Erivaldo Polinômios
Polinômio ou Função Polinomial Definição: P(x) = a o + a 1.x + a 2.x 2 + a 3.x 3 +... + a n.x n a o, a 1, a 2, a 3,..., a n : Números complexos Exemplos: 1) f(x) = x 2 + 3x 7 2) P(x) = 7x 6 + 3x 4 7x 2 5
Polinômios Variável, Grau, Coeficientes e Termo Independente Exemplos: 1) P(x) = 5x 3 + 9x 2 7x + 6 Variável: x Grau: 3º Coeficientes: 5, 9, - 7, 6 Termo Independente: 6 2) P(x) = 7x 5 + 2x 4 5x 2 + 4 Variável: x Grau: 5º Coeficientes: 7, 2, 0, - 5, 0, 4 Termo Independente: 4
Polinômios Valor Numérico Exemplo: P(x) = x 3 + 3x 2 2x + 1 P(2) = (2) 3 + 3.(2) 2 2.(2) + 1 P(2) = 17 P(0) = (0) 3 + 3.(0) 2 2.(0) + 1 P(0) = 1 P(1) = (1) 3 + 3.(1) 2 2.(1) + 1 P(0) = 1 + 3 2 + 1 = 3 P(0) = termo independente P(1) = soma dos coeficientes
Polinômios Raiz P(x) = x 3 + 3x 2 + x 2 P(-2) = (-2) 3 + 3.(-2) 2 + (-2) 2 P(-2) = 8 + 12 2 2 P(-2) = 0-2 é raiz de P(x) α é raiz de P(x) se, e somente se, P(α) = 0
Polinômios Complete: Q(3) = 0 3 é raiz de Q(x) 4 é raiz de R(x) R(4) = 0 Soma dos coeficientes é nula P(1) = 0 1 é raiz de P(x)
Exemplo 01 Sendo P(x) = Q(x) + x 2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x), então P(1) Q(2) vale: Resolução: P(2) = 0 Q(1) = 0 P(x) = Q(x) + x 2 + x + 1 P(2) = Q(2) + (2) 2 + 2 + 1 0 = Q(2) + 4 + 2 + 1 Q(2) = 7 P(1) Q(2) 3 ( 7) = 10 P(1) = Q(1) + (1) 2 + 1 + 1 P(1) = 0 + 1 + 1 + 1 P(1) = 3 Gabarito: 10
Polinômios Igualdade de Polinômos Dois polinômios são iguais se, e somente se, seus coeficientes forem ordenadamente iguais Exemplo: P(x) = 3x 3 + 5x 2 4x + 9 Q(x) = ax 3 + 2x 2 cx + 4x 3 + bx 2 5 + 7x + d Q(x) = ( a + 4 ).x 3 + ( b + 2 ).x 2 + ( 7 c ).x + ( d 5 ) a + 4 = 3 a = 1 b + 2 = 5 b = 3 P(x) = Q(x) 7 c = 4 c = 11 d 5 = 9 d = 14
Polinômios Polinômo Identicamente Nulo Um polinômio é nulo se, e somente se, seus coeficientes forem nulos Exemplo: Q(x) = ax 3 + 2x 2 cx + 4x 3 + bx 2 5 + 7x + d Q(x) = ( a + 4 ).x 3 + ( b + 2 ).x 2 + ( 7 c ).x + ( d 5 ) Q(x) é nulo a + 4 = 0 a = 4 b + 2 = 0 b = 2 7 c = 0 c = 7 d 5 = 0 d = 5
Polinômios Divisão 9 4 8 2 1 Nomes: 1 : resto 2 : quociente 4 : divisor 9 : dividendo Prova real: 9 = 4.2 + 1 P(x) D(x) R(x) Q(x) Nomes: R(x) : resto Q(x) : quociente D(x) : divisor P(x): dividendo Prova real: P(x) = D(x).Q(x) + R(x) Grau de Q(x): G Q = G P G D Grau de R(x): G R < G D G R = G D 1
Polinômios Exemplo: Grau de Q(x): x 6 x 4 R(x) Q(x) Grau de R(x): Maior Grau de R(x): G Q = G P G D G Q = 6 4 G Q = 2 G R < G D G R = G D 1 G R = 4 1 R(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Q(x) = ax 2 + bx + c
