RES MAT XI 8.0 Variação da tesão com a orietação do plao da seção. Nos capítulos precedetes apredemos a computar os valores das tesões alcaçadas em um certo poto de uma dada seção de uma viga ou barra submetida a variados tipos de esforços solicitates e suas combiações. Tais tesões são calculadas o plao da seção. Cabe idagar: - em outros plaos, que ão o da seção trasversal, quais seriam os valores atigidos pelas compoetes da tesão aqueles potos? 8.1 Estado Duplo de Tesões. Iicialmete estudaremos o caso mais simples (porém muito comum) de potos submetidos a um estado duplo (ou plao) de tesões (quado σ z = z = z = 0), sedo cohecidas as tesões: σ, σ e =. σ σ σ t σ d t σ ds t σ d dz θ t ds dz θ σ ds dz z dz d z σ σ d dz d dz (a) (b) (c) σ d dz Fig. 8.1.1 Variação da tesão com a orietação do plao da seção. (a) Estado duplo de tesões; (b) tesões em um plao icliado; (c) forças atuado em um elemeto prismático. Supoha um elemeto ifiitesimal submetido a um estado plao de tesões, como idicado a Fig. 8.1.1 (a) (ode todas as tesões foram supostas positivas). Em um plao qualquer (que tem como orietação a ormal ), formado um âgulo θ com o plao (que tem como ormal o eio ), as tesões reiates serão desigadas como: σ e t - Fig. 8.1.1 (b). Computado as forças reiates as faces do elemeto prismático em referêcia, pode-se cocluir, por seu equilíbrio as direções ormal () e tagecial (t) ao plao qualquer (θ) (Fig.8.1.1-c forças de massa de origem gravitacioal ou de iércia, proporcioais ao volume do elemeto, são de ordem desprezível): (ΣF = 0) σ ds dz = σ d dz cos θ + σ d dz se θ + d dz se θ + d dz cos θ Como = e, cosiderado que cos θ = d/ds e se θ = d/ds, obteremos: σ = σ cos θ + σ se θ + se θ cos θ... (8.1.1) Pelo equilíbrio das forças a direção trasversal (t), da mesma forma, obteremos: t = - (σ - σ ) se θ cos θ + ( cos θ - se θ)... (8.1.) Como: cos θ = ½ (1 + cosθ); se θ = ½ (1 - cosθ); seθ = seθ cosθ e cosθ = cos θ - se θ, 1
obtemos e Aálise de Tesões e Deformações σ = ½ (σ + σ ) + ½ (σ - σ ) cos θ + se θ...(8.1.3) t = - ½ (σ - σ ) se θ + cos θ...(8.1.4) (Observe os casos particulares quado θ = 0 e θ = 90º, que idicam as tesões dadas os plaos vertical, e horizotal, respectivamete). 8. Tesões Etremas. Tesões Pricipais. Relevate será computar os valores etremos alcaçados pelas compoetes da tesão. Para tal, igualaremos a zero as derivadas, em relação à variável θ, das compoetes da tesão o plao geérico: - de (8.1.3)... dσ /dθ = - ½ (σ - σ ) se θ () + cos θ () = 0, 0 obtedo-se tg θ p = / ½ (σ - σ ).(8..1) equação que idica a orietação dos chamados plaos pricipais ode as tesões ormais são etremas (máima e míima), plaos esses que serão perpediculares etre si (eistem dois valores do âgulo θ p, defasados de 180º, que admitem a mesma tagete, portato os correspodetes dois valores de θ p estarão defasados de 90º). Substituido o valor dado por (8..1) a equação (8.1.4) verifica-se que as compoetes tageciais das tesões ocorretes os plaos pricipais serão ulas. Substituido o valor dado por (8..1) a equação (8.1.3), obteremos os valores das tesões pricipais (tesões ormais etremas, máima e míima): σ p1 = ½ (σ + σ ) + [½ (σ - σ )] + ( )...(8..) σ p = ½ (σ + σ ) - [½ (σ - σ )] + ( )...(8..3) Iteressate observar que, somado membro a membro as equações (8..) e (8..3), cocluiremos que a soma das tesões ormais ocorretes em plaos perpediculares é um ivariate (o que seria cofirmado calculado σ t o plao θ + 90 em 8.3, e somado ao valor de σ o plao θ): σ + σ = σ + σ t = σ p1 + σ p Eemplo 8..1 - No poto P do plao de uma dada seção trasversal de uma viga atuam as tesões: 40MPa (tração) e 48MPa (o setido oposto ao do eio ). Para tal poto, pede-se determiar: a) as tesões ormal e tagecial em um plao perpedicular ao plao, e cuja ormal forme com o eio um âgulo de 30º como idicado; b) as máimas tesões ormais de tração e de compressão, idicado a orietação dos plaos ode ocorrem. 48MPa z 40MPa 30º P z
