TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY

TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY

TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY A Lógica Fuzzy ébaseada na teoria dos Conjuntos Fuzzy. A teoria dos Conjuntos Fuzzy diz que dado um determinado elemento que pertence a um domínio, éverificado o grau de pertinência do elemento em relação ao conjunto. O grau de pertinência éa referência para verificar o quanto épossível esse elemento poder pertencer ao conjunto. O grau écalculado através de uma determinada função que retorna geralmente um valor real que varia entre 0 à1, sendo que 0 indica que não pertence ao conjunto, e 1 pertence. Diferentemente da teoria clássica, em que os conjuntos são chamados de crisp, o grau de pertinência ébinário, ou seja, pertence ou não pertence no conjunto. Como exemplo existirátrês conjuntos para verificar a classificação a altura de um homem adulto, que são baixo, médio e alto.

Tabela de pertinência para os conjuntos clássicos

Gráfico representando os conjuntos clássicos

Gráfico representando os conjuntos fuzzy

Percebe-se que o conceito da lógica fuzzy se encontra na teoria dos conjuntos fuzzy, como também da lógica tradicional se encontra na teoria dos conjuntos clássicos. Enquanto nos conjuntos clássicos apenas classifica o preto ou branco (verdadeiro ou falso) os conjuntos fuzzy permite a classificação em vários tons de cinza além do preto e branco, Comparação do conjunto clássico da fuzzy

Operações de Conjuntos Fuzzy Gráfico representando dois conjuntos fuzzy

Interseção de conjuntos fuzzy A interseção de dois conjuntos resultaráem um conjunto fuzzy cuja sua pertinência seráa mínima da pertinência dos conjuntos em questão, representada na equação 1: μ= min( μb, μm ); Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6),(1.7, 0.1),(1.8, 0),(1.9, 0),(2, 0) } Médio(X) = { (1.5, 0),(1.6, 0.3),(1.7, 1),(1.8, 0.3),(1.9, 0),(2, 0) } Baixo Médio = { (1.5, 0),(1.6, 0.3),(1.7, 0.1),(1.8, 0),(1.9, 0),(2,0) } Gráfico resultante da intersecção

União de conjuntos fuzzy μ= max( μb, μm ); (2) Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6),(1.7, 0.1),(1.8, 0),(1.9, 0),(2, 0) } Médio(X) = { (1.5, 0),(1.6, 0.3),(1.7, 1),(1.8, 0.3),(1.9, 0),(2, 0) } Baixo U Médio = { (1.5, 1),(1.6, 0.6),(1.7, 1),(1.8, 0.3),(1.9, 0),(2,0) } Gráfico resultante da união

Complemento de um conjunto fuzzy μ= 1-μB ; Baixo(X) = { (1.5, 1), (1.6, 0.6),(1.7, 0.1),(1.8, 0),(1.9, 0),(2, 0) } Baixo (X)= { (1.5, 0),(1.6, 0.4),(1.7, 0.9),(1.8, 1),(1.9, 1),(2, 1) } Gráfico resultante do complemento

RACIOCÍNIO FUZZY O raciocínio fuzzy écomposto de por três etapas que são a fuzzificação, a inferência e a defuzzificação. Estas três etapas fecham um ciclo que permitem a resolução de muitos problemas e que são bastante utilizados em sistemas de controle. Para melhor compreensão de todas as etapas do processo, tem o seguinte exemplo. Supondo que se deseja desenvolver um programa para o controle de obesidade de uma pessoa adulta utilizando a lógica fuzzy. O objetivo desse programa seráretornar o peso ideal ou saudável, de acordo com os dados pelo usuário

RACIOCÍNIO FUZZY

Fuzzificação A primeira etapa éa fuzzificação. Consiste em transformar um dado numérico em um termo em linguagem natural. No dia-a-dia a fuzzificação se encontra presente de certa maneira, no momento que um professor diz que um aluno teve uma nota ótima por ter tirado uma nota 9.5, ou uma mulher diz que esta gorda por possuir um peso de 60kg, são fuzzificações realizadas tanto pelo professor e pela mulher. Para uma máquina fuzzificar um determinado dado numérico, são utilizadas as funções de pertinência para verificar o quanto esse dado pertence a uma determinada classificação (conjunto fuzzy).

