8 a Aula 49 AMIV LEAN, LEC Apontamntos (RcardoCoutnho@mathstutlpt) 8 Exponncal d matrzs smlhants Proposção 8 S A SJS ond A, S J são matrzs n n,(comdt S 6 ), ntão A S J S Dmonstração Tmos A SJS, dond por ndução A SJS SJS SJ S ; A 3 SJ S SJS SJ 3 S para todo k N Então A + X k + X k! Ak k A k SJ k S Ã X + k! SJk S S k! k! Jk S S J S 8 Exponncal d matrzs dagonalzávs Sabmos da Álgbra Lnar qu mutas matrzs são dagonalzávs; ou sja é frqunt a stuação m qu dada uma matrz A é possívl calcular uma matrz mudança d bas S uma matrz dagonal Λ tas qu A SΛS Pla Proposção 8, podmos ntão calcular amatrz ta dsd qu sabamos calcular tλ Mas como vamos vr d sguda, é trval o cálculo da xponncal d uma matrz dagonal Consdr-s uma matrz dagonal: λ λ A λ n Por smpls vrfcação, obtmos qu o su quadrado é anda uma matrz dagonal m qu as ntradas são o quadrado das da matrz ncal: λ A λ λ n Ou dto com outra trmnologa: s as matrzs A B são smlhants
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) Por ndução concluímos qu a potênca k d uma matrz dagonal s obtém d forma smlhant: λ k A k λ k λ k n Edacordocomadfnção d xponncal d uma matz obtmos: λ t ta λ t λ nt ou sja, a xponncal d uma matrz dagonal é uma matrz dagonal m qu as ntradas (na dagonal) são as xponncas das ntradas corrspondnts na matrz orgnal Portanto, o cálculo da xponncal d uma matrz dagonalzávl A rduz-s à dtrmnação da matrz dagonal smlhant Λ (cálculo d valors própros) da rspctva matrz mudança d bas S (cálculo d vctors própros) Após a nvrsão da matrz S, obtmosa xponncal da matrz A por smpls multplcação d matrzs: ta S tλ S Notação 8 S A é uma matrz quadrada λ um scalar, scrvmos A λ m vz d (com o msmo sgnfcado d) A λ Id, ond Id rprsnta a matrz dntdad 3 3 Por xmplo 4 5 4 3 Rcord-s da Álgbra Lnar qu s A SΛS,ntãoAS SΛ sv é uma coluna d S ntão satsfaz a rlação Av λv, ondλ é a ntrada corrspondnt (à coluna consdrada) da matrz dagonal Λ UmavzquamatrzS é nvrtívl concluímos qu as colunas S são vctors própros lnarmnt ndpndnts da matrz A Portanto,A ématrzn n dagonalzávl ss possu n vctors própros lnarmnt ndpndnts Por outro lado um par (λ, v) - λ scalar; v vctor não nulo - satsfaz a rlação Av λv ss (A λ) v Como v não pod sr o vctor nulo, sta gualdad só pod sr satsfta s dt (A λ) É sta últma gualdad qu prmt o cálculos dos valors própros d A Porfm, dado um valor própro λ podmos calcular uma vctor própro corrspondnt rsolvndo os sstma dgnrado (A λ) v 83 Exmplos com matrzs dagonalzávs 83 Exmplo-valors própros ras Exmplo 8 Consdr-s a matrz A 3 3
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 3 Dtrmnação dos valors própros: 3 λ A λ 3 λ dt (A λ) (3 λ) Valors própros λ 3± (λ ou λ 4)ConcluímosA SΛS com Λ 4 As colunas d S são vctors própros d A Vctors própros assocados ao valor própro λ : Av λv ou sja x x x A λ ou anda (A λ) y y y portanto x y dond x + y Só prcsamos d um vctor própro; por xmplo x, y : v Vctors própros assocados ao valor própro λ 4: x x (A 4) ou sja y y dond x y Por xmplo v Dtrmnamos ntão uma matrz S qu satsfaz AS SΛ: S, nvrtndo sta matrz S Agora podmos calcular : ta 4t + t 4t t tλ 4t t 4t + t 83 Exmplo-valors própros complxos conjugados t 4t Exmplo 8 Consdr-s a matrz A Dtrmnação dos valors própros: dt (A λ) dt λ λ ( λ) +
