Trigonometria Parte I 1 (Uerj 01) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas AB= CD= EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, h 1, h e h, conclui-se que h + h é igual a: 1 a) h b) h c) h No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 0 com a direção AB Após a embarcação percorrer 1000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60 com a mesma direção AB Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a: a) 500 b) 500 c) 1000 d) 1000 4 (Uerj 000) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica d) h (Uerj 004) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema a seguir A altura da torre, em metros, equivale a: a) 96 b) 98 c) 100 d) 10 Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 10 cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 5 cm e 5 cm De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor: a) 10 b) 1 c) 1 d) 14 5 (Uerj 000) Observe a figura abaixo: (Uerj 00) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura a seguir wwwsoexatascom Página 1
Ela representa um papel quadrado ABCD, com 10 cm de lado, que foi dobrado na linha AM, em que M é o ponto médio do lado BC Se, após a dobra, A, B, C, D e M são coplanares, determine: a) a distância entre o ponto B e o segmento CD; b) o valor de tgθ d) 5 < θ< 10 e) 0 < θ< 150 (Insper 014) Considere o quadrilátero convexo ABCD mostrado na figura, em que AB= 4cm, AD= cm e  = 90 Parte II 1 (Fuvest 01) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre 75 ac e 195 ac Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo ˆ ABC e BD= BC, então a medida do lado CD, em centímetros, vale a) b) 10 c) 11 d) e) 15 4 (Insper 014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos AP e AQ têm medidas iguais a α e β, respectivamente, com 0 < α < β< O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são (Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria 900 km; = ) a) junho; 7 b) dezembro; 7 c) junho; d) dezembro; e) junho; 0, (Fuvest 014) O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado Sendo θ a medida do ângulo AOB, ˆ pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados: tg 14 0,49, tg 15 0,679 tg 0 0,640, tg 8 0,517 a) 14 < θ< 8 b) 15 < θ< 60 c) 0 < θ< 90 Sabendo que cosα = 0,8, pode-se concluir que o valor de cosβ é a) 0, 8 b) 0, 8 c) 0, 6 d) 0, 6 e) 0, 5 (Insper 014) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei wwwsoexatascom Página
4 4 f(x) = (sen x+ cos x) (sen x cos x) O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a a) 5 1 b) 4 9 c) 8 d) 5 6 e) 6 (Unicamp 014) Seja x real tal que cos x = tg x O valor de sen x é a) 1 b) 1 c) 5 1 d) 1 5 7 (Unesp 014) O conjunto solução (S) para a inequação cos x+ cos(x) >, em que 0< x <, é dado por: a) S= x (0, ) 0< x< ou 5 < x< 6 6 b) S= x (0, ) < x< c) S= x (0, ) 0< x< ou < x< 5 d) S= x (0, ) < x< 6 6 S= x (0, ) e) { } 8 (Unifesp 01) A sequência (1,a,b), denominada S 1, e a sequência (c,d,e), denominada S, são progressões aritméticas formadas por números reais a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S 1, a nova sequência de três números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente Calcule a razão dessa PG b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S, a nova sequência que se forma tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero Determine a razão r de S, para o caso em que < r < 9 (Unifesp 01) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de lado 6cm, conforme indica a figura Sabe-se ainda que: P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH; Q pertence à aresta EH; T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG da face EFGH; RF é um arco de circunferência de centro E a) Calcule a medida do arco RF, em centímetros b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, em cm Parte III 1 (Ufjf 01) Dois estudantes I e II desejam medir a altura, H, de um prédio, utilizando-se de conhecimentos matemáticos Distanciados um do outro de x metros, os estudantes fazem visadas atingindo a ponta da antena de altura h situada no topo do prédio, segundo os ângulos α e β, representados no esboço abaixo Obtenha a altura H da torre, em função de α, β, h e x wwwsoexatascom Página
