MATEMÁTICA FINANCEIRA MATERIAL DE APOIO

MATEMÁTICA FINANCEIRA MATERIAL DE APOIO SOBRAL-CEARÁ 1

DISCIPLINA: Matemática Financeira CARGA HORÁRIA: 60 h/a Ementa: Funções de 1º e 2º grau. Conjuntos e subconjuntos. Exponencial e logaritmos. Matrizes e sistemas lineares. Limites e continuidades. Diferenciação. Integração simples. Funções de várias funções. Juros simples e compostos. Taxas de juros. Valor atual e montante. Séries de pagamentos: uniforme, gradiente, perpétua e variável. Empréstimos. Procedimentos básicos da matemática financeira que auxiliam no processo de gestão dos negócios: capital, juros e montante. O valor do dinheiro no tempo, os regimes de capitalização, a remuneração do capital, a taxa e o prazo de retorno do investimento. 2

SUMÁRIO 1 PROPORÇÃO E PORCENTAGEM... 04 1.1 Proporção... 04 1.2 Porcentagem... 05 2 ELEMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA... 07 2.1 Compatibilidade dos dados... 08 2.3.1 Exemplos importantes... 09 2.3 Fluxo de caixa... 11 2.3.2 Analisando operações no gráfico... 14 3 JUROS SIMPLES... 15 3.1 Montante simples... 17 3.2 Cálculos e fórmulas com juros simples... 19 3.3 Proporcionalidade de taxas de juros... 20 4 OPERAÇÃO DE DESCONTO... 20 4.1 Desconto racional ou por dentro com juros simples... 21 4.2 Equivalência de capitais... 23 4.3 Desconto Comercial ou por fora e Bancário... 25 4.5 Cálculo e fórmulas com descontos comercial... 26 4.6 O desconto bancário... 27 5 JUROS COMPOSTOS... 28 5.1 Juros sobre juros... 28 5.2 Cálculos e fórmulas com juros compostos... 30 5.3 Equivalência de capitais... 31 5.4 Equivalência de taxas de juros... 32 6 TAXAS... 33 7 SÉRIES DE PAGAMENTOS... 35 8 EXERCÍCIOS PARA REVISAR... 38 8 REFERÊNCIAS... 43 3

1 PROPORÇÃO E PORCENTAGEM 1.1 Proporção Def. 01: Dizemos que duas variáveis x e y são diretamente proporcionais, quando satisfazem à relação y = kx ou Y/X = K, onde k é uma constante positiva chamada constante de proporcionalidade. A relação y = kx nos permite dizer que: i) x 0 y 0 ii) x 1 < x 2 y 1 < y 2 (pois k > 0) y 1 iii) y1 = kx1 = x1 y 2 y 2 = kx 2 = k x 2 k } y 1 = x 1 y x 2 2 Ex: Se 350 metros de tecidos custam R$ 297,50, quantos metros do mesmo tecido compraria com R$ 442,00? 297,5 350 = 442 m = 520m m Ex: Um litro de água do mar contém 25g (0,025kg) de sal. Quantos litros de água devem ser evaporados para se obter 8kg de sal? 0,025 1 = 8 L = 320L L 4

1.2 Porcentagem escrita na forma percentual. Quando em uma proporção direta a constante de proporcionalidade está i k =, dizemos que y é i por cento de x. 100 i Usamos a noção = i%, a qual chamamos razão percentual ou taxa 100 i Se y = i% de x, então y = x 100 y x i = 100 Ex: Calcular 30% de 200. 30 y = 200 y = 60 100 Def.02: Dizemos que duas variáveis x e y são inversamente proporcionais, quando a relação xy = k ou k y = é satisfeita, onde k é a constante de proporcionalidade. x x 1 y 1 = y 2 x 2 Ex: Para percorrer a distância entre duas cidades, a 80 km/h são necessários 3 horas. Em quantas horas farei o mesmo trajeto a 60 km/h? x = 2 x 1 y 1 = y 2 x 2 80*3 = 60*x 2 80*3 60 = 4 horas 5

