LISTA DE MATEMÁTICA SÉRIE: º ANO TURMA: º BIMESTRE DATA: / / 011 PROFESSOR: ALUNO(A): Nº: NOTA: POLINÔMIOS I 01. (ITA-1995) A divisão de um polinômio P() por - resulta no quociente 6 + 5 + 3 e resto -7. O resto da divisão de P() por + 1 é igual a: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 Alternativa: E 0. (FEI-1996) A soma de dois polinômios P() + Q() é um polinômio de grau 6, e a diferença P() - Q() é um polinômio de grau 4. É válido afirmar-se que: a) a diferença Q() - P() tem grau 6. b) P() e Q() têm o mesmo grau. c) P() tem grau 5. d) Q() tem grau 4. e) P() tem grau 4. Alternativa: B 03. (Vunesp-000) Ao dividirmos um polinômio p() por ( - c), obtemos quociente q() = 3 3 - + - 1 e resto 3. Sabendo-se que p(1) =, determine: a) o valor de c; b) o polinômio p(). Respostas: a) c = b) p() = 3 4-8 3 + 5 + 3 + 5 04. (Vunesp-00) Considere a função polinomial de 3º grau, p() = 3 3 + 1. Calcule p( ), p(0), p(1), p() e esboce o gráfico. Respostas: p() = 3 3 + 1 p( ) = 8 + 6 + 1 à p( ) = 1 p(0) = 0 0 + 1 à p(0) = 1 p(1) = 1 3 + 1 à p(1) = 1 p() = 8 6 + 1 à p() = 3 05. (FGV-005) Dividindo o polinômio P() por + - 1obtém-se quociente igual a - 5 e resto igual a 13 + 5. O valor de P(1) é: a) 1 b) 13 c) 15 d) 16 e) 14 Alternativa: E 06. (Fuvest-1999) Dividindo-se o polinômio p() por - 3 + 1, obtêm-se quociente 3 + 1 e resto - +. Nessas condições, o resto da divisão de p() por - 1 é: a) b) 1 c) 0 d) -1 e) - Alternativa: B 07. (UFSCar-009) Em relação a P(), um polinômio de terceiro grau, sabe-se que P(-1) =, P(0) = 1, P(1) = e P() = 7. a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto em que o gráfico da função polinomial P() cruza o eio y, sabendo que essa reta tem coeficiente angular numericamente igual à soma dos coeficientes de P(). b) Determine P(). Respostas: a) y = + 1 b) P() = 3 1 3 + 3 1 + 1 08. (UFC-003) O coeficiente de 3 no polinômio p() = ( - 1) ( + 3) 5 é: a) 30 b) 50 c) 100 d) 10 e) 180 Alternativa: E 09. (UEL-1996) O polinômio p tem grau 4n + e o polinômio q tem grau 3n - 1, sendo n inteiro e positivo. O grau do polinômio p.q é sempre: a) igual ao máimo divisor comum entre 4n + e 3n - 1. b) igual a 7n + 1. c) inferior a 7n + 1. d) igual a 1n + n +. e) inferior a 1n + n +. Alternativa: B 10. (UFPA-1984) O polinômio P() = a 3 + b + c + d é idêntico a Q() = 5-3 + 4. Então, temos que a + b + c
+ d é igual a: a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) -3 Alternativa: A 11. (CPCAR-00) O resto da divisão do polinômio 4 3 p ( ) = + + 1 por + 1 é um número a) ímpar menor que 5 b) par menor que 6 c) primo maior que 5 d) primo menor que 7 Alternativa: C 1. (Cesgranrio-1994) O resto da divisão do polinômio P() = ( + 1) pelo polinômio D() = ( - 1) é igual a: a) b) 4 c) -1 d) 4- e) 8-4 Alternativa: E 13. (UECE-005) O resultado da divisão do polinômio 5 +1 por + 1 é: a) 4 + 3 + + + 1 b) 4-3 + - + 1 c) 4 + 1 d) 4-1 Alternativa: B 14. (UFC-007) Os números reais a, b, c e d são tais que, para todo real, tem-se: a 3 + b + c + d = ( + )( 4) ( + 1)( 5 + 3). Desse modo, o valor de b + d é: a) b) 0 c) 4 d) 6 e) 10 Alternativa: D 15. (UFC-004) Se a epressão + 5 a b = +, onde a e b são constantes, 4 1 + 1 1 é verdadeira para todo número real ¹ ± 1, então o valor de a + b é: a) - b) -1 c) 1 d) e) 3 Alternativa: C 16. (Vunesp-006) Se a, b, c são números