Solução: Para o caso em aálise teremos: σ = + 40; σ = 0; = (-)* 48 (MPa). * o sial (-) decorre de ser uma tesão atuate uma face positiva (ormal etera ) e orietada o setido egativo do eio. Observe que θ = -30º ( z) Levado em (8.1.1) e (8.1.) obteremos: σ = ½ (40 + 0) + ½ (40-0) cos (-30) + (-48) se (-30) = + 71,57 MPa σ t = ½ (40 + 0) + ½ (40-0) cos (60) + (-48) se (60) = - 31,57 MPa t = - ½ (40 0) se (-30) + (-48) cos (-30) = - 6,68 MPa Resp. (a) σ = 71,6 MPa (T); σ t = 31,6 MPa (C); t = 6,68 MPa (-) As tesões pricipais serão: σ p1 = ½ (40 + 0) + [½ (40-0)] + ( 48 ) = 0 + (400 + 304) = 0 + 5 = 7 MPa σ p = ½ (40 + 0) - [½ (40-0)] + ( 48 ) = 0 - (400 + 304) = 0-5 = -3 MPa tg θ p = - 48 / ½ (40) = -,4; θ p = - 67,38º; θ p1 = -33,7º; θ p = -33,7 +90 = 56,3º. Nota: observe que o plao é próimo ao plao pricipal (p1) Para avaliarmos os etremos alcaçados pela tesão tagecial, aalogamete igualaremos a zero a derivada da tesão t em relação à variável livre θ (em 8.1.4), obtedo: d t /dθ = - ½ (σ - σ ) cos θ () + (-) se θ () = 0, e tg θ = (-) ½ (σ - σ ) / (8..4) (o simétrico do iverso do valor obtido em 8..3), idicado que os plaos ode a tesão tagecial é etrema (* máima e ** míima), estão defasados de 45º em relação aos plaos pricipais (já que os dobros dos valores de θ e de θ p são defasados de 90º). As tesões tageciais etremas (ocorretes em plaos perpediculares etre si, portato de igual valor) serão calculadas substituido o resultado de 8..4 em 8.1.4, obtedo-se: Ma/Mi = * = ** = +/- [½ (σ - σ )] + ( )...(8..5) Para avaliar as tesões ormais (σ* e σ**), ocorretes os plaos ode a tesão tagecial é etrema, levaremos o resultado obtido em 8..4 à equação 8.1.3, cocluido que: σ* = σ** = ½ (σ + σ ) = σ Média...(8..6) O caso proposto o eemplo 8..1 visto acima, Ma/Mi = 5MPa. O estado de tesão o poto P do eemplo citado pode, em resumo, ser represetado como a- baio, mostrado a variação das compoetes da tesão (em MPa) com a orietação do plao da seção: 0 40 48 40 31,6 6,68 71,6-30º 3 p1 7-33,7º 0 5 48 t 3 7 3 p 5 0 ** 0 +11,3º *
8.3 Círculo de Mohr para as tesões. Um método bastate útil para a avaliação de como variam as compoetes da tesão com a orietação do plao da seção é o método gráfico de Mohr que, ao aalisar as equações 8.1.3 e 8.1.4, reescreveu-as a forma: σ - ½ (σ + σ ) = ½ (σ - σ ) cos θ + se θ t = - ½ (σ - σ ) se θ + cos θ. Quadrado, somado membro a membro e feitas as simplificações (cos θ + se θ=1), obtem-se: [σ - ½ (σ + σ )] + t = [½ (σ - σ )] + ]...(8.3.1) A equação acima tem o formato da equação de uma circuferêcia ( a) + ( b) = R, cosiderado as variáveis σ e t, e elimiado o parâmetro θ. Num plao cartesiao σ t a circuferêcia teria cetro as coordeadas: a = ½ (σ + σ ) ; b = 0 e raio R = [½ (σ - σ )] + ] 1/ t Ma R = COMPRESSÃO TRAÇÃO σ p = ½ (σ -σ ) σ σ ½ (σ + σ ) σ Fig. 8.3.1 Círculo de Mohr. A ambigüidade quato aos siais +/- da ordeada correspodete à tesão tagecial fica resolvida adotado-se a seguite coveção: MARCAR para cima ( ) caso o setido de giro seja horário ( ) e para baio, caso seja ati-horário ( ) (aáloga à coveção de siais adotada para a força cortate Q). σ p1 Aalisado a figura obtida, é fácil cofirmar que: σ p1 = σ máimo = σ médio + Raio; σ p = σ míimo = σ médio Raio; máimo = Raio sedo σ médio = ½ (σ + σ ); e R = [½ (σ - σ )] + ] 1/. 4
