Apostilas Prof.º Mário Castro

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1 MATEMÁTICA CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS g) a.( + c) = a. + a. c, distriuição da multiplicação em relação à adição. h) a 0 = com a = 0 Os.: - Seqüências para resolver epressões. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS IN = {0,,,,,...} e IN* = {,,,,...} = Conjunto dos números naturais não nulos. Os.: Dados dois números naturais, a e, temos que: a = ou a, se a, temos que a < ou a >. Operações em IN Dados: a,, c e n IN, temos: a + = c a - = c Adição Sutração com a > a. = c Multiplicação a: = c Divisão com a múltiplo de. n a = radiciação com a IN Quadrado perfeito (se n = ), cuo perfeito (se n = ), etc. e se n a = n = a a n = a.a.a.... a, particularmente se a = a. a (lê-se a ao quadrado) a = a. a. a (lê-se a ao cuo) Propriedades Operatórias a) (a + ) + c = a + ( + c), associativa da adição. ) (a. ). c = a. (. c), associativa da multiplicação. c) a + = + a, comutativa da adição. d) a. =. a, comutativa da multiplicação. e) a + 0 = a, elemento neutro da adição. f) a. = a, elemento neutro da multiplicação..º) eliminar parênteses: ( ).º) eliminar colchetes: [ ].º) eliminar chaves: { } Os.: - Prioridade nas Operações.º) Potenciação e Radiciação.º) Multiplicações e Divisão.º) Adição e Sutração ) +[+(- )]+ ) + {+[ -( 6.)]+ } ) : +{ +[9 :( +)- 0 ]} Respostas: ) ) 6 ) 6 Prolemas - Em uma adição uma das parcelas é. Saese que a soma é. Calcule a outra parcela. - A diferença entre dois números é.o sutraendo é. Qual é o número? - Em uma divisão eata o dividendo é 9 e o quociente é. Qual é o divisor. Respostas: ) ) ) CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS Z = {..., -, -, -, 0, +, +, +,... } e Z* = {..., -, -, -, +, +, +,... } Notar que IN Z. Comparação em Z Sejam: a e Z, temos que a =, ou a, então: a < ou a>. Eemplos: - <-, 0 > -, > -, - < 0 INTERVALOS No conjunto dos números reais destacaremos alguns suconjuntos importantes determinados por desigualdades, chamados intervalos.

2 Na reta real os números compreendidos entre e incluindo o e o constituem o intervalo fechado [; ], ou seja: Separando os positivos, temos: = 0. Separando os negativos, temos: - 6 = - 9 Finalmente temos: +0-9 = + [; ] = { / ««} Se ecluirmos os números e, chamados etremos do intervalo, temos o intervalo aerto ]; [, ou seja: ]; [ = { / < < } Consideraremos ainda os intervalos mistos: ]; ] = { / < «} (Intervalo aerto à esquerda e fechado à direita). [; [ = { / «< } (intervalo fechado à esquerda e aerto à direita). Operações em Z: Adição. Sutração. Multiplicação e Divisão Adição e sutração de dois números inteiros com o mesmo sinal: somam-se os valores asolutos e conserva-se o sinal. Eemplos: ) +6 + = +9 ) - - = -9 Adição de dois números inteiros com sinais diferentes: sutrai-se o número de menor valor asoluto do número de maior valor asoluto e conserva-se o sinal do número de maior valor. ) Eercícios: Efetuar as operações: ) = ) = Respostas: ) - ) - Regras de sinais para multiplicação e divisão: (+). (+) = + ou (+): (+) = + (-). (-) = + ou (-): (-) = + (sinais iguais = + (+). (-) = - ou (+): (-) = - (-). (+) = - ou (-) : (+) = (sinais diferentes = - Eemplos: ). (-) = - ) (-). (-) = + ) -6: (+) = - ) +. (+) = +6 Eercícios: Efetuar as operações: ) (-). (-) = ) -: (+6) = ) +. (+) = ) (+9). (-) = Respostas: ) +0 ) ) +6 ) - Eemplos: ) + =+ ) -9 + = - ) -0 = - Eercícios Efetuar as operações: ) + + = ) -- = ) = ) - = ) - = Respostas: ) + ) - ) - ) - ) Para somarmos mais de dois números inteiros, somamos separadamente os positivos e os negativos, depois somamos os dois resultados separadamente, usando a regra anterior: Eemplos: ) Potenciação com números inteiros Se a ase for positiva a potência será sempre positiva (independe do epoente). Eemplos: ) ( +) = + ) ( +) = +6 Se a ase for negativa a potência será positiva se o epoente for par. Será negativa se o epoente for ímpar. Eemplos: ) (-) = +9 ) (-) = - Eercícios Efetuar: ) (-) = ) (-) = ) ( -) = ) (-) 9 =

3 Respostas: ) - ) +6 ) + ) - Propriedade da potenciação Oservações: - Quando não aparecer o sinal suentende-se que o número é positivo. Eemplo: = (), pois (-) = (-). (-). (-). (-) = +6 e = -... = Na multiplicação de diversos fatores envolvendo números negativos e positivos, contamos os fatores negativos, se a quantidade de fatores negativos for ímpar, o produto será negativo, se a quantidade de fatores negativos for par, o produto será positivo. Eemplos: ) (-). (+). (-). (-). (+) = -, pois eistem três fatores negativos (-, - e -). ) (+). (-). (+). (-) = +6, pois eistem dois fatores negativos (- e -). Propriedades das operações em Z Sejam a, e c Z. Adição a) a + = + a, comutativa ) (a+ ) + c = a +( + c), associativa c) a + 0 = 0 + a = a, elemento neutro d) a + = + a = 0, elemento oposto ou simétrico. Eemplos: - e + são simétricos - e + são simétricos. Multiplicação a) a. =. a, Comutativa ) (a. ). c = (a. ). c, Associativa c) a. =. a = a, Elemento neutro Propriedade distriutiva da multiplicação em relação à adição. c. (a + ) = (a + ). c = ac + c Potenciação Sejam a, Z e n IN. a n = a. a. a... a n vezes Se a n =, se a > 0 > 0 todo n IN,se a < 0 e n ímpar < 0 se a < 0 e n par > 0. Sejam a e Z, e n e m IN, temos que: a) a n. a m = a n+m ) a n : a m = a n -m c) ( a. ) n = a n. n d)a 0 = com a 0 e) 0 n = 0 f) n = Radiciação Sejam a e Z e n IN temos n a =. Se a < 0 e n par não eiste raiz. Eercícios: I - Completar com os símolos >, < ou = a) - 0 ) - c) - + Respostas: a) < )> c) = II - Efetuar: a) ) (-6). (-) +.(-) c) : +. d) 0: Respostas: a) ) 0 c) +9 d) 0 Números Pares e Ímpares Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e aseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de vida. Vamos definir números pares e ímpares de acordo com a concepção pitagórica: par é o número que pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio, e ímpar é aquele que não pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre há uma unidade no meio Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação com à natureza dos números: número par é aquele que tanto pode ser dividido em duas partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divisões haja uma mistura da natureza par com a natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem uma única eceção, que é o princípio do par, o número, que não admite a divisão em partes desiguais, porque ele é formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro número par,. Para eemplificar o teto acima, considere o número 0, que é par, pode ser dividido como a soma de e

4 , mas tamém como a soma de e (que são amos ímpares) ou como a soma de 6 e (amos são pares); mas nunca como a soma de um número par e outro ímpar. Já o número, que é ímpar pode ser escrito como soma de e, um par e um ímpar. Atualmente, definimos números pares como sendo o número que ao ser dividido por dois têm resto zero e números ímpares aqueles que ao serem divididos por dois têm resto diferente de zero. Por eemplo, dividido por têm resto zero, portanto é par. Já o número ao ser dividido por deia resto, portanto é ímpar. algarismos restantes. Se o resultado for divisível por então, o número original tamém será divisível por. E : : = 6 6 = : como é divisível por, tamém é divisível. 69 : = 6 REGRAS DE DIVISIBILIDADE DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por quando é par. Números pares são os que terminam em 0, ou, ou, ou 6, ou. E : DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por quando a soma dos seus algarismos é divisível por. E : (S= + + = 6) - 6 (S=9) -..9 ( S=) - 0 (S=) DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por quando os dois últimos algarismos formam um número divisível por. E : DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por quando termina em 0 ou. E : DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por e ao mesmo tempo. E : DIVISIBILIDADE POR Tomar o último algarismo e calcular seu doro. Sutrair esse resultado do número formado pelos 69 6 = 6 6 : = = 0 : como 0 é divisível por, 69 tamém é divisível. E : : = 0 0 = : como não é divisível por, tamém não é divisível. DIVISIBILIDADE POR Um número é divisível por quando os três últimos algarismos formam um número divisível por. E : DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9. E : DIVISIBILIDADE POR 0 Um número é divisível por 0 quando termina em 0. E : DIVISIBILIDADE POR Quando a diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, a partir da direita for múltipla de. E :.9.0

5 S (ordem ímpar) = = múltiplos de 0 = 0,0, 0, 0,... S (ordem par) = = diferença = NÚMEROS PRIMOS Número Primo - É aquele que só tem dois divisores: e ele próprio. São Números Primos :,,,,,,, 9,... etc. não é primo, tem apenas um divisor. é o único número par que é primo. NÚMEROS COMPOSTOS São números que possuem mais de dois divisores. E. :, 6,, 9,,,,... etc. Os.: a) O número não é composto e nem primo. ) Zero tamém, não é composto e nem primo (possui infinitos divisores) Decomposição de um número em fatores primos. - Divide - se o número dado pelo seu menor divisor primo. - Procede-se da mesma maneira com cada quociente otido, até que se tenha o quociente. múltiplos de = 0,, 0,, 60,... Vemos que 0 é múltiplo de 0 e que 0 tamém é múltiplo de, então 0 é m.m.c. entre 0 e escreve-se m.m.c. (0,) = 0 Regra Prática - Decompõem-se os dois números em fatores primos, simultaneamente. E.: Eercícios 0,,,,.. = 0 (m.m.c.) Calcule o m.m.c. entre: ) e ) 60 e 0 ), e 6 Respostas: ) ) 0 ) 0 MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) Sejam os divisores de = D () e os divisores de = D (): D()= (,,,,6, } e D() = (,,,6,9, } note que 6 é o maior divisor comum entre e. Regra Prática (Divisões Sucessivas) E.: 6 =. 9 e e são primos. Eercícios Decompor em fatores primos. ) 6 ) ) 96 Respostas: ). ).. ). MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) m.m.c. entre dois números é o menor dos múltiplos comuns entre os números, ecluído o zero. E.: Eercícios: Determine o m.d.c. entre: ) 6 e ) e ) e 0 ), e 0 Respostas: ) ) ) ) Prolemas: ) No Brasil o presidente permanece anos no cargo, os senadores permanecem anos e os deputados federais permanecem anos. Havendo eleições para os três cargos em 99,

