combnação das ncertezas 3 4..7 Balanço das ncertezas 4 4..8 Cálculo dos graus de lberdade efetvos 5 4..9 Determnação do fator de abrangênca 5 4..0 Estmatva da ncerteza expandda 6 4.. Resultado da medção 6 4. Metodologa de Monte Carlo 8 5 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS PELO ISO GUM 95 9 E PELA METODOLOGIA DE MONTE CARLO 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 30

INTRODUÇÃO Uma vez que o valor verdadero do resultado de uma medção é desconhecdo, qualquer resultado de uma medção será somente uma aproxmação ou estmatva do valor do mensurando em questão. Sendo assm, a representação completa de tal mensurando deverá nclur a dúvda deste resultado, a qual é traduzda pela sua ncerteza de medção. A ncerteza de medção é a ndcação quanttatva da qualdade dos resultados de medção, sem a qual os mesmos não poderam ser comparados entre s, com os valores de referênca especfcados ou com um padrão. De acordo com o contexto da globalzação, prmordalmente na comercalzação de produtos, é necessára a adoção de um procedmento unversal para a estmatva da ncerteza dos resultados de medção, tendo em vsta a necessdade da comparabldade entre resultados vsando o ntercâmbo das nsttuções naconas e nternaconas em atendmento prncpalmente à nova era do mercado mundal. O níco da elaboração do Gua para a Expressão da Incerteza de Medção fo a partr de 977 com o reconhecmento pelo CIPM (Comté Internatonal des Pods et Mèsures) da ausênca de um consenso mundal sobre a equação do cálculo da ncerteza de um resultado de medção. O CIPM então solctou ao BIPM (Bureau Internatonal des Pods et Mèsures) que tratasse o problema em conunto com os laboratóros naconas de metrologa e que se fzesse uma recomendação para uma metodologa de estmatva da ncerteza de medção. Esta responsabldade fo conferda à ISO (Internatonal Organzaton for Standardzaton) TAG 4 (Techncal Advsory Group on Metrology 4). O TAG 4, por sua vez, estabeleceu o Workng Group 3 (WG3) com especalstas desgnados pelo BIPM, IEC (Internatonal Electrotechncal Commsson), ISO e OIML (Internatonal Organzaton of Legal Metrology), sendo também referendados pelo presdente do TAG 4. A prmera versão do Gua para a Expressão da Incerteza de Medção surgu em 993 como ISO/TAG4-WG3 993. Este Gua fo revsado e publcado em 995 com o título: Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement (ISO GUM 95). Mas recentemente no Brasl fo publcada a tradução do Gua com o segunte título: Gua para a Expressão da Incerteza de Medção Tercera Edção Braslera Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement Edção Revsada (agosto de 003) ABNT- INMETRO. O ISO GUM 95 apresenta algumas lmtações tas como: lnearzação do modelo; suposção da normaldade do mensurando; cálculo dos graus de lberdade efetvos da ncerteza combnada. 3

Lnearzação do modelo No níco da propagação das ncertezas, por ocasão do cálculo da ncerteza combnada, a expansão da sére de Taylor é truncada até os termos de prmera ordem. Em alguns casos, esta aproxmação lnear pode requerer termos de mas alta ordem. Suposção da normaldade do mensurando De acordo com a recomendação do Gua, é prátca comum na análse rotnera da estmatva da ncerteza expandda se consderar a dstrbução do resultado como sendo normal. A ncerteza expandda U é estmada como sendo o produto do fator de abrangênca k e a ncerteza combnada u c (y), sendo assemelhada à varável normal (z-score). Assm, é muto comum a apresentação da declaração de ncertezas obtdas utlzando-se um fator de abrangênca k, o qual corresponde a uma probabldade de abrangênca de 95,45%. Cálculo dos graus de lberdade efetvos Segundo COX e HARRIS (003), o cálculo do número dos graus de lberdade efetvos utlzando a equação de Welch-Satterthwate é anda um problema nsolúvel, porque as ncertezas tpo B geralmente contrbuem com um nfnto número de graus de lberdade. De modo a superar as lmtações do ISO GUM 95, a smulação de Monte Carlo pode ser aplcada para a avalação da ncerteza de medção. O método de Monte Carlo é um procedmento numérco para a solução de problemas matemátcos por meo da smulação de varáves aleatóras. O ISO GUM 95 A metodologa do ISO GUM 95 pode ser resumda nos seguntes passos prncpas: a) defnção do mensurando; b) elaboração do dagrama causa efeto; c) estmatvas das ncertezas das fontes de entrada; d) cálculo dos coefcentes de sensbldade; e) cálculo das componentes de ncerteza; f) combnação das componentes; g) cálculo dos graus de lberdade efetvos; h) determnação do fator de abrangênca; ) estmatva da ncerteza expandda. Dentre estas etapas, a mas mportante é a defnção do mensurando. Uma boa fundamentação do mensurando certamente possbltará a elaboração de um dagrama causa efeto adequado e, conseqüentemente, uma estmatva da ncerteza mas realsta, a qual contemplará todas as fontes que 4