Ex: Se 30 operários fazem um muro em 12 dias, em quantos dias 20 operários fariam o mesmo muro: x 1 y 1 = y 2 x 2 30*12 = 20*x 2 x = 30*12 = 18 dias 2 20 Def.03: Dado um número qualquer de variáveis x, y, z, r, s, t e w. Se x = k yzr stw, onde k é uma constate positiva, então dizemos que x é diretamente proporcional a y, z e r; e inversamente proporcional a s, t e w, e k é a constante de proporcionalidade. Essa relação de proporcionalidade é uma generalização das duas anteriores. Quando dizemos, por exemplo, que x é diretamente proporcional a y, estamos imaginando todas as variáveis z, r, s, t e w constantes; Ex: Se 10 homens trabalhando 6 horas por dia, durante 60 dias, montam 90 televisores, em quantos dias, 12 homens trabalhando 8 horas por dia montarão 192 televisores? 90 192 10*60*6 3600 90 3600 = = = 0,46875 45x = 3600 x = 80 dias 12* x*8 96x 192 96x Ex: Uma transportadora cobra vinte mil reais para transportar 50 toneladas a uma distância de 200 km. Quanto deverá cobrar para transportar 10 toneladas a 400 km? 20000 50* 200 20000 10000 20000 10 = = = x = 8000 x 10*400 x 4000 x 4 6

2 ELEMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos. Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV. Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas. Regime Simples Compostos Processo de funcionamento Somente o principal rende juros. Após cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros sobre juros. Notações comuns que serão utilizadas neste material C Capital n j J r número de períodos juros simples decorridos n períodos juros compostos decorridos n períodos taxa percentual de juros i taxa unitária de juros (i = r / 100) 7

P Principal ou valor atual M Montante de capitalização simples S Montante de capitalização composta 2.1 Compatibilidade dos dados Transações financeiras envolvem duas variáveis-chaves: dinheiro e tempo. Como o presente é certo e o futuro duvidoso, deve sempre existir alguma compensação para as incertezas futuras. O valor do dinheiro no tempo resulta de alguns componentes básicos, apresentados como: Risco: sempre existe a possibilidade de os planos não ocorrerem conforme o previsto. De outro modo, sempre haverá o risco de não receber os valores programados em decorrência de fatos imprevistos. Utilidade: o investimento implica deixar de consumir hoje para consumir no futuro, o que somente será atraente se existir alguma compensação; Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles no presente permite aproveitar oportunidades mais rentáveis que surjam. Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes ou homogêneos. Situações onde isto não ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões de unidades. Exemplo: Na fórmula F(i,n) = 1 + i n a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de tempo que o número de períodos n, ou seja, se a taxa é i=0,05 ao mês, então n deverá ser um número indicado em meses. 8

2.3 Fluxo de caixa Fluxo de caixa é um objeto matemático que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e os efeitos da análise de uma certa aplicação, que pode ser um investimento, empréstimo, financiamento, etc. Normalmente, um fluxo de caixa contém Entradas e Saídas de capital, marcadas na linha de tempo com início no instante t=0. Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de R$1.000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6º. mês quer-se conhecer o Valor Futuro da reunião destes depósitos. Valor Presente Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado. Um típico exemplo é o gráfico: 9

Que representa um empréstimo bancário realizado por uma pessoa de forma que ela restituirá este empréstimo em n parcelas iguais nos meses seguintes. Observamos que E o é o valor que entrou no caixa da pessoa (o caixa ficou positivo) e S 1, S 2,..., S n serão os valores das parcelas que sairão do caixa da pessoa (negativas). No Fluxo de Caixa do banco, as setas têm os sentidos mudados em relação ao sentidos das setas do Fluxo de Caixa da Pessoa. Assim: O fato de cada seta indicar para cima (positivo) ou para baixo (negativo), é assumido por convenção, e o Fluxo de Caixa dependerá de quem recebe ou paga o Capital num certo instante, sendo que: 1. t=0 indica o dia atual; 2. E k é a Entrada de capital num momento k; 3. S k é a Saída de capital num momento k. 10

2.3.1 Exemplos importantes Na sequência, iremos apresentar uma coleção de situações e construiremos os Fluxos de Caixa das mesmas. Tais situações são muito comuns nas operações financeiras. 1. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$11.000,00 daqui a um mês. 2. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará em duas parcelas iguais e seguidas de R$6.000,00 a partir do próximo mês. 3. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 5.500,00 em 30 dias e R$6.500,00 em 60 dias. 11

4. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 1.000,00 em 15 parcelas iguais a partir do mês seguinte. 5. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará em 24 parcelas de R$ 876,54 a partir do mês seguinte. 6. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará o mesmo em 24 parcelas de R$ 840,00 a partir de hoje. 12

7. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga a partir do mês seguinte. 8. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga já no momento inicial. 13

2.3.2 Analisando operações no gráfico Por exemplo, a compra a prazo de uma geladeira que custa a vista R$ 1.000,00 pode ser paga em duas parcelas mensais (entrada no ato) no valor de $ 600,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja? Já que foi pago $ 1.200,00 (duas parcelas de $ 600,00) para um bem financiado no valor de $ 1.000,00, a taxa seria igual a 20%. Embora intuitivo, o raciocínio está errado. Na verdade, ao comprar e receber um bem no valor de $ 1.000,00, o cliente já havia pagado a entrada de $ 600,00. Logo, financiou APENAS a diferença no valor de $ 400,00, comprometendo-se a pagar $ 600,00 um mês depois. Assim, a taxa de juros incidente sobre a operação foi igual a 50% [ = ((600/400)-1) x 100]. Como na data zero existem dois valores, um positivo igual a R$ 1.000,00 e um negativo igual a $ 600,00, ambos poderiam ser representados por um valor líquido igual a $ 400,00. 14

3 JUROS SIMPLES Pelo desejo das pessoas, de consumir hoje o que só poderia adquirir amanhã é que surge a idéia do empréstimo de capital e com ela apareceu o juro como a remuneração pelo uso do capital. Se eu tomo por empréstimo um capital e pretendo restituí-lo posteriormente, eu devo pagar pelo uso desse capital, durante todo o tempo que dele disponha uma quantia diretamente proporcional ao capital e também ao tempo. Esse pagamento é o que chamamos de juro, que pode ser definido como pagamento pelo uso do poder aquisitivo por um determinado período de tempo. A remuneração do capital, do ponto de vista da rentabilidade, pode ser feita de duas maneiras: i) Aplicação com riscos, quando o capital é empregado sem o conhecimento prévio de sua rentabilidade, ficando seus rendimentos por conta da oscilação do mercado. ii) Aplicação sem riscos, quando o capital é empregado com a certeza de um ganho percentual pré-estabelecido sobre o capital empregado. O juro é a forma de rendimento do capital que mais caracteriza essa aplicação sem riscos, e o percentual aplicado sobre o capital para o cálculo do juro é chamado taxa de juros, que representamos por i. 1. Se n é o número de períodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os juros simples são calculados por: j = P i n Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por: j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00 2. Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituímos i por r/100 e obtemos a fórmula: 15

j = P r n / 100 Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por: j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00 3. Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula: j = P r m / 100 Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por: j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00 4. Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter os juros exatos (número exato de dias) ou comerciais simples com a fórmula: j = P r d / 100 Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de 0,02% ao dia são dados por: j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00 Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por: j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50 Podemos escrever a fórmula do juro simples da seguinte forma: j = VP.i.n 16

Geralmente, a taxa costuma ser apresentada ao dia, ao mês, ao bimestre, ao trimestre, ao quadrimestre, ao semestre ou ao ano. Para simplificar a notação, os períodos costumam ser abreviados. Abreviatura a.d. a.d.u. a.m. a.b. a.t. a.q. a.s. a.a. Significado Ao dia Ao dia útil Ao mês Ao bimestre Ao trimestre Ao quadrimestre Ao semestre Ao ano Em relação aos períodos anuais, as operações financeiras costumam considerar diferentes números de dias em um ano. Duas convenções são empregadas: Ano civil ou exato: formado por 365 dias; Ano comercial: formado por 360 dias. 3.1 Montante simples Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas: M = P + j = P (1 + i n) ou VF = P + j Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 17

Objetivo: M=2P Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in) Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo n = 2/3 ano = 8 meses Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano? Contagem do tempo: Período De 10/01 até 31/01 De 01/02 até 28/02 De 01/03 até 31/03 De 01/04 até 12/04 Total Número de dias 21 dias 28 dias 31 dias 12 dias 92 dias Fórmula para o cálculo dos juros exatos: j = P r (d / 365) / 100 Cálculo: j = (1000 100 92/365)/100 = 252,05 18