6 em que ano as eleições para estes cargos ocorrerão simultaneamente. ) (-). (+). (-). (-). (+) = -, pois eistem três fatores negativos (-, - e -). ) Três navios fazem viagem entre dois portos. O primeiro cada dias, o segundo cada 6 dias e o terceiro cada 9 dias. Tendo estes navios partido juntos, depois de quanto dias voltarão a sair juntos novamente? ) Duas rodas de uma engrenagem têm e dentes respectivamente. Cada roda tem um dente estragado. Se num dado instante estiverem em contato os dois dentes estragados, depois de quantas voltas se repetirá esse encontro? Respostas: ) em 0 ) 6 dias ) voltas Potenciação Se a ase for positiva a potência será sempre positiva (independe do epoente). Eemplos: ) ( +) = + ) ( +) = +6 Se a ase for negativa a potência será positiva se o epoente for par. Será negativa se o epoente for ímpar. Eemplos: ) (-) = +9 ) (-) = - Eercícios Efetuar: ) (-) = ) (-) = ) ( -) = ) (-) 9 = Respostas: ) - ) +6 ) + ) - Oservações: - Quando não aparecer o sinal suentende-se que o número é positivo. Eemplo: = (), pois (-) = (-). (-). (-). (-) = +6 e = -... = Na multiplicação de diversos fatores envolvendo números negativos e positivos, contamos os fatores negativos, se a quantidade de fatores negativos for ímpar, o produto será negativo, se a quantidade de fatores negativos for par, o produto será positivo. Eemplos: ) (+). (-). (+). (-) = +6, pois eistem dois fatores negativos (- e -). Propriedades das operações em Z Sejam a, e c Z. Adição a) a + = + a, comutativa ) (a+ ) + c = a +( + c), associativa c) a + 0 = 0 + a = a, elemento neutro d) a + = + a = 0, elemento oposto ou simétrico. Eemplos: - e + são simétricos - e + são simétricos. Multiplicação a) a. =. a, Comutativa ) (a. ). c = (a. ). c, Associativa c) a. =. a = a, Elemento neutro Propriedade distriutiva da multiplicação em relação à adição. c. (a + ) = (a + ). c = ac + c Potenciação Sejam a, Z e n IN. a n = a. a. a... a n vezes Se a n =, se a > 0 > 0 todo n IN,se a < 0 e n ímpar < 0 se a < 0 e n par > 0. Propriedade da potenciação Sejam a e Z, e n e m IN, temos que: a) a n. a m = a n+m ) a n : a m = a n -m c) ( a. ) n = a n. n d)a 0 = com a 0 e) 0 n = 0 f) n = Radiciação Sejam a e Z e n IN temos n a =. Se a < 0 e n par não eiste raiz. 6 Propriedades da raiz quadrada

7 Já saemos que todo número positivo possui raiz quadrada. Quanto vale a raiz quadrada de zero? Pense: Vale zero, é claro, porque 0 = 0. E quanto será a raiz quadrada de -? Pense: Essa não eiste, porque quando elevamos qualquer número ao quadrado, o resultado é sempre positivo. Logo, nenhum número negativo possui raiz quadrada. A nossa primeira propriedade será, então: I- Se a > 0 eiste a. Se a < 0, não eiste a A nossa segunda propriedade é uma consequência da definição de raiz quadrada: I- Se a > 0, então a. a = a A terceira e a quarta propriedades vão nos ajudar a operar com as raízes quadradas: É sempre incômodo ter uma raiz no denominador de uma fração. Para resolver isso, multiplicamos o numerador e o denominador da fração pelo próprio denominador. Chamamos isto de racionalizar o denominador. Pelas propriedades II e III temos que e ainda,. Então, Números Racionais (Frações) III- Se a e são positivos, então, a a IV- Se a e são positivos (e Se a e são a a positivos, então Oserve agora o eemplo seguinte, no qual aplicaremos essas propriedades na solução de uma equação: Um círculo foi dividido em duas partes iguais. Dizemos que uma unidade dividida em duas partes iguais e indicamos /. EXEMPLO = Solução: onde: = numerador e = denominador A primeira coisa a fazer é dividir por para isolar a incógnita. Agora vamos etrair a raiz quadrada. Neste caso, não precisaremos colocar o sinal + do lado direito porque o enunciado só nos pede para determinar a solução positiva. Temos então: Um círculo dividido em partes iguais indicamos (das três partes hachuramos ). Quando o numerador é menor que o denominador temos uma fração própria. Oserve: Oserve: Oserve agora como usamos as propriedades para dar a resposta de outra forma. Pela propriedade IV, podemos escrever

8 Quando o numerador é maior que o denominador temos uma fração imprópria. Frações Equivalentes Duas ou mais frações são equivalentes, quando representam a mesma quantidade. e : e = : temos: e 9 A fração é equivalente a. A fração equivalente 9. Eercícios: Dizemos que: 6 ) Achar três frações equivalentes às seguintes frações: ) ) - Para oter frações equivalentes, devemos multiplicar ou dividir o numerador por mesmo número diferente de zero. Respostas: ),, 6 ) 6, 6 9, E: ou. Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o denominador, por um mesmo número diferente de zero. 6 Comparação de frações a) Frações de denominadores iguais. Se duas frações tem denominadores iguais a maior será aquela: que tiver maior numerador. Quando não for mais possível efetuar as divisões dizemos que a fração é irredutível. E.: ou Eemplo: ) Frações com numeradores iguais : Simplificada Eemplo: 9 6 e 6 Fração Irredutível ou Se duas frações tiverem numeradores iguais, a menor será aquela que tiver maior denominador. E.: ou c) Frações com numeradores e denominadores receptivamente diferentes. Reduzimos ao mesmo denominador e depois comparamos. Eemplos: Calcular o mmc (,):,, então mmc (, ) =,, decrescente) denominadores iguais (ordem numeradores iguais (ordem crescente)

9 Simplificação de frações Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o denominador por um número diferente de zero. Quando não for mais possível efetuar as divisões, dizemos que a fração é irredutível. Eemplo: : : 9 : 6 : ) ), 6 e e ) Respostas: ) ) e ) 6 Fração irredutível ou simplificada. Operações com frações Eercícios: Simplificar ) Respostas: ) ) 9 6 ) ) Adição e Sutração a) Com denominadores iguais somam-se ou sutraem-se os numeradores e conserva-se o denominador comum. Redução de frações ao menor denominador comum E: E.: e Calcular o mmc (,):,, então mmc (, ) =,, e : e 9 e = : A fração é equivalente a. temos: E: ) ) Com denominadores diferentes reduz ao mesmo denominador depois soma ou sutrai. ( : ). ) 9 = mmc. (,, ) = ( : ). (9 : ). - (9 : 9). 9 (.). = mmc. (,9) = A fração equivalente 9. Eemplo:? numeradores diferentes denominadores diferentes m.m.c.(, ) = ( : ). (.).? = 0 (ordem crescente) Eercícios: Colocar em ordem crescente: e Eercícios. Calcular: ) ) Respostas: ) ) 6 Multiplicação de Frações ) 6 6 ) Para multiplicar duas ou mais frações devemos multiplicar os numeradores das frações entre si, assim como os seus denominadores. 9

10 Eemplo:. 6 0 Eercícios: Calcular: ) ) Respostas: 0 ) 6 ) 0 0 ) ) Eemplo: 9 Eercícios. Efetuar: ) 9 ) 9 6 Respostas: ) ) 9 6 Números Decimais ) ) Toda fração com denominador 0, 00, 000,...etc, chama-se fração decimal. Divisão de frações E: 0, 00, 00, etc Para dividir duas frações conserva-se a primeira e multiplica-se pelo inverso da Segunda. Eemplo: : Eercícios. Calcular: ) ) : 9 :. ) 0 Respostas: ) 6 ) 9 Potenciação de Frações : ) Eleva o numerador e o denominador ao epoente dado. Eemplo: Escrevendo estas frações na forma decimal temos: = três décimos, 0 = quatro centésimos 00 = sete milésimos 000 Escrevendo estas frações na forma decimal temos: =0, 0 00 Outros eemplos: ) =, = 0,0 000 = 0,00 6 =, ) = 6, ) Note que a vírgula caminha da direita para a esquerda, a quantidade de casas deslocadas é a mesma quantidade de zeros do denominador. Eercícios. Efetuar: Eercícios. Representar em números decimais: ) ) ) ) 0 ) 00 0 ) 000 Respostas: ) 6 9 ) 6 9 ) Respostas: ), ), ) 0,0 Radiciação de Frações Etrai raiz do numerador e do denominador. Leitura de um número decimal: E.: 0

11 96 + 0,6 casas após a vírgula Eercícios. Efetuar as operações: ),. 6, ),., +.,6 ),. 0, Respostas: ), ) 69,9 ),96 Divisão de números decimais Operações com números decimais Adição e Sutração Coloca-se vírgula so virgula e somam-se ou sutraem-se unidades de mesma ordem. Eemplo : 0 + 0, +, 0, ,,, Eemplo :, - 9,,0 9,,9 Eercícios. Efetuar as operações: ) 0, +, +, ), - 9, ), + 0, -, Respostas: ) 6, ) 0,9 ) 6,9 Multiplicação com números decimais Multiplicam-se dois números decimais como se fossem inteiros e separam-se os resultados a partir da direita, tantas casas decimais quantos forem os algarismos decimais dos números dados. Eemplo:,,, casas,, casa após a virgula 6 Igualamos as casas decimais entre o dividendo e o divisor e quando o dividendo for menor que o divisor acrescentamos um zero antes da vírgula no quociente. E.: a) : 0 0, 0 0 ),6:,6,0 = , 0 Os.: Para transformar qualquer fração em número decimal asta dividir o numerador pelo denominador. E.: / =,então /=0, 0 0, Eercícios ) Transformar as frações em números decimais. ) ) Respostas: ) 0, ) 0, ) 0, ) Efetuar as operações: ),6 : 0, ), : 0, ) ),6 :, ) :,-,./ ),6 :, +. / Respostas: ) ) 9 ),0 ), ) 00,0... Prolemas

12 ) Saendo que uma peça de fazenda custa R$ 60,00. Quando custa / desta fazenda? como nas frações positivas, já estudadas, oedecendo às regras decimais do conjunto Z. ) Tinha R$ 0,00 gastei /, quanto restou? Eercícios. Efetuar: ) Um feirante vendeu / de uma caia de laranjas, que inicialmente tinha laranjas. Quantas laranjas foram vendidas? ) ) Respostas: ) R$,00 ) R$ 0,00 ) 60 laranjas ) ) : 6 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) É o conjunto formado por todos os números fracionários ou decimais finitos e decimais infinitos e periódicos. Eemplo: -, Q Q, 0, Q, 0,... Q, Q, -,.. Q, Os números inteiros podem ser escritos com forma de fração E.: Q, pois = - Q, pois 9 = - Os números decimais infinitos e não periódicos não podem ser escritos em forma de frações. E.:,... Q,,00... Q,,9... Q Concluímos que Z Q. Eercícios Completar com: ) / Q ) 6 Q ) 0, Q, ) -,... Q ), Q Respostas: ) ) ) ) ) Os.: Para realizarmos operações com frações negativas, usamos o mesmo procedimento Respostas: ) - ) 0 ) SISTEMA DECIMAL DE MEDIDAS ) A) Unidades de Comprimento B) Unidades de ÁREA C) Áreas Planas D) Unidades de Volume e de Capacidade E) Volumes dos principais sólidos geométricos F) Unidades de Massa A) UNIDADES DE COMPRIMENTO A Medidas de comprimento: Medir significa comparar. Quando se mede um determinado comprimento, estamos comparando este comprimento com outro tomado como unidade de medida. Portanto, notamos que eiste um número seguido de um nome: metros o número será a medida e o nome será a unidade de medida. Podemos medir a página deste livro utilizando um lápis; nesse caso o lápis foi tomado como unidade de medida ou seja, ao utilizarmos o lápis para medirmos o comprimento do livro, estamos verificando quantas vezes o lápis (tomado como medida padrão) caerá nesta página. Para haver uma uniformidade nas relações humanas estaeleceu-se o metro como unidade fundamental de medida de comprimento; que deu origem ao sistema métrico decimal, adotado oficialmente no Brasil. A Múltiplos e su-múltiplos do sistema métrico: Para escrevermos os múltiplos e sumúltiplos do sistema métrico decimal, utilizamos os seguintes prefios gregos: KILO significa.000 vezes HECTA significa 00 vezes DECA significa 0 vezes DECI significa décima parte CENTI significa centésima parte MILI significa milésima parte.

