TRANSFORMAÇÕES LINEARES

ransformação Linear RNSFORMÇÕES LINERES Sejam e espaços vetoriais reais Dizemos que uma função : é uma transformação linear se a função preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos: L Para quaisquer v, u, v + u) = v) + u) L Para todo v e para todo k R, k v) = k v) Exemplos: ) : R R x, a x, = x, erificando os axiomas: L x, + z, t)) = x, + z, t), para quaisquer x,, z, t) R? x, + z, t)) = x + z, y + t) = x +, y + t)) = x z, y t) x, + z, t) = x, + z, t) = x z, y t) ssim, a transformação linear preserva a operação de adição de vetores L k x, ) = k x,, para todo x, R e para todo k R? k x, ) = kx, k = kx), k) = k x), k ) = k x, = k x, ssim, a transformação linear preserva a operação de multiplicação por escalar Considere v =,) e u =,) v) =,) =, ) u) =,) =, ) v) + u) =, ) +, ) = 0, 5) v + u) =,) +,)) = 0,5) = 0, 5) v) =,)) =,4) =, 4) =, ) =,) = v) y x x, -x x, =-x, - -y ) : R R x, a x, = x, 0) é uma transformação linear erifique!) Esta transformação linear associa a cada vetor do R sua projeção ortogonal sobre o plano 6

Z Z x, x, =x, 0) transformação linear 0 : tal que v a 0 v) = 0 é denominada ransformação Nula Seja a transformação linear : Se os conjuntos e são iguais, =, então é denominada um Operador Linear O operador linear I : tal que v a I v) = v é denominado Operador Identidade s transformações lineares : R são denominadas Funcionais Lineares Propriedades Se : é uma transformação linear então 0 ) = 0 dem: 0 ) = 0 + 0 ) = 0 ) + 0 ) Mas, 0 ) = 0 ) + 0, pois 0 ) e 0 é o elemento neutro em ssim,, 0 ) + 0 ) = 0 ) + 0 Logo, 0 ) = 0 Portanto, se 0 ) 0 então não é uma transformação linear No entanto, o fato de 0 ) = 0 não é suficiente para que seja linear Por exemplo, : R R tal que x, = x, y ),) =, ) =,4),5) =,5 ) = 9,5),) +,5) = 0,9),) +,5)) = 4,7) = 4,7 ) = 6,49) ssim, v + u) v) + u) Embora, 0,0) = 0,0), não é uma transformação linear Seja : uma transformação linear Então k v + k v + + k v ) = k v ) + k v ) + + k v ) para quaisquer n n n n n k, k,, k n v, v,, v e para quaisquer R Corolário: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial é possível determinar a transformação linear : 6

Obtendo a Lei de uma ransformação Linear Seja : R R um operador linear tal que,) =,5) e 0,) =,) Como encontrar a lei que define este operador? Solução: {,),0,)} é base para R erifique!) Portanto, qualquer vetor v R pode ser escrito como combinação linear destes vetores v = x, = k,) + k 0,) com k, k R = k,k ) + 0, k ) = k,k + k ) ssim, x = k e y = k + k x y x Então, k = e k = x y x Logo, x, =,) + 0,) plicando o operador linear, x y x x, =,) + 0,)) x y x =,) + 0,) x y x =,5) +,) x 5x y x =, ) + y x, ) 7x + 4y =, x + 7x + 4y Logo, x, =, x + Operadores Lineares no Espaço etorial R Reflexão em torno do eixo : x, = x, Reflexão em torno do eixo : x, = x, Reflexão em torno da origem: x, = x, v v+u u) u v+u) v) 6

Reflexão em torno da reta Reflexão em torno da reta x = y : x, = x) x = y : x, = x) Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor: Se k > : dilatação x, = kx, k com k R v+u) v) v+u v u) u Se k < : contração Se k < 0 : troca de sentido Se k = : operador identidade Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo : x, = kx, com k R, k > 0 Se k > : dilatação Se 0 < k < : contração Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo : x, = x, k com k R, k > 0 Se k > : dilatação Se 0 < k < : contração Cisalhamento na direção do eixo : x, = x + k com k R v+u v+u) u u) v v) Cisalhamento na direção do eixo : x, = x, kx + com k R 64