reais tais que a + b( + 1) + c( + ) = ( + 3) para todo real, então o valor de a - b + c é a) -5. b) -1. c) 1. d) 3. e) 7. Alternativa: E 17. (Fatec-1996) Se f é uma função de IR em IR definida 3 f() f(1) por f()=, então a epressão, para + 3 1 ¹1, é equivalente a: + 3 a) ( + 3) 3 b) ( + 3) + 1 c) ( + 3) 1 d) ( + 3) 1 e) Alternativa: A 18. (PUC-MG-199) Se o polinômio P() = (m + 3n - p) + (m + n - 5p) + (p - ) é identicamente nulo, a soma m +n + p é igual a: a) -3 b) -6 c) 8 d) 5 e) 0 Alternativa: B 19. (Cesgranrio-1998) Se o polinômio P() = 3-4 + a é divisível por D() = -, o valor de a é: a) -8 b) -6 c) -4 d) - e) + Alternativa: A 0. (PUCCamp-1998) Se os graus dos polinômios f, g, h são, respectivamente, 4, 3 e, então o grau do polinômio: a) g é 9 b) f.g é 7 c) f + h é 6 d) g - h é 1 e) 3. f é 1 Alternativa: B a b 1. (UNIFESP-007) Se = + é 3 + 1 verdadeira para todo real, 1,, então o valor de a.b é a) 4. b) 3. c). d). e) 6. Alternativa: C
. (UEL-1984) Sejam os polinômios f = 3-3 + 3, g = + 3 e h = 3 -. Os números reais a e b, tais que f = ag + bh, são, respectivamente: a) - e -1 b) - e 1 c) -1 e - d) 1 e - e) 1 e Alternativa: E 3. (UFJF/MG) O resto da divisão do polinômio p ( ) = 3 17 + 7 por q ( ) = 4 é: a) 4. b) 7. c). d) 5. e) 5 0. 4. (UFV/MG) O inteiro é raiz do polinômio 3 p ( ) = 4 4 11 + k, onde k é uma constante real. a) Determine o valor de k. b) Determine as outras raízes de p (). c) Determine os intervalos onde p () > 0. 5. (UFPB/PB) Determine os valores de A, B e C para 3 que os polinômios P ( ) = A + ( A 5) + C e 3 Q ( ) = ( 4 B) + B + 1 sejam idênticos. 6. (UFPB/PB) Se P ( ) e ( ) 4(quatro) e S ( ) = P( ) + Q( ), então ( ) A) pode ter grau. B) pode ter grau 5. C) pode ter grau 6. D) tem grau 4. E) tem grau 8. Q são polinômios de grau S : 3 p q 7. Sendo = +, podemos afirmar 5 + 6 3 que 3p + q é: a) 1 b) 0 c) d) 3 e) 4 8. Na divisão de um polinómio pelo binômio a + b, usou-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini e encontrouse: 1 p 3 4 5 q 4 5 R 7 Os valores de a, b, p, q e r são, respectivamente: a) 1, -, 1, -6 e 6 b) 1, -, 1, 1 e 4 c) 1,, -, - e -6 d) 1,, 1, -4 e 4 e) 1,, -, 1 e -6 5 a b 9. Sendo a e b tais que = + 4 + identidade, a epressão b a vale: a) 3 b) c) 1 d) 0 e) 1 é uma 30. O resto da divisão de um polinômio P() = 3 + 1 pelo polinômio D() = + + 1 é igual a: a) 0 b) + c) d) + e) 31. (UEL/PR-005) Sobre um polinômio p ( ) de grau 1, sabe-se que: sua raiz é igual a. p ( ) é igual ao dobro de sua raiz. nestas condições, é correto afirmar: a) p ( ) = + b) p ( ) = 4 c) p ( ) = d) p ( ) = e) p ( ) = + + 3. (UFPB/PB-1995) Escreva um polinômio de grau 3 na 3 forma P ( ) = + a + b + c, cujas raízes sejam -, 0 e 1. 33. (UFBA/BA-000) Sobre epressões algébricas e polinômios, pode-se afirmar: 3 3 (01) ( + ) = + 8, R. + 1 + 1 (0) =, R { 1,0,1 }. 3 ( 1) 1 3 (04) Se ( n + 1)( 1) = + 1 m, então m n = 1. (08) O resto da divisão 3 6 + 1 por + 1 é 6. (16) Se é raiz do polinômio ( ) 3 + 1 P = + m 1, então m =. 34. (UFMT/MT-00) Considere os polinômios A (), de grau m, e B (), de grau n, com m n, ambos de coeficientes reais, e, julgue os itens. (0) O grau do polinômio S ( ) = A( ) + B( ) é m + n. (1) O polinômio P( ) = A( ) B( ) é de grau m n. () Se Q () é o quociente da divisão A ( ) B( ), com B ( ) 0, então Q () é um polinômio de grau m n.