13 km =.000m m = 0 dm hm = 00m e m = 00 cm dam = 0m m = 000 mm A Transformações de unidades: Cada unidade de comprimento é dez (0) vezes maior que a unidade imediatamente. inferior. Na prática cada mudança de vírgula para a direita (ou multiplicação por dez) transforma uma unidade imediatamente inferior a unidade dada; e cada mudança de vírgula para a esquerda (ou divisão por dez) transforma uma unidade na imediatamente superior. E.: Km..000 =.000 m 00 cm = m Km e m.000m + m =.0 m ou,0 Km. Resumo Elementos de uma circunferência: O perímetro da circunferência é calculado multiplicando-se, pela medida do diâmetro.,. medida do diâmetro = perímetro. B) UNIDADES DE ÁREA: a ideia de superfície já é nossa conhecida, é uma noção intuitiva. E.: superfície da mesa, do assoalho que são eemplos de superfícies planas enquanto que a superfície de uma ola de futeol, é uma superfície esférica. A Permitido de um polígono: o perímetro de um polígono é a soma do comprimento de seus lados. Damos o nome de área ao número que mede uma superfície numa determinada unidade. Metro quadrado: é a unidade fundamental de medida de superfície (superfície de um quadrado que tem m de lado). Propriedade: Toda unidade de medida de superfície é 00 vezes maior do que a imediatamente inferior. Múltiplos e sumúltiplos do metro quadrado: A Perímetro de uma circunferência: Como a aertura do compasso não se modifica durante o traçado vê-se logo que os pontos da circunferência distam igualmente do ponto zero (0). Múltiplos Sumúltiplos km : m m cm : 0,000 m hm : m dm : 0,0 m dam : 00 m mm : 0,00000m km = (= )m hm = 0000 (= 00 00)m dam =00 (=00) m Regras Práticas: para se converter um número medido numa unidade para a unidade imediatamente superior deve-se dividi-lo por 00.

14 para se converter um número medido numa unidade, para uma unidade imediatamente inferior, deve-se multiplicá-lo por 00. Medidas Agrárias: centiare (ca) é o m are (a) é o dam (00 m ) hectare (ha) é o hm (0000 m ). C) ÁREAS PLANAS C 6 Área de polígono regular: a área do polígono regular é igual ao produto da medida do perímetro (p) pela medida do apotema (a) sore. C Retângulo: a área do retângulo é dada pelo produto da medida de comprimento pela medida da largura, ou, medida da ase pela medida da altura. C Quadrado: a área do quadrado é dada pelo produto lado por lado, pois sendo um retângulo de lados iguais, ase = altura = lado. D) UNIDADES DE VOLUME E CAPACIDADE D Unidades de volume: volume de um sólido é a medida deste sólido. Chama-se metro cúico ao volume de um cuo cuja aresta mede m. C Triângulo: a área do triângulo é dada pelo produto da ase pela altura dividido por dois. Propriedade: cada unidade de volume é.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Múltiplos e su-múltiplos do metro cúico: C Trapézio: a área do trapézio é igual ao produto da semi-soma das ases, pela altura. Múltipios Sumúltiplos km ( m ) dm (0,00 m ) hm ( m ) cm (0,00000m ) dam ( 000 m ) mm (0, m ) Como se vê: km = ( )m hm = ( ) m dam = 000 (000)m C Losango: a área do losango é igual ao semi-produto das suas diagonais. m =000 (= 0 0 0) dm m = (= ) cm m = ( ) mm

15 D Unidades de capacidade: litro é a unidade fundamental de capacidade. Arevia-se o litro por l. O litro é o volume equivalente a um decímetro cúico. Múltiplos Sumúltiplos hl ( 00 l) dal ( 0 l) litro l dl (0, l) cl (0,0 l) ml (0,00 l) Como se vê: hl = 00 l l = 0 dl dal = 0 l l = 00 cl l = 000 ml E Volume do cilindro: o volume do cilindro é dado pelo produto da área da ase pela altura. E) VOLUMES DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E Volume do paralelepípedo retângulo: é o mais comum dos sólidos geométricos. Seu volume é dado pelo produto de suas três dimensões. F) UNIDADES DE MASSA E Volume do cuo: o cuo é um paralelepipedo retângulo de faces quadradas. Um eemplo comum de cuo, é o dado. A unidade fundamental para se medir massa de um corpo (ou a quantidade de matéria que esse corpo possui), é o kilograma (kg). o kg é a massa aproimada de dm de água a graus de temperatura. Múltiplos e su-múltiplos do kilograma: O volume do cuo é dado pelo produto das medidas de suas três arestas que são iguais. V = a. a. a = a cuo E Volume do prisma reto: o volume do Base prisma reto é dado pelo produto da área da ase pela medida da altura. Múltiplos Sumúltiplos kg (000g) dg (0, g) hg ( 00g) cg (0,0 g) dag ( 0 g) mg (0,00 g) Como se vê: kg = 000g g = 0 dg hg = 00 g e g= 00 cg dag = 0g g = 000 mg Para a água destilada,.º acima de zero. volume capacidade massa dm l kg Medidas de tempo:

16 Não esquecer: dia = horas hora = sessenta minutos minuto = sessenta segundos ano = 6 dias mês = 0 dias Média geométrica Numa proporção contínua, o meio comum é denominado média proporcional ou média geométrica dos etremos. Portanto no eemplo acima é a média proporcional entre e 6. O quarto termo de uma proporção contínua é chamado terceira proporcional. Assim, no nosso eemplo, 6 é a terceira proporcional depois de e. Para se calcular a média proporcional ou geométrica de dois números, teremos que calcular o valor do meio comum de uma proporção continua. E.: X X = 6 6 = B.º proporcional: é o nome dado ao quarto termo de uma proporção não continua. E.: F 96 = =.,. =. Nota: Esse cálculo é idêntico ao cálculo do elemento desconhecido de uma proporção). B Média Aritmética Simples: (ma) A média aritmética simples de dois números é dada pelo quociente da soma de seus valores e pela quantidade das parcelas consideradas. E.: determinar a m a de:,,, 0 m a 0 B Média Aritmética Ponderada (mv): A média aritmética ponderada de vários números aos quais são atriuídos pesos (que indicam o número de vezes que tais números figuraram) consiste no quociente da soma dos produtos que se otém multiplicando cada número pelo peso correspondente, pela soma dos pesos. Matéria Notas Peso Português 60,0 0,0 História 0,0 m p Razões e proporções. INTRODUÇÃO Se a sua mensalidade escolar sofresse hoje um reajuste de $ 0,00, como você reagiria? Acharia caro, normal, ou aaio da epectativa? Esse mesmo valor, que pode parecer caro no reajuste da mensalidade, seria considerado insignificante, se se tratasse de um acréscimo no seu salário. Naturalmente, você já perceeu que os $ 0,00 nada representam, se não forem comparados com um valor ase e se não forem avaliados de acordo com a natureza da comparação. Por eemplo, se a mensalidade escolar fosse de $ 90,00, o reajuste poderia ser considerado alto; afinal, o valor da mensalidade teria quase dorado. Já no caso do salário, mesmo considerando o salário mínimo, $ 0,00 seriam uma parte mínima.. A fim de esclarecer melhor este tipo de prolema, vamos estaelecer regras para comparação entre grandezas.. RAZÃO Você já deve ter ouvido epressões como: "De cada 0 haitantes, são analfaetos", "De cada 0 alunos, gostam de ", "Um dia de sol, para cada dois de chuva". Em cada uma dessas. frases está sempre clara uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos entre 0; no segundo, entre 0, e no terceiro, para cada. Todas as comparações serão matematicamente epressas por um quociente chamado razão. Teremos, pois: 6 a. De cada 0 haitantes, são analfaetos. E.: No cálculo da média final otida por um aluno durante o ano letivo, usamos a média aritmética ponderada. A resolução é a seguinte: Razão = 0 6

17 . De cada l0 alunos, gostam de. Razão = 0 Na epressão acima, a e c são chamados de antecedentes e e d de conseqüentes.. c. Um dia de sol, para cada dois de chuva. A razão entre dois números a e, com 0, é o quociente a Razão = Nessa epressão, a chama-se antecedente e, conseqüente. Outros eemplos de razão :. Em cada 0 terrenos vendidos, um é do corretor. Razão = 0, ou a :. A proporção tamém pode ser representada como a : : : c : d. Qualquer uma dessas epressões é lida assim: a está para assim como c está para d. E importante notar que e c são denominados meios e a e d, etremos. Eemplo: A proporção = 9, ou : : : 9 :, é lida da seguinte forma: está para assim como 9 está para. Temos ainda: e 9 como antecedentes, e como conseqüentes, e 9 como meios e e como etremos.. Propriedade fundamental O produto dos etremos é igual ao produto dos meios:. Os times A e B jogaram 6 vezes e o time A ganhou todas. Razão = 6 6 a = c d ad = c ;, c 0. Uma liga de metal é feita de partes de ferro e partes de zinco. Razão = (ferro) Razão = (zinco).. PROPORÇÃO Há situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser epressas por razões de antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Dessa maneira, quando uma pesquisa escolar nos revelar que, de 0 alunos entrevistados, 0 gostam de, poderemos supor que, se forem entrevistados 0 alunos da mesma escola, 0 deverão gostar de. Na verdade, estamos afirmando que 0 estão representando em 0 o mesmo que 0 em 0. Escrevemos: 0 0 = 0 0 A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. Se Eemplo: 6 = 96, então =. = 6.. Adição (ou sutração) dos antecedentes e conseqüentes Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes assim como cada antecedente está para seu conseqüente. Ou seja: Se a = c, entao a + c + d = a = c, d d ou a - c - d = a = c d Essa propriedade é válida desde que nenhum denominador seja nulo. Eemplo: + + = 6 =

18 = - - = GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DIVISÃO PROPORCIONAL. INTRODUÇÃO: = No dia-a-dia, você lida com situações que envolvem números, tais como: preço, peso, salário, dias de traalho, índice de inflação, velocidade, tempo, idade e outros. Passaremos a nos referir a cada uma dessas situações mensuráveis como uma grandeza. Você sae que cada grandeza não é independente, mas vinculada a outra conveniente. O salário, por eemplo, está relacionado a dias de traalho. Há pesos que dependem de idade, velocidade, tempo etc. Vamos analisar dois tipos ásicos de dependência entre grandezas proporcionais.. PROPORÇÃO DIRETA Grandezas como traalho produzido e remuneração otida são, quase sempre, diretamente proporcionais. De fato, se você receer $,00 para cada folha que datilografar, sae que deverá receer $ 0,00 por 0 folhas datilografadas. Podemos destacar outros eemplos de grandezas inversamente proporcionais:. Velocidade média e tempo de viagem, pois, se você dorar a velocidade com que anda, mantendo fia a distância a ser percorrida, reduzirá o tempo do percurso pela metade.. Número de torneiras de mesma vazão e tempo para encher um tanque, pois, quanto mais torneiras estiverem aertas, menor o tempo para completar o tanque. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. Podemos concluir que : Vamos analisar outro eemplo, com o ojetivo de reconhecer a natureza da proporção, e destacar a razão. Considere a situação de um grupo de pessoas que, em férias, se instale num acampamento que cora $00,00 a diária individual. Oserve na taela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária: Podemos destacar outros eemplos de grandezas diretamente proporcionais:. Velocidade média e distância percorrida, pois, se você dorar a velocidade com que anda, deverá, num mesmo tempo, dorar a distância percorrida.. Área e preço de terrenos.. Altura de um ojeto e comprimento da somra projetada por ele. Assim: Duas grandezas São diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuíndo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui ( ou aumenta) nessa mesma razão.. PROPORÇÃO INVERSA Grandezas como tempo de traalho e número de operários para a mesma tarefa são, em geral, inversamente proporcionais. Veja: Para uma tarefa que 0 operários eecutam em 0 dias, devemos esperar que operários a realizem em 0 dias. Número de pessoas Despesa diária ( $ ) Você pode perceer na taela que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa. Assim, se dorarmos o número de pessoas, doraremos ao mesmo tempo a despesa. Esta é portanto, uma proporção direta, ou melhor, as grandezas número de pessoas e despesa diária são diretamente proporcionais. Suponha tamém que, nesse mesmo eemplo, a quantia a ser gasta pelo grupo seja sempre de $.000,00. Percea, então, que o tempo de permanência do grupo dependerá do número de pessoas. Analise agora a taela aaio :