3.2 Cálculos e fórmulas com juros simples Da fórmula original de capitalização do valor futuro (VF) poderiam ser extraídas outras fórmulas, que permitam a obtenção direta do valor presente (VP), taxa ou períodos de capitalização. Cálculo do valor presente: VP = VF ( 1+ i. n) Cálculo da taxa de juros: VF 1 VP i = n Cálculo do número de períodos: VF 1 VP n = i Ex: Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00 após 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Pede-se o capital da operação. VP VF ( 1+ i. n) = = 750 VP = (1 + 0,10x5) = VP = 500 Ex: O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, pede-se a taxa de juros mensal praticada durante a operação. VF 400 1 1 VP i = 200 = i = = i = 0,20 = 20% n 5 19

Ex: A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita à taxa de 2% a.m. no regime dos juros simples. Pede-se a duração da operação. VF 134 1 1 VP n = 68 = n = = 48, 53 i 0,02 3.3 Proporcionalidade de taxas de juros Pelo critério de proporcionalidade de taxas de juros diz-se que duas taxas de juros i 1 e i 2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples, são proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. Por exemplo, para achar a taxa mensal proporcional à taxa anual igual a 18% a.a., basta aplicar a fórmula: i = i.( n / n ) = 0,18x(1/12) = 0,015 15% a. m. a b b a = 4 OPERAÇÃO DE DESCONTO Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro é comum o devedor oferecer ao credor um título que comprove esta operação. De posse deste título, empregado para formalizar um compromisso que não será liquidado imediatamente, mas dentro de um prazo previamente estipulado, o credor poderá negociar com uma instituição financeira o resgate antecipado deste título. As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por títulos. Como, obviamente, o dinheiro tem um custo associado ao tempo, para antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade, aplicando um desconto. Assim, o valor futuro torna-se igual ao valor presente mais o desconto. 20

O conceito de juros está associado a operações de capitalização (levar do presente para o futuro), enquanto o desconto costuma referir-se a operações de descapitalização (ou operações de desconto, trazer do futuro para o presente). Algebricamente, o valor presente ou líquido, o valor futuro ou nominal e o desconto podem ser representados por meio da seguinte equação: VP = VF D ou D = VF VP Onde: VP = valor presente VF = valor futuro D = desconto No lugar de valor futuro é comum empregar a terminologia Valor Nominal. Ao invés de valor presente, é comum usar expressão Valor Líquido (ou Valor Recebido). 4.1 Desconto racional ou por dentro com juros simples Da fórmula dos juros simples para a obtenção do valor presente, obtém-se: VP = VF ( 1+ i. n) Assim, o desconto pode ser apresentado como: D = VF VP = VF VF ( 1+ i. n) Ex: Um título no valor nominal de $ 500,00, com vencimento programado para daqui a 3 meses, foi descontado hoje. Sabendo-se que foi aplicado desconto racional no regime 21

de capitalização simples, a uma taxa de 4,5% a.m., pede-se o desconto e o valor líquido recebido. VL = VP = VF (1 + i. n) = 500 (1 + 0,045*3) = 440,53 D = VF VP = 500 440,53 = 59,47 As respostas seriam $ 59,47 e $ 440,53. O valor líquido, no desconto racional, corresponde ao valor presente. OBS.: Cálculos das taxas efetivas em operações de desconto: a taxa da operação de desconto racional ou por dentro é denominada de taxa efetiva, que, como o próprio nome diz, remunera efetivamente uma operação de desconto. Taxa efetiva é aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização. Ex: Uma nota promissória com valor nominal igual a $ 7.200,00 e com vencimento programado para daqui a oito meses e meio foi descontada hoje no banco. Sabendo-se que o desconto sofrido foi igual a $ 480,00, pede-se a taxa mensal efetiva da operação. 22