Exemplo 02 Encontre o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x 4 3x 3 + 2x 2 5x + 1 por D(x) = x 2 2x + 3. 2x 4 3x 3 + 2x 2 5x + 1 x 2 2x + 3 2x 4 + 4x 3 6x 2 2x 2 + x 2 0 + x 3 4x 2 5x x 3 + 2x 2 3x Q(x) = 2x 2 + x 2 0 2x 2 8x + 1 + 2x 2 4x + 6 R(x) = 12x + 7 0 12x + 7
Exemplo 03 Encontre o quociente e o resto da divisão de P(x) = 5x 3 + x 2 3x + 2 por D(x) = x 2 x + 2. 5x 3 + x 2 3x + 2 x 2 x + 2 5x 3 + 5x 2 10x 5x + 6 0 + 6x 2 13x + 2 6x 2 + 6x 12 Q(x) = 5x + 6 0 7x 10 R(x) = 7x 10
Exemplo 04 Encontre os valores de a e b para que o polinômio P(x) = x 3 3x 2 + ax + b seja divisível por D(x) = x 2 2x + 3. x 3 3x 2 + ax + b x 2 2x + 3 x 3 + 2x 2 3x 0 x 2 + (a 3)x + b + x 2 2x + 3 x 0 + (a 5)x + (b + 3) 1 Resto nulo R(x) = (a 5).x + (b + 3) zero a 5 = 0 a = 5 zero b + 3 = 0 b = 3
Exemplo 05 Encontre os valores de a e b para que o polinômio P(x) = x 3 3x 2 + ax + b quando dividido por D(x) = x 2 2x + 3 deixe resto 7 x 3 3x 2 + ax + b x 2 2x + 3 x 3 + 2x 2 3x 0 x 2 + (a 3)x + b + x 2 2x + 3 x 0 + (a 5)x + (b + 3) 1 R(x) = 0.x + 7 R(x) = (a 5).x + (b + 3) zero a 5 = 0 a = 5 sete b + 3 = 7 b = 4
Exemplo 06 Encontre o quociente e o resto da divisão de P(x) = x 3 4x 2 + 5x 7 por D(x) = x 2. Resolução: x 3 4x 2 + 5x 7 x 2 x 3 + 2x 2 x 2 2x + 1 0 2x 2 + 5x + 2x 2 4x 0 + x 7 Q(x) = x 2 2x + 1 x + 2 R(x) = 5 0 5
Exemplo 07 Encontre o resto da divisão de P(x) = x 3 4x 2 + 5x 7 por D(x) = x 2. Resolução: Teorema do resto Q(x) = x 2 2x + 1 P(x) = x 3 4x 2 + 5x 7 D(x) = x 2 R(x) = 5 P( 2 ) = ( 2 ) 3 4( 2 ) 2 + 5( 2 ) 7 P(2) = 8 16 + 10 7 P(2) = 5 R(x) = 5 Raiz: x 2 = 0 x = 2 P(raiz do divisor) = resto divisor de primeiro grau
Exemplo 08 Encontre o quociente e o resto da divisão de P(x) = x 3 4x 2 + 5x 7 por D(x) = x 2. Resolução: Briot - Ruffini P(x) = 1x 3 4x 2 + 5x 7 D(x) = x 2 1 4 5 7 2 1 2 1 5 quociente Q(x) = x 2 2x + 1 resto R(x) = 5 divisor de primeiro grau Raiz: x 2 = 0 x = 2 2 1 Q(x) = x 2 2x + 1 R(x) = 5 1 4 5 7 2 x ó descer x 1
Exemplo 09 Encontre o quociente da divisão de P(x) = 4x 3 2x 2 + 2x 1 por D(x) = 2x 6. Resolução: Briott-Ruffini: 4-2 2-1 3 4 10 32 95 Raiz do divisor: 2x 6 = 0 x = 3 : 2 Q(x) = 2x 2 + 5x + 16 R(x) = 95
Exemplo 10 (UDESC) A relação entre a e b, para que o polinômio P(x) = x 5 2x 4 + 4x 3 8x 2 + ax b tenha resto R(x) = 3, quando dividido por D(x) = x 2, é: a) 2a b = 3 b) 2a 2b = 3 c) 2a + b = 3 d) 2a + 2b = 3 e) a b = 0 Resolução: Raiz do divisor: x 2 = 0 x = 2 Resto da divisão: P(x) = x 5 2x 4 + 4x 3 8x 2 + ax b P(2) = (2) 5 2.(2) 4 + 4.(2) 3 8.(2) 2 + a.(2) b Gabarito: a R = 32 32 + 32 32 + 2a b 3 = 2a b