O traçado do Círculo de Mohr é feito, quado se cohecem os valores das tesões em dois plaos perpediculares, plotado os potos correspodetes aos pares de valores (σ, ) e (σ, ). Embora e sejam sempre iguais (com o mesmo sial) os seus setidos de giro sempre serão opostos, portato os dois potos ocuparão posições diametralmete opostas. Uido tais potos obtemos a posição do cetro do círculo, sobre o eio σ, traçado-se a circuferêcia, passado pelos dois potos cosiderados. σ t ma σ σ σ p1 p σ σ med σ σ ½ (σ +σ ) ½ (σ +σ ) Observado que o âgulo θ p aparece traçado o gráfico arc tg [ / ½ (σ +σ )], defie-se um poto da circuferêcia (deomiado PÓLO) do qual irradiam as direções ormais aos plaos ode atuam as diversas tesões, cujos valores correspodem às coordeadas do outro traço com a circuferêcia.. Assim, o pólo P é obtido traçado-se uma liha a direção do eio, passate pelo poto do círculo correspodete ao par de tesões ocorretes o plao (da mesma forma seria o poto obtido utilizado a direção ). As direções pricipais 1 e são obtidas traçado a partir do pólo lihas que passam pelos potos represetativos das tesões σ p1 e σ p. Procedimetos aálogos permitiriam obter as orietações dos plaos ode é máimo. t σ σ Med Ma σ p Ma ½ (σ -σ ) σ p1 Observe que o âgulo θ p (cetral) e o âgulo θ p (iscrito), sub-tedem o mesmo arco. σ p Pólo σ 45º ½ (σ + σ ) σ 45º θ P σ p1 θ P σ σ Ma σ Med 5
Eemplo 8.3.1- Num certo poto de uma viga são cohecidas as seguites tesões: σ = + 50MPa; σ = -10MPa; = = - 40MPa. Utilizado o Círculo de Mohr, pede-se determiar: σ a) as tesões pricipais; b) a máima tesão tagecial c) a orietação dos plaos pricipais. Solução: traçado o plao de Mohr (σ ) são plotados os potos correspodetes aos pares de valores de tesão, o plao () (vertical) (PV + 50, à direita da origem; 40, para cima, pelo setido horário de giro) e o plao () (horizotal) (PH -10, à esquerda da origem; 40, para baio, pelo setido atihorário de giro). O cetro do círculo ( C ), posicioado o eio dos σ, é obtido uido os potos PV e PH (0; 0). O círculo é traçado, com cetro em C, e com raio igual à distâcia C-PV, ou C-PH (R= 50). As tesões pricipais valerão: σ P1 = 0 + 50 = 70 MPa; σ P = 0-50 = - 30 MPa; ma =50MPa. O PÓLO do círculo de Mohr é o poto de ode partem as direções perpediculares aos plaos ode atuam as tesões e que iterceptam o círculo um outro poto cujas coordeadas represetam o par de tesões ocorretes o plao cosiderado. Assim, traçado pelo poto PV (50;40 ) um liha paralela ao eio, ecotramos o pólo o poto (-10; 40), como também se tivéssemos traçado pelo poto PH (-10;40 ) uma reta com a direção. Os plaos pricipais formam, com o plao vertical, um âgulo tal que: tg θ = - 40/ ½[50 (-10)]=-1,333; θ = - 53,1º; θ = - 6,6º. σ 50MPa 0MPa 60 P 50 40 PV 40MPa 50MPa -10MPa 40MPa 30 50MPa 50MPa 0-30MPa -30-0 -10 PH 10-10 -0-30 -40-50 -60 C 10 0 30 40 50 60 70 80 σ (MPa) 70MPa -30MPa 0MPa 50MPa -10MPa 0MPa -30MPa 70MPa 40MPa 50MPa 0MPa 0MPa 0MPa -10MPa 6
8.4 Estado Triplo de Tesões. θ Aalisemos o caso geral do estado de tesão em um poto de um corpo carregado ode se cohecem as tesões que atuam os três plaos ortogoais (, e z), e que sejam todas elas positivas (coforme idicado a figura ao lado). A tesão S, atuate em um plao qualquer, cuja ormal forma com os eios coordeados os âgulos diretores θ, θ e θ z, será determiada aalisado o equilíbrio das forças atuates a pirâmide elemetar mostrada, forças essas obtidas multiplicado as tesões pelas correspodetes áreas ode atuam. Desigado por da a área ode atua a tesão descohecida S (de compoetes S, S, e S z ) e por λ, µ e ν os co-seos diretores da ormal à essa área (sedo λ +µ +ν =1), podemos escrever, pelo equilíbrio das forças atuates a direção : σ z da S σ z z z z S z z σ θ z S Fig. 8.4.1 Estado triplo de tesões z θ θ S da = σ da cos θ + da cos θ + z da cos θ z ou seja: S = σ λ + µ + z ν... Procededo aalogamete para os eios e z, obtemos: S = λ + σ µ + z ν.... (8.4.1) S z = z λ + z µ + σ z ν. O sistema de equações lieares acima pode ser re-escrito a otação matricial, sob a forma compacta: S σ z λ S = S = σ z µ = { S }, ode { S } =, S z z z σ z ν σ z σ z z z σ z represeta o chamado tesor das tesões (tesor de ª. ordem*, com 9 compoetes escalares) que defie o estado de tesão o poto cosiderado. É importate recohecer que, para um determiado carregameto a que o corpo está submetido, um certo poto, o estado de tesão deverá ser ivariate quato à orietação do sistema de referêcia (,, z) utilizado para a avaliação de suas compoetes. * - um vetor é um tesor de 1ª. ordem (com 3 compoetes escalares), represetado por uma matriz colua, equato um escalar é um tesor de ordem zero (apeas uma compoete escalar). 7