19 Número de pessoas X = 6 X = = 60 Tempo de permanênci a (dias) 0 0 Como X + Y = 660, então Y = 00 Concluindo, A deve receer $ 60,00 enquanto B, $ 00,00. Note que, se dorarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à metade. Esta é, portanto, uma proporção inversa, ou melhor, as grandezas número de pessoas e número de dias são inversamente proporcionais.. DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS. Diretamente proporcional Duas pessoas, A e B, traalharam na faricação de um mesmo ojeto, sendo que A o fez durante 6 horas e B durante horas. Como, agora, elas deverão dividir com justiça os $ 660,00 apurados com sua venda? Na verdade, o que cada um tem a receer deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto na confecção do ojeto. Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados é encontrar partes desse número que sejam diretamente proporcionais aos números dados e cuja soma reproduza o próprio número. No nosso prolema, temos de dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e, que são as horas que A e B traalharam. Vamos formalizar a divisão, chamando de o que A tem a receer, e de y o que B tem a receer. Teremos então: X + Y = 660 X 6 = Y Esse sistema pode ser resolvido, usando as propriedades de proporção. Assim: X + Y 6 + = Sustituindo X + Y por 660, vem :. Inversamente proporcional E se nosso prolema não fosse efetuar divisão em partes diretamente proporcionais, mas sim inversamente? Por eemplo: suponha que as duas pessoas, A e B, traalharam durante um mesmo período para faricar e vender por $ 60,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao traalho dias e B, dias, como efetuar com justiça a divisão? O prolema agora é dividir $60,00 em partes inversamente proporcionais a e a, pois deve ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receer menos. No nosso prolema, temos de dividir 60 em partes inversamente proporcionais a e a, que são os números de atraso de A e B. Vamos formalizar a divisão, chamando de o que A tem a receer e de y o que B tem a receer. + y = Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar partes desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos dos números Teremos: = y Resolvendo o sistema, temos: + y + = Mas, como + y = 60, então = = 60 = 60 + y = = 00 9

20 Como + y = 60, então y = 60. Concluíndo, A deve receer $ 00,00 e B, $ 60,00.. Divisão proporcional composta 0 = y ou 0 = y + y 0 + = 0 Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o traalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 0 homens traalharam durante dias; na segunda turma, homens traalharam durante dias. Estamos considerando que os homens tinham a mesma capacidade de traalho. A empreiteira tinha $ 9.00,00 para dividir com justiça entre as duas turmas de traalho. Como fazê-lo? Essa divisão não é de mesma natureza das anteriores. Trata-se aqui de uma divisão composta em partes proporcionais, já que os números otidos deverão ser proporcionais a dois números e tamém a dois outros. Na primeira turma, 0 homens traalharam dias, produzindo o mesmo resultado de 0 homens, traalhando por um dia. Do mesmo modo, na segunda turma, homens traalharam dias, o que seria equivalente a homens traalhando um dia. Para a empreiteira, o prolema passaria a ser, portanto, de divisão diretamente proporcional a 0 (que é 0. ), e (que é. ). Para dividir um número em partes de tal forma que uma delas seja proporcional a m e n e a outra a p e q, asta divida esse número em partes proporcionais a m. n e p. q. Convém lemrar que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais a certos números é o mesmo que fazer a divisão em partes diretamente proporcionais ao inverso dos números dados. Resolvendo nosso prolema, temos: Chamamos de : a quantia que deve receer a primeira turma; y: a quantia que deve receer a segunda turma. Assim: Como + y = 900, então = Portanto y = 00. = 0 Concluindo, a primeira turma deve receer $.000,00 da empreiteira, e a segunda, $.00,00. Oservação : Firmas de projetos costumam corar cada traalho usando como unidade o homem-hora. O nosso prolema é um eemplo em que esse critério poderia ser usado, ou seja, a unidade nesse caso seria homem-dia. Seria otido o valor de $ 00,00 que é o resultado de 000 : 0, ou de 00 :.. INTRODUÇÃO REGRA DE SOCIEDADE Os prolemas que este capitulo se propõe a discutir e resolver, como você logo perceerá, não são nada mais do que aplicações dos casos de divisões em partes proporcionais. Por sociedade entendemos, aqui, um grupo de duas ou mais pessoas que se juntam, cada uma com um determinado capital, o qual deverá ser aplicado por um certo tempo, numa atividade qualquer, com o ojetivo de conseguir lucros. Suponha, por eemplo, que três amigos ganhem $9.000,00 na loteria, como resultado da premiação de um jogo, cujo valor total era $,0. Considere que os sócios contriuíram com as seguintes quantias : Sócios Capital ( $ ) A,00 B,0 C,00 Quanto cada sócio deverá receer? Naturalmente, este é um caso de divisão em partes diretamente proporcionais às quantias investidas. Assim, temos: 0

21 A,00 = B,0 = C,00 Chamando de e y o que Gigi e Helena devem respectivamente receer, teremos: A + B + C = 9.000,0 00 y 000 e + y = 00 Resolvendo o sistema: A + B + C,00 +,0 +,00 = A, , 00 A, 0 00, 9.000,00.,00 A =,0 Então A =.000,00 Usando o mesmo processo, encontraremos: B =.000,00 e C =.000,00 B C 0,, 00 Portanto, A receerá $.000,00; B receerá $.000,00 e C receerá $.000,00. Nos casos de sociedades mais compleas, é importante tamém o período de tempo durante o qual cada sócio deia seu dinheiro investido. O que define uma sociedade como simples ou composta é o fato de os capitais aplicados e de os períodos de tempo da aplicação serem iguais ou diferentes para cada sócio.. REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES Primeiro caso: Os capitais são diferentes, mas aplicados durante períodos de tempo iguais. Nesse caso podemos afirmar que : Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos capitais investidos. Eemplo: Gigi e Helena montaram uma casa de chocolates caseiros. Os capitais investidos foram: Sócios Capital Investido Aplicando as propriedades das proporções já vistas, temos: y 000 y y y Portanto, Gigi receerá $ 00,00 e Helena $ 6 000,00. Segundo caso: Os capitais são iguais, mas aplicados durante períodos de tempo diferentes. Nesse caso podemos afirmar que: Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos períodos de tempo em que os capitais ficaram investidos. Eemplo: Três amigos, A, B e C, juntaram-se numa sociedade com idêntica participação no capital inicial. A deiou seu capital no negócio durante meses, B por 6 meses e C durante meses e meio. Dividir com justiça, o lucro auferido de $ 6 000,00. Neste prolema há a necessidade de, inicialmente, transformarmos os períodos de tempo para uma mesma unidade: ou meses, ou dias. Vamos usar a unidade dias, considerando o mês comercial com 0 dias. A 0 = B 0 = C 0 Gigi.00,00 Helena.000,00 A + B + C = 6000 Ao final de um ano, o alanço apurou um lucro de $.00,00. Quanto cada uma deverá receer? Aplicando as propriedades, temos:

22 A B C A B C A 0 B 0 C 0 00 A B C 000 Desta maneira, os lucros auferidos por A, B e C serão, respectivamente, $.000,00, $.000,00 e $0.000,00.. REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA y y 000 Portanto, o primeiro sócio receerá $ 000,00 e o segundo $ 000,00. REGRA DE TRÊS. INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores, quando analisamos grandezas proporcionais, procuramos apenas reconhecer a natureza da dependência entre elas. Neste capítulo, vamos ampliar nossa análise, incluindo os valores numéricos envolvidos nessa dependência e determinando os que são desconhecidos. Um prolema típico, por eemplo, é determinar a distância que um automóvel percorrerá em horas, saendo que, se a mesma velocidade for mantida durante 6 horas, o carro percorrerá 900 km. Nas sociedades compostas, tanto os capitais quanto os períodos de investimento são diferentes para cada sócio. Trata-se, portanto de dividir os lucros ou os prejuízos em partes diretamente proporcionais, tanto ao capital quanto ao período de investimento. Quando os capitais ou períodos de tempo forem diferentes, os lucros ou os prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais ao produto dos capitais pelos períodos de tempo respectivos. Eemplo: Uma sociedade lucrou $.000,00. O primeiro sócio entrou com $.00,00 durante meses, e o outro, com $.000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um? Trata-se de um caso de regra de sociedade composta. Chamando de o que o primeiro sócio deve receer e de y o que o segundo recee, temos: y e + y = 000 Aplicando as propriedades, vem : y y e 6 Para a resolução deste prolema, duas questões são colocadas: a primeira é quanto à natureza da proporção entre as grandezas envolvidas; a segunda refere-se à montagem da proporção. Ao conjunto das respostas a essas duas questões propostas e à determinação do valor desconhecido dá-se o nome de regra de três.. REGRA DE TRÊS SIMPLES Retomando o prolema do automóvel, vamos resolvê-lo com o uso da regra de três de maneira prática. Devemos dispor as grandezas, em como os valores envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la. Assim : Grandeza : tempo (horas) 6 Grandeza : distância percorrida (km) 900 Oserve que colocamos na mesma linha valores que se correspondem: 6 horas e 900 km; horas e o valor desconhecido.

23 Vamos usar setas indicativas, como fizemos antes, para indicar a natureza da proporção. Se elas estiverem no mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais; se em sentidos contrários, são inversamente proporcionais. Nesse prolema, para estaelecer se as setas têm o mesmo sentido, foi necessário responder à pergunta: "Considerando a mesma velocidade, se aumentarmos o tempo, aumentará a distância percorrida?" Como a resposta a essa questão é afirmativa, as grandezas são diretamente proporcionais. Já que a proporção é direta, podemos escrever: Escrevendo a prporção, temos: = 60 Concluíndo, o automóvel percorrerá a mesma distância em horas. Regra de três simples é um processo prático utilizado para resolver prolemas que envolvam pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhece três termos e o quarto termo é procurado. Então: 6. =. 900 = 00 = 00 6 Concluindo, o automóvel percorrerá 00 km em horas. Vamos analisar outra situação em que usamos a regra de três. Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h, percorre um certo espaço durante horas. Qual será o tempo necessário para percorrer o mesmo espaço com uma velocidade de 60 km/h?. REGRA DE TRÊS COMPOSTA Vamos agora utilizar a regra de três para resolver prolemas em que estão envolvidas mais de duas grandezas proporcionais. Como eemplo, vamos analisar o seguinte prolema. Numa fárica, 0 máquinas traalhando 0 dias produzem 000 peças. Quantas máquinas serão necessárias para se produzir 60 peças em 6 dias? Como nos prolemas anteriores, você deve verificar a natureza da proporção entre as grandezas e escrever essa proporção. Vamos usar o mesmo modo de dispor as grandezas e os valores envolvidos. Grandeza : tempo (horas) Grandeza : velocidade (km/h) Grandeza : número de máquinas 0 Grandeza : dias 0 6 Grandeza : número de peças A resposta à pergunta "Mantendo o mesmo espaço percorrido, se aumentarmos a velocidade, o tempo aumentará?" é negativa. Vemos, então, que as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Como a proporção é inversa, será necessário invertermos a ordem dos termos de uma das colunas, tornando a proporção direta. Assim: Natureza da proporção: para estaelecer o sentido das setas é necessário fiar uma das grandezas e relacioná-la com as outras. Supondo fio o número de dias, responda à questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará o número de peças faricadas?" A resposta a essa questão é afirmativa. Logo, as grandezas e são diretamente proporcionais. Agora, supondo fio o número de peças, responda à questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará o número de dias necessários para o traalho?" Nesse caso, a resposta é negativa. Logo, as grandezas e são inversamente proporcionais.

