Curso de Mestrado em Engenharia de Estruturas 1. a Edição (014/015) Elementos Finitos 014/015 Colectânea de trabalhos, exames e resoluções
Lista dos trabalhos e exames incluídos: Ano lectivo 014/015 Trabalho 1: enunciado. Trabalho : enunciado. Trabalho 3: enunciado. Exame de época normal - 1 de Agosto de 014: enunciado e resolução. Exame de época de recurso - 7 de Janeiro de 015: enunciado e resolução. Exame de época de recuperação - 19 de Junho de 015: enunciado e resolução.
Curso de Mestrado em Engenharia de Estruturas 1 a edição 014/016 Elementos Finitos Problema 1 Considere a barra sujeita a uma carga linear sob fundação elástica representada na figura seguinte. p A x l B E, A, k As rigidezes axial e da fundação são constantes e iguais a EA e k, respectivamente. A solução exacta para o campo de deslocamentos longitudinal, u(x), é dada por u(x) = p k l ( x l sinh(x β) sinh(l β) ), onde β = k EA. Considerando p = 1 kn/m, E A = 1 kn, k = 1 kn/m e l = 1 m, determine a aproximações fornecidas pelo método dos elementos finitos para campo de deslocamento longitudinal, u h (x), e para o esforço axial, N h (x), utilizando malhas com dois, quatro e oito elementos (i) lineares e (ii) quadráticos. Compare os resultados obtidos com a solução exacta. Nomeadamente, verifique a convergência para a solução exacta utilizando os refinamentos p e h propostos. Para o caso da discretização com dois elementos lineares (a) mostre que a aproximação obtida não é equilibrada no domínio dos elementos e na fronteira interelementar; (b) verifique o equilíbrio global da solução. Verifique ainda para esta situação que, para k = 0 kn/m, a solução obtida para campo de deslocamento longitudinal, u h (x), é exacta nos nós. Note que ( ) p sinh(x β) lim x l = p x (l x ). k 0 k l sinh(l β) 6 E A l
Curso de Mestrado em Engenharia de Estruturas 1 a edição 014/016 Elementos Finitos Problema Considere a placa fina sujeita a uma carga linear na fronteira e uma força constante no domínio, assim como a sua discretização em dois elementos finitos, representada na figura seguinte. 10 kpa 0 kpa 3 5 E = 00 GPa ν = 0.3 0 knm 3 m 1 m 1 m y 1 1 4 x (a) Escreva e resolva a correspondente equação de equilíbrio global. (b) Obtenha, para cada um dos elementos, as expressões dos campos de deslocamentos, deformações e tensões. (c) Mostre que a solução obtida não é localmente equilibrada no domínio dos elementos. (d) Obtenha a expressão da tensão na fronteira y = 0 e mostre que a solução não é localmente equilibrada na fronteira estática. (e) Calcule a descontinuidade de tensões entre os elementos. (f) Calcule as reacções de apoio e verifique que a solução é globalmente equilibrada. (g) Utilizando um programa de elementos finitos, determine o valor dos deslocamentos nodais e compare-o com o resultado obtido em (a).
Curso de Mestrado em Engenharia de Estruturas 1 a edição 014/016 Elementos Finitos Problema 3 Considere o pórtico representado na figura seguinte. p B h α E = 9 GPa ν = 0, b p = 15 kn/m 4 m A h b 6 m 6 m α = 30 h = 0, 4 m b = 0, 3 m Utilizando elementos finitos de pórtico baseados na teoria de Euler-Bernoulli (a) Escreva a correspondente equação de equilíbrio global. (b) Trace a deformada aproximada respectiva. (c) Trace os diagramas de esforços normal, transverso e momento flector. (d) Determine as reacções de apoio em A. (e) Calcule a descontinuidade associada ao momento flector no nó B. Sugestões para a resolução do problema: (i) Recorra a todas as simplificações de simetria e/ou antissimetria possíveis; (ii) Utilize elementos de pórtico com dois nós e três graus de liberdade por nó; (iii) Utilize um único elemento finito na discretização de cada elemento estrutural.