Portato, apesar de as compoetes ij variarem coforme sejam orietados os eios do sistema de referêcia, o tesor {S } será um ivariate, represetativo do estado de tesão o poto cosiderado. Cohecido o vetor tesão (S = S i + S j + S z k ) atuate um plao defiido por seu vetor ormal ( = λ i + µ j + ν k ), podemos determiar o valor da compoete ormal σ, fazedo: σ = S. = S. λ + S. µ + S z. ν... (8.4.) A compoete tagecial será obtida fazedo: t = [(S ) + (S ) + (S z ) - (σ ) ] 1/...(8.4.3) Eemplo 8.4.1: Para o estado de tesões represetado a figura ao lado, pede-se determiar: a) a tesão ormal atuate o plao (1), perpedicular ao plao z, e que forma um âgulo de 30º com o plao ; 1 80MPa 30º b) a tesão tagecial um plao () cuja ormal forma âgulos iguais com os eios 40MPa coordeados (ão represetado). z 80MPa Solução: para o estado de tesão represetado teremos: σ = -80 MPa; z = z = +40MPa, sedo as demais compoetes da tesão todas ulas. O tesor das tesões será represetado como: -80 0 0 {S } = 0 0 +40 Para o plao (1) teremos: θ =90º; θ =10º; 0 +40 θ z =30º; 0 e λ = 0; µ = -0,500; ν = 0,866. 0,000 = -0,500, portato: S 1 = 0 i + (40 0,866) j + [40 (-0,500)] k, ou seja: 0,866 S = 0; S = 34,64MPa; S z = -0MPa; [S ] = [34,64 + (-0) ] 1/ = 40MPa (1) No plao (1) teremos: σ = [34,64 j + (-0) k ] [(-0,500) j + 0,866) k] = - 34,64MPa (compr.) t = (40 34,64 ) 1/ = 0MPa. Resp.(a) 34,6MPa (compressão) Para o plao () (ão represetado a figura),a igualdade dos âgulos diretores da ormal ao plao os permite cocluir que λ = µ = ν, e como λ + µ + ν = 1, λ = µ = ν = (1/3) 1/ = 0,57735 (θ = 54,73 0 ). S = (-80 0,57735) i + (40 0,57735) j + [40 (0,57735)] k = -46,19 i + 3,09 j + 3,09 k () σ = [ - 46,19 i + 3,09 j + 3,09 k ] (0,57735) [ i + j + k ] = 0 MPa. () t = (46,16 + 3,09 + 3,09 ) 1/ = 56,57MPa. Resp.(b) 56,6MPa 8
8.5 Tesões Pricipais. A simetria do tesor das tesões idica que eistirá uma especial orietação do sistema de eios,, z, para a qual a matriz represetativa das compoetes ficará diagoalizada, ou seja, 3 plaos perpediculares ode as tesões serão ormais (sem compoete tagecial), e com valores reais: σ z σ 1 0 0 σ z 0 σ 0 z z z σ z 0 0 σ 3 1 3 Estes são os chamados plaos pricipais, ode atuam tesões que lhe são perpediculares (tesões pricipais - σ p ), para as quais se pode re-escrever a equação (8.4.1) como: S = σ p λ = σ λ + µ + z ν; S = σ p µ = λ + σ µ + z ν; S z = σ p ν = z λ + z µ + σ z ν; já que tais tesões ão têm compoetes tageciais. O sistema pode ser escrito a forma de equações lieares homogêeas: (σ - σ p) λ + ( ) µ + ( z ) ν = 0 ( ) λ + (σ - σ p ) µ + ( z ) ν = 0 ( z ) λ + ( z ) µ + (σ z - σ p ) ν = 0 que terá soluções ão triviais (diferetes da λ = µ = ν = 0), se for ulo o determiate pricipal: (σ - σ p) ( ) ( z ) ( ) (σ - σ p ) ( z ) = 0 ( z ) ( z ) (σ z - σ p ) o que leva a uma equação do 3º grau em σ p, para a qual correspoderão três soluções (os auto-valores da trasformação, que correspodem às tesões pricipais - σ p1 > σ p > σ p3 ): σ p má σ p 3 - (σ +σ +σ z ) σ p +(σ σ + σ σ z +σ z σ - - z - z ) σ p - (σ σ σ z -σ - σ z - σ z + z z ) = 0 Obs. para determiação das raízes da equação cúbica visite o site: σ p3 σ p1 http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/15/raizes3g.htm A máima tesão tagecial ocorrerá o plao bissetor dos plaos 1 e 3, valedo: má = ½ (σ p1 - σ p3 ) 9