VF D = VF (1 + i. n) 7200 480 = 7200 (1 + i *8,5) 7200 480 7200 = (1 + i *8,5) 7200 6720 = (1 + i *8,5) 6720*(1 + i *8,5) = 7200 7200 (1 + i *8,5) = 6720 1+ i *8,5 = 1,0714 i *8,5 = 1,0714 1 i *8,5 = 0,0714 i = 0,0714 = 0,00840336 8,5 3.2 Equivalência de capitais Uma das mais importantes regras da matemática financeira diz que o dinheiro pode ser somado ou subtraído apenas em uma mesma data. Assim, para poder somar ou subtrair fluxos de caixa em datas diferentes, é preciso capitalizá-los ou descapitalizá-los para uma mesma data, denominada data focal. Dois fluxos são ditos equivalentes quando apresentam uma mesma soma em uma mesma data focal. Ex: Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de 70% do total de pagamentos, será paga ao final quarto mês, e a segunda parcela, no valor 30% do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. Qual o valor financiado? 23

Resposta: Pelo conceito de equivalência, é preciso somar os fluxos de caixa, capitalizados ou descapitalizados para uma mesma data focal. Assim, seria preciso trazer os dois capitais para a data focal zero. 70% x1400 = 980,00 30% x1400 = 420,00 VF 980 VL = VP = VP = VP = 700,00 (1 + i. n) (1 + 0,10x4) VF 420 VL = VP = VP = VP = 200,00 (1 + i. n) (1 + 0,10x11) 700 + 200 = $ 900. A soma dos dois fluxos de caixa descapitalizados para a data zero é igual a Ex: A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de $ 100,00 no fim do período t mais uma quantia de $ 200,00 no fim do período t + 2 são equivalentes, no fim do período t + 1., a uma quantia de quanto? Resposta: Para isso é preciso capitalizar 100 por 1 período e descapitalizar 200 por um período. Capitalizando 100: VF n 1 = VP.(1 + i) VF = 100.(1 + 0,25) VF = 125 Descapitalizar 200: = VF 200 VP VP = (1 + i) (1 + 0,25) VP n 1 = 160 O capital equivalente é a soma dos dois: 125 + 160 = $ 285,00. 24

4.3 Desconto Comercial ou por fora e Bancário O desconto comercial é aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que será saldado n períodos antes de seu vencimento acrescido de uma taxa prefixada cobrada sobre o valor nominal. Ou seja, a incidência da taxa de desconto comercial se dá sobre o valor futuro da operação. A razão de sua existência consiste na simplificação da operação de desconto. Para saber o valor do desconto, basta multiplicar a taxa pelo valor nominal (ou valor futuro) e pelo prazo da antecipação. Porém, essa simplificação provoca, sempre, majoração (aumento) da taxa efetiva da operação em relação à taxa de desconto. OBS.: A taxa efetiva de uma operação de desconto comercial será sempre superior à taxa de desconto comercial divulgada em função de esta última incidir sobre o valor futuro ou nominal. D = VF. id. n Onde: VF = valor futuro i d = taxa de desconto comercial ou por fora n = número de períodos de capitalização (ou desconto) VP = VF D D = VF. id. n VP = VF.( 1 i. n) d 25

3.8 Cálculo e fórmulas com descontos comercial Cálculo do valor futuro: VF = VP ( 1 i. n) d Cálculo da taxa de juros: i d VP 1 VF = n Cálculo do número de períodos: VP 1 VF n = i d Ex: Sabe-se que o valor líquido resultante do desconto de uma duplicata três meses antes do prazo a uma taxa de desconto comercial igual a 5% a.m. foi igual a $ 51.000,00. Encontrar o valor nominal do papel. VF VP 51000 51000 = VF = = VF (1 i. n) (1 0,05x3) 0,85 d = $60.000,00 Ex: Um título com valor nominal igual a $ 90.000,00 foi descontado dois meses antes de seu vencimento. O desconto aplicado foi igual a $ 7.200,00. Encontrar a taxa de desconto mensal vigente na operação. Se o desconto foi igual a $ 7.200,00, o valor líquido ou presente é igual a $ 82.800,00. VP 82800 1 1 VF 90000 i = i = = 0,0400 ou 4,00% a. m. d d n 2 26

Ex: A aplicação de uma taxa de desconto igual a 4% a.m. resultou na obtenção de um valor líquido igual a 10.560,00, consequência do desconto de um título no valor nominal de 12.000,00. Obter a duração da operação em meses. VP 10560 1 1 VF 12000 1 0,88 0,12 n = n = n = n = = 3 i 0,04 0,04 0,04 d meses 4.4 O desconto bancário Uma variação do desconto comercial pode ser representada pelo desconto bancário. As operações de desconto bancário são similares às operações de desconto comercial, porém, no caso do desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente inclui o Imposto sobre Operação Financeira (IOF), o que alteraria levemente a expressão anterior. De modo geral, o desconto bancário será igual ao desconto comercial mais uma taxa prefixada incidente sobre o valor nominal. DB = DC + t. VF Onde: t = taxa prefixada D B = desconto bancário D c = desconto comercial O valor presente ou líquido da operação de desconto bancário pode ser calculado mediante a aplicação de seguinte fórmula: 27