mpactam no mensurando. A metodologa de cálculo estabelecda desta forma possblta ao técnco dentfcar a qualquer tempo as fontes de ncerteza que são preponderantes no processo de estmatva da ncerteza geral. Na aplcação desta metodologa, deve-se nterpretar e avalar os valores gerados a cada passo de cálculo para que a estmatva da ncerteza de medção não se torne apenas um smples cálculo ou uma atvdade para atender o requsto respectvo da norma ABNT ISO/IEC 705:005 (Requstos geras para a competênca de laboratóros de ensao e calbração).. ESTIMATIVA DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO CONFORME O ISO GUM 95.. Defnção do mensurando Geralmente o mensurando não é meddo dretamente, mas determnado a partr de n grandezas de entrada, através de uma relação funconal, conforme a equação : onde x,.., y f ( x, x,.., x n ) (), x xn são as grandezas cuos valores e respectvas ncertezas são dretamente determnados durante a medção, como por exemplo: temperatura ambente, pressão barométrca, umdade, etc. Exstem também outras grandezas cuos valores e ncertezas provêm de fontes externas para a medção, tas como: certfcados de padrões, materas de referênca, valores de referênca da lteratura, etc. Por exemplo, a medção de uma força F (mensurando), orgnada a partr de uma massa m sob a ação da aceleração da gravdade local g l,é defnda pela equação : F m () g l.. Dagrama causa-efeto Após a defnção da equação do mensurando, um dagrama causa-efeto bem elaborado torna-se uma ferramenta bastante mportante para a estmatva da ncerteza de medção. A fgura apresenta o dagrama causa-efeto para a estmatva da ncerteza de medção de uma força com as seguntes condções de contorno: ) o valor da grandeza massa fo obtdo a partr de uma méda de 0 leturas e cada repetção do valor de massa fo meddo por uma balança contendo um certfcado de calbração; ) a aceleração da gravdade local provenente de resultado de medção contdo num certfcado de calbração. 5

m Certfcado Repetção Certfcado F gl Fgura Dagrama causa-efeto da medção de uma força. No dagrama causa-efeto da fgura são dentfcadas todas as fontes que defnrão a ncerteza de medção da força (mensurando)...3 Avalação das ncertezas - padrão As ncertezas-padrão de cada fonte de entrada, u( x ), são estmadas em função da manera como a fonte de entrada aparece para defnr o mensurando...3. Avalação tpo A da ncerteza-padrão. A avalação tpo A da ncerteza-padrão é ntrínseca ao processo de medção e é realzada através de um tratamento estatístco do conunto de repetções das observações de x. Quando são executadas repetções das medções da grandeza de entrada x sob condções de repettvdade, uma das avalações tpo A da ncertezapadrão é: onde: s( x ) u( x ) (3) n s ( x ) desvo-padrão dos valores ndvduas do conunto de repetções; n número de repetções do conunto...3. Avalação tpo B da ncerteza-padrão Quando a avalação da ncerteza da fonte de entrada é realzada por um método dferente do estatístco, a avalação da ncerteza-padrão é denomnada do tpo B. Uma 6

das estmatvas da ncerteza-padrão Tpo B, u( x ), é realzada quando os valores de u( x ) têm uma determnada dstrbução assumda e um ntervalo de dspersão. As dstrbuções normalmente enfocadas são a retangular, a trangular, a normal, etc. Assumndo-se que a varação de u( x ) tenha dstrbução retangular num ntervalo smétrco ±a, a estmatva da ncerteza-padrão neste caso é defnda pela equação.4: a u( x ) (4) 3 Assumndo-se que x tenha agora uma dstrbução trangular num ntervalo ±a, a estmatva da ncerteza-padrão é defnda pela equação 5: a u( x ) (5) 6 Quando a ncerteza de uma fonte de entrada ( x ) provém de um certfcado de calbração com as nformações da probabldade e do fator de abrangênca ( k ), a estmatva da ncerteza-padrão é defnda pela equação 6: U u( x ) k (6) onde U é a ncerteza expandda e k o fator de abrangênca declarados no certfcado de calbração da respectva fonte de entrada...4 Dagrama de Dspersão O dagrama de dspersão é uma forma qualtatva de se dentfcar se duas varáves estão correlaconadas. A representação de um dagrama de dspersão é elaborada a partr de pares ordenados ( x, y ), onde x é o valor observado de uma varável e é o seu correspondente da outra varável. Duas varáves podem apresentar-se como tendo uma correlação postva, fgura.a, negatva, fgura.b, ou não apresentarem correlação, fgura.c. y 7

Altura (m) Altura em função do Peso,5,5 0,5 0 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 Peso (kg) Coefcente Lnear Coefcente Lnear em função do Coefcente Angular de um polnômo 0,78 0,76 0,74 0,7 0,70 0,68 0,66 0,64 0 0,0005 0,00 0,005 0,00 0,005 0,003 0,0035 0,004 0,0045 Concentração de Zn Concentração de Manganês e Znco em dferentes estrutras de cérebros 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4,6,8 Concentação de Mn a) b) c) Fgura Tpos de correlação possíves num dagrama de dspersão: a) postva; b) negatva; c) não há correlação...4. Coefcente de Correlação de Pearson Uma das formas quanttatvas de avalação da ntensdade da correlação entre duas varáves x e y é o cálculo do coefcente de Pearson ( equação 7: r x, y ), o qual é defndo pela r x, y nt x y x y [ nt x ( x ) ] nt y ( y ) [ ] (7) onde: x e y são os pares dos valores que defnem os pontos no dagrama de dspersão; n número total de pares dos valores. t..5 Cálculo dos coefcentes de sensbldade Estmadas as ncertezas das fontes de entrada, é necessáro defnr os coefcentes de sensbldade do mensurando em relação a cada fonte de entrada. O coefcente de sensbldade c do mensurando (y) em relação a cada fonte de entrada ( x ) é defndo como: y c x (8) No caso de não ocorrer uma relação dreta entre o mensurando com alguma fonte de entrada, é necessára a realzação de um expermento para se determnar o coefcente de sensbldade do mensurando em relação a essa dada fonte de entrada. Por exemplo, a medção de vscosdade com a utlzação de um reovscosímetro de Höppler é defnda pela equação 9 ( MOITA NETO e MARINHO, 996): 8

