ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008
Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado por ter uma origem, uma direcção, um sentido e um modulo (tamanho) que se designa por v = v. Um escalar tem só magnitude, é um número e pode ser representado por um ponto numa linha. Chama-se vector n-dimensional (de dimensão n) um sistema ordenado de n números reais, v =(x 1,x 2,...,x n ), onde os números x i, 1 i n, se designam por componentes de v. Observação: Uma matriz de tipo (m n) é um vector com m n componentes e um polinómio de grau n éumvectorcom(n +1) componentes, sendo o número das componentes definido pelo número total de elementos necessários para definir uma matriz ou um polinómio
Exemplos: A matriz quadrada de ordem 3 definida por A = 1 0 1 2 3 5 4 7 11 pode ser vista como um vector com 3 3=9componentes definido por A =(1, 0, 1, 2, 3, 5, 4, 7, 11). O polinómio de grau 5 definido por p 5 (x) =1 2x 3x 2 +5x 3 6x 4 +4x 5 pode ser visto como o vector com 6 componentes definido por p 5 =(1, 2, 3, 5, 6, 4).
Definição (operações com vectores): Dois vectores v 1 =(x 1,x 2,...,x n ) e v 2 =(y 1,y 2,..., y n ) são iguais se para qualquer i, 1 i n se tem x i = y i. Chama-se vector nulo, o vector com todas as componentes iguais a zero, isto é, 0 = (0, 0,..., 0). A soma (adição) de dois vectores v 1 =(x 1,x 2,...,x n ) e v 2 =(y 1,y 2,...,y n ) define-se como sendo u = v 1 + v 2 =(x 1 + y 1,x 2 + y 2,...,x n + y n ) eadiferença (subtracção) édadapor w = v 1 v 2 =(x 1 y 1,x 2 y 2,...,x n y n ).
Chama-se oposto de um vector v =(x 1,x 2,...,x n ) ovector v que existe sempre e tem a forma v =( x 1, x 2,..., x n ). Definição: Quaisquer sejam v, v 1, v 2 e v 3, elementos de um conjunto V, a soma (adição) de vectores verifica as seguintes propriedades: A1. v 1 + v 2 éumelementodev (a operação de adição é fechada) A2. v 1 + v 2 = v 2 + v 1 (comutatividade) A3. v 1 + v 2 + v 3 = v 1 + v 2 + v 3 (associatividade) A4. v + 0 = 0+ v = v (elemento neutro)
A5. v + v = v + v = 0 (elemento oposto) Note-se em especial a propriedade A1, ou seja, fazendo a soma de dois vectores obtém-se sempre um vector do mesmo conjunto (fechado sob adição). Chama-se multiplicação (produto) do vector v 1 =(x 1,x 2,...,x n ) pelo escalar α, ao vector α v 1 definido por α v 1 =(αx 1,αx 2,..., αx n ). Definição: Quaisquer sejam os vectores v, v 1 e v 2 de um conjunto V eos escalares reais α, α 1 e α 2, verificam-se as seguintes propriedades: M1. α v éumelementodev (a operação de multiplicação por um escalar é fechada)
M2. α v 1 + v 2 = α v 1 + α v 2 (distributiva em relação à adição de vectores) M3. (α 1 + α 2 ) v = α 1 v + α 2 v (distributiva em relação à adição de escalares) M4. α 1 α2 v =(α1 α 2 ) v (distributiva em relação à multiplicação por escalares) M5. 1 v = v (elemento neutro)
Definição (espaço vectorial): Um conjunto de elementos (vectores) V, dotado com as operações de adição e de multiplicação por um escalar que verificam as propriedades (A1 A5) e (M1 M5), designa-seporespaço vectorial. Em qualquer espaço vectorial V, para qualquer v V e α R tem-se que 1. 0 v = 0 2. 1 v + v = 0 3. α 0 = 0
Exemplos de espaços vectoriais: O conjunto constituido só pelo vector nulo é um espaço vectorial (o menor espaço vectorial possível). O conjunto R dos números reais é um espaço vectorial. O conjunto R 2 dos pares de números reais é um espaço vectorial. Mais geral: todas as sequências ordenadas de números reais, de n elementos, isto é (x 1,x 2,...,x n ), onde n N, designa-seporr n e forma um espaço vectorial se as operações induzidas são as operações usuais de adição e multiplicação dos números reais. O conjunto das todas as matrizes rectangulares de tipo (m n) constitui em relação à adição e à multiplicação por um escalar um espaço vectorial.