Rotação: x, = x cosθ y senθ, x senθ + y cosθ) com 0 θ π v+u) v) v u) u v+u Núcleo e Imagem de uma ransformação Linear Núcleo de uma transformação linear : é o conjunto de vetores do espaço vetorial cuja imagem é o vetor 0 Notação: N ) = Ker ) = { v v) = 0 } Imagem de uma transformação linear : é o conjunto de vetores de que são imagem dos vetores do conjunto Notação: Im ) = ) = { w v) = w, para algum v } N) Im) 0 Propriedades N ) é um subespaço vetorial de Im ) é um subespaço vetorial de eorema do Núcleo e da Imagem : dim = dim N ) + dimim ) Exemplo: Seja : R R tal que x, = 0, x + 0) N ) = { x, R x, = 0,0,0)} Então, x, = 0, x + 0) = 0,0,0) ssim, x + y = 0 x = y Portanto, N ) = { x, R x = y} = {, y R} Uma base é {, )} e dim N ) = 65

Representação gráfica, Z 0,0,0) N) : x+y=0 Im ) = { x, = 0, x + 0), para todo x, R } Uma base para o conjunto imagem é { 0,,0)} e dimim ) = R Z : Im) Observe que, dimr = dim N ) + dim Im ), isto é, = + ransformação Linear Injetora Uma transformação linear : é injetora, se para quaisquer v, u, se v u então v) u) O que é equivalente a, se v) = u) então v = u Exemplo: ) transformação linear = + é injetora : R R tal que x, x, x Sejam x,, z, t) R Se x, = z, t) x, x + = z, t, z + t) x = z Então y = t x + y = z + t Logo, x, = z, t) ) Seja o operador linear no R tal que x, = x,0,0), que associa a cada vetor sua projeção ortogonal no eixo 66

Considere os vetores,,) e,0, 4) ssim,,,) =,0, 4) =,0,0) Então, não é injetora, pois v) = u) com v u eorema: Uma transformação : é injetora se e somente se N ) = { 0 } ssim, basta verificar se N ) = { 0 } para garantir que uma transformação linear é injetora Exemplo: Seja o operador linear em no R tal que x, x, x + N ) = { x, R x, = 0,0)} = { x, R x, x + = 0,0)} ssim, x = 0 x + y = 0 Então, N ) = {0,0)} = é injetora, pois: ransformação Linear Sobrejetora Uma transformação linear Im ) = : é sobrejetora se o conjunto imagem de é o conjunto, isto é, Exemplo: O operador linear em R do exemplo anterior é injetor Então, dim N ) = 0 Pelo eorema do Núcleo e da Imagem, dimr = dim N ) + dim Im ) ssim, = 0 + dimim ) dim Im ) = Logo, Im ) = R ransformação Linear ijetora Isomorfismo Uma transformação linear : é bijetora quando for injetora e sobrejetora ransformações lineares bijetoras são também denominadas isomorfismos e, conseqüentemente, e são denominados espaços vetoriais isomorfos Exemplos: ) : R R tal que x, = x) ) : tal que I v) = v ) I x z y t 4 : Mat R) R tal que ) = t, z, x) Uma transformação : é denominada de transformação invertível quando existir uma transformação : tal que o = I e o = I transformação é denominada a transformação inversa de eorema: Seja : uma transformação transformação é bijetora se e somente se for invertível eorema: Seja : uma transformação linear invertível Então a transformação : linear é ssim, transformações lineares bijetoras são transformações lineares invertíveis 67

v)=w v= - w) - Obtendo a Lei da ransformação Linear Inversa Seja o operador linear : R R tal que x, = x, O operador linear inverso obtido da maneira a seguir: {,0),0,)} é uma base para R,0) =,0) e 0,) = 0, ) Portanto,,0) =,0) e 0, ) = 0,) Obtendo a lei de : x, = k,0) + k 0, ) = k,0) + 0, k ) = k, ) x = k ssim, y = k x em-se que, k = e k = y x Então, x, =,0) + 0, ) x k,0) + 0, ) ) x, = x =,0) + 0, ) x =,0) + 0, ) = x, Logo, a lei é x, = x, será Matriz ssociada a uma ransformação Linear Sejam um espaço vetorial n-dimensional, um espaço vetorial m-dimensional e : uma transformação linear Considerando as bases = { v, v,, vn} de e = { w, w,, wm } de e um vetor qualquer v, tem-se: v = k v + k v + + k n v n com k i R, para todo i =,, n plicando a transformação linear, v) = k v + k v + + k n vn ) v) k v) + k v ) + + k n vn = ) ) lém disso, v), portanto: v) = l w + l w + + l w m m ) com l j R, para todo j =,, m 68