(Ufjf 01) Considere dois triângulos ABC e DBC, de mesma base BC, tais que D é um ponto interno ao triângulo ABC A medida de BC é igual a 10 cm Com relação aos ângulos internos desses triângulos, sabe-se que DBC ɵ = BCD, DCA = 0º, DBA ɵ = 40º, BAC = 50º Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB= 80 m De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: a) 160 m b) 80 m c) 16 m d) 8 m a) Encontre a medida do ângulo BDC b) Calcule a medida do segmento BD 6 c) Admitindo-se tg (50º ) =, determine a medida do 5 segmento AC (Ufjf 01) A figura abaixo representa um rio plano com margens retilíneas e paralelas Um topógrafo situado no ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura desse rio Ele avista dois pontos fixos B e C na margem oposta Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo ângulos de 60 e 0, respectivamente, medidos no sentido anti-horário a partir da margem em que se encontra o ponto A Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual é a largura do rio? a) 50 m b) 75 m c) 100 m d) 150 m e) 00 m e) m 5 (Ufjf 011) Considere um triângulo ABC retângulo em C e α o ângulo BAC ˆ 1 Sendo AC= 1 e sen( α ) =, quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo? a) b) c) 10 d) 4 e) 6 (Ufjf 011) Na figura a seguir, considere o retângulo ABDG Sejam C e E pontos dos segmentos BD e DG, respectivamente, e F um ponto do segmento EC 4 (Ufjf 01) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: Sabendo que AB= cm, BC= 1cm, BÂF= 45 e DCE ˆ = 0, determine a medida do comprimento do segmento CF wwwsoexatascom Página 4
7 (Ufjf 007) Considere as funções f, g e h definidas a seguir e os gráficos apresentados I f : IR IR, f (x) = sen (x) II g : IR IR, g (x) = sen x III h : IR IR, h (x) = sen (-x) A associação que melhor corresponde cada função ao seu respectivo gráfico é: a) I - A, II - B e III - C b) I - A, II - C e III - B c) I - B, II - A e III - C d) I - B, II - C e III - A e) I - C, II - A e III - B 8 (Ufjf 007) Os lados AB e AC de um triângulo ABC formam um ângulo α, tal que cos α = 1 Sabe-se que a medida do lado BC é igual a cm e que a medida do lado AC é o triplo da medida do lado AB Sendo β o ângulo formado entre os lados AC e BC, podemos afirmar que: a) â < 0 0 e a medida do lado AB é um inteiro par b) â < 0 e a medida do lado AB é um inteiro ímpar c) 0 â < 45 e a medida do lado AB é um inteiro par d) 0 â < 45 e a medida do lado AB é um inteiro ímpar e) 45 â < 60 e a medida do lado AB é um inteiro par a) 45 b) 90 c) 180 d) 70 e) 60 11 (Ufjf 006) Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 1/1 O cosseno desse ângulo é igual a: a) 5/1 b) 1/1 c) - 5/1 d) - 1/1 e) - 1/1 1 (Ufjf 006) Considere uma circunferência de raio R e três circunferências menores de raio r tangentes internas a ela e tangentes externas entre si A razão entre os raios R e r é: a) b) + c) d) e) + 1 1 (Ufjf 00) 9 (Ufjf 007) Considere a função f : [0, ] IR definida por f(x) = + cos x a) Determine todos os valores do domínio da função f para os quais f(x) / b) Seja g : [0, ] IR a função definida por g(x) = x Determine a função composta h = fog, explicitando sua lei de formação, seu domínio e contradomínio c) Verifique que a lei da função composta h pode ser escrita na forma h(x) = - sen x 10 (Ufjf 006) Dois ângulos distintos, menores que 60, têm, para seno, o mesmo valor positivo A soma desses ângulos é igual a: Num terreno em forma de um trapézio ABCD, com ângulos retos nos vértices A e B, deseja-se construir uma casa de base retangular, com 8 metros de frente, sendo esta paralela ao limite do terreno representado pelo segmento AD, como mostra a figura O código de obras da cidade, na qual se localiza este terreno, exige que qualquer construção tenha uma distância mínima de metros de cada divisa lateral Sendo assim, para aprovação do projeto da casa a ser construída, é necessário que sua frente mantenha uma distância mínima do limite representado pelo segmento AD de: wwwsoexatascom Página 5