Este espaço vectorial designa-se por M (m n) epodeseridentificado com o espaço vectorial real R mn. O vector genérico do espaço M (m n) é definido por A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... a m1 a m2... a mn o que de maneira equivalente pode ser identificado com o elemento genérico do espaço vectorial real R mn, isto é v A =(a 11,...,a 1n,a 21,...,a 2n,...,a m1,...,a mn ), vector que se obtem colando as linhas da matriz A. O conjunto dos polinómios de coeficientes reais de grau menor ou igual a n forma um espaço vectorial em relação à adição de polinómios e à
multiplicação de polinómios por um escalar. Este espaço vectorial designase por P n e pode ser identificado com o espaço vectorial real R n+1. O vector genérico do espaço P n representa-se por p n (x) =a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, onde a 0,a 1,...,a n são coeficientes reais. De maneira equivalente podemos representar o polinómio genérico por p n =(a 0,a 1,...,a n ) R n+1.
Exemplos de conjuntos que não formam espaços vectoriais O conjunto V de todos os vectores de tipo v =(a, b, 1) não forma um espaço vectorial, porque os elementos desse conjunto não são fechados sob adição. Para ver isto, considerem-se v 1 =(a 1,b 1, 1) e v 2 =(a 2,b 2, 1) elementos de V easomadelesdá v 1 + v 2 =(a 1,b 1, 1) + (a 2,b 2, 1) = (a 1 + a 2,b 1 + b 2, 2) / V, logo V não é um espaço vectorial. O conjunto de todos os polinómios reais de grau 2 não forma um espaço vectorial porque os polinómios não são fechados sob adição. Por exemplo, considerando p 1 (x) =4x 2 2x +1e p 2 (x) = 4x 2 +9x +3, asoma p 1 (x)+p 2 (x) = ³ 4x 2 2x +1 + ³ 4x 2 +9x +3 =7x +4 é um polinómio de grau 1 que não pertence ao conjunto dado, logo não se trata de um espaço vectorial.
Definição (subespaço vectorial): Se V é um espaço vectorial, então o subconjunto de vectores V 1 V diz-se um subespaço vectorial em V (de V )se v 1 + v 2 V 1, v 1, v 2 V 1 V e α v V 1, v V 1 V, α R. Portanto, dado um espaço vectorial V, um subconjunto V 1 de V forma um subespaço vectorial se as duas operações definidas no espaço ficam fechadas para todos os elementos de V 1. Note-se que um subespaço vectorial contém sempre o vector nulo do espaço vectorial do qual provém (ao qual pertence). O vector nulo é sempre um subespaço vectorial. Exemplos de subespaços vectoriais Os possíveis subespaços do espaço vectorial R 3 são: o espaço nulo, uma recta que passa pela origem, um plano que passa pela origem e o espaço inteiro R 3.
O espaço vectorial dos polinómios reais de grau menor ou igual a 3 tem como subespaço vectorial o conjunto de todos os polinómios de grau menor ou igual a 1. Exemplos de conjuntos que não formam subespaços vectoriais OconjuntoQ = n (x, y) R 2 : x 0,y 0 o não forma um subespaço vectorial de R 2 porque não é fechado sob multiplicação por um escalar. Basta considerar um escalar negativo para obter um vector exterior ao primeiro quadrante. O conjunto R + não é um subespaço vectorial de R porque as operações de R não são fechadas em R +. Por exemplo, se v =2 R + e α = 1 escalar real então α v = 1 2= 2 / R +.
