FUNÇÃO DO 2 GRAU (QUADRÁTICA) a < 0 / > 0 a) Definição Denomina-se função do 2 grau toda função f : IR IR definida por f(x) = ax 2 + bx + c, com a, b, c IR e a O. b) Raízes ou zeros As raízes da função f(x) = ax 2 + bx + c são dadas por: f (x) = O ax 2 + bx + c = O x' = b a < 0 / = 0 x = b Observação: x' = Em que: Δ = b 2 4ac b Se Δ > 0 (2 raízes reais e diferentes) Δ = 0 (2 raízes reais e iguais) Δ < 0 (não existem raízes reais) a < 0 / < 0 c) Gráfico O gráfico da função do 2 grau é uma parábola. Podemos ter os seguintes casos: a > 0 / > 0 a > 0 / = 0 a > 0 / < 0 Observações: 1ª) As coordenadas do vértice V são dadas por: b x v = e y v = 4a 2ª) Se a > 0, temos: parábola com a concavidade voltada para cima; o conjunto imagem é: Im (f) = y IR y 4a y v = é denominado valor mínimo. 4a 3ª) Se a < 0, temos: parábola com a concavidade voltada para baixo; o conjunto imagem é: Im (f) = y IR y 4a y v = d) Estudo do Sinal 1º caso: a > 0 é denominado valor máximo. 4a
cartesiano nos mesmos pontos, conforme mostra o gráfico. Qual é a equação da reta? 05. O gráfico da função y = ax 2 + bx + c é a parábola da figura abaixo. Os valores de a, b e c são, respectivamente: 2º caso: a < 0 a) 1, 6 e 0 b) 5, 30 e 0 c) 1, 3 e 0 d) 1, 6 e 0 e) 2, 9 e 0 06. O lucro de uma empresa é dado por L(x) = - 10x 2 + 120x 200, onde x é a quantidade vendida. Para que valor de x obtém lucro máximo? 07. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a altura H, em metros, t segundos após o lançamento, seja H = - t 2 + 4t + 6. Pede-se: a) Em que instante a bola atinge a sua altura máxima? b) Qual é a altura máxima atingida pela bola? 08. Uma empresa de turismo promove um passeio para N pessoas, no qual cada pessoa paga uma taxa de (100 N) reais. Nestas condições, o dinheiro total arrecadado pela empresa varia em função do número N. qual a maior quantia que a empresa pode arrecadar? EXERCÍCIOS: 01. Com respeito a função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c, com a 0, não é correto afirmar que: a) Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. b) Se = 0, existem duas raízes reais e iguais. c) Se c = 0, então uma das raízes necessariamente será nula. d) Se b = c = 0, então a função tem um gráfico que é simétrico ao eixo de y. e) Se a < 0, então existe um mínimo dado pelo vértice da parábola. 09. Suponha que numa fábrica de refrigeradores o custo, em R$, de cada geladeira é dado pela função C(x) = x 2 40x + 500, em que x é a quantidade de geladeiras produzidas. 0 0 1) Quando se produzem 10 geladeiras, o custo de cada geladeira é de R$ 200,00; 1 1 A produção de 20 geladeiras é a que proporciona o menor custo de cada geladeira; 2 2 O conjunto imagem da função anteriormente definida é qualquer número real não negativo; 3 3 A função C t(x) = x 3 40x 2 + 500x representa o custo total de produção quando se produzem x geladeiras. 4 4 O custo total para se produzirem 50 geladeiras é de R$ 1000,00. 10. O gráfico abaixo representa uma função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c. Então: 02. Determine M para que a função dada por f(x) = x 2 3x + M tenha duas raízes reais e distintas. 03. Determine P a fim de que o gráfico de f(x) = 2x 2 + x + (P 1) não intercepte o eixo das abscissas. 04. A parábola no gráfico ao lado é dada pela função f(x) = x 2 4x + 3. A reta e a parábola cruzam o eixo 0 0 O vértice é o ponto (- 1, 4)