VP = VF D VP = VF VF. id. n t. VF VP = VF.( 1 id. n t) 5 JUROS COMPOSTOS No mundo real, a maior parte das operações que envolvem o valor do dinheiro no tempo costuma calcular juros incidentes sobre montantes obtidos em períodos imediatamente anteriores. A forma de capitalização em situações em que ocorrem incidências de juros sobre juros recebe a denominação de regime de capitalização composta, ou, de forma resumida, regime de juros compostos. 5.1 Juros sobre juros Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos. Ex: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderíamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94. Tempo Data Valor Principal Juros Montante 0 01/01/94 100,00 0 100,00 1 01/02/94 100,00 50,00 150,00 2 01/03/94 150,00 75,00 225,00 28

3 01/04/94 225,00 112,50 337,50 4 01/05/94 337,50 168,75 506,20 5 01/06/94 506,25 253,13 759,38 Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores. Ex: Em uma operação de empréstimo de $ 100,00 por três meses, a uma taxa 60% a.m., os juros de cada período incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior. Assim, a composição dos valores futuros, mediante o emprego de juros simples e compostos, pode ser vista abaixo. N Simples Valor Futuro Composto 0 100 100 0,1 106 104,81 0,5 130 126,49 0,8 148 145,61 1 160 160 2 220 256 3 280 409,6 29

400 350 Valor Futuro 300 250 200 150 100 Simples Composto Expon. (Composto) Linear (Simples) 50 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Períodos de capitalização OBS.: Evite converter taxas. Genericamente, a equação de capitalização de juros compostos pode ser apresentada da seguinte maneira: VF = VP( 1+ i) n Fator 5.2 Cálculos e fórmulas com juros compostos Cálculo do valor presente: VP = VF ( 1+ i) n VF VF n Cálculo da taxa de juros: i = n 1 = 1 VP VP 1 Cálculo do número de períodos: VF log VP n = ou log(1 + i) n = VF ln VP ln(1 + i) 30

Ex.: Uma operação com juros compostos rendeu um montante igual a $ 8.400,00 após 6 meses. Sabendo-se que a taxa da operação foi igual a 2% a.m., calcular o valor presente. VP VF (1 + i) = n = 8400 VP (1 + 0,02) VP 8400 = VP = 7460, 03 6 1, 126 Ex.: Um capital inicial de $ 430,00 rendeu $ 80,00 de juros após permanecer aplicado por 4 meses. Obter a taxa de juros mensal da aplicação. 1 1 1 VF n 430 + 80 4 510 i = 1 i = 1 i = 4 1 VP 430 430 1 ( 1,186) 4 i = 1 i = 1,04358 1 = 0, 0436 ou 4,36% a. m. Ex: Um montante de $ 630,00 foi obtido após a aplicação de $ 570,00 a uma taxa de juros compostos iguais a 3% a.m. Qual foi a duração da operação? VF 630,00 log log = VP n 570 n = log(1 + i) log(1 + 0,03) 0,0434 = = 3,3 0,013 n meses ( ) log 1,105 n = log(1,03) 5.3 Equivalência de capitais De forma similar ao conceito apresentado para o regime de capitalização simples, dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros compostos e em idênticas condições, produzirem valores iguais. No regime composto, a forma de desconto será sempre racional. 31