Bases e Dimensão de um Espaço Vectorial Definição: Sejam v 1, v 2,..., v m vectores de V esejamα 1,α 2,..., α m escalares de R. Então, o elemento X m v = α i v i = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α m v m i=1 designa-se por combinação linear dos vectores v i, 1 i m. Oconjunto W de todas as combinações lineares dos vectores v 1, v 2,..., v m éo menor subespaço de V que contém os vectores v 1, v 2,..., v m. O subespaço W chama-se subespaço gerado de v 1, v 2,..., v m, e os vectores dizem-se geradores de W. Exemplos:
O subconjunto S de R 3 definido por S = {(x, y, z) :x 3y +4z =0} é um subespaço de R 3 sob as operações usuais de adição e multiplicação por escalares. Para ver isto consideramos uma parametrização do subespaço, utilizando x =3y 4z, isto é S = {(3y 4z, y, z) :y, z R} = {(3y, y, 0) + ( 4z, 0,z):y, z R} = {y (3, 1, 0) + z ( 4, 0, 1) : y, z R} e logo temos que S é descrito por uma colecção sem restrições de combinações lineares dos vectores (3, 1, 0) e ( 4, 0, 1). Os vectores v =(1, 1) e u =(1, 1) são geradores do espaço vectorial R 2. Para ver isto é preciso mostrar que qualquer elemento w =(x, y) de R 2 é uma combinação linear destes dois vectores, isto é, existem escalares
reais a 1,a 2 tal que a 1 u + a2 v = w ou seja a1 (1, 1) + a 2 (1, 1) = (x, y) oqueéequivalenteaosistema ( a1 + a 2 = x a 1 a 2 = y. A solução deste sistema é (a 1,a 2 )= ³ x y 2, x+y 2, portanto x, y R, existem coeficientes a 1,a 2 R tal que a equação vectorial seja possível, ou seja, qualquer vector de R 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vectores u e v. Seja P 2 o espaço vectorial dos polinómios reais de grau 2 esejam p 1 (x) =x 2 2x P 2 e p 2 (x) =3x 5 P 2. Queremos determinar oespaçogeradoporp 1 (x) e p 2 (x), ou seja, o conjunto de todas as
combinações lineares desses dois vectores, isto é: ( ³ λ1 x {λ 1 p 1 (x)+λ 2 p 2 (x) :λ 1,λ 2 R} = 2 2x + λ 2 (3x 5) : λ 1,λ 2 R = n λ 1 x 2 +( 2λ 1 +3λ 2 )x 5λ 2 : λ 1,λ 2 R o. ) OelementogenéricodoespaçoP 2 édefinido por p (x) =a 1 x 2 +a 2 x+a 3 e portanto coloca-se a seguinte questão: para que elementos a 1 x 2 +a 2 x+a 3 de P 2 existem os coeficientes λ 1,λ 2 R tal que a 1 x 2 + a 2 x + a 3 = λ 1 x 2 +( 2λ 1 +3λ 2 )x 5λ 2? Como dois polinómios são iguais se e só se os seus coeficientes forem iguais, resulta que a 1,a 2,a 3 devem satisfazer as seguintes condições λ 1 = a 1, 2λ 1 +3λ 2 = a 2, 5 =a 3. A solução destesistemaédadaporλ 1 = a 1,λ 2 = a 2+2a 1 3, 5 = a 3 donde o subespaço gerado é n a 1 x 2 + a 2 x 5:a 1,a 2 R o.
Definição: Os vectores v 1, v 2,..., v n, dizem-se linearmente dependentes se existem os escalares reais α 1,α 2,..., α n, não todos nulos, tal que se verifica a seguinte relação nx i=1 α i v i =0. (1) Se a igualdade (1) se verificaseesóseα 1 = α 2 =... = α n =0,entãoos vectores v 1, v 2,..., v n dizem-se linearmente independentes. Note-se que a relação (1) pode ser dada na seguinte forma matricial nx i=1 α i v i = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α n v n =
= α 1 x 11 x 21. x m1 + α 2 x 12 x 22. x m2 +... + α n x 1n x 2n. x mn = o que conduz a um sistema linear homogéneo, sobre o qual sabemos que admite sempre a solução nula. Seja A (m n) a matriz das coordenadas dos vectores, isto é A = h v 1 v 2... v m i = edesigna-seporr (A) a característica dessa matriz. classificação: 0 0. 0 x 11 x 12 x 1n x 21 x 22 x 2n...... x m1 x m2 x mn Obtém-se a seguinte se n>m(o número de vectores é superior à dimensão do espaço ao qual
pertencem), então os vectores v 1, v 2,..., v n são sempre linearmente dependentes; se n m (o número de vectores é inferior ou igual à dimensão do espaço ao qual pertencem), então os vectores v 1, v 2,..., v n são linearmente dependentes se e só se r (A) < n. Se r (A) = n, então os vectores v 1, v 2,..., v n são linearmente independentes. Exemplos: Os vectores u =(1, 1/2), v =(2, 1) e w =( 2, 1) são linearmente dependentes. Tem-se a seguinte combinação linear α 1 u + α2 v + α3 w = 0 α1 (1, 1/2) + α 2 (2, 1) + α 3 ( 2, 1) = ³ α 1 +2α 2 2α 3, 1 2 α 1 + α 2 α 3 =(0, 0)
o que é equivalente ao sistema homogéneo α 1 +2α 2 2α 3 =0 1 2 α 1 + α 2 α 3 =0. Saliente-se que o sistema é duplamente indeterminado e a sua solução é dada pela família (α 1,α 2,α 3 )=(2α 3 2α 2,α 2,α 3 ), α 2,α 3 R. A sua resolução também é equivalente ao estudo da dependência linear das filas da matriz das coordenadas dos vectores, isto é: A = 1 2 2 1/2 1 1 Como n =3> m =2, logo os vectores são linearmente dependentes.