GEOM. ANALÍTICA RETAS II I 01. (FMTM/MG) Os pontos ( k, k 5) e (-, -4) pertencem à reta r. Os pontos (k, k 3) e (1, -4) pertencem à reta s. Sendo r e s paralelas, um valor possível de k é: A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 0. (UNIFEI/MG) A área do polígono formado pela interseção das retas y + 3 = 0, y = 0, y 1 e y = 7 mede, em unidades de área: A) 16. B) 18. C) 0. D). 03. (MACK/SP) Na figura, se a equação da reta r é 3 + y 4 = 0, a área do triângulo ABC é: 06. (UFPE/PE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = - + 10 e da reta y = 4 + 5, com 8. Qual a soma das coordenadas do ponto que representa a intersecção das estradas? A) 0 B) 5 C) 30 D) 35 E) 40 07. (UFPE/PE) Considere o triângulo com lados sobre as retas y =, y = e y = + 6. Estude a veracidade 3 das seguintes afirmações: A) O ponto (,1) está no interior do triângulo. B) O ponto (5,5) está no eterior do triângulo. C) O maior lado do triângulo mede 5. D) O triângulo tem área 15/. E) O circuncentro do triângulo é o ponto (,3/). 08. (UFPA/PA) Escreva a equação da reta, que passa pelo ponto P 1, 1 e é perpendicular a uma reta que forma com o sentido positivo do eio dos, um ângulo cuja tangente é 5. a) 40 b) 0 c) 00 d) 60 e) 80 04. (PUC/RS) As representações das funções definidas por f ( ) g( ) e h( ) = 4 + 3, = + 3 = 1, estão na figura abaio. A área do triângulo ABC é: 09. (UFPA/PA) Em um triângulo ABC, os pontos médios dos lados AB e BC são, respectivamente, 4, 5, 3 1, -, M ( ) e P ( 0 ). Sabendo-se que C ( ) escreva a equação da reta AC. 10. (UFMT/MT) Num determinado instante t (em minutos), as posições de duas partículas P e Q são dadas, respectivamente, pelas equações paramétricas = 1+ t = 4 + t das retas e. y = 1+ t y = 3 + 6t A partir das informações dadas, julgue os itens. As trajetórias se interceptam no ponto (5, 3). As partículas se chocam no ponto (5, 3). A partícula Q passa, em (5, 3), 1 minuto depois que a partícula P. A) 3 B) 4 C) 8 D) 1 E) 16 05. (UFV/MG) Considere os pontos A = (, ) e B = ( 0, 4) do plano euclidiano. a) Determine o valor da constante k para que a reta y = k + k passe pelo ponto médio do segmento AB. b) Calcule a distância da origem ( 0, 0) à reta obtida no item anterior. 11. (UFPA/PA) Um agricultor recebe uma herança e decide investir em terras para aumentar sua produção. Resolve comprar um terreno ao lado do seu, e o corretor cobra R$.000,00 a unidade de área (u). O terreno tem a forma de um quadrilátero de vértices A, B, C e D. Em sua representação no plano cartesiano, em que a unidade em cada um dos eios representa a unidade de comprimento sobre o terreno, tem-se A=(0,0), B=(0,1) e D=(3,0). Sabese que a equação da reta que contém os pontos D e C é 3+y=9, enquanto que a reta que contém os pontos B e C também passa pelo ponto (4,). Faça os cálculos necessários e determine o valor que o agricultor irá pagar pelo terreno.
