ESTIMADOR DE ESTADOS ORTOGONAL COM RESTRIÇÕES DE IGUALDADE

ESTIMADOR DE ESTADOS ORTOGONAL COM RESTRIÇÕES DE IGUALDADE José Paulo da Slva Gouvêa (*) Anôno José Alves Smões Cosa Unversdade Federal de Sana Caarna CTC/EEL/GSP Campus Unversáro, Floranópols, S.C. C. P. 476 - CEP 88040-900 E-mal: (gouvea) (smoes)@labspo.ufsc.br Resumo. Ese argo aborda o desenvolvmeno de um esmador de esados orogonal em Ssemas de Poênca com resrções de gualdade ulzando Roações de Gvens. O méodo ulzado basea-se em um aperfeçoameno do Méodo dos Pesos, com a nclusão de refnameno eravo, desenvolvdo por Van Loan para a solução de problemas de Mínmos Quadrados Ponderados com Resrções de Igualdade. O uso de ransformações orogonas garane a esabldade numérca, ornando vável a ulzação do Méodo de Van Loan. O esmador proposo possu larga aplcação na operação em empo real de Ssemas de Poênca. Palavras-chave: Esmação de Esados. Mínmos Quadrados Resro. Operação em Tempo Real. Absrac. Ths paper presens he developmen of a Power Sysem Sae Esmaor wh equaly consrans based on orhogonal Gvens roaons. The proposed mehod uses a refnemen of he Weghng Mehod developed by Van Loan for he soluon of he Weghed Leas Square Problem wh equaly consrans. The proposed mehod s erave and maes large use of Gvens Roaons ha provdes he necessary numercal sably. The proposed esmaor has large applcaons on real me operaon of Power Sysems. Key-Words. Power Sysem Sae Esmaon. Leas Squares wh Equaly Consrans. Real Tme Operaon. 1 INTRODUÇÃO Na operação em empo real de um ssema de poênca, é fundamenal a deermnação de um modelo precso e confável para a rede elérca. A odo momeno, chegam ao Cenro de Operações do Ssema, elemeddas provenenes de oda a rede, conendo nformações sobre o "saus" de dsjunores, (*) Professor lcencado do Deparameno de Engenhara Elérca da Unversdade Federal do Espíro Sano Argo submedo em 01/08/97 1a. Revsão em 14/01/98 Aceo sob recomendação do Ed. Cons. Prof.Dr. Paulo Sérgo Perera Slva ensão nas barras de carga ou geração, meddas de fluxo de poênca ava e reava em lnhas, meddas de njeção de poênca ava ou reava nas barras de carga ou geração. É função do Esmador de Esados a flragem de odo esse conjuno de elemeddas e a deermnação do esado do ssema pela mnmzação de uma função cuso, que pode ser represenada pelo somaóro do quadrado dos resíduos ponderados, conhecdo como o Méodo dos Mínmos Quadrados Ponderados, ou anda como o somaóro dos valores absoluos dos resíduos, conhecdo como o Méodo dos Mínmos Valores Absoluos Ponderados. O méodo ncalmene ulzado em Esmação de Esados em Ssemas de Poênca fo o Méodo dos Mínmos Quadrados Ponderados por Schweppe (Schweppe e Wldes, 1970). Para resolver ese problema de omzação, Schweppe escolheu o Méodo de Gauss-Newon, conhecdo na leraura como o Méodo da Equação Normal. Em sua formulação básca, o Méodo da Equação Normal ulza-se apenas de dados esocáscos provenenes das elemedções realzadas na rede. O peso assocado com cada elemedda é omado como sendo o nverso da covarânca do erro de medção a ela assocado. O méodo baseado nos Mínmos Valores Absoluos dos Resíduos fo ncalmene proposo em (Falcão, Cooe e Brameller, 1982) para a solução de problemas de Esmação de Esados em Ssemas de Poênca. Maores dealhes sobre ese assuno podem ser enconrados anda em (Falcão e Asss, 1988; Clemens, Davs e Frey, 1989; Abur, 1990). Como o Méodo da Equação Normal pode apresenar problemas numércos, foram aplcados méodos mas robusos, como os méodos orogonas de Golub (Smões Cosa e Qunana, 1981-I) e Gvens (Smões Cosa e Qunana, 1981-II) e o Méodo da Marz Aumenada (Gjelsv, Aam e Holen, 1985). Todos os méodos menconados são conceualmene equvalenes ao Méodo de Gauss-Newon, com convergênca quadráca. Nem odas as nformações que podem ser ulzadas na modelagem da rede são provenenes de elemedções. Injeções nulas em barras do ssema, so é, em barras onde não exse geração ou carga, são nformações deermníscas que devem ser ulzadas pelo Esmador, pos apresenam alo grau de confança. Uma manera pela qual esa nformação pode ser SBA Conrole & Auomação Vol. 9 no. 3 / Se., Ou., Nov. e Dezembro de 1998 141

