Matemática Aplicada à Farmácia

Matemática Aplicada à Farmácia. FUNÇÕES MATEMÁTIAS Este conteúdo é em geral ministrado na 5ª e 6ª séries do ensino fundamental, e aprimorado no ensino médio. Apesar da simplicidade é ele que nos proporcionará a ferramenta ásica para compreender o funcionamento de sistemas mais compleos. O que é uma função matemática? Uma função nada mais é do que uma relação entre dois conjuntos de elementos diferentes onde a ligação entre estes elementos é dada através de uma epressão matemática que funciona como uma lei que diz como este relacionamento é estaelecido. Eemplo 1: Na figura ao lado vemos dois conjuntos A e B e, para cada elemento de A eiste um correspondente em B. A correspondência é dada pela epressão: F() 5 (lei de relação) Então se eu fizer o 6 tem que: F(6) 6-5 1 Então o correspondente de 6 do conjunto B será o 1 no conjunto A. O conjunto B no eemplo recee o nome de domínio e o conjunto a recee o nome de imagem. Para que seja uma função para cada elemento do domínio deverá haver um elemento na imagem. Pode ocorrer que os elementos do domínio possuam o mesmo elemento na imagem chamamos isso de função constante, entretanto o contrário não é possível. Eiste muito mais a respeito deste assunto, porém só a noção ásica é de interesse neste momento. Por interesse próprio não é perda de tempo aprender mais sore isso. Por fim, no plano cartesiano, F() será o eio Y e o eio X do gráfico..1 Potenciação e radiciação Este conteúdo é em geral ministrado na 5ª e 6ª séries do ensino fundamental, e aprimorado no ensino médio. Muitas aplicações em laoratório e por consequência na área de saúde dependem do uso e aplicação direta destas funções matemáticas. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 11

.1.1 O que é potenciação ou eponencial: Inicialmente vemos o prolema em querer multiplicar o mesmo número por ele mesmo, várias vezes, como por eemplo: 16 Note que a ase da conta é o número que é multiplicado por ele mesmo quatro vezes resultando em 16. Na representação de potência o número de vezes que o elemento será multiplicado por ele mesmo recee o nome de epoente. Logo, reescrevendo a conta acima em forma de potência de ase dois, temos que: 4 16.1. O que a radiciação: A raiz é um eponencial fracionário. Agora o prolema é descorir qual o número que multiplicado por ele mesmo quatro vezes resulta em 16? 4 16 16 Oserve que é eatamente o processo contrário do que foi feito na potência. O símolo utilizado chama-se radical, o número indicando o número de multiplicações que desejamos tamém se chama epoente, e o que está dentro do radical se chama radicando. Uma raiz pode ser escrita sore a forma de potência seguindo a regra: a a Eemplo : 4 4 4 Se amas são operações inversas uma da outra, para um caso de uma igualdade, tem se que: ± ± negativo. Na passagem sempre haverá duas possiilidades, o valor positivo e o valor.1. Regras de potenciação e radiciação: O om fato de amas as situações poderem ser tratadas da mesma forma nos proporciona uma vantagem nas regras. Elas são válidas para amas as situações. O gráfico da função relacionada a raiz será sempre semelhante ao gráfico ao lado. f ( ) Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 1

Qualquer número elevado a zero é igual a 1. 10 0 1 Mas 0 1 / não pode eistir, pois não eiste divisão pro zero. Assim como não é um número real. Multiplicando potências de mesma ase repetimos a ase e somamos os 1 1 1+ 1 epoentes: 10 10 10 10 Dividindo potências de mesma ase repetimos a ase e sutraímos os 1 1 1 1 0 epoentes: 10 10 10 10 Dos resultados acima se tem que: 0 1 10 0 10 10 O que mostra que qualquer potência escrita em forma de fração pode ser reescrita de forma não fracionária apenas trocando o sinal do epoente. 10 10 A potência elevada a uma potência é igual ase elevada a multiplicação das potências pois: De forma análoga pra radiciação se tem que: 4 ( 10 ) (10 10) 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 4 4 4 Os resultados acima mostram que a raiz da raiz ou o epoente do epoente sempre será simplificado pela multiplicação de amos os epoentes. A potenciação de radicais resulta em: 3 3 ( ) 1 1 1 + 1 3 3 3 3 3 3 3 Logo o epoente de fora passa para dentro do radicando elevando todo o radicando. Na divisão de radicais, divisão de potências ou radicais de mesmo epoente, a regra é a mesma para a situação: Logo, ( ) ( ) ou tamém é válido dizer Para o caso em que os epoentes sejam diferentes é possível fazer uma mudança de epoente de forma que eles fiquem iguais. O novo epoente deve ser divisível por amos epoentes anteriores. 6 3 3 6 3 6 No eemplo aaio 3/6 e /6 3 e com isso fazemos a troca. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 13