η P t (9) k v onde: η vscosdade (cp); P tensão de csalhamento (gf/cm²); t tempo (s); k v constante do vscosímetro. A temperatura é uma grandeza que tem nfluênca relevante na vscosdade. Entretanto, ela não é contemplada na equação 9 que defne a medção da vscosdade pelo reovscosímetro de Höppler. Neste caso, para se determnar o coefcente de sensbldade da vscosdade em relação à temperatura, deve-se elaborar um expermento que, de alguma forma, retrate a varação da vscosdade em relação à temperatura. Neste caso, como exemplo é apresentado um estudo deste tpo na fgura 3, a qual retrata a varação da vscosdade do líqudo da castanha de cau em função da temperatura, para a tensão de csalhamento de 0 gf/cm² (MOITA NETO e MARINHO, 996). Vscosdade (cp) Vscosdade em Função da Temperatura (0gf/cm²) 400 00 000 800 600 Vscos(cP) -64,3*Temp( 0 400 C) + 393 00 R 0,9757 0 0 5 0 5 0 5 30 35 Temperatura ( C) Fgura 3 Varação da vscosdade do líqudo de castanha de cau com a temperatura para a tensão de csalhamento de 0 gf/cm² (Adaptado de MOITA NETO e MARINHO, 996) Desta forma, defne-se um polnômo, conforme apresentado na fgura 3, para retratar a varação da vscosdade em função da temperatura. Neste caso, o valor da dervada do polnômo em relação à temperatura representa o coefcente de sensbldade da vscosdade em relação a esta fonte. No exemplo, consderando-se a varação da vscosdade em função da temperatura como sendo estabelecda por um polnômo de prmero grau, o valor do coefcente de sensbldade ( c ) é 64,3 cp/ o C. 9

..6 Componentes de ncerteza Com a estmatva das ncertezas-padrão de todas as fontes de entrada do mensurando e os seus coefcentes de sensbldade calculados, cada respectva componente de ncerteza na undade do mensurando pode ser estmada pela equação 0: onde: ( y) u x y y) u( x ) c ( x ) u( x ) x (0) u x ( componente de ncerteza do mensurado referente a cada fonte x ; c ( x ) coefcente de sensbldade referente a cada fonte x ; u x ) ncerteza referente a cada fonte x. ( Nesta etapa da metodologa de cálculo da ncerteza de medção pelo ISO GUM 95 é possível avalar de forma mas obetva o mpacto da ncerteza de cada fonte de entrada na ncerteza combnada do mensurando. Nesta fase de mplementação da metodologa do documento, é possível defnr a exatdão necessára de qualquer uma das fontes de entrada do mensurando em relação à tolerânca do seu respectvo processo. Uma análse deste tpo é feta na avalação da ncerteza de medção de uma força. Os valores apresentados na tabela são utlzados em conunto com a sua representação na fgura 4, a qual defne o balanço das fontes das ncertezas de força, onde: Tabela Fontes de ncerteza na medção de uma força. Fonte Valor (N) % u m (F) 9,3034E-05 4 u m (F) 4,90333E-05,4 u a (F),00E-04 47,6 u c (F),45E-04 00 u m (F) componente de ncerteza de força das repetções das medções de massa; u m (F) componente de ncerteza de força do certfcado da balança utlzada; u a (F) componente de ncerteza de força do certfcado de medção da aceleração; u c (F) Incerteza combnada da força. 0

uc(f) Fontes de Incertezas ua(f) um(f) um(f) 0 0,0000 0,00004 0,00006 0,00008 0,000 0,000 0,0004 0,0006 Incerteza (N) Fgura 4 Balanço das fontes das ncertezas de força. Observa-se na tabela e na fgura 4 que, neste caso, as maores contrbuções de ncertezas provêm das fontes referentes à aceleração da gravdade e às repetções das medções de massa. Isto sgnfca que se o processo snalzar a necessdade da melhora da ncerteza de medção da força, ao se enfocar a grandeza massa, a solução prortára não sera comprar uma balança de melhor qualdade metrológca e sm rever a metodologa de medção da massa. Vsto que na fgura 4 e na tabela a fonte que prepondera na ncerteza de medção da força é aquela referente à repettvdade da massa, que está dretamente lgada à sua respectva metodologa de medção. Neste caso, as componentes de ncerteza da massa referentes à repetção das suas medções e à resolução da balança equvalem a 4% e,4 % da ncerteza combnada da força, respectvamente. Certamente, uma decsão tomada sem a realzação desta avalação podera ser a compra de uma balança de melhor exatdão do que aquela que fo utlzada neste estudo de caso, contudo sem a melhora deseada da ncerteza de medção da força...7 Cálculo da ncerteza-padrão combnada A estmatva da ncerteza-padrão combnada, u c (y), é obtda a partr da combnação das ncertezas-padrão, ( y) u x, de cada uma das fontes de entrada ( x ). O ISO GUM

