3. Cálculo de Limites 0. Formas Indeterminadas 0=0 = 0 0 02. Oerações com os símbolos + = = ( ) = = k = ; se k > 0 k = ; se k < 0 ( ) ( ) = ( ) = k = ; se k > 0 = ; se > 0 = 0; se < 0 k=0 = ; k 6= 0 03. Funções Racionais Ao calcular o te no in nito, isto é, quando!, de uma função racional (quociente de dois olinômios), recomendamos colocar em evidência no numerador e no denominador o termo de maior grau A 0 + A + A 2 2 + A 3 3 + + A n n! B 0 + B + B 2 2 + B 3 3 + + B k k = n A0 + A n + A n 2 + + A n n 2 + A n! k B0 k + B k + B 2 k 2 + + B k + B k Cada termo, entre arênteses, que contém uma otência de no denominador tem ite zero e, sendo assim, o valor do ite se reduz a A n n! B k k O valor nal deende de n e k; que são os graus dos olinômios. a Se os olinômios têm mesmo grau, isto é, se n = k, então o valor do ite é A n n! B n n = A n B n b Se o grau do numerador (n) é maior do que o grau do denominador (k), então A n n! B k k = A n n k = (deende do sinal de A n =B! B k ; note que n k > 0) k
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS c Se o grau do numerador (n) é menor do que o grau do denominador (k), então A n n! B k k = (A n=b k ) = 0 (note que k n > 0)! k n 04. Proriedades Algébricas Suonhamos que f () = L e que g () = M Então a ite da constante k = k; (k constante). b ite da soma [f () + g ()] = L + M c ite do roduto [f () g ()] = L M d ite do quociente [f () =g ()] = L=M; (M 6= 0) Como consequência dessas roriedades, deduzimos que articular, [f () g ()] = L M 05. Outras roriedades [kf ()] = kl; k constante e, em a b c Se f () = L, então jf ()j = jlj Se a função f () é tal que jf ()j C;, e g () = 0, então [f () g ()] = 0 Confronto se f () g () h () ; ; e se f () = h () = L, então g () = L 06. Nota i As roriedades mencionadas continuam válidas se substituirmos a constante a or ii Os casos em que L = ou M = devem ser tratados com base nas oerações 02. 07. Função Contínua Quando o onto a estiver no domínio da função f () e, além disso, f () eistir e for igual a f (a), diremos que a função f é contínua no onto a. Os olinômios são os eemlos mais simles de funções contínuas. Por eemlo, se f () é o olinômio 3 4 2 2 +, então As funções racionais P () Q() 34 2 2 + = 3a 4 2a 2 + a = f (a) (quociente de dois olinômios) são funções contínuas em qualquer onto a que não seja raiz de Q (). Isto é consequência das roriedades do ite P () Q () = P (a) ; Q (a) 6= 0 Q (a) Uma função f () tal que jf ()j C; ; denomina-se função itada. Seu grá co está entre as retas y = C
2 LIMITE E CONTINUIDADE COMPLEMENTOS 3 ESCREVENDO PARA APRENDER 3.A Em cada caso abaio calcule o ite de f (), quando! a (a) f () = 2 + 5; a = 7 (b) f () = 3 3 + + ; a = 0 (c) f () = 2 + 3 0 ; a = 5 (d) f () = 2 4 + 5 3 + 2 2 ; a = 2 (e) f () = ; a = (f) f () = 2 + 3 ; a = + 3 2 + (g) f () = 4 3 3 ; a = (h) f () = 9 ; a = 9 (i) f () = 2 + ; a = 0 (j) f () = 2 + 20 2 2 ; a = 2 (k) f () = + ; a = 3 (l) f () = 4 2 + 3 + 2 2 + ; a = (m) f () = 3 3 2 ; a = 2 (n) f () = 3 3 4 2 3 6 ; a = (faça u = 3 3 ) s (o) f () = 2 + 3 2 2 ; a = () f () = 3 + 2 ; a = (faça u = 3 + 2) + f () 3.B Se f é uma função de nida em R e f (3) f 2 (a) = 3 (b) = 0 =, mostre que f () f () 3.C Se! 2 2 =, calcule f () e! 2! 