24 Para se escrever corretamente a proporção, devemos fazer com que as setas fiquem no mesmo sentido, invertendo os termos das colunas convenientes. Naturalmente, no nosso eemplo, fica mais fácil inverter a coluna da grandeza Agora, vamos escrever a proporção: (Lemre-se de que uma grandeza proporcional a duas outras é proporcional ao produto delas.) Concluíndo, serão necessárias máquinas. PORCENTAGEM. INTRODUÇÃO Regra de três composta é um processo prático utilizado para resolver prolemas que envolvem mais de duas grandezas proporcionais. Quando você are o jornal, liga a televisão ou olha vitrinas, freqüentemente se vê às voltas com epressões do tipo: "O índice de reajuste salarial de março é de 6,9%." "O rendimento da caderneta de poupança em fevereiro foi de,%." "A inflação acumulada nos últimos meses foi de,. "Os preços foram reduzidos em até 0,%." Mesmo supondo que essas epressões não sejam completamente desconhecidas para uma pessoa, é importante fazermos um estudo organizado do assunto porcentagem, uma vez que o seu conhecimento é ferramenta indispensável para a maioria dos prolemas relativos à Comercial.. PORCENTAGEM O estudo da porcentagem é ainda um modo de comparar números usando a proporção direta. Só que uma das razões da proporção é um fração de denominador 00. Vamos deiar isso mais claro: numa situa ção em que você tiver de calcular 0% de $ 00,00, o seu traalho será determinar um valor que represente, em 00, o mesmo que 0 em 00. Isso pode ser resumido na proporção: Então, o valor de será de $ 0,00. Saendo que em cálculos de porcentagem será necessário utilizar sempre proporções diretas, fica claro, então, que qualquer prolema dessa natureza poderá ser resolvido com regra de três simples.. TAXA PORCENTUAL O uso de regra de três simples no cálculo de porcentagens é um recurso que torna fácil o entendimento do assunto, mas não é o único caminho possível e nem sequer o mais prático. Para simplificar os cálculos numéricos, é necessário, inicialmente, dar nomes a alguns termos. Veremos isso a partir de um eemplo. Eemplo: Calcular 0% de Calcular 0%, ou de 00 é dividir 00 em partes e tomar 0 dessas partes. Como a centésima parte de 00 é, então 0 dessas partes será 60. Chamamos: 0% de taa porcentual; principal; 60 de porcentagem. Temos, portanto: 00 de Principal: número sore o qual se vai calcular a porcentagem. Taa: valor fio, tomado a partir de cada 00 partes do principal. Porcentagem: número que se otém somando cada uma das 00 partes do principal até conseguir a taa. A partir dessas definições, deve ficar claro que, ao calcularmos uma porcentagem de um principal conhecido, não é necessário utilizar a montagem de uma regra de três. Basta dividir o principal por 00 e

25 tomarmos tantas destas partes quanto for a taa. Vejamos outro eemplo. Eemplo: Calcular % de.000. Primeiro dividimos 000 por 00 e otemos 0, que é a centésima parte de 000. Agora, somando partes iguais a 0, otemos. 0 ou 0 que é a resposta para o prolema. Podem ser retirados no fim de cada mês ou no fim de meses; o total será o mesmo, ou seja, 0. No eemplo acima, os juros (0) são otidos fazendo:, onde é % de 00 e é o número de meses em que o capital esteve aplicado. Portanto: juro = 00 0,0. O fator 0,0 constitui a taa unitária e corresponde aos juros de uma unidade de capital. Oserve que dividir o principal por 00 e multiplicar o resultado dessa divisão por é o mesmo que multiplicar o principal por ou 0,. Vamos usar 00 esse raciocínio de agora em diante : Porcentagem = taa X principal Denominando: j = juro, C = capital (00), i = taa unitária (0,0 corresponde a %), n = número de períodos ( meses), temos: J = C i n Juros e Descontos Simples JUROS SIMPLES. Conceito A fim de produzir os ens de que necessita, o homem comina os fatores produtivos recursos naturais, traalho e capital. Organizando a produção, o homem gera as mercadorias e os serviços destinados ao seu consumo. A venda desses ens gera a renda, que é distriuída entre os proprietários dos fatores produtivos. Assim, os proprietários dos recursos naturais receem remuneração na forma de aluguéis; os proprietários da força de traalho receem salários; os organizadores da produção receem lucros e os proprietários do capital receem remuneração na forma de juros. Desta forma, os juros constituem uma parte da renda, que é distriuída aos proprietários do capital (máquinas, equipamentos, ferramentas etc.). No cálculo financeiro, juro é uma compensação, em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo, a uma taa previamente cominada.. Cálculo dos juros simples O juro é simples quando é produzido unicamente pelo capital inicial. Se, por eemplo, colocarmos o capital equivalente a 00 u.m. a juros durante meses, à taa de % ao mês, teremos em cada mês u.m. de juros. Os juros são todos iguais, pois são calculados sore o mesmo valor (00), que é o capital inicial. Nesta fórmula, a taa e o número de períodos devem referir-se à mesma unidade de tempo; isto é, se a taa for anual, o tempo deverá ser epresso em numero de anos; se a taa for mensal, o tempo deverá ser epresso em número de meses etc. A taa empregada em todas as fórmulas da matemática financeira é a unitária, que corresponde à taa centesimal dividida por 00. Dessa forma, a taa de 6% é centesimal e a taa unitária correspondente é de 0,06; isto quer dizer que, se um capital de 00 produz 6 de juros, o capital de produz 0,06 de juros. EXEMPLOS. Determinar os juros de um capital 00 u.m., a % ao ano, durante meses. Neste eemplo, temos a taa anual de % e o tempo em meses (). Para aplicarmos a fórmula, devemos tomar a taa e o número de períodos na mesma unidade de tempo. Assim, % a.a. corresponde a 0, (taa unitária anual) e meses são do ano. j = C i n j = 00 0, j = 6 Podemos, entretanto, empregar a taa mensal proporcional a % ao ano, ou seja, % ao mês, que corresponde à taa unitária 0,0e colocar o número de períodos em meses,. Portanto: j = C i n j = 00 0,0 j = 6

26 . O capital 00 foi colocado a 0% ai. durante 9 meses. Determinar os juros. Neste prolema, a taa e o número de períodos podem ser epressos com relação ao trimestre. A taa de juros trimestral proporcional a 0% a.a. é% (0,0), e 9 meses são trimestres. Portanto: j = C i n j = 00 0,0 j = 60. Montante Chama-se montante o capital acrescido de seus juros. A notaçâo para montante é Cn (capital com juros acumulados em n períodos) C n = C + j como j = C i n Cn = C + C i n Colocando o fator comum C em evidência, temos Quando o tempo de aplicação de um capital for epresso em dias, às vezes há dificuldade para converter a taa e o número de per iodos na mesma unidade de tempo. Para contornar essa dificuldade pode-se usar o método do divisor fio para o cálculo dos juros. Chama-se divisor fio (delta) a relação 6.000, onde r é a taa centesimal anual dos juros. r Para oter a fórmula dos juros com o emprego do divisor fio, tomamos j = C i n r onde i =. Como r é taa anual, devemos 00 transformá-la em taa diária, pois o 00 número de períodos será representado por número de dias. Sendo o ano comercial r r considerado de 60 dias, dividindo por temos a taa diária. EXEMPLOS C n =C ( + in). Qual o montante de um capital 600, a % a.a, durante meses? C n = C( +in) i = 0,0 (,% ao mês) n = (meses) C n = 600(+0,0) C n = 600, C n = 6. Qual o capital que produz o montante de, a % ai., durante 6 meses? Da fórmula do montante, C n = C( +i n) deduzimos a fórmula para o cálculo do capital C C n in onde: C n = C = i = 0,0 (% ao trimestre) n = (trimestres) C 0,0 C, C = 0. Divisor fio r Portanto: i Sustituindo a fórmula dos juros;, r j C n A epressão divisor fio. Assim, j C n EXEMPLOS r representa o inverso do j C n. Determinar os juros do capital 00, a % a.a, durante meses e dias. j C n C = 00 n = (dias) j r j =,60 6

27 . Qual o montante do capital 0 no fim de meses e dias, a % a.a? C n j C = 0 n = 0(dias) j.000 j =,.000 valor atual, é chamado desconto racional ou por dentro.. Cálculo dos descontos simples.. Desconto comercial ou por fora O desconto comercial (ou por fora ) equivale aos juros simples, onde o capital corresponde ao valor nominal do título. Denominando N o valor nominal do título e d o desconto comercial, temos: C 0 =0+, d = N i n d Nn C 0 =, Para a solução deste prolema, pode-se deduzir uma fórmula para calcular diretamente o montante com emprego do divisor fio. C n = C + j C n j C n C n C n C C C( C n Cn n) Resolvendo o prolema com esta fórmula, temos: EXEMPLOS. Uma duplicata de valor nominal equivalente a 00 um. foi resgatada três meses antes do vencimento, à taa de 9% a.a. Qual o desconto? d = N i n d = 00 0,00 d =,0. Um título de 0 u.m. foi resgatado um mês e dias antes do vencimento, à taa de % a.a. Qual o desconto? Nn d N = 0 C 0 C 0 =, 0(.000 0).000 n = (dias) DESCONTOS SIMPLES. Conceito Quando um titulo de crédito (duplicata, nota promissória, letra de câmio) é resgatado antes de seu vencimento, ele sofre um aatimento, que é denominado desconto. Um título possui um valor, chamado nominal, a ele declarado, que corresponde ao seu valor no dia do vencimento. Antes disso, o titulo pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, sendo denominado valor atual ou valor presente. Chama-se desconto simples o calculado sore um único valor do título (nominal ou atual). Se for calculado sore o valor nominal, é chamado desconto comercial ou por fora e, se for calculado sore o d d =, Valor atual ou valor presente O valor atual ou presente de um titulo é igual ao valor nominal menos o desconto. Denominando A,, o valor atual, temos: A n,= N - d Como d = N i n A n = N N i n

28 A n = N( - i n) Ou, sustituindo d pelo seu valor Nn A n A n N - A n Nn N - Nn N( - n) d = N i n - d i n d + d i n = N i n d ( + i n) = N i n N i n d ' i n Analogamente, a fórmula do desconto racional, com emprego do divisor fio, é assim deduzida: A n n d ' d ' N d ' n EXEMPLOS. Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a 0, u.m., à taa de 6% a.a., meses antes do vencimento? A n = N( in) N = 0, i = 0,00 (0,% ao mês) n = (meses) A = 0, ( 0,00) A =,. Uma letra de câmio de valor nominal igual a 0 foi resgatada meses e 6 dias antes do vencimento, a,% ao mês. Qual o valor do resgate? A n N N = 0 n = 6(dias) 6.000, n A 6.00 A 6 = 6,9 6.. Desconto racional ou por dentro O desconto racional ou por dentro equivale ao juro simples calculado sore o valor atual do título. Denominando d o desconto racional, temos: d = A n i n Entretanto, nessa equação há duas incógnitas, pois d ea,, são valores desconhecidos. Mas, sendo o valor atual a diferença entre o valor nominal e o desconto, pode-se sustituir, na fórmula acima, A,, por N d~ Dessa forma, d ' N n - d ' n d = N n - d n Ad + d n = N n d ( + n) = Nn EXEMPLOS d ' Nn n. Determinar o desconto racional de um titulo de valor nominal equivalente a u.m., pago meses antes do vencimento a % ao mês. d ' N i n i n N = i = 0,0 (% ao mês) n = (meses) d 0,0 0,0 d =,6. Um título de 00 u.m. sofreu o desconto racional de 0% a.a., meses e dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto? d ' Nn n N = 00 n = (dias) d = (N - d )i n