Eemplo 8.4.1 (cotiuação). Para o estado de tesão represetado o eemplo acima, pede-se determiar: a) as máimas tesões ormais de tração e de compressão; b) a máima tesão tagecial 80MPa 1 40MPa 3 Solução: o determiate da matriz pricipal igualado a zero forece: (-80-σ p ) (0) (0) (0) (0-σ p ) (40) = 0 e portato: (-80-σ p ) (σ p - 40 ) = 0, e (0) (40) (0-σ p ) σ p3 = (-80); σ p = (-40); σ p1 = (+40); 40MPa 80MPa má = ½ (σ p1 - σ p3 ) = ½ [40 (-80)] = 60MPa 8.6 Círculos de Mohr para o estado triplo 1-3 σ p σ p3 Seja um estado de tesão defiido pelas tesões pricipais σ p1, σ p, σ p3, coforme mostrado ao lado. Aalisado a variação da tesão em plaos perpediculares ao plao da tesão σ p3 (como os plaos 1- mostrados, girado com chareira o eio 3) obtem-se os mesmos resultados a que se chegou a aálise do estado duplo de tesões (já que a terceira tesão σ p3 ão iterfere o equilíbrio dos esforços ao logo dos eios e 3). Desta forma, obter-se-á um círculo de Mohr ( ) que represetará as tesões esses plaos. Da mesma forma, a aálise das tesões ocorretes os plaos perpediculares ao plao ode atua a tesão σ p (como os plaos 1-3 ) os levará ao círculo ( ), equato as tesões atuates em plaos perpediculares ao plao o qual atua a tesão σ p3 serão represetadas pelo círculo ( ). Demostra-se que, para plaos outros, o poto do plao de Mohr que represeta o par de valores de tesão (σ, ) atuates estará sobre a região hachurada (os chamados arbelos ). Fica evidete a figura que: _ σ p1 3 σ p3 σ p3 σ p σ p 1- -3 σ p1 1 σ + má = ½ (σ p1 - σ p3 )...(8.6.1) σ p1 Fig. 8.6.1 Círculos de Mohr para o estado triplo de tesões 10
Eemplo 8.6.1: Para os estados de tesão represetados, traçar os círculos de Mohr correspodetes. σ σ 3 σ 1 σ σ 3 σ 1 σ σ TRAÇÃO PURA TRAÇÃO SEMI-HIDROSTÁTICA σ σ 3 σ 1 σ σ 3 σ σ 1 σ COMPRESSÃO PURA ESTADO DUPLO DE TENSÕES σ 3 σ σ 1 σ σ 3 σ 1 σ σ CORTE PURO COMPRESÃO HIDROSTÁTICA 8.7 Aálise de deformações. Ao se aalisar o comportameto elástico dos materiais, buscado estabelecer relações de causa e efeito etre forças (tesões) e deformações (deformações específicas), deve-se recohecer que são as deformações as ações mecâicas que, promovidas em um corpo deformável, produzem, como coseqüêcia, as tesões despertadas o material, e ão o iverso (tesões como causadoras de deformações). No próprio esaio de tração produzido através máquia uiversal, verifica-se que a deformação (variação do comprimeto do corpo de prova) é a variável gerada de forma gradual e cotíua (medida diretamete como a variável livre do problema) equato a correspodete tesão é medida idiretamete (como uma variável depedete, fução da deformação). Ou seja, calculam-se os valores das tesões medido-se as deformações. A medição das deformações específicas logitudiais ocorretes em potos da superfície etera de corpos carregados (ode as tesões, em geral, atigem seus valores etremos) é feita através de pequeos aparelhos deomiados etesômetros (strai gages), costituídos por uma fita suporte aderete à superfície do corpo a qual é fiado um fio fio codutor padroizado e armado como mostra a figura 8.7.1 (em forma safoada). O aparelho é colado à superfície do corpo quado descarregado, orietado segudo uma direção que se quer medir a deformação (por eemplo ) e, após a aplicação da carga, o corpo se deforma produzido o alogameto do fio aquela direção, reduzido sua área de seção e gerado um aumeto de sua resistêcia ôhmica. Através de uma fote de tesão elétrica previamete calibrada, e medida a variação da correte elétrica correspodete, obtem-se a iformação desejada quato à compoete da deformação a direção estudada (ε ). 11 Fig - 8.7.1 - Etesômetros
