Cap. - Mecanica do Sistea Sola II: Leis de Keple do oviento planetáio
Johannes Keple Tycho Bahe Mateático e Astônoo Aleão 57-630 Astônoo Dinaaquês 546-60
= Cicunfeência achatada = Elipse
Lei das Elipses : sobe óbitas dos planetas ª Lei: A óbita de cada planeta é ua elipse co o Sol situado e u dos focos. Mateaticaente, ua elipse é definida coo o locus de todos os pontos, de odo que a soa das distâncias a pati de dois loci (focos) até qualque ponto sobe a elipse é constante: + = a = constante onde a é o sei-eixo aio. No caso de ua óbita planetáia, o sei-eixo aio da elipse é a distância édia do Sol até o planeta.
Popiedades da elipse Eixo aio linha AA, onde A e A são os vétices da elipse. Sei-eixo aio as linhas CA e CA, onde C é o cento da elipse. Paa cada ponto P sobe a elipse à distância do foco S, há u ponto siético P a ua distância de S a édia dessas distâncias é ( + ) / = a. Este esultado vale paa qualque pa de pontos abitáios, as siéticos. Potanto, o sei-eixo aio é igual à distância édia ente o Sol e u planeta e ua óbita elíptica. Sei-eixo eno as linhas CB e CB. Se a e b denota os copientos dos sei-eixos aio e eno, espectivaente, então usando as linhas pontilhadas ( = = a) e o teoea de Pitágoas, enconta-se que b = a - a e = a ( - e ), onde e é a excenticidade da elipse.
Excenticidade a azão CS / CA. Se a elipse é u cículo, e = 0, desde que S e F seja coincidentes C. O outo liite paa e é, obtido quando a elipse é tão esteita que o foco levado paa infinito. A distância paa cada foco ao cento da elipse é ae. Peiélio quando o planeta P está e A. Logo, ais póxio do Sol e podeos esceve SA = CA - CS = a - ae = a ( - e). Afélio quando o planeta P está e A e, potanto, ais distante do Sol. Assi, podeos esceve SA = CA + CS = a + ae = a ( + e). Anoalia vedadeia o ângulo ASP.
É ipotante sabe a equação de ua elipse, já que isso pode nos fonece a distância de u foco a u ponto sobe a elipse (po exeplo, distância Tea-Sol) e função da posição do ponto sobe a elipse. Se centalizaos o sistea de coodenadas polaes (, ) e S e a linha SA coesponde a = 0, então ede a distância SP e (a anoalia vedadeia) ede o ângulo ASP no sentido anti-hoáio. Usando cos (80 - ) = - cos e a lei dos cossenos da tigonoetia plana, teos: = + (ae) + (ae)cos. A pati da definição de ua elipse, teos = a. Então, = a ( - e ) / ( + e cos ). Essa é a equação da elipse e coodenadas polaes.
E coodenadas catesianas (x, y), a equação da elipse pode se deivada usando a figua ao lado e o teoea de Pitágoas: = (x + ae) + y = (x - ae) + y Subtaindo essas duas eqçs. ente si e usando = a -, encontaos que = a + ex. Substituindo de novo na pieia das duas eqçs. acia e epegando a elação b = a ( - e ), obteos (x/a) + (y/b) =, que é a equação paa ua elipse e coodenadas catesianas. Podeos ve que essa equação se eduz à equação do cículo paa a=b.
Sisteas de coodenadas catesianas e polaes
Segunda Lei de Keple: Lei das Áeas ª Lei: O aio veto que liga o copo aciço (Sol, po ex.) ao copo ais leve (u planeta, po ex.) vae áeas iguais e tepos iguais
Lei Haônica Busca de haonia (Keple a deduziu 0 anos depois) 3ª Lei: O quadado do peíodo de u planeta é popocional ao cubo de sua distância édia ao Sol. P k a 3 onde, P é o peíodo sideal do planeta e a o sei-eixo aio de sua óbita. A constante k te o eso valo paa todos os copos obitando e tono do Sol.
Planet Tabela : Alguas Popiedades dos Planetas Obital Sei- Majo Axis, a (astonoi cal units) Obital Peiod, P (Eath yeas) Obital Eccenticity P /a 3 Mecuy 0.387 0.4 0.06.00 Venus 0.73 0.65 0.007.00 Eath.000.000 0.07.000 Mas.54.88 0.093.000 Jupite 5.03.86 0.048 0.999 Satun 9.539 9.46 0.056.000 Uanus 9.9 84.0 0.046 0.999 Neptune 30.06 64.8 0.00.000 Pluto 39.53 48.6 0.48.00 Logo se: P : e ANOS Teestes a : e UA = distancia Tea-Sol K =!