ulzada é ncorporando-se ao modelo de esmação resrções de gualdade do po g(x) = 0, onde x é o esado a ser esmado (ensão complexa nas barras do ssema) e g uma função não lnear que o assoca à grandeza a ser consderada, no caso, njeções de poênca ava ou reava em uma deermnada barra do ssema. Ashmone (Aschmone, 1977) fo o prmero a ncorporar resrções de gualdade ao problema orgnal e resolve-lo por Gauss-Newon. Ese méodo é conhecdo como Méodo da Equação Normal com Resrções de Igualdade. O Méodo da Marz Aumenada, por ouro lado, já ncorpora resrções de Igualdade em sua formulação básca. Lawson e Hanson (Lawson e Hanson, 1995) apresenam rês méodos dferenes para a solução de um problema de Mínmos Quadrados com Resrções de Igualdade ulzando ransformações orogonas, sendo que alguns deles foram adapados à Esmação de Esados em Ssemas de Poênca. O prmero méodo faz uso de uma base orogonal para o espaço nulo da marz de coefcenes das resrções de gualdade e fo aplcado à esmação de esados em Ssemas de Poênca por Smões Cosa, Seleme e Salgado em (Smões Cosa, Seleme e Salgado, 1985). Doravane, ese méodo será referencado como Méodo da Marz de Espaço Nulo. O méodo exge ano uma pré-mulplcação como uma pós-mulplcação da marz Jacobana por marzes orogonas, o que pode causar um enchmeno consderável na marz resulane, prejudcando sua efcênca compuaconal. O segundo méodo ulza elmnação drea na remoção das resrções de gualdade e fo aplcado por Qunana, Sco e Chan (Qunana, Sco e Chan, 1986) à esmação de esados. Conudo, apresena os mesmo problemas de enchmeno ocorrdos no méodo aneror. O ercero méodo, conhecdo na leraura como Méodo dos Pesos, resolve o Problema de Mínmos Quadrados Ponderados com resrções de gualdade como um problema de mínmos quadrados ponderados rresro, arbundo pesos maores às lnhas da marz correspondenes às resrções de gualdade. Os problemas que ese méodo pode apresenar são de naureza numérca. Se a marz Jacobana for mal-condconada, o méodo pode falhar pelo surgmeno de problemas numércos causados pela dspardade na ponderação enre as lnhas da marz a ser faorada. O Méodo dos Pesos é ambém muo ulzado em conexão com o Méodo da Equação Normal. Nese rabalho é apresenado um algormo que ala a smplcdade do Méodo dos Pesos à esabldade numérca dos Méodos Orogonas. O méodo proposo ulza um algormo apresenado por Van Loan (Van Loan, 1985), denomnado nese rabalho de Méodo dos Pesos com Refnameno Ieravo. O algormo consu-se de um processo eravo que perme a ulzação de pesos pouco superores aos ulzados na ponderação convenconal de elemeddas na ponderação das lnhas da marz Jacobana correspondenes às resrções de gualdade. Dessa forma, em um prmero momeno as resrções de gualdade são raadas como elemeddas de grau de confança pouco superor às elemeddas convenconas. Em uma eapa poseror, as resrções de gualdade são reprocessadas e o resíduo a elas assocado é mnmzado. Em ambas as eapas, o méodo de orogonalzação ulzado é o das roações de Gvens com rês mulplcadores, conforme proposo por Genleman (Genleman, 1974) e ulzado por Smões-Cosa e Qunana (Smões Cosa e Qunana, 1981-II). As vanagens do méodo proposo nese argo são: o baxo cuso compuaconal adconal necessáro ao processameno das resrções, a esabldade numérca assocada aos méodos orogonas e ao fao de se poder processar erros grosseros anes do refnameno eravo das resrções de gualdade. Além dsso, como na prmera eapa do algormo as resrções de gualdade são raadas como pseudo-meddas, há a possbldade de se deecar erros de modelagem a elas relaconados, anes que as resrções sejam enfazadas pelo refnameno eravo. Ese rabalho esá organzado da segune manera. Na Seção 2 é apresenado o Problema de Mínmos Quadrados Irresro e a forma como ele é resolvdo por ransformações orogonas. Na Seção 3 é apresenada a formulação básca de um problema de Esmação de Esados em Ssemas de Poênca com Resrções de Igualdade. Na Seção 4 o Méodo dos Pesos é descro. Em seguda é apresenado o Méodo dos Pesos com Refnameno Ieravo, cuja ulzação em Esmação de Esados em Ssemas de Poênca é proposa nese rabalho. Na Seção 6 são dscudos alguns aspecos da mplemenação compuaconal. Na Seção 7 são mosrados os resulados obdos em város ssemas-ese, denre eles um ssema de 340 barras consruído a parr do Ssema Sul-Sudese Braslero. Fnalmene, na úlma seção, as caraceríscas e vanagens do méodo proposo são dscudas. 