Como v i ), para todo i =,, n v ) = a v ) = a v ) = a n n w w w + a w + + a + a w + + a + a w + + a n m m mn w m w w m m ) Substituindo ) em ), tem-se: v) = k a w + + a m wm ) + k a w + + a m wm ) + + kn a n w + + a v) = k a + k a + + k nan ) w + + kam + kam + + k namn ) wm 4) mn m w ) Comparando ) e 4), tem-se: Na forma matricial: ou seja, l k a k a k a = + + + n n l k a k a k a = + + + n n l = k a + k a + + k a m m l a l a = lm a n a a a n m [ v)] = [ ] [ v] n mn an k an k amn k n matriz [ ] é a matriz associada a transformação em relação as bases e Exemplo: Seja a transformação linear : R R tal que x, = x, x + Sendo a base canônica do R e a base canônica do R, tem-se:,0) =,0,) =,0,0) + 0 0,,0) + 0,0,) e 0,) = 0,,) = 0,0,0) + 0,,0) + 0,0,) 0 Então, [ ] = 0 Por exemplo, [,)] = 0 Obtém-se, [,)] = [,,5)] = = 0 5 Sejam as bases não canônicas = {,),,5)} e = {,,0),,,),0,,)} 7 ssim,,) =,,) =,,0) + ),,) + 0,, ) e 6 7 55,5) =,5,8) =,,0) + ),,) + 0,,) 6 6 69

6 7 Então, [ ] = 6 7 55 6 Por exemplo, [,)] = Obtém-se, [,)] = [,,5)] = 7 6 7 6 55 6 = 0 7 s matrizes associadas a alguns dos operadores lineares no espaço vetorial R em relação a base canônica x 0 x Reflexão em torno do eixo : = y 0 y kx k 0 x Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor: = ky 0 k y x 0 x Cisalhamento na direção do eixo : = kx + y k y xcosθ ysenθ cosθ senθ x Rotação: = xsenθ + y cosθ senθ cosθ y Operações com ransformações Lineares dição Sejam : e : transformações lineares Define-se a adição de com como sendo a transformação linear: + ) : v a + ) v) = v) + ) v Matricialmente, [ +, onde é uma base de e uma base de ] = [ ] + [ ] Exemplo: Sejam : R R tal que x, = x, e x, = 0,0, ) z transformação soma é + ) : R R tal que + ) x, = x, ) 0 0 inda, [ ] = 0 0, 0 0 do R 0 0 0 ] = 0 0 0 e 0 0 [ z : R R tal que 0 0 + ] = 0 0 em relação a base canônica 0 0 [ 70

Multiplicação por Escalar Sejam : uma transformação linear e k R um escalar Define-se a transformação linear produto de pelo escalar k como sendo: k ): v a k ) v) = k v) Matricialmente, [ k ] = k [ ], onde é uma base de e é uma base de Exemplo: Seja [ ] = 0 e k = 0 Então, x, = x + x) e ) x, = x + 4 6x) 4 inda, [ ] = 0 = [ ] 6 0 Composição Sejam : U e : U transformações lineares Define-se a composta de com como sendo a transformação linear: o ): v a o ) v) = )) v Matricialmente, base de [ o ] C = [ ] C [ ], onde é uma base de, é uma base de U e C é uma Exemplo: Sejam os operadores lineares no R, x, = x + e x, = x + o ) x, = x, ) = x + = + x +, x + ) = x + 7 x o ) x, = x, ) = x + =, x + + ) = x 4 0 Com relação a base canônica: [ ] = e [ = 0 ] y ) ssim, 0 7 0 0 [ o ] = = e [ o ] = = 0 0 4 Propriedades de ransformações Invertíveis Sejam :, : e : U transformações lineares invertíveis e k R, k 0 ) = k ) = k o ) = o 7

Exercícios ) erificar se as transformações são lineares: : R R a) x, a x, = x, y + b) : R R x, a x, = x, c) : R R x, a x, = x + a, y + b), a, b R {0} d) : R R x, a x, = x y + e) : R R x, a x, = x ) Para que valores de k R a transformação no R tal que x, = x + k, é linear? ) Seja Mat n n R) o espaço vetorial das matrizes quadradas n n sobre R e M Mat n n R) uma matriz arbitrária qualquer transformação : Mat n n R) Matn n R) tal que ) = M + M é linear? 4) Sejam v = 0,), u =,0), t =,) e w =,) e : R R tal que x, = x,, que define a dilatação de fator na direção do vetor Represente v, u, t, w, v), u), t) e w) em um sistema de eixos cartesianos 5) Considere a transformação linear : x R Mat R) tal que x, = 0 y Determine,),,4) e x, 6) Encontre a lei que define a transformação linear cada vetor v = x, à sua reflexão em torno do eixo Determine, ) Represente no sistema de eixos cartesianos : R R que faz associar 7) Seja : R R uma transformação linear tal que,0,0) =,4), 0,,0) =,5) e,,) =,) Indique a lei de 8) Seja : R R uma transformação linear definida por,,) =,),,,0) =,) e,0,0) =,4) a) Determine x, b) Determine x, R tal que x, =, ) c) Determine x, R tal que x, = 0,0) 7

9) Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo: : R R a) x, a x, = x + y + z,x + y + b) : R R x, a x, = x + x x + 0) che uma transformação linear : R R cujo núcleo seja gerado pelo vetor,,0) ) Determinar um operador linear no R cujo conjunto imagem seja gerado por {,,),,,)} ) Indique a lei de para cada uma das transformações lineares: : R R a) x, a x, = x) b) I : v a I v) = v c) : Mat x z R) y t 4 R x a z y ) = t, z, x) t ) Seja o operador linear no R tal que x, = x + x + Mostre que é um isomorfismo e indique sua inversa 4) Considere = { v, u, w} uma base do R, onde v =,,), u =,5,) e w =,0,) a) che uma fórmula para a transformação linear w) = 0,) b) Encontre uma base e a dimensão do N ) c) Encontre uma base e a dimensão da Im ) d) é invertível? Justifique sua resposta : R R tal que v) =,0), u) =,0) e 5) Seja : R R tal que x, = x + x + Indique: a) [ ] considerando e bases canônicas C b) [ ] D onde C = {,0,0),0,,0),0,0,)} e D = {,),,5)} c) [ v) ] D onde v =,,0 ) 6) Sejam S e operadores lineares no R definidas por S x, = x + e x, = x, Determine: a) S + b) S) + 4 ) c) S o d) S o S 7

7) Escolha alguns vetores de R, represente-os no plano cartesiano Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador S anterior Represente essas imagens no plano cartesiano Observe o que acontece 8) Repita os mesmos passos do exercício anterior, para o operador 9) Seja a transformação linear determinada pela matriz a) Indique a lei da transformação b) Calcule,) 4 0 0 0 4 0) Seja o operador linear no R definido por x, = y + z, x 4 x) a) Encontre a matriz de na base = {,,0),,0,),,0,0)} b) Encontre [,0, )] utilizando [ ] 0 )Seja a transformação linear associada a matriz 0 0 0 a) che uma base para N ) b) che uma base para Im ) c) é sobrejetora? E injetora? d) Determine a matriz associada a em relação a base {,,0),0,,),0,,)} ) Seja : R R a transformação linear definida por x, = x + x,0) a) che a matriz associada a relativa as bases ={,),,4)} e = {,,),,,0),,0,0)} b) Use a matriz para calcular [ v)] onde [ v ] = ) Seja a transformação linear associada a matriz 0 a) Qual a lei que define? b) Determine o núcleo de e uma base para N ) c) Determine a imagem de e uma base para Im ) 4) Seja a transformação linear : R R tal que x, = x y + z,4x + y + a) Considerando e as bases canônicas do R e do R, encontre[ ] b) Considerando = {,,0),0,,),,0,)} uma base do R e = {,),, )} uma base do R, encontre [ ] 5) Seja a transformação linear : R R tal que x, = x + x + Encontre: a) matriz de em relação a base canônica b) matriz de em relação as bases ={, ),0, )} e = {,0,0),0,,),0,0,)} 74

6) Considere [ ] = 0 onde ={,0),, )} e = {,,),0,,),0,0,)} Encontre as 0 coordenadas de [ v)] sabendo que as coordenadas de v em relação à base canônica do R são 7) Sabendo que a transformação linear θ : R R, cuja matriz em relação à base canônica é cos? sen? x, aplicada a um vetor [v] = indica a rotação do vetor v de um ângulo θ sen? cos? y cosθ senθ ssim, [ θ ] = [ v] senθ cosθ Utilizando a matriz de rotação, determine o vértice C = x, de um triângulo retângulo e isósceles em, onde =,) e = 5,) 0 0 8) Seja 0 0 a matriz associada a um operador em relação à base {,0,),0,,),0,0, )} 0 0 Determine a lei de Respostas ) b) Sim ) k = 0 ) Sim 5),) = 5,4) = x + y x, = y 6) a) S + ) x, = x + 4 b) S + 4 ) x, = 6x + 44 c) S o ) x, = x + 6 d) S o S) x, = x + 4 9) a) x, = x,4x, 4 b),) = 4, 8, 4) 0) a) [ ] = 4 b) [,0, )] = 5 ) a) base N ) :{0,,0)} b) base Im ) :{,,),,,0)} c) Nem injetora nem sobrejetora 4 0 0 d) [ ] = 0 5 0 75