29 d ' d =,66... Valor atual ou valor presente Sendo o valor atual a diferença entre o valor nominal e o desconto, temos: A n = N - d Sustituindo d pelo seu valor A n A n A n N i n N i n N( i n ) - N i n i n N N i n - N i n i n A n N i n d ' Ou, sustituindo d pelo seu valor N i n i n N n n temos: A = 69,. Um título de valor nominal igual a,0 u.m. sofreu o desconto racional de,% ao mês, mês e dias antes do vencimento. Qual o valor atual? A n N =,0 N N n = (dias) A A =, ,0.000 SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO A nossa moeda atual é o real (R$), incluindo os centavos. Assim escrevemos: R$ 0,00 = dez reais R$ 0,0 = dez reais e vinte centavos Para fazermos os cálculos, seguimos as mesmas regras que Números Decimais. A n A n A n A n Nn N n N( n ) - N n N N n - N n N N n n EQUAÇÕES DO.º GRAU Equação: É o nome dado a toda sentença algérica que eprime uma relação de igualdade. Ou ainda: É uma igualdade algérica que se verifica somente para determinado valor numérico atriuído à variável. Logo, equação é uma igualdade condicional. EXEMPLOS. Qual o valor atual de um título de valor nominal equivalente a 0 u.m., meses antes do vencimento, pelo desconto racional de % ao mês? A n N = 0 N i n i = 0,0 (% ao mês) n = (meses) A 0 0,0 9 Eemplo: + = 0.memro 0.memro onde é a incógnita, variável ou oculta. Resolução de equações Para resolver uma equação (achar a raiz) seguiremos os princípios gerais que podem ser aplicados numa igualdade. Ao transportar um termo de um memro de uma igualdade para outro, sua operação deverá ser invertida. Eemplo: + = + fica assim: - = - = =

30 Note que o foi para o.º memro e o foi para o.º memro com as operações invertidas. Dizemos que é a solução ou a raiz da equação, dizemos ainda que é o conjunto verdade (V). Eercícios Resolva as Equações ) + = 9 ) +0=0 ) - 6 = -6 Respostas: ) = ou V = {} ) = - ou V = {-} ) = - ou V = {-} EQUAÇÕES DO.º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Resolução por adição. Eemplo : memro. y y,soma-se memro a ) I ) + y,saendo que o valor de é igual sustitua este valor em qualquer uma das equações ( I ou II ), II) y = +0 = Sustitui em I fica: = + y = y = y = = Se quisermos verificar se está correto, devemos sustituir os valores encontrados e y nas equações + y = y = + = - = Dizemos que o conjunto verdade: V = {(, )} Eemplo : y y Note que temos apenas a operação +, portanto devemos multiplicar qualquer uma ( I ou II) por -, escolhendo a II, temos: - - y 0 - Agora, sustituindo = na equação II: + y =, fica: + y =, fica + y =, portanto y = Eemplo : y y - - neste eemplo, devemos multiplicar a equação II por (para desaparecer a variável y). y y.() memro a memro: + y = 6 y = 6 y y y + 0= = = Sustituindo = na equação I: + y =. + y = 0 + y = y = - 0 y = y = / y = então V = {(,)} soma-se = Eercícios. Resolver os sistemas de Equação Linear: ) ) y y y y ) y Respostas: ) V = {(,)} ) V = {(,)} ) V {(,)} INEQUAÇÕES DO.º GRAU y y y ( -) - y soma-se memro a memro y Distinguimos as equações das inequações pelo sinal, na equação temos sinal de igualdade (=) nas inequações são sinais de desigualdade. 0

31 > maior que, maior ou igual, < menor que, menor ou igual Eemplo : Determine os números naturais de modo que + >. + > > - > >/ > Eemplo : Determine os números inteiros de modo que (-) - 9, quando multiplicamos por (-), invertemos o sinal dê desigualdade para, fica: - 9, onde -9/ ou - Eercícios. Resolva: ) -, ) ) - + Respostas: ) ) / ) a) + + = 0 a =, =,c = ) y + 0y + = 0 a =, = 0, c = c) = 0 a = -, = -, c = d) y + y + 0 = 0 a =, =, c = 0 Eercícios Destaque os coeficientes: )y + y + 0 = 0 ) - + = 0 )y - y + = 0 ) = 0 Respostas: ) a =, = e c = 0 )a =, = - e c = ) a =, = - e c = Equações Completas e Incompletas Pela definição, o coeficiente a sempre diferente de zero, os coeficiente e c são diferentes de zero. Eemplos: EQUAÇÕES DO.º GRAU Definição: Denomina-se equação de.º grau com variável toda equação de forma: - - = 0 y y = 0 y + y + = 0 São equações completas. a + + c = 0 onde : é variável e a,, c R, com a 0. Eemplos: = = = 0 y - y + 9 = 0 - y - 9y+0 = = 0 Coeficiente da Equação do.º Grau Os números a,, c são chamados de coeficiente da equação do.º grau, sendo que: a representa sempre o coeficiente do termo. representa sempre o coeficiente do termo. c é chamado de termo independente ou termo constante. Quando uma equação é incompleta, = 0 ou c = 0, costuma-se escrever a equação sem termos de coeficiente nulo. Eemplos: - 6 = 0, = 0 (Não está escrito o termo ) + = 0, c = 0 (Não está escrito o termo independente ou termo constante) = 0, = 0, c = 0 (Não estão escritos o termo e termo independente) Forma Normal da Equação do.º Grau a + + c = 0 Eemplos:

32 Eercícios Escreva as equações na forma normal: ) + 9 = ) - = + " S, Respostas: ) = 0 ) - = 0 Resolução de Equações Completas Para resolver a equação do.º Grau, vamos utilizar a fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara. A epressão - ac, chamado discriminante de equação, é representada pela letra grega (lê-se deita). = - ac logo se > 0 podemos escrever: RESUMO a NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO.º GRAU COMPLETA PODEMOS USAR AS DUAS FORMAS: a Eemplos: a c ou = - ac a a) + + = 0 a =, =, c = a a c ) + + = 0 a =, =, c = -.a. c = -.. = 9 - = ou ' e " - S, - Oservação: fica ao SEU CRITÉRIO A ESCOLHA DA FORMULA. Eercícios Resolva as equações Respostas do.º grau completa: ) = 0 ) V = {,) ) + = 0 ) V = {, / } ) - = 0 ) V = {-/,/} ) + + = 0 ) V = { -, - } ) - + = 0 ) V = {} 9 Equação do.º grau Incompleta Estudaremos a resolução das equações incompletas do.º grau no conjunto R. Equação da forma: a + = 0 onde c = 0 ' - - Eemplo: - = 0 Colocando-se o fator em evidência (menor epoente) ( - ) = 0 = 0

33 ou = 0 = Os números reais 0 e / são as raízes da equação S = {0; /) Equação da forma: a + c = 0, onde = 0 = 0 = 0 = + 0 S = { 0 } Eercícios Respostas: ) - 6 = 0 ) V = { -, + } ) - = 0 ) V = { -, +} ) + = 0 ) V = { 0, -} Eemplos: a) - = 0 = transportando-se o termo independente para o.º termo. = pela relação fundamental. Relações entre coeficiente e raízes Seja a equação a + + c = 0 ( a 0), sejam e as raízes dessa equação eistem e reais dos coeficientes a,, c. ' e a " a Relação: Soma das Raízes R. = ± 9 S = {+9; - 9 } ) + = 0 não representa número real, isto é = - ' ' " ' " " a a a ' a " a a equação dada não tem raízes em R. = S = ou S = { } Daí a soma das raízes é igual a -/a ou seja, + = -/a Relação da soma: ' " a c) 9 = 0 9 = = 9 = 9 S = { ±} = 9 = ± Equação da forma: a = 0 onde = 0, c = 0 A equação incompleta a = 0 admite uma única solução = 0. Eemplo: = 0 Relação: Produto das Raízes ' ' ' ' ' ' " " " " " " a ac a a a a a a ac ac ' " c a a c

34 Daí o produto das raízes é igual a a c ou seja: c ' " ( Relação de produto) a Sua Representação: Representamos a Soma por S S ' " a Representamos o Produto pôr P c P ' " a Eemplos: ) = 0 a = 9, =, c =. S P ' ' " " c a a ) + = 0 a =, =,c = - S P ' ' " " c a a Se a = essas relações podem ser escritas: ' " ' " c ' " ' " c Eemplo: -+ = 0 a =, =-, c = S P ' ' " " Eercícios c a a - - Calcule a Soma e Produto Respostas: ) = 0 ) S = 6 e P = ) - (a + ) + a = 0 ) S = (a + ) e P = a ) a + a - = 0 ) S = e P =-/a ) + - = 0 ) S = - e P = - Aplicações das Relações Se considerarmos a =, a epressão procurada é + + c: pelas relações entre coeficientes e raízes temos: + = - = - ( + ). = c c =. Daí temos: + + c = 0 a =, ) - 6 = 0 = 0, (equação incompleta) c = -6 S ' P " ' " a c a a = a+ ) ( a+) - ( a + ) + a+ = 0 = - (a+ ) c = a+ S P ' ' " " c a a - a - a a a a a a a Representação Representando a soma Representando o produto. = P E TEMOS A EQUAÇÃO: - S + P = 0 Eemplos: a) raízes e - S = + = + (-) = = - P =. =. (-) = - + = S

35 - S + P = 0 + = 0 Qual é o número cuja soma de seu quadrado com seu doro é igual a? ) 0, e 0, S = + =0, + 0, = 0, P =. =0,. 0, = 0,06 - S + P = 0 + 0, + 0,06 = 0 c) e 0 S = + = + = P =. =. = - S + P = = 0 d) + e S = + = + (-) = = 0 P =. =. (-) = -6 S + P = 0 6 = 0 Eercícios Componha a equação do.º grau cujas raízes são: ) e ) 6 e ) e -/ ) + e - ) 6 e 0 Respostas: ) -+6= 0 ) = 0 ) - 6/ - / = 0 ) = 0 ) - 6 = 0 Resolução de Prolemas Um prolema de.º grau pode ser resolvido por meio de uma equação ou de um sistema de equações do.º grau. Para resolver um prolema do segundo grau devese seguir três etapas: Estaelecer a equação ou sistema de equações correspondente ao prolema (traduzir matematicamente), o enunciado do prolema para linguagem simólica. Eemplo: Resolver a equação ou sistema Interpretar as raízes ou solução encontradas Número procurado : equação: + = Resolução: 6 + = 0 = -ac = () (-) ' 0 = + 60 " = 6 Os números são e -. Verificação: + = 0 + = 0 () + () = 0 (-) + (-) = = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 ( V ) ( V ) Resolva os Prolemas do.º grau: ) O quadrado de um número adicionado com o quádruplo do mesmo número é igual a. ) A soma entre o quadrado e o triplo de um mesmo número é igual a 0. Determine esse número. ) O triplo do quadrado de um número mais o próprio número é igual a 0. Determine esse numero. ) A soma do quadrado de um número com seu quíntuplo é igual a vezes esse número, determine-o. Respostas: ) e ) - e ) -0 e ) 0 e INEQUAÇÕES DE º GRAU Chama-se inequação do º grau com uma variável toda inequação da forma: a + + c > 0 a + + c < 0 a + + c 0 a + + c 0 com a 0 Assim, são inequações do segundo grau com uma variável: - + > < O conjunto universo da variável é o conjunto R.