Polinômio Complete: P(x) é divisível por (x 4) P( 4 ) = 0 P(x) dividido por (x 2) dá resto 7 P( 2 ) = 7 P(x) é divisível por (x + 5) P( -5 ) = 0 P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 P( -1 ) = 3
Polinômio Complete: P(x) é divisível por (x 3) e por (x + 1) P( 3 ) = 0 e P( -1) = 0 P(x) é divisível por (x 1).(x + 4) P( 1 ) = 0 e P( -4) = 0 P(x) é divisível por (x 2 5x + 6) P( 2 ) = 0 e P( 3 ) = 0 As raízes do divisor são raízes do dividendo quando o resto for zero (divisível) P(k) = 0 se, e somente se, P(x) é divisível por x k
Exemplo 11 Determine b e c de modo que o polinômio P(x) = x 4 + x 2 + bx + c seja divisível por (x 2), mas quando dividido por (x + 2) deixe resto 4. Resolução: P(x) dividido por (x 2) deixa resto zero P( 2 ) = 0 P(x) dividido por (x + 2) deixa resto quatro P( -2 ) = 4 P(x) = x 4 + x 2 + bx + c P(2) = 0 P(2) = (2) 4 + (2) 2 + b(2) + c = 0 2b + c = 20 P(-2) = 4 P(-2) = (-2) 4 + (-2) 2 + b(-2) + c = 4 2b + c = 16 b = -1 e c = -18
Exemplo 12 Determine a e b para que o polinômio P(x) = x 3 + ax 2 x + b seja divisível por D(x) = x 2 3x + 2. Resolução: Raízes do divisor: x 2 3x + 2 = 0 P(x) = x 3 + ax 2 x + b x 1 = 1 ou x 2 = 2 P(1) = 0 P(2) = 0 P(1) = 0 P(1) = (1) 3 + a(1) 2 (1) + b = 0 a + b = 0 P(2) = 0 P(2) = (2) 3 + a(2) 2 (2) + b = 0 4a + b = 6 a = -2 e b = 2
Exemplo 13 Determine a e b para que o polinômio P(x) = x 3 + 2x 2 + ax + b seja divisível por D(x) = x 2 4x + 4. Resolução: Raízes do divisor: x 2 4x + 4 = 0 1 2 a b 2 1 4 a + 8 2a + b + 16 x 1 = 2 ou x 2 = 2 2 é raiz dupla de P(x) 2 1 6 a + 20 resto a + 20 = 0 a = 20 resto 2a + b + 16 = 0 2.(-20) + b + 16 = 0 b = 24
Exemplo 14 (PUC) O polinômio P(x) dividido por (x 1) dá resto 4 e dividido por (x 2) dá resto + 4. O resto da divisão de P(x) por (x 1).(x 2) é: Resolução: P(x) dividido por (x 1) deixa resto 4 P( 1 ) = 4 P(x) dividido por (x 2) deixa resto + 4 P( 2 ) = 4 P(x) (x 1).(x 2) R(x) Q(x) P(x) = (x 1).(x 2).Q(x) + (ax + b) Maior grau do resto: 1º R(x) = a.x + b
Exemplo 14 (PUC) O polinômio P(x) dividido por (x 1) dá resto 4 e dividido por (x 2) dá resto + 4. O resto da divisão de P(x) por (x 1).(x 2) é: Resolução: P( 1 ) = 4 P( 2 ) = 4 P(x) = (x 1).(x 2).Q(x) + (ax + b) P(1) = (1 1).(1 2).Q(1) + (a.1 + b) = 4 a + b = 4 zero P(2) = (2 1).(2 2).Q(2) + (a.2 + b) = 4 2a + b = 4 zero
Exemplo 14 (PUC) O polinômio P(x) dividido por (x 1) dá resto 4 e dividido por (x 2) dá resto + 4. O resto da divisão de P(x) por (x 1).(x 2) é: Resolução: P( 1 ) = 4 P( 2 ) = 4 P(x) = (x 1).(x 2).Q(x) + (ax + b) a + b = 4 2a + b = 4 a = 8 e b = 12 R(x) = a.x + b R(x) = 8x 12 Gabarito: e
Tópico 03 - Erivaldo FIM