log0 /. Logaritmos e eponencial O logaritmo é a função inversa do eponencial. O gráfico ao lado mostra o comportamento de amas as funções. N Y log Y N Neste caso, significa dizer que o resultado é eatamente quantas vezes a ase deve ser multiplicada para que se otenha o valor do logaritmando L. f ( ) e f ( ) ln( ) log ase L N..1 Bases especiais Eemplo 3: Qual o resultado de log 10 100 pois 10 10100 Note que é o valor determinado é log na 10 verdade 100? o epoente da ase para que de o logaritmando 100 como resposta, ou seja: 10 100 A ase 10 é a ase mais comum e em geral tendemos sempre a usar esta ase. O logaritmo fica escrito como: log 10 log Eiste uma potência especial denominada eponencial natural cuja ase é dada em termos do número de Euler 1 e, 7188 ficando escrito como: e s Valor Da mesma forma a ase especial é aplicada ao logaritmo natural denominado logaritmo neperiano que escrito como: log e ln.. Regras de logaritmos Algumas definições importantes para o logaritmo: log 10 10 1 log 1 Os.: Dizer que log 0 / é verdade. Por que não faz sequer sentido? O logaritmo de um número cuja ase é o mesmo número terá sempre como resultado 1 A multiplicação de logaritmandos da multiplicação e a soma dos logaritmos em mesma ase. log ( ) log + log A divisão de logaritmandos e a sutração dos logaritmos em mesma ase. log log log 0 1 Homenagem a Leonard Euler matemático suíço. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 14

Mudança em série: desejado. O logaritmando elevado a um epoente é igual ao log multiplicado pelo epoente para todo real. log ( ) log Daqui é otido um importante resultado: A mudança de ase pode ser realizada de duas formas: log X log log a X log X ln X Mudança por produto: log X. log log ln a X log a a neste modo a ase assume o valor Nesta situação, independente da ase escolhida o resultado será sempre o mesmo. Agora pense: Sendo a idéia principal da mudança de ase simplificar o prolema, então procure escolher uma ase que na mudança seja eatamente o logaritmando, pois isso resulta em 1...3 Táua de logaritmos Uma rápida ferramenta é a táua de logaritmos (Apêndice B). A leitura pode ser feita facilmente pensando nas seguintes propriedades: 1) log ( a ) log a + log n ) log log log10 N N 3) log ( a 10 ) N + log a resultado? Eemplo 3: Deseja-se determinar pela taela o logaritmo de 5,11, qual o Os valores na taela sempre correspondem a mantissa numérica (valores após a, ). A coluna N da taela indica os primeiros algarismos, e a linha N indica o último algarismo. om isso, conforme a figura aaio, a mantissa pode ser lida: O mesmo pode ser feito para outros valores, como por eemplo: Oserve que usando as propriedades e a escrita em notação científica, o valor somado a frente da mantissa sempre será o epoente da ase 10. Assim a taela pode mostrar valores para todos os logaritmos possíveis. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 15

.3 Porcentagem É um valor adimensional otido ao aplicarmos uma taa percentual a um determinado valor que pode representar acréscimos ou reduções em números, quantidades, preços entre outras grandezas tomando como ase um valor de referência equivalente a 100 unidades..3.1 Razão entesimal É uma quantidade que representa uma fração de um número em relação a 100 unidades. A razão centesimal é tamém denominada taa centesimal ou taa percentual. Eemplo 5: Determine a taa percentual dos valores 7, 16, 15, e 10: Solução: Os valores percentuais estão em relação a quantidade de 100 unidades, logo: om isso, estes valores são:.3. Percentual relativo Percentual relativo refere-se a um valor percentual adimensional que significa a razão de uma quantidade sore um determinado valor tido como sendo o 100%. Eemplo 6: Qual o percentual relativo da população do Espírito Santo (1.146.45 haitantes) em relação à população de São Paulo (5.655.553 haitantes)? (Fonte dados IBGE 00) Solução: onsiderando a população de SP como 100%, temos: Percentualrelativo 114645 5655553 0,044685 4,47% Logo a população do ES representa aproimadamente 4,47% da população de SP. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 16