Ex: Uma concessionária vendia certo tipo de automóvel por $ 1.600.000,00 a vista. Tinha um plano de pagamento em 6 meses com juros fixos compostos mensalmente. Um cliente comprou um destes automóveis em 6 meses, efetuando pagamentos ao fim de 2 e 6 meses. Se o primeiro pagamento foi de $ 2.136.000,00 e se os juros foram de 40% ao mês, o segundo pagamento foi de quanto? Capitalizando $ 1.600.000,00 da data 0 para a data 6 (n = 6): VF VP.( 1+ i) n = VF = 1600000.(1 + 0,4) 6 = $12.047.257, 60 Capitalizando $ 2.136.000,00 da data 2 para a data 6 (n = 4): n = VF = 2136000.(1 + 0,4) 4 = $8.205.657, 60 VF VP.( 1+ i) O valor de X corresponde à diferença: 12.047.257,60-8.205.657, 60 = 3.841.600, 00 5.4 Equivalência de taxas de juros De forma similar ao regime de capitalização simples, pelo critério de equivalência de taxas de juros diz-se que duas taxas de juros i 1 e i 2 referidas a períodos diferentes no regime de capitalização composta, são equivalentes quando resulta no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. Pro exemplo, para achar a taxa mensal equivalente à taxa anual de 36% a.a., basta aplicar a fórmula: = [(1 + ) ] 1 = [(1 + 0,36) ] 1 = 2,5955% ( nb / na) (1/12) i a i b ao mês 32

6 TAXAS Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira. Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: "No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira 'poluição' de taxas de juros." Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas: Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: 1. 1200% ao ano com capitalização mensal. 2. 450% ao semestre com capitalização mensal. 3. 300% ao ano com capitalização trimestral. Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: 1. 120% ao mês com capitalização mensal. 2. 450% ao semestre com capitalização semestral. 3. 1300% ao ano com capitalização anual. 33

Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por: 1+i efetiva = (1+i real ) (1+i inflação ) Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por: v real = 1 + i real que pode ser calculada por: v real = resultado / (1 + i inflação ) isto é: v real = 1,326 / 1,3 = 1,02 o que significa que a taxa real no período, foi de: i real = 2% Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflação i inflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + i inflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005. 34

Exemplo: Se uma pessoa possuía numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% então ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o valor de: V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77 7 SÉRIES DE PAGAMENTOS Classificação das Séries de Pagamentos. a) Quanto ao TEMPO: temporária (número finito de pagamentos) ou infinita (número indeterminado de pagamentos). b) Quanto à CONSTÂNCIA ou a PERIODICIDADE: periódicas (quando ocorrem em intervalos de tempo iguais) ou não-periódicas. c) Quanto ao VALOR DOS PAGAMENTOS: fixos/uniformes (quando os pagamentos são iguais) ou variáveis. d) Quanto ao VENCIMENTO DO PRIMEIRO PAGAMENTO: imediato ( quando ocorre exatamente no primeiro período da série) e diferido. e) Quanto ao MOMENTO DOS PAGAMENTOS: antecipada (quando o pagamento é feito no momento 0-zero) ou postecipada (quando os pagamentos ocorrem no final de cada período). 7.1 Séries Uniformes de Pagamentos São aquelas em que os pagamentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais. Podemos assim representar graficamente as séries uniformes de pagamentos: 35

Séries Uniformes de Pagamentos Postecipadas: São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento (1), isto é, após o final de cada período. Cálculo do valor-presente (VP), conhecido o valor da prestação (PMT). O objetivo, neste caso, é o de trazer cada ponto do fluxo financeiro a valor-presente e somar todos os pagamentos da série: 36

Exemplo: Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de $ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação. Séries em gradiente Séries Gradientes ou Séries em Gradiente são séries de pagamentos cujos termos crescem em progressão aritmética de razão G, sendo que o primeiro termo também é igual a G e ocorre no segundo período. O DFC de uma Série Gradiente tem o seguinte aspecto: 37

EXERCÍCIOS PARA REVISAR FUNÇÃO 1º GRAU 1 Se uma função do primeiro grau é da forma f(x)=ax+b tal que b=-11 e f(3)=7, obtenha o valor da constante a. RESPOSTA: f(3)=7=a(3)+(-11) 7=3a 11 a = 6 2 Usando f(x)=ax+b e sabendo-se que f(-2)=8 e f(-1)=2, obter os valores de a e b.(resolução do aluno) (a = 2; b = 4) FUNÇÃO 2º GRAU 1 Faça o gráfico das seguintes funções do 2º grau: a) y = x² b) y = x² + 4x + 5 2 Determine as raízes das funções abaixo. a) y = x² - 4x + 3 b) y = x² + 8x - 12 3 A função f(x) = x 2-2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale: a.0 b.1 c.2 d.3 e.4 4 O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x 2-100x + 5000. O valor do custo mínimo é: 38