Problema 1 (3,5 valores) Curso de Mestrado em Engenharia de Estruturas - 1ª Edição (014/015) Elementos Finitos Exame de época normal - 1 de Agosto de 014 Exame com consulta Duração do exame: 3h Desligue o telemóvel Justifique adequadamente todas as respostas Considere a barra sujeita a uma carga linear representada na figura 1. A barra é homogénea e possui secção transversal constante. Para a sua análise foi utilizada uma malha formada por dois elementos de igual dimensão e cuja aproximação para o campo de deslocamentos longitudinal é cúbica. (1,0) a) Identifique e numere os graus de liberdade livres e os graus de liberdade restringidos. (1,5) b) Determine em função de p e l a força nodal equivalente correspondente ao grau de liberdade d, representado na figura 1. (1,0) c) Comente a afirmação: A solução exacta para o esforço normal, N ( x ), da viga representada na figura 1 é contínua. No entanto, a solução obtida através do Método dos Elementos Finitos, para a discretização indicada, corresponde a um esforço normal, N ( x ), descontínuo entre os elementos. Problema (8,5 valores) Admita que a placa representada na figura a), homogénea e isotrópica, está sujeita a um estado plano de tensão e considere a sua discretização representada na figura b), formada por quatro elementos quadrados de quatro nós e um elemento triangular de três nós. (1,0) a) Identifique e numere os graus de liberdade livres e os graus de liberdade restringidos. (,0) b) Exprima os coeficientes da matriz de rigidez da placa K aa, K ba e K bc e do vector de forças nodais equivalente f b em função dos coeficientes das matrizes de rigidez e vector de forças nodais equivalente elementares. Para tal, considere os graus de liberdade d, d e d representados na a b figura b) e a numeração local representada na figura c). c MEF ex
(,5) c) Determine, em função de E, a tensão 11 no elemento (3) quando d a = 1 e todos os restantes deslocamentos são nulos. (1,5) d) Determine o valor de f b devido à actuação da carga uniformemente distribuída que actua no topo da placa. (0,5) e) Mostre que, para a discretização indicada, há pelo menos um elemento que satisfaz a condição de equilíbrio no domínio. (1,0) f) Quais as condições (no domínio e na fronteira) que, em geral, são impostas de forma fraca, i.e., não são exactamente satisfeitas pela solução obtida através do Método dos Elementos Finitos? E quais as condições que são impostas exactamente? Problema 3 (5,5 valores) Considere o pórtico plano representado na figura 3 discretizado com dois elementos de barra baseados na teoria de Euler-Bernoulli. A rigidez de flexão é EI (knm ) e a rigidez axial é EA = EI/l (kn) (1,0) a) Identifique e numere os graus de liberdade livres e os graus de liberdade restringidos. (3,0) b) Determine, em função de P, l e EI, o valor dos deslocamentos associados aos graus de liberdade livres. (1,5) c) Trace a deformada aproximada do pórtico. Problema 4 (,5 valores) Considere uma laje rectangular discretizada em quatro elementos ACM, tal como representado na figura 4b). Nesta são representados dois dos seus deslocamentos livres, d e d. a b (1,0) a) Exprima os coeficientes da matriz de rigidez da placa K e do vector de forças ba nodais equivalente f a em função dos coeficientes das matrizes de rigidez e vector de forças nodais equivalente elementares. Para tal considere a numeração local representada na figura a). (1,5) b) Identifique e numere os graus de liberdade livres quando a laje se encontra: b1) simplesmente apoiada, como representado na figura 4c); b) encastrada, como representado na figura 4d); b3) simplesmente apoiada e encastrada em um bordo e com encastramento-deslizante em dois bordos, como representado na figura 4c).