1 1 A função cresce no intervalo x > - 1 2 2 a + b + c = 0 3 3 f(3) = - 10 4 4 A função é uma função par 11. Num vôo com capacidade para 100 pessoas uma companhia aérea cobra R$ 200,00 por pessoa quando todos os lugares são ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao preço de cada passagem será acrescida a importância de R$ 4,00 por cada lugar não ocupado (por exemplo, se existirem 10 lugares não ocupados o preço de cada passagem será R$ 240,00). Quantos devem ser os lugares não ocupados para que a companhia obtenha o faturamento máximo? 12. Uma loja de discos vende 3.000 cds por mês a um preço de R$13,00 a unidade. Uma pesquisa de mercado concluiu que, a cada aumento de R$ 0,50 no preço de cada cd, as vendas caem de 100 cds por mês. Qual deve ser o preço de cada cd, para se maximizar o valor total das vendas? a) R$13,50 b) R$14,00 c) R$14,50 d) R$15,00 e) R$15,50 13. A parábola de equação y = - 2x 2 + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, V). Determine V. 14. Uma malharia familiar fabrica camisetas a um custo de R$ 2,00 por camiseta e tem uma despesa fixa de R$ 50,00. Se são vendidas x camisetas por semana ao preço de 22 x 3 30 reais a unidade, quantas camisetas devem ser vendidas por semana para se obter o maior lucro possível? a) 50 b) 60 c) 65 d) 90 e) 80 15. Uma loja de departamentos vende uma camisa por R$ 20,00 e 100 unidades desta camisa por mês. Observou-se que para cada real de desconto no preço da camisa as vendas aumentaram em 10 unidades por mês. Quanto deve ser o desconto em reais, de modo a se obter um faturamento mensal máximo na venda deste modelo de camisa? 16. Quando o preço do pão francês era de R$ 0,12 a unidade, uma padaria vendia 1000 unidades diariamente. A cada aumento de R$ 0,01 no preço de cada pão, o número de pães vendidos por dia diminui de 50 unidades. Reajustando adequadamente o preço do pão, qual a quantia máxima (em reais) que pode ser arrecadada diariamente pela padaria com a venda dos pães? Assinale metade do valor correspondente à quantia obtida. 17. Suponha que o consumo de um carro para percorrer 100km com velocidade de x km/h seja dado por C(x) = 0,006x 2-0,6x + 25. Para qual velocidade este consumo é mínimo? a) 46km/h b) 48km/h c) 50km/h d) 47km/h e) 49km/h a) 3 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15 19. Quando o preço do sanduíche é de R$ 4,00, uma lanchonete vende 150 unidades por dia. O número de sanduíches vendidos diariamente aumenta de 5 unidades, a cada diminuição de R$ 0,10 no preço de cada sanduíche. Para qual preço do sanduíche, a lanchonete arrecadará o maior valor possível com a venda diária dos sanduíches? a) R$ 3,10 b) R$ 3,20 c) R$ 3,30 d) R$ 3,40 e) R$ 3,50 20. Uma ponte possui um arco de sustentação na forma de um arco de parábola com eixo passando por OQ e suportes verticais situados a uma mesma distância, conforme ilustração a seguir. O comprimento da ponte é de 20m e a maior distância entre pontos do arco e a ponte é de 5m. O ponto P dista 5m do centro da ponte e PM é perpendicular à ponte. Determine a distância PM, em metros, e indique 4 PM. O Q 5 5 5 5 5 21. O gráfico abaixo representa uma função polinomial do 2º grau y = p(x), que corta o eixo das abscissas em x = 1 e x = 2, tal que p ( 0 ) = 2. 0 0 O valor mínimo de p(x) é y = 2. 1 1 p(x) = x 2 x 2 2 2 p(x) > 0 se x < 1 ou x > 2 3 3 A soma dos coeficientes de p (x) é ( 2 ). 4 4 9 A imagem de p (x) é, 4 22. Um fazendeiro queria construir um cercado em forma de um retângulo para criar gado. Como o dinheiro que ele tinha era suficiente para fazer apenas 200 metros de cerca, resolveu aproveitar uma parte reta da cerca do vizinho para economizar e construiu, com apenas 3 lances de cerca, um cercado retangular de área máxima. Qual a área deste cercado? a) 5100 m 2 b) 5000 m 2 c) 4900 m 2 d) 5300 m 2 e) 5200 m 2 M P 18. Em uma fabrica, o custo de produção de x produtos é dado por c(x) = - x 2 + 22x +1. Sabendo-se que cada produto é vendido por R$ 10,00, o número de produtos que devem ser vendidos para se obter um lucro de R$ 44,00 é:
23. Em um terreno retangular de 90m de perímetro, Maria Eduarda pretende construir um galpão para depósito de sua fábrica de confecções. O código de obras da cidade exige que sejam dados recuos de 2m na frente e nos fundos e 1,5m em cada lateral. Podemos afirmar que a área máxima do galpão, em metros quadrados, é: a) 361; b) 456; c) 506; d) 650; e) 546. 24. Observando a figura abaixo, qual o perímetro do retângulo de área máxima inscrito no triangulo isósceles de base 4 cm e altura 6 cm. a) 8cm b) 10cm c) 12cm d) 9cm e) 11cm 25. A figura abaixo ilustra parte do gráfico de um polinômio quadrático p(x) = ax 2 + bx + c com coeficientes a, b e c reais. 25 20 Analise a veracidade das afirmações seguintes: 0 0 p(x) admite duas raízes reais. 1 1 b > 0 2 2 p(x) define uma função decrescente para todo real x. 3 3 p(x) < 30 para todo real x. 4 4 c > 0. GABARITO: 01) E 06) 06 11) 25 16) 21) FVVVV 64 02) M < 9/4 07) a) 02 07) b) 10 12) B 17) C 22) B 03) P > 9/8 08) 2500 reais 13) 08 18) E 23) A 04) y = -x + 09) FVFVF 14) E 24) B 19) E 3 05) D 10) VFVFV 15) 05 20) 15 25) VFFFV 15 10 5-3 -2-1 0 1 x 2 3-5
POLÍGONOS Definição Considerando, num plano, n pontos (n > 3), A 1, A 2, A 3,..., A n, ordenados de modo que três consecutivos não sejam colineares. Chama-se polígono A 1, A 2, A 3,..., A n à figura formada pela união dos n segmentos consecutivos : A 1A 2 A 2A 3 A 3A 4... A na 1 Chama-se diagonal de um polígono a todo segmento de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos. Num polígono de n lados: a) cada vértice dá origem a ( n - 3 ) diagonais b) os n vértices dão origem a n. ( n - 3 ) diagonais. c) com este raciocínio, cada diagonal foi contada duas vezes, pois cada uma delas é determinada por dois vértices. Assim, sendo d o número de diagonais do polígono temos : Região poligonal: É a região determinada pela união do polígono com os pontos de sua região interior d = n (n- 3) 2 Observe que, o polígono tem 7 lados e que cada vértice da origem a 7-3 = 4 diagonais. Polígono convexo: É o polígono cuja região poligonal é convexa Um polígono convexo com n lados tem: n vértices, n ângulos internos e n ângulos externos. Observação: Estudaremos somente polígonos convexos. Nomenclatura De acordo com o número de lados, temos: - triângulo (3 lados) - quadrilátero (4 lados) - pentágono (5 lados) - hexágono (6 lados) - heptágono (7 lados) - octógono (8 lados) - eneágono (9 lados) - decágono (10 lados) - undecágono (11 lados) - dodecágono (12 lados) - pentadecágono (15 lados) - icoságono - (20 lados) Soma dos ângulos internos: Seja um polígono de n lados e P um ponto interno. Ligando P aos vértices, obtemos n triângulos cuja soma dos ângulos internos é 180 o.n. Assim, sendo Si a soma dos ângulos internos do polígono, temos: Si = 180 o. n - 360 o. Si = ( n - 2 ). 180 o. Genericamente utiliza-se o termo polígono de n lados. Classificação Polígono eqüilátero: É o polígono que tem todos os lados congruentes. Ex.: Losango, quadrado, etc. Polígono eqüiângulo: É o polígono que tem todos os ângulos internos congruentes. Ex.: Retângulo, quadra-do, etc. Polígono regular: É o polígono que é eqüilátero e eqüiângulo simultaneamente. Ex.: Quadrado. Observe que: o losango da figura é eqüilátero mas não é eqüiângulo e que o retângulo da figura é eqüiângulo mas não é eqüilátero. Número de diagonais: A soma dos ângulos internos do polígono da figura é: S n = (6. 180 o ) - 360 o = 720 o Soma dos ângulos externos: Sejam, num polígono de n lados, a i e a e, respectivamente, as medidas de um ângulo interno e do ângulo externo adjacente a ele, S i a soma dos ângulos internos e S e a soma dos ângulos externos. Sendo a i + a e = 180 o., para cada um dos vértices do polígono, temos: S i + S e = 180 o. n 180 o. n - S i S e = 180 o. n - (n - 2). 180 S e = 360 o Se o polígono for eqüiângulo, todos os ângulos internos são congruentes e todos os ângulos externos são congruentes e, portanto.
