3 NOÇÕES DE PROILIDDE 3.1 Conjuntos Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementos do conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas,, C,... e a sua representação é feita por enumeração dos elementos. Ex: - Conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2,...} - Conjunto das faces de um dado D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Conjunto das faces de uma moeda F = {cara, coroa} Conjunto vazio: é o conjunto que não possui nenhum elemento. União de conjuntos: é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto ou pertencem ao conjunto ou a ambos é chamado união de e e denotado por. Intersecção de conjuntos: é o conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto e ao conjunto é chamado intersecção entre e e representado por. Diferença de conjuntos: é o conjunto formado pelos elementos de e que não pertencem ao conjunto é chamado diferença entre e e representado por -. Conjuntos disjuntos ou mutuamente exclusivos: dois conjuntos são chamados disjuntos quando sua intersecção é um conjunto vazio. 24
Ω União : implica na ocorrência de pelo menos um dos eventos Ω Interseção : quando os dois eventos ocorrem simultaneamente Ω Complemento de = ( c ): quando não ocorre Ω Diferença -: quando ocorre mas não ocorre c Ω Eventos mutuamente exclusivos: quando a interseção é o evento impossível 3.2 Conceitos Fundamentais Observem o experimento que consiste em jogar um dado equilibrado e observar o número da face superior. a) Os possíveis resultados de ocorrer formam o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Espaço amostral (Ω): é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, entendendo-se por resultado possível todo resultado elementar e indivisível do experimento. σ-álgebra (Λ ):é a classe de subconjuntos não-vazios de Ω que satisfazem as seguintes propriedades: 25
Seja Ω o espaço amostral de um experimento. Todo subconjunto de contido em Ω será chamado de evento. ssim Ω é o evento certo, o subconjunto vazio é o evento impossível e se ω pertence a Ω o evento {ω} é dito elementar e indivisível. Definição clássica de probabilidade: Seja um subconjunto do espaço amostral Ω. Então todos os resultados elementares de Ω são equiprováveis. medida da probabilidade de ocorrência do evento é dada por: Definição geométrica de probabilidade: Suponhamos que um segmento l seja parte de outro segmento L e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de L. Se admitirmos que a probabilidade deste ponto pertencer a l é proporcional ao comprimento de l e não depende do lugar que l ocupa em L, então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em l é: áreas. nalogamente podemos estender este conceito quando estivermos tratando de G g 26
Definição axiomática de probabilidade: 1 Um dado é lançado. Qual a probabilidade dos eventos: a) = sair um número ímpar. b) = sair um número menor que 3. c) C = sair um número maior que 10. d) Ω = sair um número inteiro maior ou igual a 1 e menor ou igual a 6. 2 Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. a) Qual a probabilidade de sair uma carta de espadas? b) Qual a probabilidade de sair um rei? 27
Propriedades 3 Peças produzidas por uma indústria são reconhecidas como defeituosas (D) ou não defeituosas (P). s peças são inspecionadas uma a uma, até que duas peças defeituosas consecutivas tenham sido encontradas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, o que ocorrer primeiro. Descreva o espaço amostral deste experimento. 4 Sejam, e C três eventos associados a um experimento. Exprima em notação de conjuntos as seguintes afirmações: a) o menos um dos eventos ocorre. b) Exatamente um evento ocorre. c) Exatamente dois eventos ocorrem. d) Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente. 28
5 Suponha que,, C sejam eventos tais que P() = P() = P(C) = ¼, P( ) = P(C ) = 0 e P( C) = 1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos, ou C ocorra. 6 Em uma sala estão presentes: 5 homens com mais de 21 anos, 4 homens com menos de 21 anos, 6 mulheres com mais de 21 anos e 3 mulheres com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Seja = {maior de 21 anos}, = {menor de 21 anos}, C = {a pessoa é homem}, D = {a pessoa é mulher}.calcule: a) probabilidade de a pessoa escolhida ser mulher ou menor de 21 anos. b) P( c C c ) 3.3 Probabilidade condicional e independência de eventos 3.3.1 Probabilidade condicional probabilidade condicional do evento dado o evento é definida por: 29
Obs: 1) Se P() = 0, P( ) pode ser arbitrariamente definida. maioria dos livros faz P(\)=0, mas é conveniente pela indepêndencia se fazer P(\) = P(). 2) P(\) é uma probabilidade, vale para ela todas as propriedades de probabilidade. P( ) 3) Como P(\) =, então probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos P( ) e é dada por: P( ) = P(). P(\) = P(). P(\). 7 Dez fichas numeradas de 1 a 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas (x,y) são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de x + y = 10? 8 Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um artigo é escolhido ao acaso. che a probabilidade de que: a) Ele não tenha defeitos. b) Ele não tenha defeitos graves. c) Ele seja perfeito ou tenha defeitos graves. d) Resolva os itens c e b aplicando a definição de probabilidade. 30
3.3.2 Independência de eventos Os eventos aleatórios e são estocasticamente independentes se P( ) = P().P(), ou seja, P(\) = P() e P(\) = P(). 9 Se do lote de artigos do problema anterior, dois artigos forem escolhidos (sem reposição), calcule a probabilidade de que: a) mbos sejam perfeitos. b) mbos tenham defeitos graves. c) o menos um artigo seja perfeito. 10 Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. s válvulas são ensaiadas, uma a uma, até que as duas defeituosas sejam encontradas. a) Qual a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio? b) Qual a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no terceiro ensaio? c) Qual a probabilidade de que a última válvula seja defeituosa seja encontrada no quarto ensaio? 31
3.3.3 Teorema da probabilidade total Se a sequência finita de eventos aleatórios 1, 2,..., n forma uma partição do espaço amostral, então a probabilidade de um evento contido em Ω ocorrer é dada por: Este teorema é utilizado quando se conhecem todas as P( i ) e as P(\ i ), mas se desconhece diretamente P(). 3.3.4 Teorema de ayes 11 Tres candidatos, e C disputam uma eleição. Uma prévia eleitoral mostra que suas chances de vencer são respectivamente 0,5, 0,3, 0,2. s probabilidades de que eles venham a promover mudanças substanciais caso eleitos são 0,7, 0,6 e 0,3. Qual é a probabilidade de que as mudanças substanciais ocorram, após a posse do eleito? 12 Durante o mês de novembro a probabilidade de chover é 0,3. O meu time ganha um jogo em dia de chuva com probabilidade de 0,4 e em dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se meu time ganha um jogo em novembro, qual a probabilidade de que tenha chovida no dia? 32