.4 Regra de três simples.4.1 Proporção Para entender regra de três é necessário entender proporção. Proporção é a igualdade entre duas razões. Para simples eemplo, veja que: 4 Se resolvida a igualdade entre as razões acima, será otido como resultado o que significa dizer que as razões que conduzem ao mesmo resultado são proporcionais. A igualdade por proporção é lida da seguinte forma: está para 4 assim como 1 esta para. Para efeito de estudo denominaremos nossa proporção da seguinte forma: A B Eistem algumas propriedades importantes de proporção: 1 D 1ª Propriedade fundamental: O produto dos etremos é igual ao produto dos meios. A B D ª Propriedade fundamental: A soma ou a diferença entre os numerador e quociente do primeiro termo está para o numerador do primeiro termo assim como a soma entre o numerador e quociente do segundo termo está para o numerador deste segundo termo. A D B A A ± B ± D B D A 3ª Propriedade fundamental: A soma ou a diferença entre os numerador e quociente do primeiro termo está para o numerador do primeiro termo assim como a soma entre o numerador e quociente do segundo termo está para o numerador deste segundo termo. A B D A + B + D Eemplo 5 Foram pagos por 1kg de carne o valor de R$15,00 e com R$5,00 teria comprado kg. As razões entre os preços e quantidades podem ser considerados proporcionais? Resolução: Para que sejam considerados proporcionais, amos os termos da igualdade devem resultar no mesmo valor. Logo, estaelecendo a relação entre os termos: R $15 $5 R 15 1,5 1 Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 17

omo o resultado otido para cada lado da igualdade não é igual não há correspondência na igualdade. Os preços em relação a quantidade não são proporcionais: Eemplo 6 Somados dois números o resultado é igual a 40. Sae-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números? Resolução: O prolema diz que eistem dois números desconhecidos, X e Y e que a soma de amos é 40. Aplicando a terceira propriedade de igualdade, temos que: Logo: X 0 X 5 X 5 Y 7 0 5 100 X 5 Os números procurados são 100 e 140. + + Y 7 40 1 0 Y 0 Y 7 0 7 140.4. Regra de três simples A regra de três simples é uma ferramenta matemática utilizada para solucionar prolema envolvendo quatro variáveis sendo que três destas variáveis possuem valores conhecidos e o quarto valor deseja-se determinar. omo solucionar a regra de três: i) Agrupar os valores separando as grandezas idênticas na mesma coluna de agrupamento e de espécimes diferentes em linhas. Velocidade Tempo A B ii) Verificar a proporcionalidade entre as grandeza. Estas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. Esta deve ser indicada com uma seta. Velocidade Tempo A B iii) Montar a equação tomando o cuidado de inverter um dos lados caso haja uma proporção inversa. A B Eemplo 7: om uma área de asorção de raios solares de 1, m, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 W por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5 m, qual será a energia produzida? Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 18

Solução: Para compreender o prolema é montada uma taela: Área [m ] Energia [W.h] 1, 400 1,5 Analisando as informações do teto, é oservado que aumentando a área de asorção a produção de energia aumentará. Este fato demonstra que a relação entre as diferentes grandezas é diretamente proporcional. Logo a equação ficará montada de forma idêntica a taela. Resolvemos a igualdade acima isolando a variável em um dos memros e chegando a solução desejada. omo resposta é encontrado o valor de 500 W confirmando a idéia de que a energia deve aumentar. Eemplo 8: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400 km/h, faz um determinado percurso em 3 h. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h? Solução: Para compreender o prolema é montada uma taela: Velocidade [Km/h] Tempo [h] 400 3 480 Analisando as informações do teto, é oservado que aumentando a velocidade o tempo de viagem necessariamente deverá ser menor. onclui-se então que as grandezas são inversamente proporcionais e ao equacionarmos o prolema deveremos inverter um dos lados da igualdade. Logo, o tempo desse percurso seria de,5 h ou h e 30 minutos, novamente o resultado mostra que a idéia inicial da redução do tempo é confirmada. Eemplo 9: omprando 3 camisas é pago R$10,00. Quanto será pago se forem compradas 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: Para compreender o prolema é montada uma taela: amisas Valor [R$] 3 10 5 Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 19

Analisando as informações do teto, é oservado que quanto maior a quantidade de camisas maior será o valor pago. Logo são grandezas diretamente proporcionais. Estaelecendo a equação: Logo, o preço pago pelas 5 camisas será de R$00,00. Eemplo 10: Uma equipe de operários, traalhando 8 horas por dia, realizou determinada ora em 0 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo traalho? Solução: Para compreender o prolema é montada uma taela: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 0 5 Oserva-se que uma redução no número de horas traalhadas por dia resulta em um aumento de dias a serem traalhados. Logo são eventos inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 0

