Campo Gavítico da Tea 3. otencial Gavítico O campo gavítico é um campo vectoial (gandeza com 3 componentes) Seá mais fácil tabalha com uma gandeza escala, que assume apenas um valo em cada ponto Seá possível epesenta um campo vectoial po uma função escala? É possível, pelo menos paa alguns campos vectoiais, onde se inclui o campo gavítico da Tea Campo Gavítico da Tea 3.1 Campo iotacional Seja C uma cuva espacial, fechada e abitáia, no inteio de um campo vectoial v Se se veifica a equação C ν ( ) d = 0 ao longo da cuva C, onde d tem o ponto de aplicação sobe a cuva, então o campo v diz-se iotacional Se um campo é iotacional então existe uma função escala K tal que K K K K ( ) = gad K( ) =,, =n ( ) x y z
Campo Gavítico da Tea 3.1 Campo iotacional Esta função escala K é chamada a enegia potencial da gandeza vectoial v Se a equação anteio se veifica, então o campo vectoial v é também consevativo, ou seja, é independente do tempo Do ponto de vista físico, K epesenta a quantidade de tabalho paa vence a foça v As suas unidades físicas são g.m.s - Campo Gavítico da Tea 3. otencial gavítico Como o campo de aceleações gavíticas (g) difee do campo de foças apenas po um facto de escala, a massa m, o campo gavítico teeste pode se expesso po: F = mg = K = m V Ou seja, existe um campo escala V, tal que g = V Este campo escala é conhecido po otencial Gavítico, cuja unidade é m.s - K e V apesentam a mesma geometia
Campo Gavítico da Tea 3. otencial gavítico A aceleação gavítica é expessa pela soma de um integal tiplo, a aceleação gavitacional, e um segundo temo, a aceleação centífuga Como o gadiente é um opeado difeencial linea, o potencial gavítico seá também a soma, espectivamente, do potencial gavitacional com o potencial centífugo g = F + f = V + Φ = W W ( ( x + y ) = V ( ) Φ ( ) 1 1 ) = W ( x, y, z ) = G ρ ( Q )dv + ω + l T Campo Gavítico da Tea 3. otencial gavítico 1 1 W ( ) = V ( ) + Φ ( ) = G ρ( Q )dv + ω p l Analisando a fómula, veifica-se que V diminui com a distância, enquanto que Φ aumenta com o quadado da distância ao eixo de otação T
Campo Gavítico da Tea 3. otencial gavítico Tomando a expessão da aceleação da gavidade na sua apoximação esféica ØGMT ø g = Œ -w R cos j e R œ º ß E assumindo que g = W Obtém-se uma expessão idêntica paa a apoximação esféica do potencial gavítico GM ω R cos ϕ W = T R Uma expessão um pouco mais igoosa é obtida consideando o facto de achatamento J ( 3 sin 1) GMT ω R cos ϕ GMT J W = + φ R R Campo Gavítico da Tea 3. otencial gavítico O potencial combinado (gavítico) actua somente sobe massas que odam (fixas) com a Tea Quando um copo páa de oda com a Tea (lançado ao espaço) o potencial centífugo Φ deixa de actua, passando apenas a se afectado pelo potencial gavitacional V O potencial gavítico W deve epesenta a estutua do campo, paa um W suavizado temos um campo suavizado, paa um W iegula temos um campo iegula Como pode se usado paa desceve as iegulaidades de campo? Atavés das supefícies equipotenciais (W=const.) ou atavés das suas linhas de foça (gad W)
Campo Gavítico da Tea 3.3 Supefícies equipotenciais Campo Gavítico da Tea 3.3 Supefícies equipotenciais opiedades impotantes das supefícies equipotenciais: a) São supefícies fechadas, nunca se intesectam umas com as outas; b) Cada supefície enconta-se totalmente contida na sua adjacente exteio; c) São contínuas, sem hiatos, sem quaisque pontos de descontinuidade d) Os seus aios de cuvatua vaiam suavemente; e) São supefícies convexas (cuvatua viada paa o exteio); Um deslocamento sobe as supefícies equipotenciais não envolve qualque tabalho (em sentido estático), pois sobe as supefícies não há vaiação de potencial W;
Campo Gavítico da Tea 3.3 Supefícies equipotenciais As linhas de foça são pependiculaes às supefícies equipotenciais, elas esultam do gadiente vetical do potencial; A diecção das linhas de foça define a diecção da vetical, logo o plano tangente à supefície equipotencial define o plano hoizontal de um ponto; ela azão anteio, as supefícies equipotenciais são também designadas po supefícies de nível (de igual altitude); As linhas de foça não são ectas, são linhas cuvas e toças que convegem paa o CM da Tea (concavidade voltada paa o equado); O fio de pumo dá-nos a tangente às linhas de foça e po isso define, pontualmente, a diecção da vetical de luga. Campo Gavítico da Tea 3.3 Supefícies equipotenciais Qual é a elação ente as supefícies equipotenciais e a magnitude da gavidade? O espaçamento ente as supefícies está elacionado com a magnitude da gavidade: cuvas + póximas > gavidade, cuvas + afastadas < gavidade; g é a difeença dos valoes de potencial a dividi pelo seu afastamento W g = W = & h
Campo Gavítico da Tea 3.3 Supefícies equipotenciais Ao longo de um supefícies equipotencial seá a gavidade constante? Em geal, gavidade numa supefície equipotencial vaia; Numa qualque supefície equipotencial, W=const., a gavidade nos pólos é sempe supeio à gavidade no equado; Nos pólos as supefícies equipotenciais estão mais póximas (maio gavidade) e no equado essas supefícies estão mais afastadas (meno gavidade); 3 g g = & 5. 186Gal = 5. 3 10 g E E Uma convegência de 0.53% g H E = H = 1. 0053 g E H Campo Gavítico da Tea 3.3 Supefícies equipotenciais oque é que a Tea tem foma achatada? A supefície de um qualque líquido homogéneo, em equilíbio, tende a coincidi com uma supefície equipotencial; Como a gavidade é supeio nos pólos devido à aceleação de potencial centífugo, as supefícies são achatadas; Logo qualque supefície volátil, em equilíbio, tende a adquii a foma das supefícies equipotenciais; A foma da Tea, devido à sua viscosidade, foi ao longo do tempo adquiindo esta foma achatada Conclusão: A foma achatada da Tea deve-se ao seu movimento de otação em tono do seu eixo