95 estabelece duas equações para a combnação de ncertezas: uma para quando não há correlação entre as ncertezas das fontes de entrada (não correlaconadas) e outra quando há correlação entre as ncertezas das fontes de entrada...7. Incerteza combnada de fontes de entrada não correlaconadas Quando não há correlação entre as ncertezas das fontes de um mesurando, a sua respectva ncerteza-padrão combnada u c (y) é calculada pela equação : u ( y) c N f x u( x ) N ( c ( x ) u( x )) ( u ( y) ) N x ()..7. Incerteza combnada de fontes de entrada correlaconadas Quando há correlação entre as ncertezas das fontes de um mesurando, a sua respectva ncerteza-padrão combnada u c (y) é calculada pela equação : u c (y) N N f x f x u( x,x ) N f x N N f f u (x )+ u( x,x ) () x x + onde: u( x,x ) u( x,x ) é a covarânca estmada assocada com x e A equação pode ser reescrta, equação A, a qual apresenta termos de coefcentes de correlação que são mas prontamente nterpretados do que covarâncas: x. u c (y) N N N f f f u (x )+ u(x )u(x )r(x,x ) (A) x + x x onde o coefcente de correlação entre duas fontes de ncertezas x e pela equação 3: x é defndo sendo: u(x,x ) r(x,x ) (3) u(x )u(x ) r(x,x ) r(x,x ), apresentando valores no ntervalo r(x,x ) +.

Consderando-se que as ncertezas das fontes de entrada são cem por cento correlaconadas ( r(x,x ) ), a equação A pode ser reescrta conforme a equação 4: Denomnando-se: uc (y)cxu (x )+cxu (x )+ cx. c x u(x )u(x ) (4) c u (x )a x e c u (x x ) b tem-se a equação.4a: u c (y) a +b + ab(a+ b) (4A) Conclu-se, então, pela equação 4A, que quando as ncertezas das fontes de entrada são cem por cento correlaconadas, r(x,x ), a ncerteza-padrão combnada será a soma lnear delas, duas a duas...8 Cálculo dos graus de lberdade efetvos O número de graus de lberdade efetvos da ncerteza-padrão combnada de um mensurando é calculado pela equação de Welch-Satterthwate, equação 5: ν eff u (y) (y) N 4 c 4 u ν N u ( u(x ) c x )) 4 c (y) ν 4 ( (5) onde: N número de fontes de entrada; ν graus de lberdade de cada fonte de entrada; u (y) ncerteza-padrão de cada fonte de entrada na undade do mensurando; u( x ) ncerteza-padrão de cada fonte de entrada; c ( x coefcente de sensbldade do mensurando em relação a cada fonte de ) entrada. 3

O número de graus de lberdade é um número ntero. Sempre que houver números decmas no valor dos graus de lberdade efetvos, somente a parte ntera do número deve ser consderada. O número de graus de lberdade de uma ncerteza-padrão tpo B é consderado pelo Gua como nfnto...9 Determnação do coefcente de abrangênca O fator de abrangênca (k) é defndo a partr da dstrbução t de Student (Anexo ) e o mesmo depende da probabldade de abrangênca, geralmente de 95,45%, e também do número de graus de lberdade efetvos da ncerteza-padrão combnada u c (y)...0 Estmatva da ncerteza expandda Eventualmente, a ncerteza-padrão combnada u c (y) pode ser utlzada para expressar a ncerteza de um resultado de medção. Porém, em algumas aplcações comercas, ndustras, regulamentares, e quando a segurança e a saúde estão em foco, se faz necessára a declaração de uma ncerteza que defna um ntervalo em torno do resultado de medção. Espera-se que este ntervalo englobe uma grande porção da dstrbução de valores que podem razoavelmente ser atrbuídos ao mensurando. A ncerteza expandda U, para uma determnada probabldade de abrangênca p, é estmada pela equação 6. A sua probabldade de abrangênca geralmente ctada é 95% ou 95,45%. U p ν k ( ; ) u ( y) c (6) A ncerteza expandda pode ser expressa em termos da undade do mensurando ou também de forma relatva (%, ppm, ppb, etc.). O valor da ncerteza expandda deverá ser declarado no máxmo com dos algarsmos sgnfcatvos; desta manera é defnda a respectva resolução do seu valor. Por sua vez, a resolução do valor da ncerteza expandda estabelece a resolução do valor mas provável do mensurando.. EXPRESSÃO NUMÉRICA DO RESULTADO DE MEDIÇÃO O resultado da medção do mensurando deverá ser declarado como y ± U, complementado com as nformações sobre a probabldade e o fator de abrangênca k. 4