a i = S i / n a e = S e / n A soma das quantidades de diagonais destes polígonos é: a) 9 b) 13 c) 17 d) 20 e) 23 11. Calcule, em graus a soma dos ângulos assinalados na figura seguinte: a i1 + a e1 = a i2 + a e2 = a 3 +a e3 = a i4 + a e4 = a i5 + a e5 = 180 o. Assim sendo: S i + S e = 180 o. 5 S e = 900 o.- (5-2). 180 o. S e = 360 o. EXERCÍCIOS 01. Calcule o número de diagonais de um eneágono convexo. 12. A soma dos ângulos assinalados na figura vale: a) 90º b) 180º c) 270º d) 360º e) 540º 02. Qual o polígono convexo cujo número de diagonais é o dobro do número de lados? 03. A soma dos ângulos internos de um heptágono convexo é: a) 360º b) 540º c) 1400º d) 900º e) 180º 04. Qual a medida do ângulo interno de um hexágono regular? 05. Cada um dos ângulos internos de um polígono regular mede 150 o. Qual é o número de lados do polígono? 06. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15 o. Quantas diagonais tem esse polígono? 07. Quantos lados tem um polígono convexo, cujo número de diagonais é d e a soma dos ângulos internos é 180 o. d? 08. Num polígono convexo de n lados sejam: a i e a e, respectivamente, as medidas de um dos ângulos internos e do ângulo externo adjacente a ele, Si a soma dos ângulos internos, S e a soma dos ângulos externos e d o número de diagonais. Assim: I II 0 0 a i + a e = 180 o. 1 1 S i = (n - 2). 180 o. 2 2 S e = 360 o. 3 3 d = n. (n - 3) / 2 4 4 Se o polígono for eqüiângulo temos: a i = S i / n a e = S e / n 09. Num polígono convexo a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. Calcule o número de diagonais desse polígono. 10. A soma dos ângulos internos de dois polígonos cujos números de lados são inteiros e consecutivos é 1620 o. 13. Num polígono regular ABCDE..., a diagonal AC forma com o lado CB um ângulo de 18 o. Esse polígono possui: a) 20 diagonais b) 20 lados c) 40 diagonais d) 18 lados e) 35 diagonais 14. Num polígono regular, a medida de cada ângulo interno supera a medida de cada ângulo externo em 108º. Calcule o número de lados desse polígono. 15. Qual o polígono convexo que tem exata-mente 20 diagonais? a) Hexágono. b) Heptágono. c) Octógono. d) Eneágono. e) Decágono 16. Num polígono regular o número de diagonais é igual ao número de lados. A medida de cada um dos ângulos internos desse polígono é: a) 60º b) 90º c) 105º d) 108º e) 120º 17. Qual o polígono regular cuja medida do ângulo externo é a metade da medida do ângulo interno? a) Octógono regular. b) Hexágono regular. c) Pentágono regular. d) Quadrado. e) Triângulo eqüilátero. 18. Na figura seguinte tem-se um pentágono regular ABCDE onde estão traçadas todas as suas diagonais. A medida do ângulo DAE é:
a) 24º b) 30º c) 36º d) 45º e) 72º 19. As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 20º. Esse polígono é um: a) Octógono regular. b) Eneágono regular. c) Decágono regular. d) Pentadecágono regular. e) Octadecágono regular. 20. São dados dois polígonos regulares. O segundo tem 4 lados a menos que o primeiro e o ângulo externo do segundo excede o ângulo externo do primeiro em 45º. O número de lados do primeiro polígono é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 20 21. O menor ângulo interno de um paralelogramo mede 40º. Qual a medida do maior ângulo interno desse paralelogramo? a) 50º b) 90º c) 12º d) 130º e) 140º 22. Num trapézio retângulo, a medida do maior ângulo interno é o quádruplo da medida do menor dos ângulos internos desse trapézio é: a) 30º b) 36º c) 45º d) 72º e) 90º 23. Qual a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos não opostos de um paralelogramo? a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º e) 90º 24. Em um trapézio isósceles, a altura é igual à base média. Assim, o ângulo que a diagonal forma com a base é: a) 15º b) 22º 30 c) 30º d) 45º e) 60º 25. Na ilustração abaixo, os segmentos AB e EF são paralelos. Determine a soma S, em graus, dos ângulos indicados com vértices nos pontos B, C, D e E. Indique S/10. C B A D E F