Como se verá a seguir, cohecidas as deformações logitudiais específicas em duas direções perpediculares (ε, ε ) bem como a distorção(γ ) sofrida pelo par de eios, será possível determiar deformações específicas e distorções em quaisquer direções, obtedo-se iclusive seus valores etremos. A figura 8.7. mostra um elemeto, em forma de uma figura retagular, o etoro de um po- ε ds to da superfície de um corpo descarregado que, ao B C ser solicitado, sofre deformações as direções e, ε d bem como uma distorção gerado uma modificação a ortogoalidade desses eios, passado a figura a ds ter a forma do paralelogramo OABC idicado. d A diagoal do retâgulo origial, orietada uma direção que forma um âgulo θ com a direção, sofrerá uma elogação que poderá ser calcu- (π/) + γ θ A lada, utilizado a lei dos co-seos para o triâgulo O ε d OAB: d Fig - 8.7. Variação da deformação [(1 + ε ) ds] = [(1 + ε ) d] + [(1 + ε ) d] [(1 + ε ) d][ (1 + ε ) d] cos (π/ + γ ). Efetuado as simplificações, cosiderado os pequeos valores de ε e γ, bem como, sedo d/ds = cos θ, d/ds = se θ e cos (π/ + γ ) = - se γ ~ - γ obtemos: ε = ε cos θ + ε se θ + γ se θ cos θ... (8.7.1) Para a direção trasversal t, perpedicular à (θ t = θ + 90º) teremos: ε t = ε se θ + ε cos θ - γ cos θ se θ... (8.7.) Somado membro a membro as equações mostradas, observamos a ivariâcia da soma das deformações específicas para quaisquer duas direções perpediculares: ε + ε t = ε + ε (para qualquer θ, medido etre e )... (8.7.3) Por outro lado, a deformação específica logitudial a direção da bissetriz do quadrate formado pelos eios e (θ = 45º) será dada (de 8.7.1) por: (biss), (ε biss ), = ε (1/) + ε (1/) + γ (1/), de ode podemos cocluir que: γ = (ε biss ), (ε + ε )...(8.7.4) 45º (ε biss ), Cosiderado as relações se θ = se θ cos θ e cos θ = cos θ - se θ, teremos: ε ε 45º ε = ½ (ε + ε ) + ½ (ε - ε ) cos θ + ½ γ se θ... (8.7.5) 1
Para a direção trasversal (θ + 90º), como cos(θ + 180) = - cosθ e se(θ + 180)=-seθ: ε t = ½ (ε + ε ) - ½ (ε - ε ) cos θ - ½ γ se θ... (8.7.6) A deformação específica a direção bissetriz do quadrate formado pelos eios e t será obtida fazedo θ = θ + 45 em (8.7.5), obtedo-se, já que cos(θ + 90) = - se θ e se(θ + 90)= cos θ: (ε biss ),t = ½ (ε + ε ) - ½ (ε - ε ) seθ + ½ γ cos θ Levado em cota que de (8.7.4) teremos: γ t = - (ε + ε t ) + (ε biss ), t, e cosiderado a ivariâcia estabelecida em 8.7.3, podemos escrever: ½ γ t = - ½ (ε - ε ) se θ + ½ γ cos θ... (8.7.7) As equações (8.7.5) e (8.7.7) são formalmete idêticas às equações (8.1.3) e (8.1.4) obtidas quado da aálise das tesões, em relação às quais as equivalêcias são evidetes: Símbolo Gradeza Coveção de Siais Símbolo Gradeza Coveção de Siais σ + Deformação + Tesão ε específica logitudial Normal - - t Tesão Tagecial + - 1/ γ t Distorção Valedo-os dos resultados já obtidos a aálise das tesões o estado duplo, através do estudo de sua variação com a orietação do plao da seção e de seus valores etremos alcaçados, podemos cocluir que: As deformações logitudiais pricipais (máima ε 1, e míima ε ) ocorrem em duas direções perpediculares etre si, em relação às quais ão há distorção (γ 1 = 0) e que valerão: ε 1 = (ε + ε )/ + {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/... (8.7.8) ε = (ε + ε )/ - {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ orietadas em relação ao eio tomado como referêcia através de dois âgulos complemetares dados por: tg θ P = γ / (ε - ε )... (8.7.9) A distorção máima ocorre as direções bissetrizes das direções pricipais, atigido o valor: γ má / = +/- {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/...(8.7.10) Nessas duas direções, as deformações específicas logitudiais são iguais, valedo: ε méd = (ε + ε )/ + - 13
