MÓDULO XI. Inequação INEQUAÇÕES < Logo, o conjunto solução será S. Vamos supor que, na nossa escola, a média mínima para aprovação automática seja 6 e que essa média, em cada matéria, seja calculada pela epressão: A B C D na qual, as letras A, B, C e D representam as notas do primeiro, segundo, terceiro e quarto bimestre, respectivamente. Se as notas de um aluno, em Matemática, fossem 68, 6 e 7 nos três primeiros bimestres, respectivamente, então para ser aprovado automaticamente, sua nota D do último bimestre, deverá satisfazer a desigualdade: 68 6 7 D 6 Essa desigualdade é chamada de Inequação. Após resolver a inequação acima, o aluno descobre que para obter aprovação em Matemática, sua nota deverá ser no mínimo igual a. Nesse módulo, iremos resolver inequações semelhantes a que foi apresentada e outras mais detalhadas.. Inequação do º Grau Inequações do primeiro grau são aquelas que podem ser epressas sob a forma: a + b > (ou com as relações, <,, ou ), em que a e b são constantes reais (a ) e é a variável ou incógnita. A resolução desse tipo de inequação é fundamentada nas propriedades das desigualdades, descritas a seguir: Adicionando ou subtraindo um mesmo número a ambos os membros de uma desigualdade, a desigualdade se mantém. Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo, a desigualdade se mantém. Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo, a desigualdade inverte o sentido. Eercícios Resolvidos ER.) Ache o conjunto solução da inequação 5 8 < + Resolvendo a inequação de º grau, temos: ) Adicionando 8 a cada membro da inequação: 5 8 + 8 < + + 8 5 < + ) Subtraindo de cada membro da última inequação obtida: 5 < + < ) Dividindo ambos os membros da última desigualdade obtida por : ER.) Determinar o maior número inteiro que satisfaz a desigualdade: t 7 t 6 Para facilitar a resolução podemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membros da inequação pelo m.m.c.(, 6) = 6: t 7 6. 6. t 6 t > 7 t 6 Subtraindo 6 e adicionando t a ambos os membros da inequação resultante, teremos: 6 6 t + t > 7 6 t + t t > Multiplicando ambos os membros da inequação por ( ) teremos: t.( ) >.( ) t < Observe que a desigualdade mudou de sentido. Agora, dividindo ambos os membros da inequação resultante por, obtemos: t t ou t <,7 Assim, o maior número inteiro que satisfaz essa desigualdade é o número. Eercícios Propostos EP.) Determine o conjunto solução das seguintes inequações do primeiro grau: 9 5.( ) > 7 + 9 n n c) 5 6 d).( 5) > 6 e).( 5) < 6 EP.) Qual o menor número inteiro que satisfaz a 7 inequação? 5 EP.) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, e pares de sapatos por mês. Se, a partir de Janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 7 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 9 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção da fábrica A a partir de qual mês? Matemática Básica XI.
EP.) O custo C, em reais, da produção de eemplares de um livro é dado por C() = +,5. Se cada eemplar é vendido por 8 reais, quantos eemplares, no mínimo, devem ser vendidos para que a editora não tenha prejuízo? 8 c) 5 d) 5 e) 55. Inequação do º Grau São denominadas inequações do º grau toda inequação que pode ser escrita na forma: a + b + c > (ou com as relações, <,, ou ), em que a, b e c são constantes reais (a ) e é a variável ou incógnita. A resolução desse tipo de inequação é fundamentada nas mesmas propriedades das desigualdades, conforme foram descritas para a resolução de inequações do º grau, além do estudo do sinal do trinômio do º grau... Método de Resolução de Inequações do º Grau Para resolver uma inequação do º grau, seguiremos os procedimentos descritos abaio: zero. Dada a inequação a b c, devemos: ) Igualar a epressão do membro da inequação a a b ) Determinar as raízes da equação obtida. raiz a b c raiz ) Representar as raízes na reta dos Reais (R) ordenadamente. c ) Fora do intervalo compreendido entre as raízes assinalamos o mesmo sinal do coeficiente de, ou seja, a (mesmo sinal de e no intervalo compreendido entre as raízes assinalamos o sinal contrário do coeficiente de, ou seja, a (sinal contrário de Então: mesmo sinal contrário mesmo sinal de a de a sinal de a Este é o gráfico da variação do sinal. 5) A solução deverá ser de acordo com o sinal da inequação. sinal Se sinal Eercício Resolvido ER.) Resolver, no conjunto R, a inequação do segundo grau 7 + 6 >. Seguindo os procedimentos descritos, teremos: ) Equação: 7 + 6 = ) Raízes: 7 + 6 =, com a =, b = 7 e c = 6. Δ b ac Δ 7..6 b Δ a ) Reta: 7 5 6 ) Sinais: Como neste caso a = > O gráfico da variação do sinal será: Δ 5 7 5 +++++++++ ----------------- +++++++++++ 6 5) Como queremos 7 + 6 >, então a solução será fora do intervalo compreendido entre as raízes, ou seja, S ou 6 Eercício Proposto EP.5) Resolva as seguintes inequações: + 7 + < c) d) 9 + < e) +. Sistema de inequações Para resolver um sistema de inequações, devemos resolver cada inequação separadamente e, em seguida, fazer a intersecção das soluções encontradas, obtendo a solução final do sistema. Eercício Proposto EP.6) Resolver, no conjunto dos reais, os seguintes sistemas de inequações: 6 8 5. Inequação do tipo produto Inequações do tipo. 7, 5., onde temos um produto de duas epressões e uma desigualdade, são chamadas de inequações do tipo produto. Para resolver esse tipo de inequação, devemos: i)fazer o gráfico da variação do sinal de cada epressão. ii)multiplicar os sinais obtendo o gráfico da variação do sinal do produto. iii)achar a solução de acordo com o sinal da inequação. 6 Matemática Básica XI.
