Dedução Natural e Sistema Axiomático Pa(Capítulo 6) LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto
Estrutura 1. Definições 2. Dedução Natural 3. Sistemas axiomático Pa 4. Lista
Um dos objetivos principais da lógica é o estudo de estruturas que possam ser utilizadas na representação e dedução do conhecimento. Se, por um lado, a Lógica estabelece uma linguagem útil, ela também analisa como o conhecimento é deduzido, formalmente, a partir do conhecimento dado a priori. 04
Esse conhecimento, fornecido de antemão, é representado por um conjunto de fórmulas denominados axiomas. Os axiomas são, portanto, fórmulas às quais atribuímos um status especial de verdade básica ou a priori. 05
Argumentos Dedutivos X Argumentos Indutivos 06
Argumento Seqüência de premissas seguida por uma conclusão. 07
Os argumentos são divididos em dois grupos: Argumentos Dedutivos O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. O argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Argumentos Indutivos O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões. 08
Exemplo de Argumento Dedutivo A porta do apartamento 1 deste edifício é branca A porta do apartamento 2 deste edifício é branca A porta do apartamento 3 deste edifício é branca A porta do apartamento 4 deste edifício é branca Este edifício tem apenas 4 apartamentos Logo, todas as portas de apartamento deste edifício são brancas. 09
Exemplo de Argumento Indutivo A porta do apartamento 1 deste edifício é branca A porta do apartamento 2 deste edifício é branca A porta do apartamento 3 deste edifício é branca A porta do apartamento 4 deste edifício é branca Este edifício tem 6 apartamentos Logo, todas as portas de apartamento deste edifícios são brancas. 10
Argumento válido Um argumento é válido quando sua conclusão é uma conseqüência lógica de suas premissas 11
Conseqüência lógica Definição informal: Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira. Definição formal: Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b, H é conseqüência lógica de b num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de b 12
Sistema Axiomático Seja S0 um conjunto de objetos sintáticos. Um sistema axiomático sobre SO é um par K = (A,R), onde A é um conjunto finito de esquemas de axiomas, que são conjuntos decidíveis de SO. Os elementos de um esquema de axioma são chamados de axiomas. Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia R é um conjunto finito de regras de inferência, que são subconjuntos decidíveis de SO. 13
Prova Sintática Sejam: H uma fórmula e β um conjunto de fórmulas denominadas por hipóteses. Uma prova sintática de H a partir de β, é uma seqüência de fórmulas H1,H2,...,Hn, H = Hn. onde temos: 14
Sistemas Dedutivos Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas) que permite obter (deduzir) conclusões (sentenças) a partir de hipóteses (sentenças). 15
Sistemas Dedução Natural Dedução natural é um dos sistemas dedutivos utilizados para construir demonstrações formais na Lógica, tais demonstrações são realizadas através de uma árvore de dedução utilizando regras de introdução e eliminação. 16
Regras Regras de Introdução Introdução da CONJUNÇÃO Introdução da DISJUNÇÃO Introdução da IMPLICAÇÃO Introdução da NEGAÇÃO Regras de Eliminação Eliminação da CONJUNÇÃO Eliminação da DISJUNÇÃO Eliminação da IMPLICAÇÃO Eliminação da NEGAÇÃO 17
Introdução da CONJUNÇÃO 18
Introdução da DISJUNÇÃO 19
Introdução da IMPLICAÇÃO 20
Introdução da NEGAÇÃO 21
Eliminação da CONJUNÇÃO 22
Eliminação da DISJUNÇÃO 23
Eliminação da IMPLICAÇÃO 24
Eliminação da NEGAÇÃO 25
Exemplos de prova de conseqüência lógica por dedução natural 26
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Algumas das principais regras da lógica proposicional clássica são as seguintes: 31
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Definição 6.1 (sistema axiomático P a ) O sistema formal axiomático P a da Lógica Proposicional é definido pela composição dos quatro elementos: o alfabeto da Lógica Proposicional, na forma simplificada, Definição 5.4, sem o símbolo de verdade false; o conjunto das fórmulas da Lógica Proposicional; um subconjunto das fórmulas, que são denominadas axiomas; um conjunto de regras de dedução. 35
Definição 6.2 (axiomas do sistema P a ) Os axiomas 1 do sistema P a são fórmulas da Lógica Proposicional determinadas pelos esquemas indicados a seguir. Nesses esquemas E, G e H são fórmulas quaisquer da Lógica Proposicional. Ax 1 = (H H) H, Ax 2 = H (G H), Ax 3 = ( H G) ( (E H) (G E)). 36
Definição 6.2 (axiomas do sistema P a ) Ax l =(H H) H, Ax 2 = H (G H), Ax 3 =(H G) ((E H) (G E)). 37
Notação. No sistema P a são consideradas as correspondências a seguir, que definem os conectivos, e. H G denota ( H G). (H G) denota (H G) (G H). (H G) denota ( H G). 38
Definição 6.3 (regra de inferência do sistema P a, modus ponens) Dadas as fórmulas H e G, a regra de inferência do sistema P a, denominada modus ponens (MP ), é definida pelo procedimento: tendo H e ( H G) deduza G. 39
Notação. Para representar o esquema de regra de inferência modus ponens, a notação a seguir é considerada Nessa notação, o "numerador" da equação é o antecedente. O "denominador" é o conseqüente. 40
Definição 6.5 (conseqüência lógica sintática no sistema P a ) Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses β, então H é uma conseqüência lógica sintática de β em P a, se existe uma prova de H a partir de β. 41
Definição 6.6 (teorema no sistema Pa) Uma fórmula H é um teorema em Pa, se existe uma prova de H, em Pa, que utiliza apenas os axiomas. Nesse caso, o conjunto de hipóteses é vazio. 42
Prove utilizando o Sistema de Dedução Natural 1- A Λ (B Λ C) (A Λ B) Λ C 2- A D V ((B V A) V C) 43
1- A Λ (B Λ C) (A Λ B) Λ C 44
2- A D V ((B V A) V C) 45
Nestes exercícios, além de MP e MT, lembre-se de usar Dedução Natural. 46