ÁLGEBRA LINEAR Espaços Vetoriais Prof. Susie C. Keller
Introdução Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, o US Columbia partiu majestosamente de sua plataforma de lançamento numa manhã fresca num domingo de abril de 1981, em Palm. Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento, o primeiro ônibus espacial dos EUA foi uma vitória da engenharia de controle de sistemas, envolvendo muitas áreas da engenharia - aeronáutica, química, elétrica, hidráulica e mecânica.
Introdução Os sistemas de controle do ônibus espacial são absolutamente críticos para o vôo. Como o ônibus espacial é uma aeronave instável, ele requer um constante monitoramento por computador durante o vôo atmosférico. O sistema de controle de vôo envia uma seqüência de comandos para as superfícies de controle aerodinâmico e 44 jatos de propulsão. Este esquema é um sistema fechado de feedback típico que controla a inclinação do ônibus espacial durante o vôo. O símbolo em destaque é onde os sinais dos diversos sensores são somados aos sinais do computador e fluem para o controlador.
Introdução
Introdução Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções. É importante para as aplicações que essas funções possam ser somadas e multiplicadas por escalares. Essas operações em funções têm propriedades algébricas que são completamente análogas às operações de soma de vetor e multiplicação de vetor por escalar no IR n.
Introdução Por este motivo, o conjunto de todas as entradas possíveis (funções) é chamado de um espaço vetorial. A fundamentação matemática para a engenharia de sistemas repousa sobre os espaços vetoriais de funções, portanto precisamos entender a teoria de vetores do IR n de modo a incluir as funções. (Texto extraído e adaptado de Livro Álgebra Linear e suas aplicações, David C. Lay, 2ªedição. LTC.).
Introdução Veremos hoje: O que são Espaços Vetoriais: Propriedades dos Espaços Vetoriais,
Introdução O conjunto IR 2 = {(x,y) / x, y IR} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par ordenado (x,y) pode representar: um ponto, x e y são coordenadas; um vetor, (x,y) representam a extremidade do vetor.
Introdução Essa idéia pode ser estendida para o IR 3 que representa o espaço tridimensional. Podemos ter espaços n-dimensionais formados por e- nuplas de reais, IR 4, IR 5..., IR n, porém perde-se a interpretação geométrica. O espaço n-dimensional é definido por IR n = {(x 1,x 2,...,x n ) / x i IR}
Introdução Vamos considerar agora dois conjuntos: IR n Matrizes M(m,n) ou M mxn Nesses conjuntos estão definidas as operações: Soma e Multiplicação por escalar, Assim, esses conjuntos possuem uma série de propriedades em comum.
Introdução Se u, v e w IR n, se, IR e A, B, C M(m,n), temos: A) Em relação à Adição valem as propriedades: 1) (u + v) + w = u + (v + w) (A + B) + C = A + (B + C) Associativa da Adição 2) u + v = v + u A + B = B + A 3) u + 0 = u A + 0 = A Comutativa da Adição Existência do Elemento Neutro
Introdução O elemento zero, 0, será um vetor na primeira igualdade e uma matriz nula na segunda igualdade. 4) u + (-u) = 0 A + (-A) = 0 Existência do Elemento Simétrico Por exemplo se u = (x 1, x 2,..., x n ) então o vetor simétrico é -u = (-x 1, -x 2,..., -x n ) e para A temos -A.
Introdução B) Em relação à Multiplicação por Escalar valem as propriedades: 1) ( )u = ( u) ( )A = ( A) Associativa em relação ao Escalar 2) ( + )u = u + u ( + )A = A + A 3) (u + v) = u + v (A + B) = A + B Distributiva em relação ao Escalar Distributiva em relação ao Vetor (ou Matriz) 4) 1u = u 1A = A Existência do Elemento Neutro
Introdução Os conjuntos IR n e M(m,n) munidos desse par de operações apresentam uma estrutura comum em relação a estas operações. Existem outros conjuntos numéricos que também apresentam essa estrutura comum. Esses conjuntos são chamados ESPAÇOS VETORIAIS.
Espaços Vetoriais Espaço Vetorial Real Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é: u, v V, u + v V IR, u V, u V O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real se forem verificados os seguinte axiomas:
Espaços Vetoriais Em relação à Adição: A 1 ) (u + v) + w = u + (v + w), u, v, w V A 2 ) u + v = v + u, u, v V A 3 ) 0 V, u V, u + 0 = u A 4 ) u V, (-u) V, u + (-u) = 0
Espaços Vetoriais Em relação à Multiplicação por Escalar: M1) ( )u = ( u) M2) ( + )u = u + u M3) (u + v) = u + v M4) 1u = u u, v V e, IR
Espaços Vetoriais Nota: Um axioma é uma hipótese inicial do qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal.
Espaços Vetoriais Observações: Os elementos de um espaço vetorial são chamados de vetores, independentemente de sua natureza (vetores, matrizes, R n, polinômios...); Se considerarmos conjuntos de nº complexos, definimos um espaço vetorial complexo.
Espaços Vetoriais Exemplo 1: O conjunto V = IR 2 = {(x, y)/ x, y IR} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (x, y) = ( x, y) Essas operações são denominadas operações usuais.
Espaços Vetoriais Para verificar os oito axiomas do espaço vetorial, sejam u = (x 1, y 1 ), v = (x 2, y 2 ) e w = (x 3, y 3 ): Em relação à Adição:
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Espaços Vetoriais Em relação à Multiplicação por Escalar
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Espaços Vetoriais Exemplo 2: Podemos ter as operações de soma e multiplicação por escalar redefinidas e ainda assim o conjunto ser um Espaço Vetorial: O conjunto V = {(x, x 2 )/x IR} com as operações definidas por: é um espaço vetorial sobre IR. 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ) ( 2 ) ( x x x x x x x x x x
Espaços Vetoriais Contra - exemplo: O conjunto IR 2 = {(a, b)/a, b IR} não é um espaço vetorial em relação às operações assim definidas: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) k(a, b) = (ka, b), k IR A Adição aqui definida é a usual, portanto os axiomas A1, A 2, A 3, e A 4 são satisfeitos como visto no Exemplo1. Já a Multiplicação por escalar é redefinida, o que ocasiona o problema.
Espaços Vetoriais Sejam u = (x1, y1), v = (x2, y2) e, IR: Este axioma se verifica!!!
Espaços Vetoriais Como pode-se ver ( + )u u + u Assim M 2 não se verifica e o exemplo não é um espaço vetorial.
Espaços Vetoriais Propriedades dos Espaços Vetoriais I) Existe um único vetor nulo em V. II) Cada vetor u V admite apenas um simétrico -u V. III) Para quaisquer u, v, w V, se u + w = v + w, então u = v. IV) Qualquer que seja v V, tem-se: -(-v) = v, isto é, o oposto de v é v. V) Quaisquer que sejam u, v V, existe um e somente um x, tal que u + x = v.
Espaços Vetoriais VI) Qualquer que seja v V, 0v = 0. O primeiro zero é um número real e o segundo zero é um vetor nulo. VII) Qualquer que seja k IR, k0 = 0. VIII) kv = 0, implica k = 0 ou v = 0. IX) Qualquer que seja v V, (-1)v = -v. X) Quaisquer que sejam v V e k IR, (-k)v = k(-v) = -(kv).