36 RESOLUÇÃO Resolver uma inequação do segundo grau com uma variável é determinar o seu conjunto solução, isto é, o conjunto dos valores reais de para os quais a função y = a + + c é positiva ou negativa. Vejamos alguns eemplos de resolução, onde aplicaremos o estudo da variação do sinal da função quadrático. 0. Se der R$,00 a cada garoto, ficarei ainda com R$ 60,00. Para dar R$,00 a cada um precisarei de mais R$ 6,00. Quantos são os garotos? (X + 60 = X 6) 0. Distriuí certo número de selos entre os alunos de uma das minhas turmas, caendo para cada um. Se eu fosse distriuir para a outra turma, que tem alunos a mais, eu teria de dar selos a cada aluno e me sorará. Quantos selos eu distriuí? º Eemplo: Resolver a inequação - + > > 0 = (-) - ()() = 9 - = ' e ' '= Pelo esquema temos: S = R < ou > Esquema: a = > 0 º Eemplo: Resolver a inequação: < 0 0. Duas cidades, A e B, distam 60 km uma da outra. Às horas, um carro sai de A em direção a B e outro de B em direção a A, sendo que os dois se cruzam às horas num ponto a 0 km de A. Qual a velocidade do carro que partiu de A? 0. A diferença entre dois números é. Multiplicando-se o maior pôr, a diferença passa a ser. Calcular os dois números. 0. O produto de um número a pelo número 6 é p. Acrescentando-se unidades ao fator a e conservando o fator 6, qual será o novo produto? 06. A soma de dois números é 90. Calcule o menor desses números, saendo que o produto deles dividido por sua diferença dá o maior. 0. Seja o produto 6. Aumenta-se o muitiplicador de. De quanto devemos aumentar o multiplicando para que o produto eceda a antigo de 6? = = 0 = (-) - ()() = 6-6 = 0 Pelo esquema, temos : S = R Esquema: a = - < 0 0. Entre os números inteiros inferiores a 00, quais são aqueles que podem servir de dividendo, em uma divisão de números inteiros, cujo quociente é e o resto? 09. São dados dois números dos quais o maior é 00. Tirando-se 0 de um deles e do outro, a soma dos restos é 00. Qual o menor número? 0. Um aluno ao multiplicar um número por 60, esqueceu-se de colocar o zero à direita e oteve inferior do que deveria ter encontrado. Calcular o número. Dois alunos têm, cada um, certo número de canetas. Se o º desse uma ao º, teriam igual número; se o º desse uma ao º, este terá então duas vezes mais do que o.º. Quem tem o maior número de canetas, possui: a) ) c) 9 d) e) PROVA SIMULADA DE MATEMÁTICA. Você e eu temos juntos R$ 6,00. Se você me desse R$ 0,00, ficaria com R$ 6,00 mais do 6

37 que eu. Se eu lhe desse R$ 0,00 você ficaria com:. Dois terços de uma peça de fazenda medem 90 metros. Quantos metros tem a peça? a) R$,00 ) R$,00 c) R$ 00,00 d) R$ 00,00 e) R$ 00,00. Calcular multiplicar. Quando se diz que de um número ou de uma quantia é por esse número ou essa quantia? de um número é, a fração que corresponde ao número é?. Se de meu ordenado é R$ 660,00, qual é o meu ordenado?. Qual a área aproimada do Brasil se dessa área do km? 6. Gastei R$ 0,00 e fiquei ainda com de meu ordenado. Qual o meu ordenado?. Se eu gasto ou ou 9 de meu dinheiro,. Uma torneira enche um tanque em horas. Em quantos minutos enche do tanque? esse dinheiro é representado pela fração ou ou 9 9, respectivamente?. 6. Se de meu ordenado são R$00,00, de meu ordenado corresponderá a R$ 00,00 :?. Quanto é?. Quanto vale do número de minutos de uma hora de R$00,00? 9. Um aluno de ginásio é origado a freqüentar, no mínimo, das aulas dadas durante o ano letivo. Se o seu ginásio der 0 aulas, quantas no mínimo terá de freqüentar? 0. Cada aula do antigo Curso de Artigo 99, da Rádio Ministério da Educação, tinha a duração de da hora. Quantos minutos de duração tinha cada aula?. Comprei um apartamento por R$0.000,00. Paguei de entrada e o resto em 0 meses. Quanto dei de entrada?. Um comerciário gastou de seu ordenado, comprando um pequeno rádio por R$ 0,00. Qual o seu ordenado?. Gasto do meu ordenado com aluguel de casa e dele em outras despesas. Fico ainda com R$ 00,00. Qual é o meu ordenado? 9. Pedro gastou da quantia que possuía e, depois, dessa quantia. Ficou ainda com R$ 9 0,00. Quanto Pedro possuía? 0. Num time de futeol carioca, metade dos jogadores contratados são cariocas, são dos outros Estados e os restantes são estrangeiros. Quantos jogadores contratados tem o clue?. Uma torneira enche um tanque em 0 horas e outra em 0 horas. Em quanto tempo as duas juntas encherão o tanque?. Uma empresa construtora pode fazer uma ora em 0 meses e outra em 60 meses. Em quanto tempo as duas, juntas, podem fazer essa ora?. Que horas são se o que ainda resta para terminar o dia é do que já passou?. Paulo gastou do que possuía e, a seguir, a metade do resto. Ficou ainda com R$,00. Quanto Paulo possuía?

38 . Dei do meu dinheiro a meu irmão e metade do resto a minha irmã. Fiquei ainda com os R$,00. Quanto eu possuía? 6. O lucro de uma sociedade em 96, foi igual a R$ ,00. Esse lucro foi dividido entre os três sócios de modo que o primeiro receeu da parte do segundo e este Qual a parte de cada um? da parte do terceiro.. A soma, de dois números é 9 e um deles é iguai a do outro. Quais são esses números? 6. Achar as frações próprias irredutíveis tais que o produto de seus termos seja.. Qual a fração que, acrescida de seu quadrado, dá como soma outra fração que representa a fração inicial multiplicada por?. Um ecursionista fez uma viagem de 60 km. Os do percurso foram feitos de trem, a cavalo e o resto de automóvel. Quantos km andou de automóvel e que fração representa da viagem total? 9. Para ladrilhar de um pátio empregaram-se 6.60 ladrilhos: Quantos ladrilhos iguais. A metade de minha idade aumentada de seus é igual a anos. Qual é a minha idade? 9. A soma de dois ângulos é 90 graus. Um deles é do outro. Quais as medidas desses ângulos? 0. Diminuindo-se anos da idade de meu filho otém-se os meu filho? de sua idade. Qual a idade de. Duas pessoas têm juntas 6 anos. Quantos anos tem cada uma se a 9 da idade da menor? da idade da maior é igual. Quando devo sutrair do numerador da fração para torná-la nove vezes maior? 9. A soma da metade com a terça parte da quantia que certa pessoa tem é igual a R$,00. Quanto possui esta pessoa?. Uma pessoa despendeu certa quantia na compra de um terreno e o vendeu por R$.000,00; nesta venda ganhou do que despendera. Por quanto comprou o terreno?. Determinar a fração-equivalente a dos termos é 9. cuja soma serão necessários para ladrilhar pátio? 0. Dois lotes têm a mesma área. Os do mesmo da área do primeiro ecedem de 0 m os da área do segundo. A área de cada lote é de... m.. Pedro e Paulo encarregados de uma ora, fariam todo o traalho em dias. No fim do quarto dia de traalho, Pedro adoeceu e Paulo concluiu o serviço em 0 dias. Que fração da ora cada um eecutou?. Cláudia e Vera possuíam juntas R$00,00. Ao comprarem um presente de R$,00 para oferecer a uma amiga comum, cada qual deu uma quantia diferente, na medida de suas possiilidades. Cláudia entrou com do dinheiro de que dispunha e Vera com do seu. Calcule com quanto Cláudia contriuiu?. Numa cesta havia laranjas. Deu-se a uma pessoa, a terça parte do resto a outra e ainda restam 0 laranjas. Quantas laranjas havia na cesta?. Paulo e Antônio têm juntos R$,00. Paulo gastou e Antônio do que possuíam, ficando com quantias iguais. Quanto possuía cada um?. Dividir um número por 0,06 equivale a multiplicá-lo por:

39 a) 6, ),6 c) e) d) 6 6. A fração equivalente a, cujos termos têm para menor múltiplo comum 0, é: a) 0 ) c) 0 0 d) 0 e) 0 0. Duas torneiras são aertas juntas, a.ª enchendo um tanque em h, a.ª enchendo outro tanque de igual capacidade em h. No fim de quanto tempo o volume que falta para encher o.º será do volume que falta para encher o.º tanque?. Um negociante ao falir só pode pagar do que 6 deve. Se possuísse mais R$.600,00 poderia pagar 0% da divida. Quanto deve ele? 9. O som percorre no ar 0 metros por segundo. Que distância (em quilômetros) percorrerá em um minuto? 60. Medi o comprimento de um corredor e encontrei,0 m. Verifiquei, depois, que o metro utilizado era de faricação defeituosa, pois seu comprimento tinha menos centímetros do que o verdadeiro. Qual a medida eata do corredor? 6. Medi o comprimento de um terreno e achei passos e pés. Verifiquei, depois, que o comprimento de meu passo vale 6 cm e o de meu pé cm. Qual o comprimento do. terreno em metros? 6. Com livros de cm e cm de espessura formase uma pilha de,06 m de altura. Quantos livros foram usados com a espessura de cm? 6. A área de uma sala é de m. Quantos tacos de madeira de 0 cm serão necessários para taquear essa sala? 6. A soma das áreas de dois terrenos é de 0 hectares. O primeiro terreno tem mais.00 decâmetros quadrados que o segundo. A área do segundo é de quilômetros quadrados. 6. Dividiu-se um terreno de 00 hectares de área em duas partes. A quarta parte da primeira é igual a seta parte da segunda. A primeira parte tem decâmetros quadrados. 66. Um terreno retangular com,0 m de frente e m de fundo foi vendido por R$.0,00. Por quanto foi vendido o metro quadrado? 6. Um campo de forma retangular mede dam de frente e hm de fundo. Saendo que da superfície estão cultivados, pede-se em ha, a área da parte não cultivada. 6. Em certa cidade um ha de terreno custa R$ 0.000,00. Calcule o lado de um terreno quadrado adquirido por R$.00, A área de um trapézio é de quatro decâmetros quadrados dois metros quadrados e vinte e quatro e decímetros quadrados; saendose que as ases medem respectivamente metros e metros, calcular a altura desse trapézio, dando a resposta em milímetros. 0. As dimensões de um retângulo são, m e 0,6 m. O lado do quadrado equivalente a esse retângulo tem por medida: a), m ),6 m c) 0, m d) m e) 0, m. Se eu diminuir a área de um terreno os seus, a área passará a ter,0 dam, mas se eu acrescentar centiares ele ficará com hectares e ares.. Um muro de,m de comprimento deverá levar duas faias de ladrilhos paralelos entre sí em toda a sua etensão. A primeira faia mede, m de largura e a segundo 0, m. Cada ladrilho, que é quadrado, mede 0, m de lado e custa R$,00. Quanto custarão os ladrilhos para esta ora?. Dois terços de uma caia cujo volume é.60 m estão cheios de um certo óleo. Quantos dal d'água devem ser colocados na caia para acaar de enchê-la?. Um reservatório de água tem as dimensões:, m; m e m. Quantos dal de água podemos depositar no referido reservatório? 9