a) m b) 4 m c) 6 m d) 8 m e) 10 m 14 (Ufjf 00) O valor de y = sen 10 + sen 0 + sen 0 + sen 40 + sen 50 + sen 60 + sen 70 + sen 80 + sen 90 é: a) -1 b) 1 c) d) 4 e) 5 15 (Ufjf 00) A uma tela de computador está associado um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no canto inferior esquerdo Um certo programa gráfico pode ser usado para desenhar na tela somente retas de inclinações iguais a 0, 0, 45, 60 e 90 em relação ao eixo horizontal Então, considerando-se os pontos a seguir, o único que NÃO pode estar sobre uma reta, a partir da origem, desenhada por este programa é: a) (0, 10 ) b) (10, 0) c) (10, 10 ) d) (10, ) e) (10, 10) 16 (Ufjf 00) Se θ for um ângulo tal que 0 < θ < 90 e cosθ<1/5, é CORRETO afirmar que: a) 0 < è < 0 b) 0 < è < 45 c) 45 < è < 60 Parte IV 1 (Uerj 010) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano d) 60 < è < 75 e) 75 < è < 90 17 (Ufjf 00) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 00 metros do edifício e mediu um ângulo de 0, como indicado na figura a seguir Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em metros, é: Use os valores: sen0 = 0,5 cos0 = 0,866 tg0 = 0,577 a) 11 b) 115 c) 117 d) 10 e) 14 O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A Considere que: o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas; à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y = 4 + sen(x) b) y = 4 + cos(x) c) d) y = sen(x) + 16 cos (x) y = cos(x) + 16 sen (x) (Uerj 009) Observe a curva AEFB desenhada a seguir wwwsoexatascom Página 6
Analise os passos seguidos em sua construção: 1º) traçar um semicírculo de diâmetro AB com centro C e raio cm ; º) traçar o segmento CD, perpendicular a AB, partindo do ponto C e encontrando o ponto D, pertencente ao arco AB ; º) construir o arco circular AE, de raio AB e centro B, sendo E a interseção com o prolongamento do segmento BD, no sentido B para D ; 4º) construir o arco circular BF, de raio AB e centro A, sendo F a interseção com o prolongamento do segmento AD, no sentido A para D ; 5º) desenhar o arco circular EF com centro D e raio DE Determine o comprimento, em centímetros, da curva AEFB (Uerj 009) Considere o teorema e os dados a seguir Se α, β e α+ β são três ângulos diferentes de + k, k Z, então tgα+ tgβ tg( α+ β) = 1 (tg α)(tg β) a, b e c são três ângulos, sendo tgb= e 4 tg(a+ b+ c) = 5 Calcule tg(a - b + c) 4 (Uerj 006) No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de centro O e raio R O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q Considerando = 1,4, quando um dos atletas tiver percorrido /4 do seu trajeto de A para B, a distância entre eles será igual a: a) 0,4 R b) 0,6 R c) 0,8 R d) 1,0 R 5 (Uerj 006) O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no período da colheita, mais alto na entressafra Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja dado pela função P(t) = 0,8 sen [(ð/60) (t-101)] +,7, na qual t é o número de dias contados de 1 0 de janeiro até 1 de dezembro de um determinado ano Para esse período de tempo, calcule: a) o maior e o menor preço do quilograma de tomates; b) os valores t para os quais o preço P seja igual a R$,10 Parte V 1 (Unicamp 014) Seja x real tal que cos x = tg x O valor de sen x é a) 1 b) 1 wwwsoexatascom Página 7
c) 5 1 d) 1 5 e) 4,0 4 (Fgv 01) No círculo trigonométrico de raio unitário indicado na figura, o arco AB mede α Assim, PM é igual a (Fuvest 01) Sejam α e β números reais com < α < e 0 < β< Se o sistema de equações, dado em notação matricial, 6 tgα 0, 6 8 = cosβ for satisfeito, então α+ β é igual a a) b) 6 c) 0 d) 6 e) (Unesp 01) A caçamba de um caminhão basculante tem m de comprimento das direções de seu ponto mais frontal P até a de seu eixo de rotação e 1m de altura entre os pontos P e Q Quando na posição horizontal isto é, quando os segmentos de retas r e s se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 1, m do solo Ela pode girar, no máximo, α graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte traseira inferior, conforme indicado na figura a) 1 tg α b) 1 cosα c) 1+ cosα d) 1+ senα e) 1+ cotg α 5 (Unicamp 01) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15 A,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a),8 tan (15 ) km b),8 sen (15 ) km c),8 cos (15 ) km d),8 sec (15 ) km Dado cos α = 0,8, a altura, em metros, atingida pelo ponto P, em relação ao solo, quando o ângulo de giro α for máximo, é a) 4,8 b) 5,0 c),8 d) 4,4 wwwsoexatascom Página 8