2. f () 5 3.D Sabendo-se que = 3, calcule f ()!2 2!2 3.E Se ' é uma função tal que 2 4 2 ' () +, 6= 0, calcule 2 ' () 3.F Sejam f e g funções de nidas em D, tais que f () = 0 e jg ()j M; 2 D, sendo M uma constante ositiva. Use o Teorema do Confronto e mostre que [f () g ()] = 0 <, se 0 3.G Considere a função g de nida or g () =. Investigue a eistência dos, se > 0 ites g () e 2 g () 3.H Em cada caso abaio, calcule os ites laterais de f no onto a
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 3 (a) f () = + 3 + 2 ; a = 2 (b) f () = ( 2) 2 ; a = 2 (c) f () = 2 ( ) 3 ; a = (d) f () = 2 4 j 2j ; a = 2 (e) f () = 2 + 4 + 5 5 ( + 3) j + 2j ; a = 0 (f) f () = ; a = 2 + 2 2 ( ) (g) f () = ; a = (h) f () = + 3 j j j 2 9j ; a = 3 (i) f () = 2 + 2 ; a = (j) f () = j j j 2 4j ; a = 2 3.I Calcule 2 e veri que se eiste o ite!2 +!2 3.J Calcule os ites laterais indicados. (a) (b) (c) + + 2 5 5 2 + (e) (f) (g)!3 + 3!3 3 + (i) + 3 2 (m) + 2 + 2 + (j) (n) 3 2 (k)!3 + 2 3 2 6 + 9 3 2 4! + 2 (o) + jj 2 (d) (h) (l) ()! 2 3 2 j j 2 + 3! + 2 3.K Calcule os seguintes ites no in nito. (a) (d)!+ 4 + 3 + 2 b)! 4 3 + 2 (c)!+ 33 + 2 +! 33 + 2 + (e) 5 4 +!+ 2 5 (f) 5 4 +! 2 5 5 3 6 + (g)!+ 6 3 + 2 (j) + 3!+ (m)!+ 2 3 + 3 (h) (k) (n) 3.2 Limite e Continuidade!!+! 5 3 6 + 6 3 + 2 2 + 3 5 3 + 2 (i) (l)!+!+ (0)! + + 3 3 + 3 2 jj 3.2A Qual das a rmações abaio é verdadeira? (a) f () = + f () =) f é contínua em = a; (b) Se jf ()j eiste, então f () também eiste;
4 LIMITE E CONTINUIDADE COMPLEMENTOS 3 (c) Se jf ()j = 0, então f () = 0 3.2B Calcule! f (), onde a função f R! R é de nida or f () = Esta função é contínua em =? >< > 2, se 6= 3; se = 3.2C Seja f uma função real contínua, de nida em torno do onto a =, tal que f () = 2 3 + 2, ara 6=. Quanto vale f ()? Por quê? 3.2D Determine o valor de k, de modo que cada uma das funções dadas abaio seja contínua no onto a indicado. >< (a) a = 2; f () = > 3, se 6= 2 2 k, se = 2 >< 3, se > 0 e 6= 3 (b) a = 3; f () = 3 > k, se = 3 3.2E Seja f a função de nida or f ( ) = 2 e f () = 2 +, ara 6= + contínua no onto =? Por quê? E no onto = 0?. A função f é 3.2F Dê eemlo de uma função f, de nida em R, descontínua no onto = 2, mas que satisfaça f () = f ()!2 +!2 3.2G Seja f uma função tal que jf ()j 2, 2 R. Mostre que f é continua em = 0 3.2H Esboce o grá co e encontre os ontos de descontinuidade da função f, de nida or 2 2 + 3, se >< 5 f () = 6 5, se < < 3 > 3, se 3 3.2I Em cada caso, esboce o grá co da função e diga se ela é contínua no onto a indicado. 2 < 2, se > ><, se 6= 2 (a) a = 0; f () = (b) a = 0; f () = j 2j 2, se >, se = 2 (c) a = ; f () = 2 2 3 < 0, se < 0 (d) a = ; f () = + [], se 0 Nota No Eercício 3.20(d), [] reresenta o maior inteiro menor ou igual a e a função corresondente 7! [] é denominada função escada.
