Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística

Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 1 / 48

É provável que você ganhe um aumento. Se atingir todas as metas, claro!!! Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 2 / 48

Probabilidade Condicional EXEMPLO: Um lote de material hospitalar é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam A = {1o artigo defeituoso} e B = {2o artigo defeituoso}. Calcule P(A) e P(B): (a) com reposição e (b) sem reposição. (a) Se extrairmos com reposição, cada vez que estivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas em um total de 100. Assim, P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5. (b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que P(A) = 1/5. Mas e sobre P(B)? É evidente que para calcularmos P(B) é necessário conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou não. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 3 / 48

Em muitas situações, informações preliminares podem alterar as probabilidades de eventos. EXEMPLO 1: A probabilidade de chover no final da tarde poderia ser diferente se tivermos informações adicionais, tal como a situação climática no dia anterior. EXEMPLO 2: Seja A = uma mulher está grávida. Seja B = exame de farmácia negativo. Sabendo da ocorrência de B, a probabilidade de A (ela estar grávida) será alterada. EXEMPLO 3: A probabilidade de um indivíduo ter cirrose pode ser afetada pelo fato dele ser ou não alcoólatra. Iremos estudar agora como a informação de que um evento B ocorreu afeta a probabilidade de ocorrência de um evento A. Usaremos a notação P(A B) para representar a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 4 / 48

Sempre que calcularmos P(A B), estaremos essencialmente calculando P(A) em relação ao espaço amostral reduzido B, em lugar de considerar o espaço amostral original Ω. EXEMPLO: Diagrama de Venn Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 5 / 48

Exemplo 4 Exemplo Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo produto. Os resultados estão a seguir. João Pessoa Recife Campina Grande Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1.000 Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine: 1. P(sim) 2. P(Recife) 3. P(Campina Grande) 4. P(Não Campina Grande) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 6 / 48

Soluções João Pessoa Recife Campina Grande Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1.000 1. P(sim) = 400/1.000 = 0,4 2. P(Recife) = 450/1.000 = 0,45 3. P(Campina Grande) = 250/1.000 = 0,25 4. P(Não Campina Grande) = 95/250 = 0,38 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 7 / 48

Avaliando os exemplos anteriores podemos concluir que: Quando calcularmos P(A) estaremos nos perguntando quão provável será estarmos em A, sabendo que devemos estar em Ω. Quando calcularmos P(A B) estaremos nos perguntando quão provável será estarmos em A, sabendo que devemos estar em B. Dado que B ocorreu, o espaço amostral relevante não é mais Ω, mas consiste em resultados contidos em B. A única forma de A ocorrer, dado que B ocorreu, é se um dos resultados da interseção (A B) ocorrer. EXEMPLO 5: Dois dados são lançados. Considere os eventos: A =a soma dos resultados é igual a 10 e B =o primeiro número é maior ou igual ao segundo. Calcule P(A), P(B), P(B A) e P(A B). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 8 / 48

EXEMPLO 5: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 9 / 48

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IMPORTANTE: Como valem os axiomas, as propriedades de probabilidade são mantidas (Ex: P(A c B) = 1 P(A B)). IMPORTANTE: Temos então duas maneiras de calcular a probabilidade condicional P(A B): (I) Empregando a definição anterior, em que P(A B) e P(B) são calculadas em relação ao espaço amostral original Ω. (II) Diretamente, pela consideração da probabilidade de A em relação ao espaço amostral reduzido B. Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa (P(B))? P(B A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então na segunda extração restarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De modo similar, temos que P(B A c ) = 20/99. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 12 / 48

Exemplo 6 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 13 / 48

Exemplo 8: Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradas são apresentadas na tabela a seguir, contendo o número de acidentes incluindo vítimas fatais e as condições do principal motorista envolvido, sóbrio ou alcoolizado. Você diria que o fato do motorista estar ou não alcoolizado interfere na ocorrência de vítimas fatais? Motorista/vítimas Fatais Não Sim Sóbrio 1228 275 Alcoolizado 2393 762 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 16 / 48

Exemplo 9: Uma turma de estatística teve a seguinte distribuição das notas finais: 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessa turma, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno foi aprovado. Calcule (a) P(A M c ) (b) P(A c M c ) (c) P(A M) (d) P(M c A) (e) P(M A) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 17 / 48