Fuzzificação Voltando ao programa de controle de obesidade, para simplificar, terão apenas dois dados de entrada, o peso e a altura do usuário. O peso e a altura são chamados de variáveis fuzzy. As variável fuzzy são atribuídos os conjuntos fuzzy, como muito, pouco, alto ou baixo, estes tipos de atribuição são chamados de valores fuzzy. Então com as variáveis fuzzy determinadas, precisa-se determinar os valores fuzzy possíveis para estas variáveis. No caso para a variável fuzzy peso, terátrês valores fuzzy que são leve, médio e pesado. Enquanto a variável fuzzy altura, terá baixo, mediano e alto.

Fuzzificação Para cada valor fuzzy, teráuma função de pertinência para que seja possível o mapeamento dos dados de entrada, que são valores numéricos, para os valores fuzzy. Nesse caso serão utilizadas as funções triangulares e trapezoidais pela sua simplicidade e fácil compreensão. Segue as funções de pertinência dos valores fuzzy de peso

Fuzzificação μtri(x; a, b, c) = max ( min ( x-a/b-a, c-x/c-b ), 0 ), μleve(x) = max ( min ( x-40/50-40, 60-x/60-50 ), 0 ), μmédio(x) = max ( min ( x-50/70-50, 80-x/80-70 ), 0 ), μpesado(x) = max ( min ( x-70/90-70, 110-x/110-90 ), 0 ), Gráfico das funções de pertinência de peso

Fuzzificação μbaixo(x) = max ( min ( x-1.40/1.50-1.40, 1.70-x/1.70-1.50 ), 0 ) μmediano(x) = max ( min ( x-1.60/1.70-1.60, 1.90-x/1.90-1.70 ), 0 ), μalto(x) = max ( min ( x-1.80/21.90-1.80, 2.0-x/2.0-1.90 ), 0 ), Gráfico das funções de pertinência de altura

Fuzzificação Supondo que o usuário apresente o seguinte dado de entrada, o peso igual a 55kg e uma altura de 1.75m. A partir destes dois dados serão calculados os graus de pertinência tendo o seguinte resultado na equação μleve(55) = max ( min ( 55-40/50-40, 60-55/60-50 ), 0 ) = 0.5 μmédio(55) = max ( min ( 55-50/70-50, 80-55/80-70 ), 0 ) = 0.25 μpesado(55) = max ( min ( 55-70/90-70, 110-55/110-90 ), 0 ) = 0 Gráfico do cálculo da pertinência em peso

Fuzzificação μbaixo(1.75) = max ( min ( 1.75-1.40/1.50-1.40, 1.70-1.75/1.70-1.50 ), 0 ) = 0 μmediano(1.75) = max ( min (1.75-1.60/1.70-1.60, 1.90-1.75/1.90-1.70 ), 0 ) = 0.75 μalto(1.75) = max ( min (1.75-1.80/21.90-1.80, 2.0-1.75/2.0-1.90 ), 0 ) = 0 Gráfico do cálculo da pertinência em altura

Fuzzificação O após o cálculo da pertinência verifica-se três valores fuzzy, leve com grau de pertinência de 0.5, médio com 0.25, que são valores da variável peso, e mediano com 0.75 da variável altura. Estes valores são os resultados obtidos da fuzzificação que agora serão tratados na próxima etapa que éa inferência

Inferência A inferência éa etapa importante do raciocínio fuzzy, éatravés dela que éfeita a tomada de decisão. Após a fuzzificação, onde são determinados os graus de pertinência de cada conjunto, com os dados resultantes são realizadas as regras do tipo Se-Então, mapeando para os novos conjuntos, como por exemplo, se a mulher esta gorda, então tem que praticar exercícios. Como o objetivo éemagrecer, então foi realizada uma inferência para determinar a ação a ser realizada para a determinada situação que foi praticar exercícios.