2 AS TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS E O PROBLEMA DOS MÍNIMOS QUADRADOS O Problema dos Mínmos Quadrados Lnear surgu orgnalmene da necessdade de ajusar-se um modelo maemáco lnear a um conjuno de observações. Uma das formas de se dmnur a nfluênca de erros provenenes dessas observações é ulzar-se um grande número de meddas, muo maor que o número de varáves a serem deermnadas (varáves de esado). O problema resulane é um ssema de equações lneares sobredeermnado, com m equações e n varáves de esado. Há muas formas de se defnr a melhor solução para ese problema. Uma das maneras mas smples e que leva a um problema compuaconal de fácl solução, é defnr o conjuno x das esmavas para as varáves de esado como sendo a solução do segune problema de omzação: mn J = ( A. x b) ( A.x b) (1) ou equvalenemene, mn A.x b (2) onde o símbolo denoa a norma Eucldana de um veor. A é denomnada de Marz de Observações e relacona as varáves de esado x com as observações condas no veor b. Denre as dversas maneras pelas quas o problema (1) ou (2), doravane denomnado de Problema LS, pode ser resolvdo, uma das mas esáves do pono de vsa numérco é ulzandose ransformações orogonas (Lawson e Hanson, 1995). Uma marz Q é orogonal quando Q.Q = Q.Q = I, onde I é a marz dendade. Uma mporane propredade das marzes orogonas é o fao de que é preservada a norma Eucldana de veores aos quas são aplcadas. Assm, Qy = y (3) No conexo do Problema LS, emos que 142 SBA Conrole & Auomação Vol. 9 no. 3 / Se., Ou., Nov. e Dezembro de 1998

Q( Ax b) = QAx Qb = Ax b (4) Se Q for defnda como uma ransformação orogonal que rangularze a marz A, so é: QA=R (5) onde R é uma marz do po R n R = (6) O R n é uma marz rangular superor de ran n e O é uma marz nula de ordem (m-n) x n Porano, o uso de ransformações orogonas perme que o Problema LS seja escro como Rx = b' (7) onde b = Qb é o novo veor do lado dreo. A equação (7) descreve um ssema rangular de equações de fácl solução. As ransformações orogonas mas ulzadas na solução de um Problema LS são as Reflexões de Householder e as Roações de Gvens (Lawson e Hanson, 1995; Golub e Van Loan, 1989). O esforço compuaconal exgdo pelas ransformações orogonas é superor aos exgdos pela faoração LU ou decomposção de Choles (Golub e Van Loan, 1987). Conudo, sua esabldade numérca é bem superor. As Reflexões de Householder, operam a marz A por colunas enquano que as Roações de Gvens operam por lnha. Em Esmação de Esados em Ssemas de Poênca, o uso de Roações de Gvens apresena um desempenho melhor do que as Reflexões de Householder já que a esruura de dados comumene enconrada nesa classe de Problema LS é organzada por lnhas (Smões Cosa e Qunana, 1981-I e 1981-II). 3 FORMULAÇÃO BÁSICA DO PROBLEMA Em Ssemas de Poênca, o esado a ser esmado corresponde ao módulo e ao ângulo das ensões nas barras do ssema. O ângulo da ensão em uma deermnada barra é fxado em zero grau e é omado como referênca. Sendo N o número de barras do ssema, o número n de varáves de esado a serem esmadas é gual a (2.N - 1). Problema da Esmação de Esados com Resrções é defndo como um Problema de Mínmos Quadrados Ponderados com Resrções de Igualdade (Problema LSE) e é assm formulado: mn J ( x) = [ z h( x)] R s. a. g( x) = b 1 [ z h( x)] onde z é um veor m x 1 conendo as meddas efeuadas ou projeadas na rede elérca; h(x) é um veor de funções nãolneares que relaconam o veor de esados x, de ordem n x 1, com o veor z; R é a marz dagonal das covarâncas dos erros de medção, de ordem m x m; g(x) é um veor de funções nãolneares, de ordem r x 1, que relaconam o veor de esados x com o veor b, conendo nformações deermníscas sobre a rede elérca (as como njeções nulas em ceras barras do ssema). A écnca de solução do problema de mínmos quadrados va roações de Gvens exge que a função que relacona as varáves de omzação com o veor de observações seja lnear, bem como a função g das resrções. Porano, para al écnca poder ser ulzada, o modelo de medção deve ser lnearzado. (8) A marz de ponderação R -1 é ncorporada aos ermos lneares de (9) e, com um cero abuso de noação, neglgencada. Dessa forma, o problema de mínmos quadrados ponderados com um modelo de medção lnearzado em orno do pono de operação do ssema x fca sendo: mn J( x ) = [ z H( x s.a. G( x ). x = b onde: ) x ] R 1 [ z H( x ) x ] H(x ), doravane desgnada apenas como H, é a marz Jacobana do veor h, calculada no pono x e defnda como: hx ( ) H = x x = x (10) G(x ), doravane desgnada apenas como G, é a marz Jacobana do veor g, calculada no pono x e defnda como: e gx ( ) G = x x = x z= z h( x ) b = b g( x ) (9) (11) (12) (13) A nova esmava para o pono de operação em esudo é calculada como: +1 x = x + x (14) Com o objevo de smplfcar anda mas a noação, o sobrescro, que ndca a eração em curso na solução do problema de esmação de esados será omdo. 4 O MÉTODO DOS PESOS (GOLUB E VAN LOAN, 1989; LAWSON E HANSON, 1995) Uma forma de se ober uma solução aproxmada para o Problema LSE é resolver o problema de mínmos quadrados rresro dado por: H mn µ G x (15) µ zb para um µ elevado, onde a marz de ponderação R -1 é ncorporada à marz H e ao veor z, conforme descro em (Smões Cosa e Qunana, 1981-I). Por exemplo, se as lnhas da marz H forem ponderadas com pesos da ordem de 1.0 x 10 +5, um peso elevado sera algo em orno de 1.0 x 10 +30, como ulzado por (Vempa, Sluzer e Tnney, 1991). Para se er uma déa da qualdade do resulado obdo na solução do problema represenado pela equação (15), lança-se mão da Decomposção em Valores Sngulares (SVD) (Golub e Van Loan, 1989). Assm, seja UHX= dag ( h1 h2... hn) = D H R m x n VGX= dag ( g1 g2... gr) = D G R r x n a Decomposção em Valores Sngulares Generalzada (GSVD) (Lawson e Hanson, 1995) de H e G e onde supõe-se que ambas as marzes enham poso compleo. Sendo U = (u 1 u 2... u m ), V = (v 1 v 2... v r ) e X = (x 1 x 2... x n ), enão é possível mosrar que a solução exaa para o problema LSE é (Lawson e Hanson, 1995): SBA Conrole & Auomação Vol. 9 no. 3 / Se., Ou., Nov. e Dezembro de 1998 143

x = r =1 v b x + g n =1 u z x h (16) enquano que a solução para o problema expresso pela equação (15) é dada por: x( µ ) = r =1 n + =1 h u z + µ 2 h + µ u z x h 2 g 2 2 g v b x (17) e x(µ) x quando µ. É claro que devdo ao grande esforço compuaconal necessáro ao cálculo dos valores sngulares generalzados das marzes H e G, as expressões (16) ou (17) não devem ser ulzadas para fns prácos na esmação de esados em ssemas de poênca no cálculo das varáves de esado. No enano, o uso da SVD perme vsualzar o efeo da ponderação aravés do parâmero µ, conforme descro a segur. A grande vanagem do Méodo dos Pesos na solução do problema LSE é não exgr nenhuma rona especal. O mesmo códgo ulzado para resolver um problema LS rresro pode ser ulzado para ese méodo. Conudo, como se pode observar analsando-se a equação (17), a precsão de x(µ) é dependene do valor de µ. Desse modo, em ceras suações orna-se necessára a ulzação de pesos muo grandes para se ober um valor aceável para x e so pode causar severos problemas numércos (Lawson e Hanson, 1995; Golub e Van Loan, 1989; Björ, 1995) prncpalmene se a marz a ser faorada é mal condconada. O deal sera ober-se um valor aceável para x, ulzando-se pesos correspondenes às resrções de gualdade não muo dferenes dos ulzados para se ponderar as ouras lnhas da marz H. Nese conexo, a proposa de Van Loan de refnameno eravo dos pesos (Van Loan, 1985) orna-se basane araene conforme descro na próxma seção. 5 O MÉTODO DOS PESOS COM REFINAMENTO ITERATIVO O méodo desenvolvdo por Van Loan perme a solução do problema LSE ulzando-se o Méodo dos Pesos sem, conudo, empregar pesos muo acma dos convenconalmene ulzados na ponderação das lnhas da marz H assocadas às elemeddas provenenes da rede. Ele é execuado a cada eração do Méodo de Newon (laço exerno do Esmador). Traa-se de um processo eravo e a prova de sua convergênca é mosrada em (Van Loan, 1985). O Méodo dos Pesos com Refnameno Ieravo pode ser dvddo em duas eapas báscas: a prmera eapa consse no Méodo dos Pesos convenconal e calcula os desvos nas varáves de esado x com as resrções de gualdade ncluídas na Marz Jacobana como pseudo-meddas ponderadas com um peso um pouco superor aos pesos adoados para as demas elemeddas: a eapa segune consu-se em um processo eravo no qual são mnmzados os resíduos correspondenes às resrções de gualdade, obdos na prmera eapa. Algormo do Méodo dos Pesos com Refnameno Ieravo: 1. Fxar µ ; 2. Deermnar a esruura da marz Jacobana J = R 1 2 H µ G 3. Deermnar a esruura da marz de Informação A =J J; 4. Reordenar as colunas