3 ESTIMATIVA DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO PELO MÉTODO DE MONTE CARLO A metodologa de cálculo do ISO GUM 95 tem as seguntes lmtações: lnearzação do modelo, suposção que o mensurando tem dstrbução normal e determnação dos graus de lberdade da ncerteza combnada. Devdo a estas lmtações o método de smulação de Monte Carlo pode ser aplcado para a avalação da ncerteza de medção. O método de Monte Carlo é um procedmento numérco para a solução de problemas matemátcos por meo da smulação de varáves aleatóras. A análse de Monte Carlo é uma ferramenta para combnar dstrbuções; deste modo, sgnfca muto mas do que smplesmente propagar ncertezas estatístcas. A técnca de Monte Carlo utlza a geração de números aleatóros para smular os valores de varáves aleatóras, o que é melhor do que os cálculos analítcos. O método de Monte Carlo é atualmente bastante popular devdo à alta velocdade dos computadores pessoas. O método de Monte Carlo para a estmatva de ncerteza de medção, como no ISO GUM 95, pode ser resumdo nos seguntes etapas prncpas: Defnção do mensurando; Elaboração do dagrama causa efeto; Estmatvas das ncertezas das fontes de entrada; Identfcação das funções densdade de probabldade, correspondentes a cada fonte de entrada; Seleção do número de terações de Monte Carlo; Escolha da função densdade de probabldade p( x ); Estmatva da ncerteza expandda. As prmeras três etapas defnção do mensurando, elaboração do dagrama causa efeto e estmatvas das ncertezas das fontes de entrada descrtas para o método de Monte Carlo são dêntcas àquelas ctadas na metodologa de cálculo do ISO GUM 95. A quarta etapa da metodologa de Monte Carlo é a dentfcação das funções densdade de probabldade referentes a cada fonte de entrada. Cada função densdade de probabldade tem um ntervalo no qual seu lmte nferor é defndo pelo valor mas provável da fonte subtraído da sua respectva ncerteza estmada, e o seu lmte superor é calculado pelo valor mas provável da mesma fonte de entrada adconado da sua estmatva da ncerteza. 5

Defndos as funções densdade de probabldade e os seus respectvos ntervalos para cada fonte de ncerteza de medção, escolhe-se o número de terações deseada, que representam a quantdade de números que serão gerados no ntervalo de cada função densdade de probabldade. A cada número aleatóro gerado que estea compreenddo no ntervalo da função densdade de probabldade defnda de cada fonte, medatamente é realzado o cálculo do mensurando, através da sua equação de defnção. Ao fnal do número de terações deseado, são obtdos tantos valores do mensurando quanto a quantdade de números que estavam contdos nos ntervalos das funções densdade de probabldade de cada fonte. Deste modo é possível executar os cálculos da méda (µ) e do desvo padrão (σ ) de todos os valores obtdos para o mensurando. Se a dstrbuíção fnal de todos os valores calculados do mensurando é normal, o seu valor de smetra ( skewness ) é próxmo de zero. Deste modo, a partr do conceto de dstrbução normal padronzada e para uma probabldade de abrangênca deseada, é possível defnr, então, o lmte nferor e o lmte superor da função densdade de probabldade dos valores do mensurando, á que são conhecdos os valores da méda e do desvo-padrão. Por exemplo, os valores de z referentes aos lmtes superor e nferor do ntervalo da função densdade do mensurando, para a probabldade de abrangênca de 95,45%, são defndos pelas equações 7A e 7B, respectvamente: L µ σ (7A) L s µ σ (7B) onde: (- e +) valores respectvos de z correspondentes aos lmtes nferor e superor do ntervalo da função densdade de probabldade do mensurando, cua probabldade de abrangênca é 95,45%; ( L ) lmte nferor do ntervalo; ( L s ) lmte superor do ntervalo. 6

Desta forma, a ncerteza para uma probabldade de abrangênca de 95,45% da ncerteza expandda é defnda pela sem ampltude do ntervalo, conforme equação 8: L ( 95,45%; ) s L U p K (8) 4 ESTUDO DE CASO COM AS APLICAÇÕES DO ISO GUM 95 E DE MONTE CARLO Este exemplo apresenta a estmatva da ncerteza de medção da massa específca em gasolna automotva. O procedmento analítco para a medção da massa específca da gasolna segue a norma ASTM D 98 05. O ISO GUM 95 fo utlzado na estmatva da ncerteza do resultado de medção da massa específca da gasolna. Para a valdação do método de medção foram realzadas repetções dáras das medções de massa específca de uma gasolna consderada como materal de referênca. Cada técnco daramente realzou três medções no materal de referênca. Foram realzados estudos das compatbldades entre médas e desvos-padrão daramente e entre das. A partr deste estudo fo estmada então a ncerteza de medção da medção da massa específca de uma amostra. 4. Metodologa do ISO GUM 95 4.. Defnção do mensurando Geralmente uma norma não retrata perfetamente o mensurando quando se obetva estmar a sua ncerteza de medção. Nestes casos, um bom entendmento do mensurando possblta a dedução de uma equação que de alguma manera tenha uma abrangênca, onde todas as suas possíves grandezas de base e fontes de ncertezas seam contempladas na estmatva da ncerteza de medção de um mensurando. Deste modo, observando o procedmento de ensao e também a metodologa de cálculo da massa específca da gasolna a 0 C recomendada pelas Tabelas de Correção das Densdades e dos Volumes dos Produtos de Petróleo, 970 (-Conselho Naconal do Petróleo) a equação proposta para a medção da massa específca de uma gasolna pode ser expressa conforme a equação 9: 7