Inferência Para a realização da inferência fuzzy, existem dois procedimentos de inferência, o Modus Ponens Generalizado (MPG) e o Modus Tollens Generalizado (MTG). MPG: Exemplo: Se chover, então fico em casa. Chove. Então fico em casa MTG: Exemplo: Se existe fogo aqui, então aqui também há oxigênio. Não há oxigênio aqui. Então aqui não há fogo.

Inferência O MPG tem a seguinte regra: Através desta regra permite a implicação de valores fuzzy que são no caso o A e B. Ao contrário do Modus Ponens, que éa forma clássica de implicação, a regra sóéválida quando éa e B apenas, não existindo valores intermediários que são no caso de A e B.

Inferência Jáo MTG tem a seguinte regra: Tem a mesma idéia do MPG quanto a implicação de valores parciais, porém éuma implicação que permite encontrar o antecedente, contrário do MPG que encontra o procedente.

Inferência A primeira etapa da inferência éobter uma função de pertinência de B, para as regras disparadas do tipo se-então, através da formula Percebe-se que foi utilizado a composição maxmin para encontrar a função de pertinência de B, enquanto a função μ(x,y) éa função de pertinência da relação de implicação.

Inferência Uma relação de implicação éuma regra do tipo se-então. Para determinar uma relação devese determinar o tipo de operação de implicação fuzzy. As operações de implicação fuzzy recebem como entrada os valores de entrada (μa(x)) recebidas da fuzzificação, e os valores de saída (μb(x)) contidas na inferência, e o resultado da operação éo dado de saída da relação de implicação.

Inferência Existem vários tipos de operadores de implicação como aritmético, Booleano, drástico entre outros. Na tabela a mostra as principais operações de implicação:

Inferência Voltando ao programa para o controle de peso, para exemplificar, seránecessário determinar uma variável fuzzy, que será estado e escolher os valores fuzzy de ação, que serão três valores, palito, magro, normal, gordo e elefante, que também terão suas funções de pertinência ilustrada

Inferência Gráfico da pertinência da saída de inferência

Inferência Através destes valores, e dos valores determinadas na fuzzificação teráo seguinte conjunto de regras do tipo se-então: 1. SE peso éleve E altura ébaixo ENTÃO condição énormal SENÃO; 2. SE peso éleve E altura émediano ENTÃO condição émagro SENÃO; 3. SE peso éleve E altura éalto ENTÃO condição épalito SENÃO; 4. SE peso émédio E altura ébaixo ENTÃO condição égordo SENÃO; 5. SE peso émédio E altura émediano ENTÃO condição énormal SENÃO; 6. SE peso émédio E altura éalto ENTÃO condição émagro SENÃO; 7. SE peso épesado E altura ébaixo ENTÃO condição éelefante SENÃO; 8. SE peso épesado E altura émediano ENTÃO condição égordo SENÃO; 9. SE peso épesado E altura éalto ENTÃO condição énormal;

Inferência Determinada a estrutura da inferência, inicia-se então o processo de inferência. Pelos dados recebidos da fuzzificação representados na tabela 6, serão disparadas as regras 2 e 5.

Inferência Então primeiramente analisa-se a regra 2. O peso, altura e estado são o x, h e y respectivamente, enquanto leve, mediano e magro são A1, A2 e B respectivamente. Os valores apresentados pela fuzzificação com seus graus de pertinência são o A 1 para representar o leve com os graus de pertinência 0.5, e o A 2 representa o mediano com grau de pertinência 0.75. Enquanto ao B representa o magro, porém não se sabe quanto serásua pertinência. Com isso resulta na seguinte regra MPG: Se x éa1 E h éa2 Então y éb