da marz A pelo Méodo do Mínmo Grau, deermnando P c ; 5. Reordenar as lnhas de J pelo menor índce de coluna, deermnando P l ; 6. ρ = 0 7. Enquano (não-convergênca em x ρ ) faça 8. Se (J não-consane) enão Calcular J Fm Se 9. w = R 1 2 z µ b 10. Aplcar roações de Gvens: Q R s Pl[ J µ w] P µ c = O ω 11. Resolver Rµ x ρ ( µ ) = s 12 = 0; 13. Enquano (não-convergênca em x ) faça 14. x = x ρ ( µ ) 15. r = b G x (18) 16. Resolva mn 1 2H 0 δ ( x ) µ G µr (19) 17. x +1 = x +δ( x ) (20) 18. +1 Fm enquano 19. ρ ρ +1 20. ρ ρ x x + x Fm Enquano 21. Fm; Observações sobre o Algormo: 1. A medda que o veor x va angndo um valor próxmo de ε N (ver adane), é comum fazer-se o Jacobano consane (Smões Cosa e Qunana, 1981-II) pos as modfcações nroduzdas em seus valores são muo pequenas, ornando desnecessáro a sua aualzação. 2. A marz H µ G é faorada apenas uma únca vez por eração do Méodo de Newon, so é, ela não precsa ser faorada novamene durane o refnameno eravo. Do passo 10 do algormo acma, gnorando por um momeno as marzes de permuação de lnhas e colunas, emos: Ese algormo fo desenvolvdo para a solução do problema H Rµ LSE lnear, com resrções lneares. Para ornar mas claro o = [ Q1 ( µ ) Q2( µ )] (21) µ G O méodo ulzado o Algormo do MPRI é apresenado em conjuno com o laço exerno correspondene ao Méodo de Newon ulzado na solução do Problema LSE não-lnear. 144 SBA Conrole & Auomação Vol. 9 no. 3 / Se., Ou., Nov. e Dezembro de 1998

Como as roações de Gvens devem ser aplcadas ambém ao veor do lado dreo, êm-se que: z Rµ x( µ ) = Q ( µ ) µ b (22) De manera smlar, para o problema (21): O Rµδ( x ( ) ) = Q ( µ ) ( ) r (23) µ 3. A escolha do parâmero µ é muo mporane na aplcação dese algormo. Sendo machep a precsão da máquna ulzada, eses descros em (Van Loan, 1985) sugerem que valores nferores a (machep) -1/2 garanem, de manera geral, um bom desempenho do algormo. Valores superores a ese podem exgr uma ordenação convenene de lnhas e colunas para se garanr a esabldade numérca do méodo. 4. Créros de Convergênca. O créro de convergênca do laço eravo nerno (refnameno eravo) é defndo da segune forma: sendo ε uma dada olerânca, quando b G x ε G x o processameno eravo das resrções de gualdade é dado como concluído. Como créro geral de convergênca para o Méodo de Newon (laço eravo exerno) fo adoado o segune créro: x ε N onde ε N é a olerânca escolhda para o Méodo de Newon 6 ASPECTOS DA IMPLEMENTAÇÃO Em (Van Loan, 1985), mosra-se que é possível se execuar o algormo sem a necessdade do armazenameno da marz orogonal Q. Conudo, al procedmeno não fo adoado nesa mplemenação pos como já menconado, é comum fazer-se o Jacobano consane a parr de uma deermnada eração. Dessa forma, armazena-se não a marz Q explcamene, mas a sequênca de roações de Gvens necessáras á faoração da marz Jacobana, para em seguda aplcá-las aos veores do lado dreo que varam de eração para eração. O programa fo mplemenado em FORTRAN 77 e faz pleno uso de écncas de armazenameno compaco. Conforme demonsrado por Vempa, Sluser e Tnney (Vempa, Sluser e Tnney, 1991), a ulzação de um esquema de ordenação ano de lnhas como de colunas da marz Jacobana é fundamenal para o sucesso do méodo de Gvens. Uma reordenação de colunas mnmza o enchmeno na marz rangular superor R µ enquano que o reordenameno de lnhas mnmza o enchmeno nermedáro durane a faoração (George e Heah, 1980). O esquema de ordenação de colunas adoado fo o Méodo do Mínmo Grau, conforme proposo por Tnney em (Tnney e Waler, 1967) e ncalmene aplcado ao Méodo dos Mínmos Quadrados va roações de Gvens por George e Heah (George e Heah, 1980). O esquema de ordenação de lnhas ulzado fo o de faorar-se prmero as lnhas que ncem com o maor índce da coluna conforme proposo em (George e Heah, 1980). Medda de Fluxo (p, q) Medda de Injecao (P, Q) Medda de Tensao Fgura 7.1: Plano de Medção para o Ssema IEEE-30 barras SBA Conrole & Auomação Vol. 9 no. 3 / Se., Ou., Nov. e Dezembro de 1998 145