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 4 Valors própros λ ± (λ + ou λ ) ConcluímosA SΛS com + Λ As colunas d S são vctors própros d A Vctors própros assocados aos valors própros λ ± : x Av λv ou sja (A λ) ou anda y ( ± ) x dond x y ( ± ) y Só prcsamos d um vctor própro para cada valor própro: por xmplo assocado ao valor própro λ + assocado ao valor própro λ Dtrmnamos ntão uma matrz S qu satsfaz AS SΛ: S, nvrtndo sta matrz S Agora podmos calcular ta : ta tλ (+)t ( )t t t t t t t t t t + t t t + t t t t + t t + t t t t t t t + t cos t sn t t sn t cos t 84 Crtéros para a vrfcação dos cálculos Sndo o cálculo d xponncas d matrzs mutas vzs ntrcado, convém tr crtéros smpls d vrfcação dos rsultado Dos crtéros qu são muto úts na prátca são os qu xprssos nas sgunts gualdads: ta d Id t dt ta A t Por outro lado smpr qu s calcula a nvrsa S d uma matrz S, convémvrfcar mdatamnt qu o rsultado obtdo é corrcto através da gualdad SS Id
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 5 85 Exponncal d matrzs formadas por blocos Exmplo 83 Consdr-s a matrz A 3 3 Faclmnt s rconhc qu o qu s passa com a prmra sgundas colunas lnhas é ndpndnt do qu s passa com as duas últmas lnhas colunas, do ponto d vsta da multplcação soma d matrzs; spaços própros tc Dz-s nst caso qu a matrz A é formada por blocos sobr a dagonal, sndo sts blocos, nst xmplo, as matrzs : 3 3 Sndo assm podmos usar os dos últmos xmplos para obtr mdatamnt: t cos t t sn t ta t sn t t cos t 4t + t 4t t 4t t 4t + t D facto quando tmos uma matrz A quadrada (n + n ) (n + n ) formada plos blocos B B sobr a dagonal, ond B B são matrzs quadradas n n n n rspctvamnt: B A B, obtmos portanto B A B B k mgral Ak B k tb ta tb Da msma forma para matrzs formadas por mas blocos sobr a dagonal: ;
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 6 B B S A B j tb tb, ntão ta tb j Not-s qu alguns dst blocos podm sr undmnsonas (matrzs ); númros 86 Matrzs não dagonalzávs Consdr s o sgunt xmplo: Exmplo 84 Vamosdtrmnarosvalorsvctorspróprosdamatrz: A Tmos λ dt (A λ)dt λ ( λ) Plo qu a matrz A só tm um valor própro λ Calculandoosvctorspróprosv obtmos: α v, dond v, ond α é um scalar não nulo arbtráro Portanto todos os vctors própros têm a drcção dada plo vctor [ ] plo qu a dmnsão do spaço própro é (númromáxmodvctors própros lnarmnt ndpndnts) Não xstndo dos vctors própros lnarmnt ndpndnts, concluímos qu a matrz A não é dagonalzávl Como xstm matrzs não dagonalzávs o procdmnto para o cálculo da xponncal d uma matrz qu dscrvmos antrormnt tm d sr gnralzado para stas matrzs A da é anda utlzar a Proposção 8, mas alargando a class d matrzs J para as quas sabmos calcular mdatamnt a sua xponncal Com st objctvo vamos dfnr uma class smpls d matrzs cuja xponncal sja faclmnt aprndda Esta class clássca d matrzs qu vamos ntroduzr é dsgnada por formas canóncas d Jordan; são matrzs formadas por blocos sobr a dagonal, sndo cada um dsts blocos uma matrz smpls dsgnada por bloco d Jordan
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 7 87 Blocos d Jordan Dá-s o nom d bloco d Jordan d dmnsão n aumamatrzj λ quadrada n n da forma: λ λ J λ λ λ Portanto bloco d Jordan J λ d dmnsão n é uma matrz quadrada n n qu tm as ntradas da dagonal todas guas a um crto valor λ (qu pod sr nulo), todas as ntradas da dagonal supror com o valor todas as outras ntradas nulas Smbolcamnt: λ s k J λ [j,k ],k,,n com j,k s k nos rstants casos Exmplo 85 [3] é um bloco d Jordan d dmnsão (J 3 ) 4 4 é um bloco d Jordan d dmnsão 3 (J 4 ) 4 é um bloco d Jordan d dmnsão (J ) 88 Matrzs na forma canónca d Jordan Uma matrz quadrada J é uma matrz na forma canónca d Jordan s é formada xclusvamnt por blocos d Jordan sobr a dagonal: J λ J λ J J λj ond J λ, J λ,, J λj sãoblocosdjordan