1. (PUC/RS) A reta r de equação y = a + b passa pelo ponto (0, 1), e para cada unidade de variação de há uma variação em y, no mesmo sentido, de 7 unidades. Sua equação é: A) y = 7 1 B) y = 7 + 1 C) y = 7 D) y = + 7 E) y = 7 1 13. (UFPB/PB) Sabendo-se que a equação (m + n - 1) + (m - n + 1)y + + y - 1 = 0 representa uma reta no plano y, determine m e n. 14. (UFMA/MA) A reta r: 7y +13 = 0 forma um ângulo de 45º com a reta s, que passa pela intersecção das retas 3 + y 9 = 0 e 10 + y 13 = 0. Ache a reta s. 3 15. (UFMA/MA) A reta r passa pelos pontos, 5 e 4 ( 3,0). A reta s é perpendicular à reta r e passa pela origem. Determine o ponto de interseção entre as retas r e s. De acordo com gráfico abaio, assinale (as) proposições verdadeiras s y 3 1 0 1 01. A equação da reta s é 3 y + 6 = 0. 0. A reta s e a reta r são perpendiculares. 04. As retas r e s se interceptam no ponto de abscissa 4. 5 08. A distância da origem do sistema de coordenadas cartesianas à reta r é de unidades. área da região do plano limitada pelas retas r, s e pelo eio das abscissas é igual a 10 3 unidades de área. 17. (UFSC/SC) Dados os pontos A(1, 1), B( 1, 3) e C(, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC.. r 18. (UFMA/MA) As equações paramétricas de uma reta r são: = 3 t y = 1 + 4t é: a) 3 b) 1 c) d) 4 e). Então o coeficiente angular da reta r 19. (UFMA/MA) A soma dos coeficientes linear e angular da reta que passa pelos pontos A (0, K) e B(K, 0), sendo K 0, vale: a) K 1 b) K 1 c) K + 1 d) K 1 e) + 1 K A, 0. (UFMA/MA) Consideremos os pontos ( 1; 5) B ( 3; 1) e C ( 5; 4) e as seguintes afirmações: I. Os pontos A, B e C são colineares. II A distância entre os pontos B e C é d = 8. III A razão em que B divide AC é r =. Então: a) I, II estão corretas. b) I, II e III estão corretas. c) I está correta. d) I e III estão corretas. e) II e III estão corretas. 1. (UFMA/MA) Calcule a área do triângulo formado pela y 6 8 reta = 1 e os eios coordenados.. (UFMS/MS) Sejam r, s e t as retas definidas no plano cartesiano da figura nº. Se P = (a,b) é o ponto de interseção das retas s e t, calcular 10a + b. - y 6 4-3. r. Figura nº s t
3. (UFMA/MA) Seja a reta r que passa pelos pontos (0,5) e (10,0). Uma reta s perpendicular a r passa pelos pontos A(a,1) e B(1,b). A relação entre a e b é: a) b=3 a b) b= 3a c) b=5 - a d) b= (a + e) 4 a b = 7. O período de incubação do cólera pode ser de algumas horas e até 5 dias, porém sua disseminação ocorre com mais facilidade onde as condições de higiene são precárias. Analisando uma colônia de vírus do cólera, um pesquisador registrou a disseminação do número desses vírus durante algumas horas e verificou um crescimento linear conforme o gráfico abaio, o qual apresenta duas dessas observações. Quantos vírus havia nessa colônia no inicio da observação? 4. (UFOP/003) Sejam as retas r: + y + 3 = 0 e t r. Se t passa pelo ponto P(, 3), então sua equação é dada por: a) + y - 3 = 0 b) + y + 1 = 0 c) - y - 1 = 0 d) - y + 3 = 0 5. (UFOP/005) A curva C, a seguir, é gráfico da função f() =. A equação da reta r que passa pelos pontos P e Q é: 8. Dois mísseis, em treinamento de interceptação, deslocam-se em movimento retilíneo e uniforme numa mesma direção e sentido. O gráfico mostra a posição, em metros, desses mísseis no decorrer do tempo, em segundo. a) Qual o instante em que o míssil B intercepta o míssil A? b) Em que posição eles se encontram? 3 a) y = - 1 b) y = - 1 c) y = + 1 3 3 d) y = 3 + 1 6. (UFJF/008) Considere o triângulo limitado pelas retas y =, y = + e y = a, com a > 1. O valor de a, de forma que a área desse triângulo seja, é: a) + 3 b) 3 + c) + 1 d) - 1 e) APLICAÇÕES Com base no teto abaio, responda as questões 9 e 30. O radar é um aparelho que, por meio de pulsos de onda radioelétricas, é capaz de detectar objetos que estejam no interior de seu círculo de alcance. Esse círculo tem centro no radar e seu raio, que depende da potência do aparelho, é denominado raio de alcance do radar. Suponha que um radar esteja localizado em um porto marítimo, no centro de um sistema de coordenadas Oy, como ilustra a figura a seguir, em que as distâncias são medidas em quilômetros. Suponha, ainda, que um navio percorreu a trajetória retilínea entre os pontos A(-100,-500) e B(500,100), com velocidade constante de 75km/h.
Considerando que os pulsos do radar prolongam-se em linha reta, resolva os itens a seguir. 9. Seja um pulso que partiu do radar interceptou a trajetória do navio perpendicularmente, então as coordenadas (,y) do percurso desse pulso satisfazem à equação: a) + y = 0. b) y = 0. c) y = 0. d) + y = 0. e) + y = 0 30. Se as trajetórias do navio e de um pulso do radar cruzaram-se perpendicularmente, então essas trajetórias interceptam-se no ponto das coordenadas: a) (00,-00). b) (-00,00). c) (-00,-00). d) (00,00). e) (0,-0).