Tabela 7.1: Ssemas ese ulzados Ssema Barras lnhas resrções número de elemeddas P Q Tensão P Q fluxo avo Fluxo reavo IEEE-30 barras 30 41 6 6 10 17 17 34 34 IEEE-118 barras I 118 179 10 10 39 82 82 177 178 IEEE-118 barras II 118 179 13 13 30 30 30 121 121 SSE-BR-340 I 340 494 102 62 198 132 177 494 494 SSE-BR-340 II 340 494 11 8 198 223 199 494 494 A opção pelo Méodo das Roações de Gvens com rês mulplcadores deve-se à sua robusez numérca e ao fao da marz rangular resulane ser dagonal unára, fornecendo como subproduo, o somaóro dos quadrados dos resíduos necessáro ao processameno de erros grosseros. O méodo com dos mulplcadores não é, por s só, numercamene esável (Genleman, 1974; Björ, 1995), ornando-se necessáro o uso de esquemas de conrole para se evar overflow ou underflow durane a faoração, como proposo em (Golub e Van Loan, 1987) e mas arde adoado por Vempa, Sluser e Tnney. Além dsso, a marz rangular resulane não é dagonal unára, havendo a necessdade de se calcular o somaóro dos quadrados dos resíduos e um pequeno esforço compuaconal adconal na rona de subsução reversa. 7 RESULTADOS OBTIDOS Nesa seção são apresenados os resulados obdos com o esmador orogonal-sequencal não-lnear com resrções de gualdade. Bascamene, foram ulzados rês ssemas ese: o IEEE 30 barras, o IEEE 118 barras e um ssema de pore realísco (340 barras), consruído a parr do Ssema Sul-Sudese braslero. Incalmene, fo obda a solução de um fluxo de carga para odos os ssemas. A parr de planos de medção observáves, elemeddas foram smuladas pela nrodução de ruído normalmene dsrbuído aos resulados obdos no fluxo de carga. Város planos de medção foram smulados. Apenas resrções de gualdade em barras de njeção nula foram consderadas. O dagrama unflar do Ssema de 30 barras do IEEE, juno com o plano de medção ulzado pode ser vso na Fgura 7.1. e um resumo com odas as caraceríscas dos ssemas ese ulzados podem ser vsas na Tabela 7.1. Em odos os casos smulados, o valor do peso ulzado para ponderar as lnhas da marz Jacobana correspondenes às resrções de gualdade no MPRI fo de 1.0 x 10 +9. O valor ulzado de ε N no créro de convergênca do laço exerno fo de 1.0 x 10-3. Para ε, varável de calbração do créro de convergênca do MPRI, ulzou-se 1.0 x 10-2. 7.1 Ssema de 30 barras do IEEE. A Tabela 7.2 apresena os resulados obdos para o Ssema do IEEE de 30 barras. Nesa mesma abela são apresenados os resulados obdos por Smões Cosa, Seleme e Salgado em (Smões Cosa, Seleme e Salgado, 1985) ulzando o Méodo da Marz de Espaço Nulo, méodo ese consderado exao. Fo ulzado um plano de medção com 124 elemeddas, 6 resrções de njeção ava nula e 6 njeções reavas nulas. O número de erações necessáras para se ober a convergênca para o laço nerno correspondene ao Méodo dos Pesos com Refnameno Ieravo para cada eração do algormo exerno (Méodo de Newon) podem ser vsos na Tabela 7.3. Tabela 7.2: Esmavas para as njeções nulas: Ssema IEEE-30 barras MMEN = Méodo da Marz de Espaço Nulo MPRI = Méodo dos Pesos com Refnameno Ieravo njeção nula MMEN MPRI po-barra P-6-1.95 X 10-7 -1.10 X 10-9 Q-6 4.67 X 10-7 -2.648 X 10-8 P-9 8,37 X 10-8 -5.47 X 10-10 Q-9 3.40 X 10-7 -1.943 X 10-8 P-22-9.01 X 10-9 1.389 X 10-10 Q-22 3.37 X 10-8 9.729 X 10-10 P-25 2.01 X 10-7 2.958 X 10-9 Q-25 3.93 X 10-7 2.732 X 10-9 P-27 2.95 X 10-7 6.356 X 10-10 Q-27 2.94 X 10-8 1.686 X 10-9 P-28-6.58 X 10-8 2.712 X 10-11 Q-28 1.09 X 10-7 3.026 X 10-10 A Tabela 7.2 mosra que os resulados obdos com o Méodo dos Pesos com Refnameno Ieravo são compaíves com os obdos por um méodo exao como o Méodo da Marz de Espaço Nulo. A convergênca do laço exerno fo obda em rês erações e a do laço nerno (MPRI) em apenas uma. 146 SBA Conrole & Auomação Vol. 9 no. 3 / Se., Ou., Nov. e Dezembro de 1998

Tabela 7.3: Esmavas obdas: Ssema IEEE-118 barras, 332 elemeddas MP MP = Méodo dos Pesos po-barra MPRI µ = 1.0 x 10 +9 µ = 1.0 x 10 +30 P-5 3.918 X 10-7 -5.739 X 10-7 P-9 1.669 X 10-7 -4.201 X 10-7 Q-9 4.496 X 10-7 1.019 X 10-6 P-23-1.175 X 10-7 -5.271 X 10-8 Q-23 1.472 X 10-7 7.417 X 10-8 P-30-1.091 X 10-7 2.062 X 10-8 Q-30 3.418 X 10-7 2.785 X 10-7 P-37-1.606 X 10-7 -8.976 X 10-8 Q-37 2.484 X 10-7 1.492 X 10-7 P-38 3.714 X 10-8 -2.704 X 10-9 Q-38 2.257 X 10-8 2.957 X 10-9 Q-47 5.973 X 10-11 -6.317 X 10-9 P-63 7.843 X 10-9 5.500 X 10-9 Q-63-2.293 X 10-9 -8.956 X 10-10 P-64-1.717 X 10-9 2.511 X 10-9 Tabela Q-64 7.4: Tempo oal 1.354 de X cpu 10-9 7.989 X 10-10 P-68-2.409 X 10-8 -1.307 X 10-8 Q-68 Ssema 5.054 X Tempo 10-9 oal de 3.160 CPU X (s) 10-9 P-71 4.956 X MPRI 10-9 MP 1.593 X 10-9 Q-71 IEEE-118 I 3.674 X 0.66 10-9 0.62 