40 . Uma caia d'água tem as seguintes dimensões:,0 m de comprirnento; dm de largura e 0 cm de altura. Calcular quantos litros d'água há nesta caia, saendo-se que faltam cm para ficar cheia. Quantos pregos poderão ser feitos com um rolo de, kg desse mesmo fio?. Se um litro de óleo pesa 960 g, qual o volume ocupado por, t desse óleo? 6. Uma sala de 0,00 Km de comprimento, 0 dm de largura e 00 cm de altura, tem uma porta de, m de área e uma janela de m de área. Quantos litros de tinta serão precisos para pintar a sala toda, com o teto, saendo-se que com L de tinta pinta-se 0,0 dam?. Um terreno retangular de ares de área, tem.000 cm de largura. Esse terreno deve ser cercado com um muro de dois metros de altura. Saendo-se que cada metro quadrado de muro construído consome 00 dm de concreto, pergunta-se, quantos metros cúicos de concreto serão consumidos no muro todo?. Dois vasos contêm em conjunto, hl. Tirando-se L do primeiro e 0, dal do segundo, ficam quantidades iguais. A capacidade do primeiro vaso é de e a do segundo Um reservatório estava cheio de água. Esvaziouse esse reservatório de da sua capacidade e retirou-se depois hl d água. Quantos litros ficaram se o volume restante corresponde a da capacidade total do reservatório? 0. Calcule, em hl, a capacidade de um reservatório, com a forma de um paralelepipedo retângulo cujo comprimento é o triplo da largura e esta o doro da altura, sendo que a soma das três dimensões é igual a m.. A soma das capacidades de dois reservatórios é de 0 hl. O primeiro contém água até os de sua capacidade e o segundo até a metade. Se colocarmos a água do primeiro no segundo, este ficará cheio. Qual o volume do segundo em m?. Quantas toneladas pesam m de certa sustância, saendo-se que um litro pesa, kg?. Um tanque de, m de comprimento, dm de largura e 0 cm de altura está cheio de óleo do qual cada hl pesa 0kg. Qual o peso, em toneladas, do óleo contido no reservatório?. Um metro de fio pesa, g. Esse fio é para fazer pregos de 0,09 m de comprimento Um vaso cheio de um certo líquido pesa mais kg do que se estivesse cheio de água. Um dal desse líquido pesa kg. A capacidade do vaso é de litros.. Um tanque está cheio de água. Esvaziando-se um terço de sua capacidade restam, hl mais do que a sua quarta parte. O peso da água contida no tanque, quando cheio é... toneladas.. Dois vasos cheios de água pesam,0kg. Um contém cl mais do que o outro. Determinar, em litros, a capacidade de cada um, saendose que os vasos vazios pesam juntos hg. 9. Analizando certa amostra de leite, verificou-se que a ele havia sido adicionado água. Um litro de leite adulterado pesava.0g. Calcule quantos ml de água adicionada contém litro dessa amostra, saendo-se que o leite puro pesa.0 g por litro e a aguá.000 g por litro? 90. Um avião consome, dal de gasolina por minuto de vôo. Saendo-se:.º) sua velocidade de cruzeiro é de 0km/h;.º) a gasolina pesa 0, kg por litro;.º) o avião deve transportar 60% a mais do que a gasolina necessária; determinar quantas toneladas de gasolina deve transportar esse avião para fazer uma viagem de. km. 9. Qual é o número, cujos mais os igual ao próprio número, mais? mais é 9. Que horas são, se o que ainda resta para terminar o dia é do que já passou? 9. As idades de João e Pedro somam anos e há anos a idade de João era quatro vezes a de Pedro. Que idades têm agora João e Pedro? 9. Roerto tem anos e Paulo 0. No fim de quantos anos a idade de Roerto será o triplo da de Paulo?. 9. Dois indivíduos têm: o primeiro anos e o segundo. Depois de quantos anos a idade do segundo será um quarto da idade do primeiro?

41 96. A soma das idades de A e B é. Daqui a anos a idade de A será o doro da de B. Calcular as idades de A e B. 9. Um pai tem anos e o seu filho. Quando aconteceu ou acontecerá que a idade de um seja o triplo da do outro? 9. Um pai diz a seu filho: hoje, a sua idade é da minha e há anos era. Qual a idade do pai 6 e qual a do filho? 99. Resolva o prolema: Há anos a idade de uma pessoa era o duplo da de outra; em 9 anos a idade da primeira passou a ser da segunda. Que idade têm as duas atualmente? 00. Uma pessoa possui cavalos e uma sela que vale R$,00. Colocando a sela no primeiro cavalo, vale este o doro do segundo. Colocando-a no segundo, vale este R$ 0,00 menos que o primeiro. Quanto vale cada cavalo? RESPOSTAS 0) 0) 0 0) 0km/h 0) e 0) p ) 0 0) 0) 9,,, 9, 9 e99 09) 0).9 ) ) e ) Sim ) Sim ) Sim 6) Sim ) min ) R$ 60,00 9) 0 0) mim ) R$ 0.000,00 ) R$ 0,00 ) ) R$ 0,00 ) km 6) R$.00,00 ) min ) R$.000,00 9) R$ 90,00 0) ) h ) meses ) h min ) R$ 6,00 ) R$ 0,00 6) R$ 0.000,00 R$ 0.000,00 R$ ,00 ) e 0 ) 0 anos 9) e 6 graus 0) 0 anos ) 0 e 6 ) ) R$,00 ) R$ 0.000,00 ) 6/ 6) /, /, /, e / ) / ) km e / 9).9 0) 00 ) /6 e /6 ) R$ 60,00 ) ) R$ 60,00 e R$6,00 ) d 6) d ) h min ) R$.000,00 9) 0, km 60), m 6) 0,m 6) 6).000 6) 0, 6) ) R$ 0,00 6) 0,0 há 6) 0 m 69) mm 0) a ) 0.00 ) R$.,00 ) 9 dal ).00 dal ) L 6) 6,9 L ) ) 90 L e 60 L 9).600 L 0) 960 hl ),00 m ) t ),t ) 00 ).00 dm 6) ), ) 0, L e 0,6 L 9) 00 ml 90),6 t 9) -0 9) h min

42 9) e 9) Há anos 9) Há anos 96) e 0 9) Há anos 9) e 0 anos 99) e 00) R$ 60,00 e R$ 0,00 Introdução FUNCOES O estudo de funções é um dos mais importantes da matemática, onde se preocupa estaelecer uma relação entre duas grandezas variáveis, sendo aplicado tamém a diversas ciências. Par ordenado Dado dois elementos e y de um conjunto e estaelecido entre eles uma determinada disposição (ou ordem), isto é, sendo o primeiro e y o segundo elemento, formamos o par ordenado (,y). A igualdade entre dois pares ordenados será atendida se os primeiros termos estiverem iguais entre si e os segundos termos tamém iguais entre si: (a,) = (c,d) <-> (a = c e = d). Todo par ordenado de números reais é representado no plano cartesiano por um ponto, tal plano é caracterizado por dois eios perpendiculares entre si; o eio das ascissas (eio ) e o eio das ordenadas (eio y), tendo a origem do sistema o ponto O (0,0). Dados dois conjuntos, podemos formar pares ordenados através de uma relação entre eles, o conjunto formado por estes pares ordenados é denominado produto cartesiano definido por: A B = { (,y) / E A e Y E B}.Quando A ou B vazios, temos que A B vazio. - Definição Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por y = f(), a qualquer relação inária que associa a cada elemento de A, um único elemento de B. Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, eigeque não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A. Os : na notação y = f(), entendemos que y é imagem de pela função f, ou seja: y está associado a através da função f. Eemplo: f() = + ; então f() =. + = e portanto, é imagem de pela função f ; f() =. + =, portanto é imagem de pela função f, f(0) =.0 + =, etc. Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio. OO- O conjunto A é o domínio da função. - O conjunto B é o contradomínio da função. - O elemento y de B, associado ao elemento de A, é denominado imagem de. - O suconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos de A é denominado conjunto imagem ou apenas imagem da função. Quando R e R, sendo R o conjunto dos números reais, dizemos que a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f() que a define, sendo o conjunto dos valores possíveis para, chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto imagem da função. Assim, por eemplo, para a função definida por y = /, temos que o seu domínio é D(f) = R *, ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lemrese que não eiste divisão por zero), e o seu conjunto

43 imagem é tamém R *, já que se y = /, então = /y e portanto y tamém não pode ser zero. Dada uma função f : A definida por y = f(), Uma função y = f() é injetora quando elementos distintos do seu domínio, possuem imagens distintas, isto é: ) f( ). cartesianas. Eemplo: O gráfico otido será o gráfico da função f. Assim, por eemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que: a) a projeção da curva sore o eio dos, nos dá o domínio da função. ) a projeção da curva sore o eio dos y, nos dá o conjunto imagem da função. c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função, intercepta o gráfico da função em no máimo um ponto.. - Função ijetora Uma função é dita ijetora, quando é ao mesmo tempo, injetora e sorejetora. Eemplo: Veja a figura aaio: Eercícios resolvidos: - Considere três funções f, g e h, tais que: A função f atriui a cada pessoa do mundo, a sua idade. A função g atriui a cada país, a sua capital A função h atriui a cada número natural, o seu doro. -Tipos de funções. - Função sorejetora É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio. Eemplo: Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: a) f, g e h ) f e h c) g e h d) apenas h e) nenhuma delas Solução: Saemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: ). Logo, podemos concluir que:. - Função injetora f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. g é injetora, pois não eistem dois países distintos com a mesma capital.

44 h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus doros tamém distintos. Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C. - Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais - tal que f( - ) =. Nestas condições, pede-se determinar f( + ). Solução: Vamos fazer uma mudança de variável em f( - ) =, da seguinte forma: - = u Sustituindo agora ( - ) pela nova variável u e por (u + ), vem: f(u) = (u + ) f(u) = u + 0. Ora, se f(u) = u + 0, teremos:. - Função ímpar A função y = f() é ímpar, quando f( - ) = - f (), ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( - ) = - f( ). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eios cartesianos. Eemplo: Agora resolva este: A função f em R é tal que f() = +. Determine.f( + ). Resp: Paridade das funções y = é uma função ímpar pois para todo, teremos f(- ) = - f(). Por eemplo, f( - ) = (- ) = - e - f( ) = - ( ) = -. O gráfico aaio é de uma função ímpar:. - Função par A função y = f() f(- ) = f(), ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( ) = f ( - ). Portanto, numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eio dos y ou eio das ordenadas. Eemplo: y = + é uma função par, pois f() = f(-), para todo. Por eemplo, f() = + = e f(- ) = (-) + = O gráfico aaio, é de uma função par. Nota: se uma função y = f() não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade. Veja aaio o comportamento de uma função par quando varia no intervalo [- ].

45 Eemplo: Determine a INVERSA da função definida por y = +. Permutando as variáveis e y, fica: = y + Eplicitando y em função de, vem: y = - - ) /, que define a função inversa da função dada. O gráfico aaio, representa uma função e a sua inversa. Eemplo O gráfico aaio, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eio dos e, não é simétrica em relação à origem. Oserve que as curvas representativas de f e de f -, são simétricas em relação à reta y =, issetriz do primeiro e terceiro quadrantes. - FUNÇÃO INVERSA Dada uma função f : A define-se a função inversa f - como sendo a função de B em A, tal que f - (y) =. Veja a representação a seguir: Eercício resolvido: a) é inversível e sua inversa é f - ) é inversível e sua inversa é f - () = - c) não é inversível d) é injetora e) é ijetora SOLUÇÃO: : É óvio então que: a) para oter a função inversa, asta permutar as variáveis e y. ) o domínio de f - é igual ao conjunto imagem de f. c) o conjunto imagem de f - é igual ao domínio de f. d) os gráficos de f e de f - são curvas simétricas em relação à reta y = ou seja, à issetriz do primeiro quadrante. Já saemos que somente as funções ijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f() =, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por eemplo, f() = f(-) = 9. Somente por este motivo, a função não é ijetora e, em conseqüência, não é inversível. Oserve tamém que a função dada não é sorejetora, pois o conjunto imagem da função f() = é o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é igual a R. A alternativa correta é a letra C. - FUNÇÃO COMPOSTA

46 Chama-se função composta ( ou função de função ) à função otida sustituindo-se a variável independente, por uma função. Simologia : fog () = f(g()) ou gof () = g(f()). Veja o esquema a seguir: a operação " composição de funções " não é comutativa. Eemplo: ou seja, Dadas as funções f() = + e g() =, pede-se determinar gof() e fog(). Teremos: gof() = g[f()] = g( + ) = ( + ) = 0 + fog() = f[g()] = f() = () + = 0 + 6

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