ρ 3 o ( g / cm ) 0 C ρ 0() + [( ρ ρ ) ( ρ ρ )] meddo ρ ρ 0() 0() (9) onde: ρ massa específca do produto a 0 o C; o 0 C ρ 0,7893 g/cm³ (massa específca tabelada); 0() ρ medda 0,785 g/cm³ (valor ndcado pelo densímetro na temperatura de 6 o C); ρ 0,785 g/cm³ (massa específca tabelada); ρ 0,786 g/cm³ (massa específca tabelada); ρ 0,7903 g/cm³ (massa específca tabelada). 0() 4.. Dagrama causa efeto Na representação do dagrama causa-efeto para a estmatva da ncerteza de medção da massa específca da gasolna conforme a equação 9, além das suas grandezas de base, também devem ser consderadas as fontes de ncerteza referentes à reprodutbldade do método de medção, e também a repettvdade das medções efetuadas na amostra. Desta forma, o dagrama causa-efeto proposto é apresentado na fgura 5. ρ meddo ρ 0() ρ 0( ) Amostra Certfcado Estmatva Estmatva Estatístca ρ 0 o C Estmatva Estmatva Certfcado Estatístca ρ ρ Temperatura Reprodutbldade Fgura 5 Dagrama causa e efeto da ncerteza de medção da massa específca de uma gasolna. 8

4..3 Avalação das ncertezas-padrão Com exceção das ncertezas referentes à reprodutbldade do método da medção e à repettvdade da amostra, cuas avalações de ncerteza-padrão são do tpo A, o dagrama causa-efeto mostra que todas as outras avalações de fontes de ncerteza são do tpo B. 4..3. Incerteza referente à precsão ntermedára do método Neste estudo de caso, a avalação da ncerteza referente à precsão ntermedára do método de medção é calculada a partr do desvo-padrão ponderado referente aos ses das de medção. Segundo o Gua, a estmatva de ncerteza neste caso é defnda pela equação 0: u precsão ermedára s p nt (0) n t onde: s p 0,0004 g/cm³ (desvo-padrão ponderado dos ses das medção); nt 54 (número total de medções referente aos ses das). Deste modo, no caso em estudo, aplcando-se a equação 0, a estmatva da ncerteza referente à reprodutbldade do método é: u 0,0004 g 54 cm 3 5 precsão nt ermedára /,90 0 / x g cm 3 4..3. Incerteza referente à repettvdade da amostra A avalação da ncerteza referente à repettvdade das medções na amostra é defnda pelo desvo-padrão da méda das repetções. Deste modo, a ncerteza referente à repettvdade das medções realzadas em uma amostra é defnda pela equação : u repettvdade s n () 9

onde: s n 0,0000 g/cm³ (desvo-padrão das repetções de medções na amostra); 3 (número de repetções de medções na amostra). Deste modo, no caso em estudo, aplcando-se a equação, a estmatva da ncerteza referente à repettvdade da amostra é: u repetttvdade 0,000 g / cm 3 3 5,8x0 5 g / cm 3 4..3.3 Incertezas referentes à ρ 0(), ρ, ρ e ρ 0( ) As avalações das ncertezas-padrão referentes a ρ 0(), ρ, ρ e ρ 0() são estmadas a partr do desvo-padrão de uma dstrbução retangular cuo ntervalo é defndo pela resolução dos seus respectvos valores apresentados nas Tabelas de Correção das Densdades e dos Volumes dos Produtos de Petróleo, 970 (-Conselho Naconal do Petróleo). Logo, segundo o Gua, estas estmatvas da ncerteza são defndas pela equação, u ρ a 3 () onde: a resolução dos valores tabelados das massas específcas. Então, aplcando-se a equação, as estmatvas das ncertezas referentes às grandezas de entrada ρ 0(), ρ, ρ e ρ 0() do caso em estudo são guas a: uυ 0,000 g / cm 3 3 5,77x0 5 g / cm 3 4..3.4 Incerteza referente à ρ medda A avalação da ncerteza referente a ρ medda é calculada a partr da ncerteza expandda declarada no certfcado de calbração do densímetro que fo utlzado na medção. Segundo o Gua, este tpo de estmatva da ncerteza é defndo pela 0

equação 3: u( x ) U k (3) No caso estudado, a ncerteza expandda declarada no certfcado do densímetro é: K. 3 U 0,0003 g / cm e Deste modo, conforme a equação 3, a ncerteza referente à ρ medda é: u ρ medda 0,0003 g / cm 3,5 x0 4 g / cm 3 4..3.5 Incerteza referente à temperatura A avalação da ncerteza referente à temperatura também é calculada, conforme a equação 4.3, a partr da ncerteza expandda declarada no certfcado de calbração do termômetro utlzado na medção. No caso estudado, a declaração de ncerteza do certfcado é U 0, C e K. Desta manera, a ncerteza referente à medção da temperatura é defnda pelo cálculo: 0, o o utemperatur a C 0, 06 C 4..4 Coefcentes de sensbldade referentes às fontes de ncertezas Os coefcentes de sensbldade da medção da massa específca da gasolna a 0 C, referentes às fontes de entrada ρ 0(), ρ, ρ e ρ 0() e ρ medda são, respectvamente, defndos e calculados pelas equações: ρ 0 0 C ρmedda ρ ρ 0() ρ ρ 0, 8 (4) ρ0 ( ) ( ) 0 C ρ ρ + ρmedda ρ ( ρ0() ρ0() ) 0,8 ρ ( ρ ρ ) (4a)