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 8 Exmplo 86 Amatrz d Jordan Amatrz d Jordan Mas a matrz Amatrz d Jordan Amatrz d Jordan Amatrz d Jordan Amatrz blocos d Jordan Mas a matrz Mas a matrz stá na forma canónca d Jordan; é formada por 3 blocos 3 4 4 3 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 stá na forma canónca d Jordan; é formada por 3 blocos não stá na forma canónca d Jordan stá na forma canónca d Jordan; é formada por 3 blocos stá na forma canónca d Jordan; é formada por blocos stá na forma canónca d Jordan; é formada por blocos stá na forma canónca d Jordan; é formada por 3 não stá na forma canónca d Jordan não stá na forma canónca d Jordan
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 9 Pod-s mostrar com bas xclusvamnt m consdraçõs algébrcas o sgunt torma (consultar um lvro d álgbra lnar para a dfícl dmonstração dst rsultado) Torma 8 Sja A uma matrz quadrada qualqur Então xst uma matrz S (com dt S 6 ) talqu A SJS, ond J é uma matrz na forma canónca d Jordan formada por j blocos d Jordan J λ, J λ,, J λj ; j é a dmnsão do spaço própro (númro máxmo d vctors própros lnarmnt ndpndnts) da matrz A λ, λ λ j os sus valors própros (todos) Obsrvação 8 Not-s qu A J têm o msmo polnómo caractrístco D facto dt (A λ) dt SJS λ dt S (J λ) S dts dt (J λ)dts dt(j λ) (λ λ) n (λ λ) n (λ j λ) n j ond n, n n j são as dmnsõs dos blocos J λ, J λ,, J λj rspctvamnt Not-s anda quspodtrλ a λ b para índcs dstntos a 6 b qun + n + + n j n, sndon a dmnsão da matrz A (todas as matrzs A, S J são n n) 89 Exponncal d Blocos d Jordan Vamos mostrar m apêndc, qu para um bloco d Jordan J λ d dmnsão n tmos λt λt t t! λt t n (n )! λt λt t λt J λ λt t! λt t λt λt Concrtzando para dmnsão 4, o qu pod sr fto através d um cálculo drcto, concluí-s qu xponncal d um bloco d Jordan (nst caso d dmnsão 4) λ λt λt t t3 t λt! 3! J λ λ λ é dado pla sgunt xprssão: λt J λ λt λt t t! λt λt t λt λ λt Exmplo 87 S J é a matrz na forma canónca d Jordan t J ntão tj é dado por tj t t t t t t t t! t
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 8 Exmplos Exmplo 88 Consdr-s o sgunt sstma ½ x 3x + y y com x () π y () x + y 3 A matrz assocada a st sstma é A obtmos Calculando os sus valors própros dt (A λ) dt 3 λ λ (3 λ)( λ)+4 4λ + λ (λ ) D acordo com o torma d Jordan tmos qu A é smlhant a uma das sgunts formas canóncas J [ ] ou J [ ] A prmra com dos blocos a sgunda com um bloco d Jordan Calculando os vctors própros v: Av v (A ) v [ ] v, faclmnt concluímos qu v émúltplod[ ], plo qu apnas tmos um vctor própro lnarmnt ndpndnt portanto só podmos tr um bloco d Jordan na forma canónca assocada, J Dsgn-s ntão por v v as colunas da matrz S (com dt S 6 ) talquas SJ Obtmos Av v Av v +v,ousja(a ) v (A ) v v Podmos scolhr v [ ] (uma vz fta sta scolha) v [ ] Plo qu podmos tomar S [ ] Então ta S tj S [ ] t t t t [ ] t [ ][ +t t ] t +t t t t Plo qu x (t) y (t) +t t t t t π π ( + t)+ t t πt +( t) t Exmplo 89 Consdr-s o sgunt sstma x x + z y 3y z com x () y () z () z y + z A prmra das hpótss pod sr faclmnt lmnada notando qu nss caso A SJS J,oqu vsvlmnt não acontc
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) A matrz assocada a st sstma é A 3 Calculando os sus valors própros obtmos h λ dt (A λ) dt 3 λ ( λ) ((3 λ)( λ)+) λ ( λ) λ 4λ +4 (λ ) 3 D acordo com oh torma d Jordan h tmos qu A é hsmlhant a uma das sgunts formas canóncas 3 J ou J ou J A prmra com três blocos, a sgunda com dos blocos a trcra com um bloco d Jordan h Calculando os vctors própros v: Av v (A ) v v, faclmnt h concluímos qu v é múltplo d, plo qu apnas tmos um vctor própro lnarmnt ndpndnt portanto só podmos tr um bloco d Jordan na forma canónca assocada, J Dsgn-s ntão por v, v v 3 as colunas da matrz S (com dt S 6 ) talquas SJ Obtmos Av v, Av v +v Av 3 v +v 3 ou sja Podmos tomar uma vz fta sta scolha vm (A ) v, (A ) v v (A ) v 3 v h h α v Podmos tomar α β Portanto ta S tj S h h t t t t h v v t t t t t t t t t h h v 3 h β +α α h h h t t t t t t v 3 v Então t t t t t+ t t t Plo qu x (t) y (t) z (t) t t t t t + t t t t t t t t 3 A prmra das hpótss pod sr faclmnt lmnada notando qu nss caso A SJS J,oqu vsvlmnt não acontc