UNIDADES DE MEDIDAS Unidade astonôica: U.A. =,496 x 0 Ano-luz: a.l. = 9,5 x 0 5 = 634 UA Pasec: pc = 3 x 0 6 = 06 65 UA
Mosta que a édia dos aios obitais é o sei-eixo aio Q' Q ' ' A Paa u pa de pontos siéticos F' Q + ' = a Q' ' + = a + ' + ' + = a + a + ' + ' + = 4a ( + ' + ' + ) / 4 = a = a O F P Q e Q' = a Q e Q' = a... Paa todos os paes de pontos siéticos Q N e Q' N N = a + +... + N = N.a ( + +... + N ) / N = a = a
A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL O que ipede os planetas de saie flutuando pelo espaço? Keple havia atibuído as óbitas elípticas a ua foça de atação agnética. 643-77 (Newton co 46 anos de idade) Newton (sec. XVII) linha de aciocínio seelhante lei da gavitação univesal: deonstou-a po eio do oviento da Lua, explicou o oviento dos planetas e genealizou as leis de Keple
Leis de oviento de Newton Supõe-se: espaço-tepo absoluto, patícula ateial de assa descevendo ua tajetóia x (t) co velocidade v (t), co quantidade de oviento p(t) v e aceleação a (t). ª Lei da inécia Qualque copo peanece e seu estado de epouso, ou de oviento etilíneo e unifoe, a enos que seja copelido a uda de estado po ua foça extena.
ª Lei de Newton: da foça A taxa de vaiação da quantidade de oviento de u copo é igual à foça que atua sobe o copo.. A foça da ão acelea a caixa.. Duas vezes a foça poduz ua aceleação duas vezes aio (a é popocional à foça aplicada) 3. Duas vezes a foça sobe ua assa duas vezes aio, poduz a esa aceleação oiginal (a é invesaente pop. a assa) F dp dt d(v) dt dv dt a
3ª Lei da ação e eação A cada ação existe sepe ua eação igual e de sentido contáio.
Paa siplifica, vaos supo que o copo possui óbita cicula, de aio : foça centípeta: v F cent Se P é o peíodo obital do copo: v π P as, pela teceia lei de Keple: 3 P k, então: F 4π P 4 π k 3 4π k Assi, a foça que anté a óbita é invesaente popocional ao quadado do aio.
Lei da gavitação Univesal Matéia atái atéia na azão dieta das assas e invesa do quadado da distância. F F, = assas dos copos envolvidos = distância ente as assas F = foça de atação gavitacional F G G a constante univesal da gavitação G= 6,67 0-8 c 3 g - s -. Newton cobinou suas tês leis do oviento e a lei da gavitação paa deduzi as leis epíicas de Keple.
3ª Lei de Keple na foulação Newtoniana Sistea isolado; dois copos e óbita cicula, sob ação de sua foça gavitacional útua (tabé se aplica a óbitas elípticas); assas e, que obita e tono de u cento de assa (CM) suposto estacionáio, do qual dista de e.
Ua vez que a foça gavitacional atua ao longo da linha iagináia que os une, abos os copos deve copleta ua óbita no eso peíodo P (eboa se ova co velocidades difeentes). π π Paa ua óbita cicula: P v. v P A foça centípeta necessáia paa ante as óbitas é: F v
Lebando a lei da gavitação univesal: podeos esceve tabé que: O copo de assa aio peanece ais póxio do cento de assa. () G F P 4 P 4 v F π π ) ( P 4 P 4 v F b π π F F as
Coo a a ) (a a ) ( () a Lebando que gav G F F F (3) a G F gav Podeos efoula a 3ª lei de Keple, cobinando (b), (), e (3): )G ( a a 4 F 4 P P 4 F π π π 3 a ) G( 4 P π então K!!
Ve slide
Aplicação ao Sistea Sola Ente as váias aplicações, podeos calcula, po exeplo, a assa do Sol: Se u dos copos te assa uito aio que a do outo ( M >> P ), então, P 4π G( a ) 3 4π GM Θ a 3 paa o sistea Tea-Sol a distância é de U.A. e o peíodo é de ano. 3 3 4π (,5x0 ) 8 (6,67x0 )(3,6x0 então M =,99x0 33 g. ) c 3 (c g s M Θ 7-3 ) (s )
A Foça Gavitacional que u objeto exece e outo é o étodo paa deteinação de MASSAS e Astonoia!