Uma represetação gráfica da variação das deformações com a orietação da direção aalisada através do CÍRCULO DE MOHR também pode ser utilizada, traçado o plao de Mohr, tedo como eio das abscissas as deformações logitudiais ε (positivas, marcadas para a direita, se de elogação e egativas, marcadas para a esquerda, se de ecurtameto à semelhaça com a coveção para as tesões ormais) e o eio das ordeadas a metade da distorção (1/ γ )- marcada para cima, quado o eio gira o setido horário e marcada para baio quado o giro é o setido ati-horário a semelhaça com a coveção para as tesões cisalhates). ε d d O ½ γ ds θ d ε ds ε d Através da mecâica eperimetal verifica-se que a medida direta dos pequeos âgulos de distorção (γ ) é impraticável. Usa-se, etão, o epediete de se medir a deformação logitudial ao logo de uma terceira direção, através de um arrajo de etesômetros deomiado roseta, obtedo-se, idiretamete, o valor da distorção. Medido-se as deformações logitudiais em três direções (a, b, c) que formam âgulos θ a, θ b, θ c, com uma dada direção - fig-8.7.4 (A), de (8.7.1) podemos escrever: ε a = ε cos θ a + ε se θ b + γ se θ a cos θ a ε b = ε cos θ b + ε se θ b + γ se θ b cos θ b ε c = ε cos θ c + ε se θ c + γ se θ c cos θ c (π/) + γ ½ γ ½ γ ε pólo ε ε médio ε ε1 Fig-8.7.3 Círculo de Mohr para as deformações. Deformações pricipais. Distorção máima. Trata-se de um sistema de 3 equações a 3 icógitas que, resolvido, permite a obteção dos valores das icógitas ε, ε e γ. A figura 8.7.11 (B) (C) ( ) mostra algus modelos de rosetas ormalmete utilizadas, destacadose a tipo (B) que, diretamete, forece os valores de ε e ε equato que a leitura do terceiro sesor a 45 (ε biss ), permite obter o valor de γ através da equação 8.7.4. ½ γ má ½ γ Eemplo 8.7.1 São medidas as deformações específicas a superfície de um elemeto estrutural em três direções defasadas de 10º (roseta em delta), obtedo-se os valores: ε 0 = + 800µ; ε 10 = + 600µ; ε 40 = - 00µ. Pede-se: a) as máimas deformações (positiva e egativa) e a máima distorção; b) o âgulo etre a direção da fibra mais alogada e a direção do sesor base (0); c) mostrar que para uma roseta deste tipo a soma das leituras dos três sesores idepede da orietação de seu posicioameto. d) esboçar o círculo de Mohr correspodete ao estado de deformação o poto cosiderado. 14 (A) γ/ c 10º (C) 10º b θ b Fig. 8.7.4 Rosetas de deformação. a 10º 45º ε (B) ( )
Solução: para a roseta em (adotado o eio segudo a direção do sesor base 0), teremos: + 800 = ε + 600 = ε cos 10 + ε se 10 + γ se 10 cos 10 = 800 (0,5) + (0,75) ε - (0,4330) γ 00 = ε cos 40 + ε se 40 + γ se 40 cos 40 = 800 (0,5) + (0,75) ε + (0,4330) γ Somado membro a membro as 3 equações obtemos: ε 0 + ε 10 + ε 40 = 1,5 ε + 1,5 ε = 1,5 (ε + ε ) = 3 ε médio (idepedete da orietação da roseta - resposta c). Resolvedo o sistema obtemos: ε = 800µ; ε = 0µ γ = - 93,8µ. De 8.7.8 e 8.7.10 obtemos: ε 1 = (ε + ε )/ + {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = 800 / + [(800/) + (93,8/) ] 1/ = 1.011 µ ε = (ε + ε )/ - {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = 800 / - [(800/) + (93,8/) ] 1/ = - 11 µ γ má / = {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = - [(800/) + (93,8/) ] 1/ = 611,0µ ; γ má = 1. µ Os âgulos etre os eios pricipais de deformação e o eio de referêcia () serão dados por 8.7.9: tg θ P = γ / (ε - ε ) = -93,8/800 =-1,155 θ P = -54,56 ou + 15,4; θ P1 = -7,3 e θ P = + 6,7º; O esboço do círculo de Mohr correspodete ao estado de deformação em estudo é apresetado a figura ao lado. * (ver NOTA a seguir, ode se cosiderará a eistêcia da deformação a 3ª direção (ε 3 perpedicular à superfície, devido ao efeito Poisso) γ/ Pólo 400 00-00 00 400 600 800 ε 1 Medidas as deformações específicas através dos etesômetros e cohecidas as propriedades elásticas do material (E, G, ν) será possível determiar o estado de tesões o poto cosiderado. A- través da lei de Hooke geeralizada epressa pelas equações 1.7.4, temos: ε = (1/E) [σ - ν (σ + σ z )]; ε = (1/E) [σ - ν (σ z + σ )]; ε z = (1/E) [σ z - ν (σ + σ )]. Resolvedo o sistema para eplicitar as tesões em fução das deformações obtemos: σ = [E/(1+ν)(1-ν)][(1-ν)ε + ν(ε + ε z )] σ = [E/(1+ν)(1-ν)][(1-ν)ε + ν(ε z + ε )]... (8.7.11) σ z = [E/(1+ν)(1-ν)][(1-ν)ε z + ν(ε + ε )] Tratado-se de um estado duplo de tesões (σ z = 0) teremos: ε z = [-ν/(1-ν)](ε + ε )... (8.7.1) Covém observar que, apesar de, a superfície etera do corpo, ode o estado de tesão é duplo, a tesão seja ula, o efeito Poisso provoca deformações a 3ª direção, perpedicular à superfície. Neste caso as equações 8.7.11 combiadas com 8.7.1 se reduzem a σ = [E/(1-ν )][(ε + νε ]... (8.7.13) 15
σ = [E/(1-ν )][(ε + νε ] *NOTA o eemplo 8.7.1, supodo que o material fosse aço (ν = 0,30) teríamos: ε 3 = [-ν/(1-ν)](ε + ε ) = (-0,3/0,7)(800 + 0) = -34,8µ. Portato, a distorção máima teria o valor: ε p1 - ε p3 =1.011 (-34,8) = 1.354µ (e ão o valor ateriormete obtido 1.µ) Eemplo 8.7. Na superfície da peça de aço esquematizada, (E=00GPa e ν = 0,300), é istalada uma roseta e medidas as deformações: ε 0 = +480µ; ε 45 = 10µ; ε 90 = +80µ Pede-se determiar as máimas tesões ormais de tração e de compressão bem como a máima tesão tagecial. Solução: utilizado a equação 8.7.4 γ = (ε biss ), - (ε + ε ) = (-10) - (480 + 80) = -800µ Da eq. 8.7.8, ε 1 = (ε + ε )/ + {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = 80 + 447, = 77, µ ε = (ε + ε )/ - {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = 80 56,1 = - 167, µ Da eq. 8.7.10, γ má / = {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = 447, µ ; γ má = 894,4 µ O resultado poderia ter sido obtido às custas do círculo γ/ de Mohr, cosiderado que para uma roseta a 45º, ε ε 0 = ε C + R cos ϕ...(a) 45 R ε 45 = ε C + R cos (ϕ+90) = ε C - R se ϕ...(b) ϕ ε ε 90 = ε C + R cos (ϕ+180) = ε C - R cos ϕ...(c) De (a)+(c) ε c = ½ (ε 0 + ε 90 ) = 80 µ ε 90 De (a) + (b) R = (ε 0 ε c ) + (ε c ε 45 ) = ε C = ½ {(ε 0 ε 90 ) + [ε 45 - (ε 0 + ε 90 )] } = ε 0 = 1/() 1/ [(ε 0 -ε 45 )] + (ε 45 ε 90 ) ] = (447, µ) Das eq. 8.7.13, aplicadas às direções pricipais, obtemos σ 1 = [E/(1-ν )][(ε 1 + νε ] = [0010 9 /(1-0,30 )][77, + 0,30(-167,)]10-6 = 148,8MPa;(Resp.) σ = [E/(1-ν )][(ε + νε 1 ] = [0010 9 /(1-0,30 )][-167, + 0,30(77,)]10-6 = 11,MPa; má = ½ (σ p1 - σ p ) = 68,8 MPa, valor que poderia ser obtido cosiderado as equações 1.7.5 e 1.7.6: má = G γ má = E / (1 + ν) γ má = (0010 9 /,6)894,410-6 = 68,8 MPa. (Não há compressão) Por outro lado, se cosiderarmos a eistêcia de deformação (ε 3 ) a direção perpedicular à superfície etera do corpo (ode foi fiada a roseta), teremos: ε 3 = [-ν/(1-ν)](ε + ε ) = (-0,3/0,7)(480 + 80) = - 40µ. A distorção máima terá o valor: γ má = ε p1 - ε p3...(8.7.14), que, o caso, valerá: γ má =77, (-40) = 967,µ (e ão o valor ateriormete obtido 894,4µ). A máima tesão tagecial teria, portado, o valor: má = G γ má = E / (1 + ν) γ má = (0010 9 /,6)967,10-6 = 74,4 MPa (Resp.)(e ão 68,8MPa ateriormete calculado). 16
Os resultados obtidos podem ser bem visualizados através da represetação gráfica dos círculos de Mohr correspodetes aos estados de deformação (cosiderado como triplo) e de tesão (cosiderado como triplo, tedo tesão ula a terceira direção). γ/ (MPa) (µ) 400 100 ε P3 00 00 400 600 800 ε P1 ε (µ) σ P3 =0 50 σ P1 50 100 150 00 σ (MPa) ε P σ P Eercício proposto: mostre, utilizado o círculo de Mohr (defiido pela coordeada de seu cetro ε o e por seu raio R) que, para as rosetas abaio represetadas: γ/ ε o R ε 135º 90º 10º 10º b c a ε o = ½ (ε a +ε b ) R = ½ [(ε a -ε c ) + (ε b -ε c ) ] b c a ε o = ⅓ (ε a +ε b +ε c ) R = / 9[(ε a -ε b ) +(ε b -ε c ) +(ε c -ε a ) ] 17
Fig. 8.7.5 Roseta a 45 istalada a superfície etera de tubulação de parede fia, submetida a pressão e a torção. Equipameto utilizado o laboratório da Uff pelos aluos do curso de egeharia mecâica o ao 003. 18