1.541 X 10-9 P-81 IEEE-118 II-4.702 X 0.39 10-9 0.38-1.825 X 10-9 Q-81 SSE-BR-340 1.275 I X 8.19 10-9 6.23 1.918 X 10-10 P-87 SSE-BR-340 3.267 II X 6.25 10-11 5.22 2.786 X 10-12 Q-83 2.319 X 10-9 8.085 X 10-9 P-108 3.154 X 10-11 -2.280 X 10-11 Q-108 1.053 X 10-11 5.009 X 10-13 7.2 Ssema de 118 barras do IEEE. Os resulados obdos para o Ssema IEEE-118 barras são mosrados na Tabela 6.3. Dos planos de medção dferenes foram ulzados. O prmero plano ulzado coném 558 elemeddas, 10 resrções de njeção de poênca ava e 10 de poênca reava. O segundo, 332 elemeddas, 13 resrções de njeções avas nulas e 13 njeções reavas nulas. Como os resulados obdos foram basane semelhanes, apenas os resulados obdos para o segundo plano de medção são apresenados na Tabela 7.3. Na mesma abela são mosrados anda os resulados obdos para o mesmo plano de medção com o Méodo dos Pesos. Nese caso, o peso ulzado para as resrções de gualdade fo de 1.0 X 10 +30. As resrções de gualdade, nese caso, forma converdas em elemeddas convenconas. A Tabela 6.3 mosra que os resulados obdos pelo Méodo dos Pesos com Refnameno Ieravo ulzando um peso de apenas 1.0 x 10 +9 são equvalenes aos obdos pelo Méodo dos Pesos com uma ponderação para as resrções de gualdade gual a 1.0 x 10 +30, pracamene no lme superor da precsão da máquna. Nese ssema, o laço exerno convergu em rês erações. O laço nerno (MPRI) convergu em apenas uma em odas as erações do laço exerno. 7.3 Ssema Sul-Sudese de 340 barras. Nos ssemas anerores, os aps dos ransformadores foram consderados em suas posções nomnas. Conudo, para o ssema de 340 barras, é mpossível ober-se a convergênca no fluxo de carga para esa suação. Dessa forma, os aps fora do valor nomnal foram ambém modelados no esmador de esados sob a forma de parâmeros. Ese ssema possu 494 lnhas de ransmssão e foram ulzados dos planos de medção, como pode ser vso na Tabela 6.1. Devdo ao grande número de barras com njeções nulas nese ssema, apenas os resulados mas sgnfcavos são apresenados. De forma geral, o valor obdo pelo esmador para uma njeção nula fcou na méda de 1.0 x 10-10, varando enre 10-3 e 10-15. Em algumas poucas barras, os resulados obdos não são ão bons. Os pores resulados, foram os obdos para as barras 110, 125, 126 e 284, onde a njeção de poênca ava fcou na casa de 1.3 x 10-3. Nas barras 9, 119, 132, 138, 146, 185 e 287 o resulado fcou na casa dos 10-4. O por resulado para a njeção reava fo de 2.4 x 10-3 na barra 185. Nas demas barras, varou enre 10-5 e 10-14. No 2 o. plano de medção, onde o número de resrções de gualdade é basane reduzdo, ese po de suação não ocorreu, fcando odos os valores de njeções nulas na casa dos 10-10. Os resulados obdos pelo Méodo dos Pesos são bem nferores aos obdos pelo MPRI. Apenas com o propóso de mosrar a maor robusez numérca do MPRI, ano ese méodo quano o Méodo dos Pesos foram execuados em um sofware de 16 bs (FORTRAN PowerSaon 1.0 da Mcrosof) onde não fo possível se ober a convergênca para o Méodo dos Pesos. Esa só fo obda quando fo ulzado um sofware de 32 bs como a versão 4.0 do mesmo programa. Nese caso, os resulados obdos para as njeções nulas fcaram na casa dos 10-7. Em ambos os casos, fo ulzado um peso de 1.0 x 10 +30. Fnalmene, a Tabela 7.4 apresena os empos compuaconas obdos em um mcrocompuador Penum 133MHz com 32 Mbyes de memóra RAM, para os dos planos de medção correspondenes aos ssemas de 118 barras e 340 barras. Em ambos os casos esados, o laço exerno convergu em cnco erações. O laço nerno em apenas uma eração por eração do laço exerno. 8 CONCLUSÕES Os resulados apresenados na seção aneror demonsram plenamene a vabldade do méodo proposo. Os empos compuaconas obdos demonsram sua aplcabldade à operação em empo real de ssemas de poênca, em que pesa o fao de que os códgos ulzados não são omzados. Não fo enconrado nenhum problema grave quano à sasfação de qualquer resrção de gualdade a não ser os já comenados na seção aneror. O pós-processameno das resrções de gualdade não afea de forma alguma as caraceríscas de convergênca do esmador. Iso deve-se ao fao das resrções serem ncalmene raadas como pseudo-meddas com peso superor às demas elemeddas. A grande vanagem dos esmadores orogonas-sequencas é sua robusez numérca, já que rabalham dreamene sobre a marz de observação, alada a uma écnca efcene de deecção de erros grosseros (Smões Cosa e Qunana, 1981- II), pos o somaóro dos quadrados dos resíduos é um SBA Conrole & Auomação Vol. 9 no. 3 / Se., Ou., Nov. e Dezembro de 1998 147