ρ ( ρ ρ ) ( ρ ρ 0 0 C medda 0() 0() ( ρ ρ) ρ ) 0, (4b) ρ ρ 0 0 C medda 0() ρ ρ ρ ρ 0, (4c) ρ ρ ρ 0 0 C 0( ) 0() medda ρ ρ ρ (4d) Na equação 9, que defne o cálculo da massa específca da gasolna a 0 o C, não fgura a grandeza temperatura. Deste modo, para o cálculo do coefcente de sensbldade da massa específca da gasolna em função da temperatura, utlzou-se neste caso os valores apresentados nas Tabelas de Correção das Densdades e dos Volumes dos Produtos de Petróleo (970) do Conselho Naconal do Petróleo, para a elaboração do gráfco da fgura 6. 0,789 MASSA ESPECÍFICA (g/cm³) 0,788 0,787 0,786 0,785 0,784 0,783 ρ(g/cm³) 0,0007. Temperatura + 0,7705 R 0,9996 0,78 5 7 9 3 5 TEMPERATURA 0 C Fgura 6 - Varação da massa específca da gasolna em função da temperatura. No gráfco da fgura 6 são apresentados o polnômo que defne a varação da massa específca da gasolna em função da temperatura e o coefcente de dscrmnação (R²0,9996) da equação escolhda para retratar a relação. A equação apresentada no gráfco pode ser representada pela equação 5: ρ 0 o a θ + b (5) C

onde: ρ massa específca da gasolna a 0 C; o 0 C a 0,0007 g/cm³/ C (coefcente angular); b 0,7705 g/cm³ (coefcente lnear); e θ temperatura em C. Deste modo, o coefcente de sensbldade da massa específca gasolna referente à temperatura é defndo e calculado pela equação 6: ρ g a 0,0007 0 0 C / 0 θ cm C 3 (6) 4..5 Componentes de ncertezas Para o caso em estudo, os valores das componentes de ncerteza são apresentados na tabela : Tabela - Componentes de ncerteza de medção da massa específca de uma gasolna. Fonte de Incerteza Precsão Intermedára do método Repettvdade da amostra ρ ρ ρ ρ 0() 0() Componente (g/cm³),9e-05 5,77E-05 4,6E-05 4,6E-05,5E-05,5E-05 ρ meddo - Densímetro,50E-04 Temperatura 4,0E-05 4..6 Combnação das ncertezas A ncerteza combnada u c (y) é calculada pela equação 7: N ( u x ( y) ) u ( y) (7) c 3

Aplcando-se a equação 7 aos valores u x (y) da tabela do nosso estudo de caso, o valor da ncerteza combnada na medção da massa específca é,803e-04 g/cm³. 4..7 Balanço das ncertezas Durante qualquer cálculo de estmatva da ncerteza de medção devem ser controlados os valores das fontes de ncertezas referentes a cada grandeza de entrada através da elaboração de gráfcos que retratem o balanço das ncertezas. Neste tpo de gráfco podem ser observadas, de manera rápda, clara e obetva, as fontes que predomnam na ncerteza de medção de um mensurando. Este modo de avalação é mportante porque se os lmtes de tolerânca do processo específco necesstarem de uma otmzação da classe de exatdão de qualquer fonte, o gráfco ndcará rapdamente e de forma orentada quas são as fontes prortáras para a melhora de sua exatdão de forma a atender aos lmtes otmzados de tolerânca do processo. O gráfco da fgura 7 apresenta uma avalação deste tpo para o estudo de caso desta Nota Técnca, onde são apresentadas todas as componentes de ncerteza do resultado de medção. Varânca Combnada Temperatura Repettvdade Fontes de ncerteza Prec ntermedára ρ ρ0() ρ Densímetro ρ0() 0,00E+00 5,00E-09,00E-08,50E-08,00E-08,50E-08 3,00E-08 3,50E-08 Varânca (g/cm³)² Fgura 7 Gráfco da varânca combnada e suas componentes. Neste estudo de caso, fgura 7, observa-se que o valor da componente preponderante na ncerteza combnada do mensurando é aquele referente ao certfcado do densímetro utlzado na medção. A ncerteza referente à reprodutbldade do método, 4

componente que constará em qualquer medção de massa específca realzada pelo laboratóro em estudo, é de cerca de,% da ncerteza combnada. 4..8 Cálculo dos graus de lberdade efetvos De acordo com o ISO GUM 95, o número de graus de lberdade efetvos da ncertezapadrão combnada de um mensurando é calculado pela equação 8, de Welch- Satterthwate: ν eff u (y) (y) N 4 c 4 u ν N u 4 c (y) ( u(x ) c ) ν 4 (8) onde: N número de fontes de entrada; ν número de graus de lberdade referente a cada fonte de entrada; u (y) ncerteza-padrão da fonte de entrada na undade do mensurando; u( x ) ncerteza-padrão da fonte de entrada; c coefcente de sensbldade referente a cada fonte de entrada. O número de graus de lberdade é um número ntero. Sempre que houver números decmas no valor dos graus de lberdade efetvos, somente a parte ntera do número deve ser consderada. De acordo com o ISO GUM 95, o número de graus de lberdade de uma ncerteza-padrão tpo B é consderado nfnto. Deste modo, aplcando-se no nosso estudo de caso os valores da tabela na equação 8, o número de graus de lberdade efetvos da ncerteza combnada u ρ ) é: c ( 0 ν eff u (y) 4 c N 4 u ν (y),06x0 8 5,54x0 5 90 (9) 4..9 Determnação do fator de abrangênca O fator de abrangênca ( K ) é defndo a partr da dstrbução t de Student (anexo ), e o mesmo depende da probabldade de abrangênca e também do número de graus de 5

