FLEXIBILIDADE E SUPORTAÇÃO

FLEXIBILIDADE E SUPORTAÇÃO AULA 12-14 DEFLEXÕES USANDO MÉTODOS DE ENERGIA PROF.: KAIO DUTRA

Trabalho Externo e Energia de Deformação O método da energia é baseada no princípio da conservação de energia. O princípio da conservação de energia pode ser enunciado matematicamente como

Trabalho Externo e Energia de Deformação Trabalho Externo Trabalho externo força. Quando uma força F passa por um deslocamento dx na mesma direção que a força, o trabalho realizado é due = F dx. Se o deslocamento total é x, o trabalho torna-se

Trabalho Externo e Energia de Deformação Trabalho Externo Trabalho externo momento. O trabalho de um momento é definido pelo produto da magnitude do momento M e o ângulo dθ através do qual ele gira, isto é, due = M dθ. Se o ângulo total da rotação é θ radianos, o trabalho torna-se

Trabalho Externo e Energia de Deformação Energia de Deformação Energia de deformação força axial. Quando uma força axial N é aplicada gradualmente à barra, ela vai tracionar o material de tal maneira que o trabalho externo realizado por N será convertido em energia de deformação, que é armazenada na barra. N/A = E (Δ/L), e a deflexão final é: Substituindo P=N, a energia de deformação na barra fica:

Trabalho Externo e Energia de Deformação Energia de Deformação Energia de deformação flexão. A energia de deformação, ou trabalho armazenado no elemento, é determinada da equação : Tendo em vista que o momento interno é gradualmente desenvolvido. Logo, A energia de deformação para a viga é determinada integrando este resultado através do comprimento inteiro da viga L. O resultado é

Princípio do Trabalho Virtual O princípio do trabalho virtual proporciona um meio geral de se obter o deslocamento e a inclinação em um ponto específico em uma estrutura, seja ela uma viga, pórtico ou treliça. Em geral, o princípio do trabalho e energia enuncia:

Princípio do Trabalho Virtual Em geral, o princípio do trabalho e energia enuncia: Podemos escrever a equação de trabalho virtual como:

Princípio do Trabalho Virtual Carga externa. Vamos considerar o deslocamento vertical Δ do nó B da treliça na figura. A equação de trabalho virtual para a treliça é, portanto,

Princípio do Trabalho Virtual Temperatura. Podemos determinar o deslocamento do nó de uma treliça selecionada em razão da sua mudança de temperatura da equação de trabalho virtual, escrita como Erros de fabricação e contraflecha. Se um membro da treliça é mais curto ou mais longo do que o intencionado, o deslocamento de um nó da treliça da sua posição esperada pode ser determinado a partir da aplicação direta da equação de trabalho virtual, escrita como

Princípio do Trabalho Virtual Exemoplo 9.1

Princípio do Trabalho Virtual Exemoplo 9.3

Teorema de Castigliano O método que é chamado de segundo teorema de Castigliano, ou o método do trabalho mínimo, aplica-se somente a estruturas que têm temperatura constante, apoios sem recalques, e resposta do material elástica linear. Tendo em vista que o trabalho externo realizado por essas cargas é igual à energia de deformação interna armazenada no corpo, podemos escrever

Teorema de Castigliano Tendo em vista que o trabalho externo realizado por essas cargas é igual à energia de deformação interna armazenada no corpo, podemos escrever O trabalho externo é uma função das cargas externas:

Teorema de Castigliano O trabalho externo é uma função das cargas externas: Agora, se qualquer uma das forças, digamos Pi, for aumentada por um montante diferencial dpi, o trabalho interno também é aumentado de tal maneira que a nova energia de deformação torna-se

Teorema de Castigliano A aplicação adicional das cargas P1, P2,..., Pn, que deslocam o corpo Δ1, Δ2,..., Δn, resulta na energia de deformação. Tendo em vista que estas duas equações têm de ser iguais, é necessário que

Teorema de Castigliano Para Treliças Substituindo a equação da energia interna no Teorema de Castigliano: No caso geral L, A e E são constantes para um dado membro e, portanto, podemos escrever

Teorema de Castigliano Para Treliças Exemplo 9.4

Teorema de Castigliano Para Treliças Exemplo 9.6

Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Somar os efeitos sobre todos os elementos dx ao longo da viga exige uma integração e, portanto, a equação de trabalho virtual torna-se:

Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Tendo em vista que o trabalho do momento binário unitário é 1 θ, então:

Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.7

Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.8

Teorema de Castigliano Para Vigas e Pórticos A energia de deformação de flexão interna para uma viga ou pórtico é dada pela Equação: Em vez de elevar ao quadrado a expressão para o momento interno M, integrando, e então tomando a derivada parcial, geralmente é mais fácil diferenciar antes da integração:

Teorema de Castigliano Para Vigas e Pórticos Se a inclinação θ em um ponto será determinada, temos de calcular a derivada parcial do momento interno M em relação a um momento binário externo Mʹ atuando no ponto, isto é:

Teorema de Castigliano Para Vigas e Pórticos Exemplo 9.14