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) Exmplo 8 Consdr-s o sgunt sstma x x + y + z y y com x () y () z () z x + y +3z A matrz assocada a st sstma é A Calculando os sus valors própros 3 obtmos h λ dt (A λ) dt λ ( λ)( λ)(3 λ)+ λ 3 λ ( λ)(( λ)(3 λ)+)( λ) λ 4λ + 4 (λ ) 3 D acordo com oh torma d Jordan h tmos qu A é hsmlhant a uma das sgunts formas canóncas 4 J ou J ou J A prmra com três blocos, a sgunda com dos blocos a trcra com um bloco d Jordan h Calculando os vctors própros v: Av v (A ) v v faclmnt h α+β concluímos qu v édadopor α β,ondα β são scalars arbtráros; plo qu apnas tmos dos vctors própros lnarmnt ndpndnts portanto só podmos tr dos blocos d Jordan na forma canónca assocada, J Dsgn-s ntão por v, v v 3 as colunas da matrz S (com dt S 6 ) talquas SJ Obtmos Av v, Av v +v Av 3 v 3,ousja (A ) v, (A ) v v (A ) v 3 Para qu (A ) v v possa tr solução, o vctor v tm d prtncr h ao spaço das colunas da matrz A ; concluímosquv tm d sr múltplo do vctor Tommos h v uma vz fta sta scolha vm h v v h Uma solução possívl é Por fm v 3 tm d sr um vctor própro d A lnarmnt ndpndnt do vctor própro v, plo qu podmos tomar h v 3 4 A prmra das hpótss pod sr faclmnt lmnada notando qu nss caso A SJS J,oqu vsvlmnt não acontc h
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 3 Então ta S tj S Plo qu x (t) y (t) z (t) h h t t t (t )A h h h t t t t t t h t t t t t +t (t ) t t t t t t h h h t t (t ) (t ) t (t ) Obsrvação 8 Not-squnarsoluçãodumproblmalnarhomogénoy Ay, podmos portanto calcular uma matrz J na forma canónca d Jordan smlhant a A, ou sja A SJS, obtr a solução gral y S tj c, sm tr d calcular a matrz S,porquc S y () é um vctor constant A matrz M (t) S tj éumamatrz fundamntal da quação y Ay, porqu satsfaz as proprdads d dt M (t) AM (t) dt M (t) 6 5 Exrcíco 8 Sndo A uma matrz constant, mostr qu s M (t) éumamatrz fundamntal da quação y Ay (ou sja M (t) é uma função matrcal tal qu d M (t) AM (t) dt dt M (t) 6 ),ntão M (t) M (s) (t s)a 8 Apêndc Exponncal d Blocos d Jordan Vamos mostrar qu para um bloco d Jordan J λ d dmnsão n a sua xponncal tm a sgunt xprssão λt λt t t! λt t n (n )! λt λt t λt J λ λt t! λt t λt λt Consdr-s a matrz G () dfnda por J λ λid + G (), portanto λ λ λ λ G () λ λ λ λ 5 D facto d dt M (t) d dt StJ d dt StJ S S d dt ta S A ta S AM (t) dt M (t) dt ta S dt ta dt S 6
8 a AULA 49 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 4 m gral, para 6 j, asmatrzsg (j), (matrzs quadradas n n mquasúncas ntradas não nulas são uns sobr a j- ésma dagonal supror), dfndas por ½ s k j G (j) [g,k (j)],k,,n com g,k (j) nos rstants casos Em partcular G (j) s j > n Comcmos por mostrar qu (para 6 j) (G ()) j G (j) (8) Obvamnt qu sta rlação stá corrcta para j S por hpóts d ndução é vrdadra para crto j ntro, tmos qu (G ()) j+ G (j) G () Plo qu falta provar qu G (j +)G (j) G () Vrfqumos ntão qu d facto nx g,k (j +) g,s (j) g s,k () s Ora g,s (j) g s,k () é dfrnt d zro apnas quando s j s k ; portantog,k (j +) é dfrnt d zro só quando k (j +)nstcasog,k (j +) Uma vz dmonstrada a rlação (8), obtmos (ond G () Id) tg() + X + X t k t k k! G ()k k! G (k) Xn t k k! G (k) k k k + t + + t! + + tn (n )! t t t n! (n )! t t! t Fnalmnt, plo Coroláro 65, obtmos tj λ λtid+tg() λtid tg() λt Id tg() λt t t t n! n! t t! t