Curso de Mestrado em Engenharia de Estruturas 1ª Edição (014/015) Elementos Finitos Exame Luanda, 7 de Janeiro de 015 Duração: 3 horas. Desligue o telemóvel. Exame com consulta. Justifique convenientemente todas as suas respostas. 1 Problema (3,5 valores) Considere a barra sujeita a uma carga linear representada na figura 1. A barra é homogénea e possui secção transversal constante. Para a sua análise foi utilizada uma malha formada por dois elementos de igual dimensão e cuja aproximação para o campo de deslocamentos longitudinal é quadrática. E, A A p B d x l Figura 1 (1,0) (a) Identifique e numere os graus de liberdade livres e os graus de liberdade restringidos. (1,5) (b) Determine em função de p e l a força nodal equivalente correspondente ao grau de liberdade d, representado na figura 1. (1,0) (c) Comente a afirmação: A solução exacta para o esforço normal, N ex (x), da viga representada na figura 1 é contínua. No entanto, a solução obtida através do Método dos Elementos Finitos, para a discretização indicada, corresponde a um esforço normal, N MEF (x), descontínuo entre os elementos. Problema (7,0 valores) A placa representada na figura a é o modelo estrutural da zona de transição de um elemento estrutural, no qual se recorreu a simplificação de simetria. Admite-se que a placa é homogénea, isotrópica e está sujeita a um estado plano de tensão. Considere a sua discretização representada na figura b, formada por quatro elementos quadrados de quatro nós e um elemento triangular de três nós. (1,0) (a) Identifique e numere os graus de liberdade livres e os graus de liberdade restringidos. (,0) (b) Exprima os coeficientes da matriz de rigidez da placa K aa, K ba e K ac e do vector de forças nodais equivalente f b em função dos coeficientes das matrizes de rigidez e vectores de forças nodais equivalentes elementares. Para tal, considere os graus de liberdade d a, d b e d c representados na figura b e a numeração local representada na figura c. (1,0) (c) Determine, em função de E, a tensão σ 1 no elemento (3) quando d c = 1 e todos os restantes deslocamentos são nulos. (1,5) (d) Determine o valor de f c devido à actuação da carga linear que actua na placa. (1,5) (e) Proponha duas discretizações para o presente problema obtidas a partir da malha representada na figura c usando refinamento (i) do tipo h e do (ii) do tipo p. Página 1
x 4kN/m E, ν = 0, (1) () (3) x 1 (4) (5) d b d c [m] d a (a) (b) d 8 d 7 d 6 d 5 d 4 d 3 4 3 (e) d 5 d 6 1 d 4 3 1 d 3 (e) d d 1 d d 1 (c) Figura 3 Problema (7,0 valores) Considere o pórtico plano representado na figura 3a discretizado com elementos de barra cuja parcela de flexão é baseada na teoria de Euler Bernoulli. (1,0) (a) Identifique e numere os graus de liberdade livres e os graus de liberdade restringidos. (1,5) (b) Trace qualitativamente os diagramas de momentos flectores exacto, M ex, e o obtido pelo MEF, M MEF, para a barra BD. Para tal, considere a orientação indicada na figura 3a. Relacione o traçado efectuado com a imposição na forma fraca das condições de fronteira estáticas. Considere agora a viga representado na figura 3b, igualmente discretizado com elementos de barra cuja parcela de flexão é baseada na teoria de Euler Bernoulli. (,5) (c) Determine, em função de p, l e EI, o valor do(s) deslocamento(s) associado(s) ao(s) grau(s) de liberdade livre(s). (1,0) (d) Trace a deformada aproximada da viga. (1,0) (e) Trace os diagramas de esforço transverso e momento flector, indicando todos os valores necessários à sua perfeita definição. Página
C D 3l EI (knm ) EA = EI (kn) l p EI (knm ) EA = EI (kn) l p A B 4l l 3l (a) (b) Figura 3 4 Problema (,5 valores) Considere a laje de betão-armado representado na figura 4. x 1 4 h = 0, 5m 4 x [m] 4 4 Figura 4 (1,5) (a) Proponha uma discretização para a sua análise através de elementos finitos, indicando uma malha, o tipo de elemento usado e a teoria em que estes se baseiam. Identifique os graus de liberdade livres. (1,0) (b) Refira a razão pela qual as funções de aproximação dos elementos utilizados para a análise de problemas de elasticidade plana não podem ser usadas na formulação de elementos de laje baseados na teoria de lajes finas. Página 3
