Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo A rera do produto e do quociente para derivadas Vimos em um texto anterior que a derivada de uma soma é a soma das derivadas, um resultado análoo valendo para a dierença de duas unções. Deste modo, é natural questionarmos se a derivada de um produto é o produto das derivadas. Vamos investiar esta questão com um exemplo. Se x) = x 3 e x) = x 2, temos que x) x) = x 3 ) x 2 ) = 3x 2 2x = 6x 3, ) x) = x 3 x 2 ) = x 5 ) = 5x 4. Assim, oprodutodasderivadasé6x 3, queéumpolinômioderau3, enquanto queaderivada do produto é 5x 4, que é um polinômio de rau 4. Este exemplo mostra que a derivada de um produto não é o produto das derivadas. Utilizando as mesmas unções acima pode-se acilmente calcular x) x) = 3x2 2x = 3x 2, ) x) = x) =, e portanto a a derivada de um quociente não é o quociente das derivadas. Apesar de nos exemplos acima a rera ditada pela nossa intuição ter alhado, em ambos os casos as novas unções se mostraram deriváveis. O teorema abaixo estabele que o produto e o quociente) de unções deriváveis é derivável e ornece a rera para o cálculo dessas derivadas. Teorema. Se as unções e são deriváveis em x = a, então. ) a) = a) a)+ a)a); 2. ) a) = a) a) a) a) a) 2, desde que a) 0. Prova do Teorema. Vamos provar a rera do produto. Como e são deriváveis em x = a temos que x) a) a) = lim, x) a) a) = lim. ) x a x a
Por outro lado, )x) )a) = x)x) a)a) = x)x) a)x)+a)x) a)a) ) ) x) a) x) a) = x) +a). Na seunda iualdade acima, subtraímos e somamos o termo a)x) no numerador. Isto pode parece arbitrário mas tem uma razão simples: queremos que os quocientes em ) apareçam, porque sabemos que eles possuem limite. Tomando o limite na expressão acima, usando ) e lembrado que é contínua em x = a por ser derivável neste ponto), obtemos [ ) )] x) a) x) a) ) a) = lim x) +a) x a = a) a)+a) a), o que estabelece a órmula do item. A prova do item 2 será uma parte da sua tarea. Exemplo. Se x) = x 3 e x) = x 2, temos que e ) x) = x) x)+ x)x) = x 3 2x)+3x 3 ) x 2 = 5x 4, x R, ) x) = x) x) x) x) x) 2 = x2 3x 2 ) x 3 2x) x 4 = x4 =, x 0, x4 conorme esperado. Evidentemente, para as unções acima seria mais simples azer o produto ou quociente) primeiro e depois derivar, sem usar assim as reras do Teorema. Porém, vale a pena usar estas unções somente para ver que a aplicação da órmula nos dá de ato o resultado correto. Observe ainda que, ao derivarmos o quociente, oi necessário excluir o ponto x = 0 do domínio da derivada. Isto ocorre porque a órmula do item 2 do Teorema vale somente quando a) 0 lembre que não podemos dividir por zero!). Exemplo 2. Usando a rera do produto temos que xcosx)) = x) cosx)+ xcosx)) = 2 x cosx) xsenx), x > 0. Note que o domínio da derivada é o conjunto 0,+ ), ainda que x = 0 esteja no domínio da unção xcosx). 2
Exemplo 3. Lembre que em um texto anterior icamos devendo a derivada da unção tanente. Vamos a ela: tanx)) = ) senx) = cosx) senx)) senx)cosx)) cosx) cos 2 x) = cosx) cosx) senx) senx)) cos 2 x) = cos2 x)+sen 2 x) cos 2 x) = cos 2 x), e portanto d { π } dx tanx) = sec2 x), x 2 +kπ : k Z. Note que excluímos do domínio os pontos para os quais a unção cosseno se anula. Não vale a pena memorizar a derivada da unção tanente. É mais simples memorizar a rera do quociente pois, com ela e com a derivada das unções seno e coseno, podemos acilmente repetir a conta acima. De ato, a tabela abaixo contém as reras básicas e, a partir delas, podemos derivar muitas outras unções veja a tarea para aluns exemplos). unção x)±x) derivada x)± x) )x) x) x)+x) x) /)x), se x) 0 x) x) x) x) x) 2 x r, com r R rx r senx) cosx) cosx) senx) Com relação às unções elementares, ainda alta calcularmos a derivada das unções exponencial e loaritmo. Isso será eita mais para rente. Finalizamos o texto com um exemplo um pouco mais interessante do ponto de vista prático. Para ele, precisamos lembrar que a derivada de uma unção representa a sua taxa de variação. Exemplo 4. Suponha que a concentração de medicamento no sanue de um paciente, t > 0 horas após a inestão de um comprimido, seja dada por Ct) = 3t 2t 2 +8. Neste caso, a taxa de variação da concentração pode ser calculada usando-se a órmula da potência e do quociente: C t) = 2t2 +8) 3t) 3t 2t 2 +8) 2t 2 +8) 2 = 2t2 +8) 3 3t 4t) 2t 2 +8) 2, 3
e portanto C t) = 24 6t2 2t 2 +8) 2, t > 0. Note que a derivada existe somente no intervalo aberto 0, ). Além disso, ela se anula exatamente em t = 2, tendo o seu sinal o seuinte comportamento: C t) > 0 quando t 0,2), C t) < 0 quando t 2, ). Ora, sendo C a taxa de variação da concentração, o estudo de sinal acima nos permite intuir que a unção C cresce no intervalo 0,2), pois neste intervalo a sua taxa de variação é positiva. Analoamente, a unção C deve ser decrescente no intervalo 2, ). Deste modo, a concentração começa valendo zero antes da inestão do comprimido), cresce nas duas primeitas horas e decresce a partir de então. Seu ráico deve ter o aspecto abaixo: 3/8 2 Observe que, no instante t = 2, a reta tanente ao ráico de C é horizontal. Este é exatamente o instante em que a concentração de medicamento é máxima. Estudos como o eito acima são undamentais porque permitem decidir de quantas em quantas horas deve ser tomado cada comprimido. A eicácia está relacionada com o tempo que a medicação ae no oranismo durante o tratamento. Se a unção determinasse o lucro de uma empresa em unção da quantidade de empreados, o estudo permitiria decidir qual a quantidade de empreados que az com que o lucro seja máximo. Os aruentos acima serão ormalizados nas próximas semanas. Esperamos que eles sirvam de motivação para que você avance no maravilhoso mundo das derivadas e suas diversas aplicações! 4
Tarea Na primeira parte da tarea vamos provar a órmula ) a) = a) a) a) a), a) 2 supondo que e são deriváveis em x = a e que a) 0.. Eetue os cálculos que altam na expressão abaixo ) ) x) a) = = x)a) a)x). x a)x)a) 2. Somando e subtraindo o termo a)a) no numerador da expressão acima, veriique que ) x) ) a) = [ a) x)a) 3. Faça x a para obter a órmula do quociente. ) )] x) a) x) a) a) Já sabemos a derivada do seno, coseno e tanente. Na seunda parte da tarea você deve usar a órmula acima para calcular as derivadas das demais unções trionométrias, cuja expressões estão indicadas abaixo: secx) = cosx), cscx) = senx), cotx) = tanx). 5