Exemplo 9: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 18 / 48

Exercício 1: Considere os dados do Exercício 4 da aula anterior. Baseado nesses dados calcule o risco relativo e interprete os resultados. Algumas importantes consequências da definição de probabilidade condicional são apresentadas a seguir. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 24 / 48

Podemos aplicar esse teorema para calcular a probabilidade da ocorrência conjunta dos eventos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 25 / 48

Exemplo 11: Voltando ao exemplo inicial das peças defeituosas. Qual a probabilidade de que ambas as peças sejam defeituosas? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 26 / 48

Exercício 2: Das pacientes de uma clínica de ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%. (a) Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter um distúrbio hormonal e ser solteira? (b) Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual é a probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 27 / 48

Exercício 2: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 28 / 48

Já consideramos eventos A e B que não podem ocorrer conjuntamente (A B = ). Tais eventos são denominados mutuamente excludentes. Se A e B forem mutuamente excludentes, então P(A B) = 0, porque a ocorrência de B impede a ocorrência de A. Em muitas situações saber que B já ocorreu nos dá alguma informação bastante definida referente à probabilidade de ocorrência de A. Existem, porém, muitas situações nas quais saber que algum evento B ocorreu não tem qualquer interesse quanto á ocorrência ou não ocorrência de A. EXEMPLO 12: Um dado equilibrado é jogado duas vezes. Seja A =o primeiro dado mostra um número par e B =o segundo dado mostra 5 ou 6. Os eventos A e B são inteiramente não relacionados. Saber que B ocorreu não fornece qualquer informação sobre a ocorrência de A. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 29 / 48

Proposição 1: Se A e B são independentes, então A e B c também são independentes (e também A c e B, e ainda A c e B c ). EXEMPLO 13: Se P(A B) = 0.8; P(A) = 0.5 e P(B) = x, determine o valor de x no caso de: (a) A e B serem mutuamente exclusivos. (b) A e B serem independentes. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 32 / 48

EXEMPLO 14: Em uma certa população, a probabilidade de gostar de teatro é de 1/3, enquanto que a de gostar de cinema é 1/2. Determine a probabilidade de gostar de teatro e não de cinema, nos seguintes casos: (a) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos. (b) Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes. (c) Todos que gostam de teatro gostam de cinema. (d) A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é de 1/8. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 33 / 48

EXEMPLO 15: Suponha que em um levantamento estatístico efetuado em determinada população verificou que o número de casais hipertensos é de 7.2%. Se nessa mesma população 23% de indivíduos do sexo masculino e 18% do sexo feminino são hipertensos, então existe dependência (ou associação) entre o fato de o homem e a mulher do casal apresentarem hipertensão? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 34 / 48

Teorema da Probabilidade Total Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 37 / 48

Ilustração Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 38 / 48

Ilustração Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 39 / 48

Importante: Esse resultado representa uma relação extremamente útil, porque frequentemente, P(A) pode ser difícil de ser calculada diretamente. No entanto, com a informação adicional de que c i tenha ocorrido, seremos capazes de calcular P(A c i ) e, em seguida empregar o teorema acima. Voltando ao exemplo inicial. Qual a probabilidade da segunda peça ser defeituosa (P(B)) se as retiradas são sem reposição? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 40 / 48

Introdução EXEMPLO 16: No exemplo da Clínica, qal a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distúrbio hormonal? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 41 / 48

Teorema de Bayes Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 42 / 48

Teorema de Bayes Na expressão do lado direito, o numerador é obtido pela regra do produto. O denominador é obtido pelo teorema da probabilidade total. Importante: Este resultado é útil quando conhecemos as probabilidades dos c i e as probabilidades condicionais de A dado c i, mas não conhecemos diretamente a probabilidade de A. Observação: A fórmula de Bayes é, às vezes, chamada de fórmula de probabilidades posteriores. As probabilidades P(C i ) podem ser chamadas probabilidades a priori e as P(C i A), probabilidades a posteriori. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 43 / 48

Introdução EXEMPLO: No exemplo da Clínica, se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteira? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 03/14 45 / 48