Curso de Mestrado em Engenharia de Estruturas 1. a Edição (014/015) Elementos Finitos Exame de Recuperação Luanda, 19 de Junho de 015 Duração: 3 horas. Desligue o telemóvel. Exame com consulta. Justifique convenientemente todas as suas respostas. 1. o Problema (3,5 valores) Considere a barra sujeita a uma carga com variação quadrática representada na figura 1. A barra é homogénea e possui secção transversal constante, cuja rigidez axial é E A. Para a sua análise foi utilizada uma malha formada por dois elementos de igual dimensão e cuja aproximação para o campo de deslocamentos longitudinal é linear. (0,5) (a) Identifique e numere os graus de liberdade livres e os graus de liberdade restringidos. (,0) (b) Escreva, em função de p, E, A e L, a linha do sistema global de equações resultante da aplicação do MEF correspondente ao equilíbrio de forças nodais equivalentes do grau de liberdade d representado na figura 1. (1,0) (c) Trace qualitativamente os diagramas de esforço normal (i) exacto, N ex (x), e (ii) o obtido usando o Método dos Elementos E, A A Finitos, N MEF (x), para a discretização indicada. funções que descreve a solução. ( p(x) = p x 1 ( x L L ) ) Figura 1 Em cada caso indique o tipo de. o Problema (6,5 valores) A placa representada na figura a representa o modelo bidimensional de uma barragem de aterro. Admite-se que a placa é homogénea, isotrópica e está sujeita a um estado plano de deformação. Esta encontra-se submetida à pressão hidrostática (γ água = 10 kn/m 3 ) e ao peso próprio (γ betão = 5 kn/m 3 ). Considere a sua discretização representada na figura b, formada por sete elementos quadrados de quatro nós e dois elementos triangulares de três nós. (1,0) (a) Identifique e numere os graus de liberdade livres e os graus de liberdade restringidos. (1,5) (b) Considere os graus de liberdade d a, d b, d c e d d representados na figura b e a numeração local representada na figura c. Exprima os coeficientes da matriz de rigidez da placa K cd, K ab e K ac e do vector de forças nodais equivalente f a e f c em função dos coeficientes das matrizes de rigidez e vectores de forças nodais equivalentes elementares. (1,5) (c) Determine a tensão σ 1 no elemento (5) quando d c = 1 e todos os restantes deslocamentos são nulos. (1,5) (d) Determine a contribuição do elemento (9) para o valor de f a. (1,0) (e) Comente a discretização proposta na figura b para a análise do problema apresentado na figura a. 3. o Problema (7,5 valores) Considere a estrutura articulada plana representado na figura 3. (1,0) (a) Identifique e numere os graus de liberdade livres e os graus de liberdade restringidos. B d Página 1 de 3
x 1 1 E = 30 GPa ν = 0, 3 d a (9) d b (7) (8) d c d d (4) (5) (6) x 1 (1) () (3) 70 kn/m [m] (a) (b) d 8 d 7 d 6 d 4 d 3 d 3 4 3 3 (e) d 5 d 6 1 d 1 d d 4 (e) d 5 1 d 1 d (c) Figura (1,0) (b) Comente a seguinte afirmação: É possível determinar os esforços normais nos elementos da estrutura articulada representada na figura 3 sem conhecer o valor da respectiva rigidez axial, EA. Considere agora a viga representado na figura 4a. Esta foi discretizada com dois elementos de barra, tal como indicado na figura 4b, cuja parcela de flexão é baseada na teoria de Euler Bernoulli. Página de 3
1 1 E G F H I 48 kn J 30 kn L 1 1 68 kn C B D K M N A O [m] 1 1 1 1 1 1 1 1 Figura 3 p EI (knm ) EA = EI L (kn) d 1 1 3 L L d (a) (b) Figura 4 (,0) (c) Considerando a numeração dos graus de liberdade livres indicada na figura 4b, escreva, em função de p, L e EI, a primeira equação do sistema de equações do MEF. (1,5) (d) Trace qualitativamente a deformada aproximada da viga. p L 3 (,0) (e) Sabendo que d 1 = 9 EI e d = 9 EI, trace os diagramas de esforço transverso e momento flector obtidos através do MEF. p L 4 4. o Problema (,5 valores) Considere a laje de betão-armado representado na figura 5 submetida à acção do seu peso próprio (γ betão = 5 kn/m 3 ). (1,5) (a) Proponha uma discretização para a sua análise através de elementos finitos, indicando uma malha, o tipo de elemento usado e a teoria em que estes se baseiam. Identifique os graus de liberdade livres. (1,0) (b) Trace qualitativamente as seguintes grandezas ao longo da linha x 1 = 6 m: (i) diagrama de momentos m Exacto, indicando uma estimativa para o seu valor a meio vão e (ii) o diagrama de momentos m MEF considerando a discretização proposta na alínea anterior. [m] Página 3 de 3 x 6 Figura 5 6 h = 0, 5 m x 1 Pilar