subproduo do méodo. O fao das resrções de gualdade serem raadas como pseudo-meddas na prmera eapa do Méodo dos Pesos com Refnameno Ieravo perme que erros de modelagem envolvendo as resrções de gualdade sejam deecados anes do refnameno Ieravo (segunda eapa do méodo) ser realzado, evando assm que o resulado fnal seja conamnado por eles. Enreano, a grande vanagem do méodo proposo é a possbldade de ober-se resulados comparáves aos obdos com o Méodo dos Pesos, sem a necessdade de ulzarem-se pesos elevados para as lnhas correspondenes às resrções de gualdade. Dessa forma, não se corre o rsco de dvergênca como o ocorrdo quando um sofware de 16 bs fo ulzado, devdo a problemas numércos causados pela grande dspardade de pesos enre as lnhas da marz Jacobana. O cuso compuaconal a ser pago é relavamene pequeno. A qualdade dos resulados é superor à obda pela ulzação de um méodo exao como o Méodo da Marz de Espaço Nulo pos o número de operações em pono fluuane é bem nferor, dmnundo os erros de arredondameno. AGRADECIMENTOS J. P. S. Gouvêa e A. J. A. Smões Cosa agradecem à CAPES e ao CNPq, respecvamene, pelo apoo fnancero para o desenvolvmeno desa pesqusa. 9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (1981-II) An Orhogonal Row Processng Algorhm for Power Sysem Sequenal Sae Esmaon. IEEE Trans. on PAS, vol. 100, no. 8, pp. 3791-3800. A.Smões Cosa, S. Seleme Jr. E R. S. Salgado (1985). Equaly Consraned Sae Esmaon va Orhogonal Row Processng Technques. Proc. IFAC Conf. Elecrc Energy Sysems, Ro, Brazl, pp. 43-49. A. Abur. (1990). A Bad Daa Idenfcaon Mehod for Lnear Programmng Sae Esmaon, IEEE Transacon on Power Sysem, vol. 5, no. 3, pp. 894-902. A. Björ. (1995). Numercal Mehods for Leas Square Problems. SIAM, Phladelpha, 408 pp. F. C. Schweppe ; J. Wldes. (1970). Power Sysem Sac Sae Esmaron, Par I: Exac Model. IEEE Trans. on PAS, vol. 89, no 1, pp. 120-125. G. H. Golub.; C. Van Loan. (1989). Marx Compuaon. 2 nd Ed., John Hopns Unv. Press. Balmore, Genleman, W. M. Leas Square Compuaons by Gvens Transformaons Whou Square Roos. Journal of Ins. Mah Applcs, no. 12, 1974, pp. 329-336. George, A.; Heah, M. T.(1980). Soluon of Lnear Leas Squares Problems Usng Gvens Roaons. Lnear Algebra and s Aplcaons, vol. 34, pp. 69-83. Gjelsv, A.;Aam, S.; Holen, L. (1985). Hachel s Augmened Marx Mehod - A Rapd Mehod Improvng Numercal Sably n Power Sysem Sac Sae Esmaon. IEEE Trans. on PAS, vol. 104, no. 11, pp. 2987-2993. K. A. Clemens; P. W. Davs; K. D. Frey. (1989). An Effcen Algorhm for Couplng he Weghed Leas Absolue Value Esmaor n Power Sysem Sac Sae Esmaon.IFAC In. Symp. In Power Sysem and Power Plan Conrol, Aug. 22-25, Seul, Korea. M. Falcão; P. A. Cooper; A. Brameller. (1982). Power Sysem Sae Esmaon and Bad Daa Processng. IEEE Trans. On PAS, vol. PAS-101, no. 2, pp. 325-333. N. Vempa; I. Sluser.; W. F. Tnney. (1991). Enhancemens o Gvens Roaons for Power Sysems Sae Esmaon.IEEE Trans.on Power Sysems., vol. 6, no. 2, pp. 842-849. V. H. Qunana.; B. W. Sco; A. Y. Chnan. (1986). Power Sysem Sae Esmaron wh Equaly Consrans. IASTED Conf. On Hgh Technology n he Power Indusry, Bozeman, Monana. W. F. Tnney; J. W. Waler. (1967). Drec Soluon of Sparse Newor Equaons by Opmally Ordered Trangular Facorzaon. Proc. of he IEEE, Vol. 55, pp. 1801-1809. A. J. A. Smoes Cosa; V.H. Qunana (1981-I). A Robus Numercal Technque for Power Sysem Sae Esmaon.IEEE Trans. on PAS, vol. 100, no. 2, pp. 691-698. C. Lawson.; R. Hanson. (1995). Solvng Leas Square Problems. (remp. from Prence-Hall, New Jersey, 1974), Phladelpha, SIAM, Ch. Van Loan. (1985). On he Mehod of Weghng for Equaly Consraned Leas-Squares Problems. SIAM J. Numer. Anal., vol. 22, no. 5, pp. 851-864. D. M. Falcão; S. M. Asss. (1988). Lnear Programmng Sae Esmaon: Error Analyss and Gross Error Idenfcaon.IEEE Trans. On Power Sysem, vol. 3, Aug., pp. 809-815. F. C. Aschmone.; N. M. Peerson; A. C. Adran. (1977). Sae Esmaon wh Equaly Consrans. Proc. PICA, pp. 427-436. 148 SBA Conrole & Auomação Vol. 9 no. 3 / Se., Ou., Nov. e Dezembro de 1998