Como consequência, escreve-se α 1 u + α2 v + α3 w =0 α 1 u = α2 v α3 w α u = 2 α v 3 w α 1 α 1 portanto u é uma combinação linear de v e w. O conjunto dos polinómios {1 +x, 1 x} é linearmente independente em P 2 porque α 1 (1 + x)+α 2 (1 x) =(α 1 + α 2 )+(α 1 α 2 ) x+0x 2 =0+0x+0x 2 pelo que α 1 + α 2 =0 α 1 α 2 =0 = α 1 =0 α 2 =0, e, portanto, a única relação entre os dois vectores de P 2 é a trivial.
Definição (base/dimensãodeumespaçovectorial): Um conjunto de vectores que geram um espaço vectorial e são linearmente independentes, designase por base do espaço. Diz-se que um espaço vectorial tem dimensão n quando contém uma base com n elementos. Se B = n b 1,..., o b n éuma base de um espaço vectorial V, então cada vector v =(x 1,..., x n ) V vem unicamente representado por uma combinação linear das suas coordenadas e dos vectores da base, isto é v = x1 b 1 +... + x n b n. Teorema: Qualquer base de um espaço vectorial tem o mesmo número de elementos. Num espaço vectorial de dimensão n, quaisquer n vectores linearmente independentes formam uma base. Num espaço vectorial de dimensão n, quaisquer (n +1)vectores são sempre linearmente dependentes. Exemplos:
O conjunto dos vectores {(2, 4), (1, 1)} forma uma base do espaço R 2. Para ver isso precisamos verificar se os vectores são geradores e linearmente independentes. Os vectores são linearmente independentes porque α 1 (2, 4) + α 2 (1, 1) = (0, 0) e são geradores do espaço vectorial R 2 porque 2α 1 + α 2 = x 4α 1 + α 2 = y 2α 1 + α 2 =0 4α 1 + α 2 =0 α 1 = y x 2 α 2 =2x y. α 1 =0 α 2 =0 Analogamente pode-se verificar que os vectores {(1, 1), (2, 4)} e os vectores {(1, 0), (0, 1)} formam também bases para o espaço vectorial R 2. Definição (base canónica): Para qualquer espaço vectorial R n oconjuntode
vectores E n = {(1, 0,...,0), (0, 1,..., 0),...,(0, 0,...,1)} forma uma base designada por base canónica (ou natural). Designemos os vectores da base canónica por e 1, e 2,..., e n. Exemplos: A base canónica do espaço R 4 édadapor E 4 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. A base canónica do espaço vectorial P 3 édadapor n 1,x,x 2,x 3o
o que é equivalente à base canónica do espaço R 4 porque 1=1+0x +0x 2 +0x 3 e 1 =(1, 0, 0, 0) x =0+1x +0x 2 +0x 3 e 2 =(0, 1, 0, 0) x 2 =0+0x +1x 2 +0x 3 e 3 =(0, 0, 1, 0) x 3 =0+0x +0x 2 +1x 3 e 4 =(0, 0, 0, 1) o que mostra que a dimensão do espaço P 3 é 4. A base canónica do espaço vectorial M (2 2) édadapor (" 1 0 0 0 #, " 0 1 0 0 #, " 0 0 1 0 #, " 0 0 0 1 #)
o que é equivalente à base canónica do espaço R 4 porque " # " # 1 0 0 1 e 0 0 1 =(1, 0, 0, 0), e 0 0 2 =(0, 1, 0, 0) " # " # 0 0 0 0 e 1 0 3 =(0, 0, 1, 0), e 0 1 4 =(0, 0, 0, 1) o que mostra que a dimensão do espaço M (2 2) é 4. Determine a dimensão do subespaço S de R 4, onde S = {(x, y, z, w) :x y w =0e z +2w =0}. Para determinar a dimensão do subespaço S é preciso parametrizar a de-
scrição do subespaço, isto é x y w =0 z +2w =0 x = y + w z = 2w logo S = {(x, y, z, w) :x = y + w =0e z = 2w} = = {(y + w, y, 2w, w) :y, w R} = = {(y, y, 0, 0) + (w, 0, 2w, w) :y, w R} = = {y (1, 1, 0, 0) + w (1, 0, 2, 1) : y, w R}. Portanto, definimos o subespaço S como o espaço gerado pelos vectores {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 1)}. É fácil ver que estes dois vectores são linearmente independentes, logo formam uma base de S, de onde vem que S é um subespaço vectorial de dimensão 2 do espaço R 4.