6) x, = x, e, ) =, ) 7) x, = x + y 4z,4x + 5y 8 8) a) x, = x y z,4x y b) {,6 z,, z R} c) { 0, y,, y R} 9) a) N ) = { z, z,, z R} Im ) = R b) N ) = {0,0)} Im ) = { x, R 5x + 4 y + z = 0} ) a) x, = x) b) I = I t z c) x, z, t) = y x x + y + z 9 x y z 4) a) x, =, ) y b) N ) = {, 0), y R} base N ) :{,,0)} dim N ) = c) Im ) = R base Im ):{,0),0,)} dim Im ) = d) Não, pois não é injetora 0 5) a) [ ] = 0 5 6 C b) [ ] D = 7 c) [ v)] D = 8 8 0 0 0 5 ) a) [ ] = b) [ v)] = 8 4 0 ) a) x, = x + x,x + b) N ) = {0,0)} c) Im ) = { x, R x + 5y 6z = 0} base Im ) :{,,),,0, )} 4) a) [ ] = 4 7 7 6 b) [ ] = 5 5) a) 6) [ v)] [ ] = 0 b) [ ] 0 = 4 7) C = 0,4) ou C = 4, ) 0 = 0 8) x, = x, 4x + y + 6 76

pêndice C eoremas eo Se : é uma transformação linear então 0 ) = 0 eo4 Seja : uma transformação linear Então k v + k v + + k v ) = k v ) + k v ) + + k v ), para quaisquer n n n n v n k, k,, k n v v e para quaisquer R dem: indução em n) ase: Para k = k v + k v ) = k v) + k v ) = k v) + k v ) por L e L Passo: Hipótese de Indução) Supor que vale a igualdade para k N, k >, isto é, k v + k v + + kn vn ) = k v) + k v ) + + kn vn ) ale a igualdade para k + vetores? k v + k v + + k n vn ) + k n+ vn+ ) = por L k v + k v + + k v ) + k v = por L n n n+ n+ ) k v + k v + + kn vn ) + k n+ vn+ ) = v ) + k v ) + + k ) + n vn kn+ vn+ ) k v + + k n vn + k n+ vn+ ) = k v) + + k n vn ) + kn+ vn+ por hipótese de indução k ssim, ) Logo, vale a igualdade para todo n N, n Corolário4: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial é possível determinar a transformação linear : eo5 Seja : é uma transformação linear Então i) v) = v), para todo v ii) v u) = v) u), para quaisquer v, u eo6 Seja : uma transformação linear e S um subespaço vetorial do espaço vetorial então S) = { w existe s S tal que s) = w} é um subespaço vetorial do espaço dem: Sub) Por hipótese, S Por Sub, 0 S Pelo eo, Logo, 0 S) 0 ) = 0 Sub) Sejam w, w S) Então, existem v, v S tais que v ) = w e v ) = w ssim, w + w = v) + v ) = v + v ) por L Como, S Pelo fechamento para operação de adição em S, v + v S Então, w + w S) Logo, vale o fechamento para operação de adição em S) Sub) Sejam w S) e k R Então, existe v S tal que v) = w ssim, k w = k v) = k v) por L Como, S Pelo fechamento para operação de multiplicação por escalar em S, k v S Então, k w S) 77