a.3250 b.3750 c.4000 d.4500 e.4950 5. Se uma função do primeiro grau é da forma f(x)=ax+b tal que b=-11 e f(3)=7, obtenha o valor da constante a. 6. Usando f(x) = ax+b e sabendo-se que f(-2) = 8 e f(-1 )= 2, obter os valores de a e b. EXPONENCIAL E LOGARITMO 7. Determinar os valores de x para os quais 2 x =32. 8. Determinar os valores de x para os quais 2 x =1. 9. Resolver a equação 27 x = 243. 10. Resolver a equação 625 x = 25. 11. Determinar o valor de x para o qual (1/3) x =3. 12. Determinar o valor de x para o qual: a. log x (128) = 7 b. log 2 (8) = x ok c. log 4 (x) = 3 ok d. log 1/2 (2) = x e. log 2 (1/2) = x MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 13. Construa a matriz A = (aij)3x3 onde aij = 1 para i = j e aij = 0, se i j. 39

0 1 1 1 1 5 14. Calcule A + B, A B e 5A 3B se A = e B = 2 3 7. 0 1 9 1 0 0 15. Dada a função f ( x) = x 2 2x, calcule f(a) onde A = 0 1 0. 0 0 1 16. Resolva os sistemas, classifique e indique o significado geométrico das soluções. x + 3y = 5 a) 3x 2y = 1 17. Determine o valor de a para que o sistema (SPD). x y = 3 b) 4x 4y = 6 ax y = 8 seja possível e determinado 2x + 4y = 6 18. Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$70,00. Dois artigos A mais um C custam R$105,00 e a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço do artigo C? 19. Calcular usando o conceito intuitivo de limite: a. (3x 1) lim x 5 b. (10 2x) lim x 3 c. lim( 2 10) x x 0 d. lim( x 2 x + 1) x 1 x + 2 e. lim x 4 x 2 x + 3 f. lim x 3 x 5 20. Verifique se a função 3x + 9 y = é contínua no ponto p = 2. x + 3 40

21. Calcular a derivada das seguintes funções: a. y = 2 x + 1 2 b. y = x 6x + 10 3 2 c. y = 4x 2x + 10x 1 3 x 2 d. y = 6x + 1 3 e. y = x 3 + x 8 4 2 f. y = x + 5, x R 22. Calcular as seguintes integrais: a. 3 xdx b. 5 xdx c. xdx d. x 2 dx e. xdx f. x 3 dx 1 g. dx x 2 h. ( x 3 + x 2 )dx 2 i. ( x + x + 4)dx 4 2 j. ( 3x + 2x + 5)dx x 5 2 3 4 k. x + 9 dx 41

ELEMENTOS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA 23. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos. 24. Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000,00. Qual foi a taxa anual? 25. Um capital foi aplicado à taxa de 45% ao ano em 12/02/90. Em 03/05/90 foi efetuado o resgate no valor de R$ 107,80. Qual o valor do capital inicial? 26. Um investidor aplicou R$ 200.000,00 no dia 06/01/90, à taxa de 27% ao ano. Em que data esse capital elevar-se-á a R$ 219.500,0? 27. Qual a taxa anual proporcional a 1,4% ao mês? 28. Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias. 29. Que quantia deve-se investir à taxa de 3% a. m., para que se tenha ao final de 1 ano, 4 meses e 6 dias uma renda de R$ 97.200,00? 30. Quanto se deveria pagar hoje para se ter o direito de receber R$ 10.000,00 daqui a 5 anos, a juros de 10% ao ano? 42

8 REFERÊNCIAS ASSAF NETO, Alexandre Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas. BRASIL ESCOLA. Disponível em:<http://www.brasilescola.com/matematica>. BRUNI, A.L.; FAMA, R. A matemática das finanças. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2008. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 12 ed. São Paulo: Saraiva, 1997. FARIA, Rogério Gomes de. Matemática comercial e financeira. 4 ed. São Paulo: Makr.on Books, 1999. MATEMÁTICA ESSENCIAL. Disponível em: <http: www.matematicaessencial.com.br>. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: Saraiva, 2003. VIEIRA, José Dutra. Matemática financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 2000. 43