lberdade efetvos da ncerteza-padrão combnada u c (y) do mensurando. Geralmente a probabldade de abrangênca é de 95%. No caso estudado, para uma probabldade de 95% e com o número de graus de lberdade efetvos gual a 90, de acordo com a tabela t de Student (anexo ) o fator de abrangênca (K) é gual a,97. 4..0 Estmatva da ncerteza expandda Eventualmente, a ncerteza-padrão combnada u c (y) pode ser utlzada para expressar a ncerteza em um resultado de medção. Porém, em algumas aplcações comercas, ndustras, regulamentares e quando a segurança e a saúde estão em foco, se faz necessára a declaração de uma ncerteza que defna um ntervalo em torno do resultado de medção. Espera-se que este ntervalo englobe uma grande porção da dstrbução de valores que podem ser atrbuídos razoavelmente ao mensurando. A ncerteza expandda U, para uma determnada probabldade de abrangênca p, é estmada pela equação 30. U ν K( p; ) uc ( y) (30) No nosso estudo de caso, aplcando-se a equação 4.30 resulta que a ncerteza expandda da massa específca da gasolna é: 4 4 U,97 (,80x0 g / cm³) 3,6x0 g / cm³ (3) 4.. Resultado da medção Neste estudo de caso a declaração do resultado de medção da massa específca da gasolna é defnda pela expressão: ρ (0,78950 ± 0,00036) g/cm³; K,97; p 95% o 0 C A tabela 3 apresenta a complação de todos os valores das componentes da estmatva da ncerteza no resultado de medção da amostra de gasolna do estudo de caso desta Nota Técnca. 6

Tabela 3 - Complação de todas as componentes de ncerteza do estudo de caso. Fontes de Incerteza Lmte nferor da densdade corrgda ρ 0() Certfcado do densímetro ρ medda Lmte nferor da densdade observada ρ Lmte superor da densdade corrgda para 0 0 C ρ 0() Lmte superor da densdade observada ρ Certfcado de calbração do termômetro Valor Dstrbução Dvsor 0,000 g/cm³ 0,0003 g/cm³ 0,000 g/cm³ 0,000 g/cm³ 0,000 g/cm³ Coef. Sensbldade Incerteza g/cm³ Graus de lberdade retangular 3 0,8 4,6E-05 normal,50e-04 retangular 3 0,8 4,6E-05 retangular 3 0,,5E-05 retangular 3 0,,5E-05 0, 0 C normal 0,0007 (g/cm³) o C - 4,0E-05 Repetettvdade da Amostra 0,000 g/cm³ normal 3 5,77E-05 Precsão Intermedára Incerteza Combnada Incerteza Expandda (95%,k,97) 0,00009 g/cm³ normal,0e-05 48 normal,80e-04 89 normal 3,6E-04 89 7

4. Metodologa de Monte Carlo Segundo a metodologa apresentada no tem 3, a ncerteza de medção da massa específca da gasolna do estudo de caso também fo estmada pelo método de Monte Carlo. Para a estmatva de ncerteza pelo método de Monte Carlo, fo utlzado o software comercal de cálculo Crystal Ball. O resultado fnal da ncerteza expandda fo obtdo após 00000 terações. O gráfco da fgura 8 apresenta o ntervalo de ncerteza correspondente a 95% de probabldade de abrangênca, cuos lmtes nferor e superor são guas, respectvamente, a 0,7895 g/cm³ e 0,78985 g/cm³. Deste modo, a ncerteza expandda (U) da massa específca da gasolna do estudo de caso é gual a 3,37E- 04 g/cm³. Fgura 8 - Gráfco do ntervalo de ncerteza obtdo e que se refere a quatro desvos padrão (gráfco gerado pelo software Crystal Ball). A tabela 4 apresenta as estatístcas da smulação (méda, medana, assmetra e curtose), cuos valores ratfcam que a dstrbução orgnada do mensurando após 00000 terações é normal. Tabela 4 - Estatístcas da curva de probabldade obtda. Méda (g/cm³) 0,789500 Medana (g/cm³) 0,789500 assmetra 0,04 curtose 3,0 8

5 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS PELO ISO GUM 95 E PELA MÉTODOLOGIA DE MONTE CARLO A tabela 5 apresenta as ncertezas expanddas (U 95,45% ) do resultado da medção da massa específca da amostra de gasolna deste estudo de caso, obtdas segundo as metodologas do ISO GUM 95 e da Smulação de Monte Carlo. Tabela 5 - Incertezas combnada e expandda conforme ISO GUM 95 e smulação de Monte Carlo. Incerteza ISO GUM 95 Monte Carlo (g/cm³) (g/cm³) Combnada,8E-04,7E-04 Expandda 3,6E-04 3,4E-04 Observando-se os valores da tabela 5, verfca-se que a dferença máxma entre os valores das ncertezas obtdos pelo ISO GUM 95 e pela Metodologa de Monte Carlo é de aproxmadamente 5 ppm do valor de massa específca da amostra de gasolna deste estudo de caso. Esta dferença relatva é menor do que 630 ppm e 500 ppm, os quas equvalem, respectvamente, aos lmtes de repettvdade e reprodutbldade ctados na norma ASTM D98-95. 9

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