Logo, vale o fechamento para operação de multiplicação por escalar em S) eo7 N ) é um subespaço vetorial de eo8 Im ) é um subespaço vetorial de eo9 eorema do Núcleo e da Imagem) Seja : uma transformação linear Então dim = dim N ) + dimim ) dem: Considere dim N ) = t e v, v,, vt } N ) uma base para N ) Seja { {, w,, w } Im s u ) w, u ) = w { v,, vt, u,, us} dim Im ) = s e w s ) uma base para Im ) Existem u, u,, u tais que =,, u s ) = ws ) Considere o conjunto Se v então v) Im ) Como [ w,, ws ] = Im ), existem l,,l s R tais que v) = l w + + l s ws ) Considere o vetor u = l u + + ls us v ) ssim, u) = l u + + l u ) s s v u) l u ) + + ls us) v u) = l w + + ls ws v Pelo eo4, = ) De ), ) De ), u) = v) v) ssim, u) = 0 Então, u N ) Mas, [ v,, vt ] = N ) Então, existem k,, k t R tais que u = k v + + k t vt 4) De ) e 4), l u + + ls us v = k v + + kt vt ssim, v = l u + + ls u s k v kt vt Então, [ v,, vt, u,, u s ] = 5) Seja k v + + kt vt + kt + u + + kt+ s us = 0, com k,, k t +s R 6) ssim, k v + + k v + k u + + k u ) = 0 ) Pelo eo, Pelo eo4, t t t+ t + s s k v + + k t vt + k t+ u + + kt + s us ) = 0 v) + + k t vt ) + kt + u) + + kt + s us ) Mas, { v,, vt } N ) k = 0 Então, v ) = 0,, ) = 0 7) De ) e 7), ssim, v t k 0 + + kt 0 + kt + w + + kt + s w s = 0 kt + w + + kt + s w s = 0 { s { s t + = = k t + s = k v + + k t v t = 0 { v,, v t é uma base para N ) Como, w,, w } é uma base para Im ) Então, w,, w } é linearmente independente em-se, k 0 Substituindo em 6), Como, } Então, v,, v } é linearmente independente { t = = k t = {,, vt, u,, u s em-se, k 0 Então, v } é linearmente independente 8) 78

De 5) e 8), { v,, vt, u,, u s} é uma base de Logo, dim = t + s = dim N ) + dimim ) eo40 Seja : é uma transformação linear é uma transformação linear injetora se e somente se N ) = { 0 } dem: ) Se é uma transformação linear injetora então N ) = { 0 }? Considere v N ) qualquer Então, v) = 0 Pelo eo, 0 ) = 0 ssim, v) = 0 ) Como é uma transformação linear injetora Se v) = 0 ) então v = 0 Logo, N ) = { 0 } ) Se N ) = { 0 } então é uma transformação linear injetora? Sejam v, u tais que v) = u) ssim, v) u) = 0 Pelo eo5, v u) = 0 Mas, N ) = { 0 } ssim, v u = 0 Então, v = u Logo, é uma transformação linear injetora eo4seja : é uma transformação linear injetora e { v, v,, vn } um conjunto de vetores linearmente independente O conjunto { v ), v ),, vn )} também é linearmente independente eo4seja : é uma transformação linear injetora e dim = dim Então a transformação linear é sobrejetora eo4seja : uma transformação transformação é bijetora se e somente se for invertível eo44 Seja : uma transformação linear e { v, v,, vn } Se [ v, v,, vn ] = então v ), v ),, v n )] = Im ) [ eo45 Sejam : e R : U transformações lineares Então a transformação composta R o ) : U tal que R o ) v) = R v)) é linear eo46 Sejam : e R : U transformações lineares bijetoras Então i) a transformação inversa : é linear ii) R o ) = o R eo47 Seja Q :, R :, S : U e : U transformações lineares e k R Então i) S + ) o Q = S o Q) + o Q) ii) o Q + R) = o Q) + o R) iii) k ) o Q = k o Q) = o k Q) 79

eo48sejam e espaços vetoriais e { v, v,, vn } uma base Se o vetor v i pode ser associado a um vetor w i, para todo i =,, n então existe uma única transformação linear : tal que v i ) = w, para todo i =,, n i eo49 Seja L, ) ou Hom, )) o conjunto de todas as transformações lineares de em e as seguintes operações: + : L, ) L, ) L, ), ) a + tal que + ) v) = v) + v) : R L, ) L, ) k, ) a k tal que k ) v) = k v) Então [ L, ), R, +, ] é um espaço vetorial eo50 Se dim = n e dim = m então dim L, ) = nm O conjunto L, R) ou Hom, R) ou vetorial dual de * de todos os funcionais de em R é denominado espaço eo5 Seja um R-espaço vetorial munido de um produto interno e um dado vetor função f u : R tal que f v) =< u, v > é um funcional u eo5 Seja um R-espaço vetorial munido de um produto interno função v) = é uma transformação linear f v * : tal que eo5 Sejam um R-espaço vetorial munido de um produto interno e f : R um funcional Então existe um único vetor v tal que f u) =< v, u >, para todo u, isto é, a função * : tal que v) = fv é um isomorfismo Corolário5 Se * dim = n então dim = n 80