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 5 3.2J Seja f a função cujo grá co encontra-se esboçado abaio. (a) Calcule f() (b) Calcule f()!3 (c) Calcule f(0) (d) Calculef(3) (e) f é contínua no onto = 0? (f) f é contínua no onto = 3? 3 2 + + + 3 3.2K Eiste um número real caaz de fazer com que! 2 2 + 2 eista? 3.2G Uma comanhia ferroviária cobra R$0,00 or km, ara transortar um vagão até uma distância de 200km, cobrando ainda R$,00 or cada km que eceda a 200. Além disso, essa mesma comanhia cobra uma taa de serviço de R$.000,00 or vagão, indeendentemente da distância a ercorrer. Determine a função que reresenta o custo ara transortar um vagão a uma distância de km e esboce seu grá co. Essa função é contínua em = 200? 3.2L Uma fábrica é caaz de roduzir 5.000 unidades de um certo roduto, em um turno de horas de trabalho. Para cada turno de trabalho, sabe-se que eiste um custo o de R$2.000,00, relativo ao consumo de energia elétrica. Suondo-se que, or unidade roduzida, o custo variável, dado o gasto com matéria rima e salários, é de R$2,00, determine a função que reresenta o custo total ara a fabricação de unidades e esboce seu grá co. A função encontrada é contínua ara 0 45000? 3.2M Um estacionamento cobra R$3,00 ela rimeira hora, ou arte dela, e R$2,00 or hora sucessiva, ou arte dela, até o máimo de R$0,00. Esboce o grá co do custo do estacionamento como uma função do temo decorrido e analise as descontinuidades dessa função. 3.2N Prove que a equação 5 + + = 0 tem elo menos uma raiz no intervalo [ ; 0] 3.2O Prove que a equação 3 4 + 2 = 0 admite três raízes reais e distintas.
6 LIMITE E CONTINUIDADE COMPLEMENTOS 3 < 2 + 2, se 2 < 0 3.2P Considere a função f de nida or f () = 2 2, se 0 2 Mostre que não eiste um número no intervalo [ do valor Intermediário? 2; 2] tal que f () = 0. Isto contradiz o corolário do Teorema 3.2Q Quais das seguintes a rmações sobre a função y = f () ilustrada abaio são verdadeiras e quais são falsas? (a) f() eiste. (b) f() = 0 (c) f() = (d)! f() = (e)! f() = 0 (f) f() eiste no onto a em ( ; ). 3.2R Elique or que os ites abaio não eistem. (a) jj (b)! + 3 (c)! 2 ( ) ( + 2) 2 + 3 (d)! 3.3 Resostas & Sugestões 3.A (a) 9 (b) 3=2 (c) 7 (d) =2 (e) 4 (f) =3 (g) 4=3 (h) =6 (i) (j) 4 (k) =(3 2) (l) 0 (m) 3 3 4 (n) 32 (o) =2 () =3 3.B (a) Com u = 3 tem-se f (3) f (u) = 3 u!0 u Em (b), faça u = f 2 uf (u) 2 e encontre = 3.C u!0 u 4 e 2 3.D 5 3.E 3.F Temos 0 jf () g ()j M jf ()j 3.G g () não tem ite em = 0 e 2 g () = 0 3.H (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) 5=5 2 =6 2 =4 5=5 + 2 =6 2 =4 3.I Quando! 2 + o ite eiste e vale 0. Quando! 2 o ite não eiste.
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P MATOS 7 3.J (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) () 3.K (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) 5=6 0 0 =2 3.2A (a) falsa (b) falsa (c) verdadeira 3.2B! f () = 2 e f () = 3 Logo, f é descontínua em a = 3.2C Como f é contínua em a =, devemos ter f () = 3.2D (a) k = 2 (b) k = 3=6 3.2E f é contínua em e descontínua em 0 3.2F Considere, or eemlo, a função f de nida assim f () =, ara 6= 2 e f (2) = 0 3.2G Use o Teorema do Sanduíche 3.2H = 3 é a única descontinuidade de f 3.2I (a) sim (b)sim (c) não (d) não 3.2J (a) 3 (b) não eiste (c) 3 (d) 4 (e) sim (f) não 3.2K Se = 5, o ite será 3.2L Se 200, o custo C () é determinado em reais or C () = 000+0. O custo ara uma distância de 200 km é, ortanto, C (200) = R$3000; 00. Se a distância ecede 200 km, isto é, se > 200, então o custo total será dado or C () = 3000 + ( 200). Resumindo, temos C () = 000 + 0, se 0 < 200; e C () = 400 +, ara > 200 Essa função é contínua em = 200 3.2M Se 0 5000, um único turno de trabalho será su cente e, assim, C () = 2000 + 2. Se 5000 < 45000, então a fábrica deverá oerar em 3 turnos e, nesse caso, C () = 6000 + 0 Nesse intervalo a função custo é descontínua 3.2N As descontinuidades ocorrem nos ontos t = ; t = 2; t = 3 e t = 4 3.2P Como a função não é contínua em [ 2; 2], o fato não contradiz o resultado citado 3.2Q V, V, F, F, F, V 3.2R Em cada caso note que os ites laterais, quando eistem, são diferentes.