APÊNDIE A: Eercícios resolvidos. 1) Resolva de forma a determinar o valor de : a) log 16 Resolução: Sendo É verdade que se log N N tem-se que log 16 16 a a o que leva a conveniência de encontrar a mesma ase 4 para a potência para poder resolver o prolema. om isso, fatoramos 16 e 4 sustituindo no lugar do valor fatorado, log 16 4 como resposta. ) 3 3375 Resolução: Fatorando 3375 tem-se que: Logo, 3 3 3 3 3 3 3 3 3375 3 5 3 5 3 5 15 3375 113 375 3 3 3 5 5 5 3 3 5 3 15 5 1 c) 5 5 8 8 ( ) 1 8 4 5 4 5 4 5 5 5 5 5 3 5 800 ) Um determinado grupo de actérias cresce eponencialmente conforme a função: N( t) N Determine o número de actérias N após decorrido um tempo de 15 minutos saendo que o número inicial de actérias é cerca de N o5 mil actérias: Resolução: As actérias tem a sua reprodução em caráter eponencial que em geral é dado funções do tipo a que é fornecida pelo prolema. A solução para este prolema é encontrar o valor N(t) para t15min. om isso, sustituindo os valores dados no prolema, se tem que: 10 3 3 1,5 3 N( t) N 0 e 5 10 e 5 10 e 5 10 4,481689 Logo em apenas 15 minutos as actérias chegarão ao númeor de 408,45 actérias. Danadinhas elas!!! t 15 10 0 e t 10 408,45 3)Dois números somados totalizam 510. Sae-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números? Resolução: Dois números são números desconhecidos, logo os chamaremos de X e Y. O Prolema diz que um deles está para 8 e outro para 9, isso indica uma proporção entre eles. omo não saemos quais são X e Y e estes são apenas nomes que demos a valores que não conhecemos, tanto faz quem esta para 8 ou quem esta para 9 logo são por igualdade proporcionais. Sendo estes valores proporcionais, é possível dizer que em proporção, a soma dos quocientes é igual à soma dos numeradores, logo: X Y X + Y 8 9 8 + 9 O prolema afirma que a soma de X+Y 510 isso facilita tudo, pois podemos sustituir pelo Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 1

valor dado: Temos então que; X 8 Y 9 X 8 + + Y 9 510 17 30 om isso por igualdade podemos dizer que; Y 30 X 30 9 70 9 X 8 30 X 30 8 40 4) Foram vendidos 50% de 50 ojetos. Quantos ojetos foram vendidos? Para solucionar esse prolema aplica-se a taa percentual (50%) sore o total de ojetos: 50 500 50% em 50ojetos 50 5 ojetos 100 100 Logo 5 ojetos foram vendidos. 5) Determine 10% de 300. 6) Determine 5% de 00kg. Logo, 50kg é o valor correspondente a 5% de 00kg 7) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 otive um desconto de 1%. Por quanto acaei pagando o produto? Qual o valor do desconto otido? Resolução: Inicialmente, calculo o valor do desconto otido sore o valor inicial: 1.500,00 0,1 180,00 Fazendo a diferença entre o valor inicial e o desconto tem-se: 1.500,00 180,00 1.30,00 O valor procurado do desconto é R$ 180,00 e o valor pago é R$ 1.30,00 7) Um jogador de futeol, ao longo de um campeonato, corou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Qual a quantidade de gols de falta esse jogador fez? O jogador marcou 6 gols de falta. 8) Dos 8 irmãos que possuo, apenas 1,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo? Resolução: O valor 8 é o total e equivale a 100% estaelecemos a proporção tem-se que: Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino

8 100% 1,5% 1,5 8 100 1,04 omo não é possível ter 0,4 de uma irmã, eiste apenas 1 irmã. 9)Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com m de altura. Traalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Resolução: Iniciando pela montagem da taela, verifica-se que se aumentar o número de pedreiros reduz o número de dias para a construção chegar ao fim, em contrapartida aumenta a possiilidade de construir muros maiores. Logo: edreiros Altura Dias 9 3 4 Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 1 dias. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 3

APÊNDIE B: Táua de logaritmos decimais. N 0 1 3 4 5 6 7 8 9 N 0 1 3 4 5 6 7 8 9 N 10 000000 00431 008600 01837 017033 01189 05306 09384 03344 03746 55 740363 74115 741939 7475 743510 74493 745075 745855 746634 74741 55 11 041393 04533 04918 053078 056905 060698 064458 068186 07188 075547 56 748188 748963 749736 750508 75179 75048 75816 753583 754348 75511 56 1 079181 08785 086360 089905 0934 096910 100371 103804 10710 110590 57 755875 756636 757396 758155 75891 759668 7604 761176 76198 76679 57 13 113943 11771 10574 1385 17105 130334 133539 13671 139879 143015 58 76348 764176 76493 765669 766413 767156 767898 768638 769377 770115 58 14 14618 14919 1588 155336 15836 161368 164353 167317 1706 173186 59 77085 771587 773 773055 773786 774517 77546 775974 776701 77747 59 15 176091 178977 181844 184691 18751 19033 19315 195900 198657 01397 60 778151 778874 779596 780317 781037 781755 78473 783189 783904 784617 60 16 0410 0686 09515 1188 14844 17484 0108 716 5309 7887 61 785330 786041 786751 787460 788168 788875 789581 79085 790988 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Reginaldo Rieiro de Aquino 4