Eercício Resolvido ER.) Resolver a inequação definida por ( 5 )( 5). Fazendo os gráficos da variação do sinal: ( 5 5. ( 5 5 = = - ou = 5. Assim, multiplicando os sinais: ER.5) Determine o conjunto de todos os valores reais de que satisfazem à desigualdade +. Deiando zero no lado direito: ( ) Fazendo os gráficos da variação do sinal: ( +. Logo, como queremos ( 5).( 5), teremos: S R ou 5 Eercício Proposto Δ ( + > + = Δ b ac Δ ().(-).(-) Δ 8 Como Δ, a equação não tem raízes reais; portanto, a parábola não tem ponto em comum com o eio O. Como a <, então a curva está totalmente abaio do eio, ou seja, qualquer que seja o valor de, a inequação somente assume valores negativos. Assim, dividindo os sinais: EP.7) Resolver, no conjunto dos números reais, as inequações:.. Logo, como queremos, o conjunto solução será: S R Eercício Proposto 6. Inequação do tipo quociente 5 Inequações do tipo,, onde 7 temos um quociente de duas epressões e uma desigualdade, são chamadas de inequações do tipo quociente.deiar, sempre, zero no lado direito!!!!! Para resolver esse tipo de inequação, devemos: i)fazer o gráfico da variação do sinal de cada epressão. ii)multiplicar os sinais obtendo o gráfico da variação do sinal do quociente. iii)achar a solução de acordo com o sinal da inequação. (lembre-se: denominador não pode ser zero) EP.8) Resolver, no conjunto dos números reais, as inequações: (Passe para a esquerda e tire o mínimo para ficar com zero do lado direito) Eercício Resolvido Matemática Básica XI.
Eercícios Complementares EC.) Determine o conjunto solução das seguintes inequações do primeiro grau: y 5 <.(y + ) + 5y.(k ) k.( k) c).(y ) 5y <.( y) y y d) 9 e) t 6 t 9 EC.) Um prisma óptico, cuja secção principal é um triângulo retângulo isósceles, conforme figura abaio, encontra-se imerso no ar (n ar = ). Qual a condição à qual o índice de refração n p do prisma deve obedecer para que o raio luminoso com um ângulo de incidência î = 5º indicado sofra refleão total? (Dica: use n n p n p p n ar 5º i = 5º sen 9. sen ˆi c) n p d) não pode ser calculado com as informações dadas ) EC.) Um cristal possui índice de refração n cristal =,. Qual o valor do ângulo de incidência (î) de um raio de luz vindo do cristal para o ar de índice de refração n ar =,; para que ocorra a refleão total? (Dica: use n cristal. sen î > n ar. sen 9º) EC.) Resolva as seguintes inequações: EC.6) (PUC-RJ) A solução da inequação. é: < ou < < 5 < < ou > 5 c) < < d) > e) < 5 EC.7) (F.C.Chagas-SP) Os valores de que satisfazem a inequação são tais que: > c) d) ou > e) e EC.8) (Fuvest-SP) O conjunto solução de 7 5. é: [; 5] c) R d) [ ; ] e) R + EC.9) (PUC-MG) A solução da inequação é o conjunto de valores de, tais que: < < ou < < < ou < < ou > c) < ou > d) < < e) < ou > Dica: Passe para a esquerda e tire o mínimo para ficar com zero do lado direito) 7 + + > c) d) > 9 e).( ) < f) ( ) >. EC.5) Resolva os sistemas: 5 Matemática Básica XI.
Eercícios Adicionais EA.) Resolva as inequações EA.5) Do estudo dos logaritmos sabemos que as condições de eistência de f() = log b a são a >, b > e b. Com base nisto ache as condições de eistência de: ( 7 + )( + ) 7 c) 7 d) ( 7 + )( + ) e) 6 9 5 f) ( + )( + 6 9) g) h) i) j) EA.) Da trigonometria sabemos que sen e sen,. Com base nisto ache os valores de t para os quais eiste tal que: sen sen t t t t EA.) Da trigonometria sabemos que sec ou sec. Com base nisto ache os valores de t para os quais eiste tal que sec sec t t t t EA.) Ache os domínios das seguintes funções de R em R f() log ( 9) ( ) f() log ( 6 9) ( ) c) f() = log ( + 5 + ) d) f() log ( ) (5 ) e) f() log ( 9 ) (5 ) GABARITO Eercícios Propostos EP.) > n c) d) R e) ø EP.) = EP.) Setembro EP.) C EP.5) S R ou S R c) S R d) S e) S R EP.6) S R S EP.7) S R ou S R ou EP.8) S R S R ou R 7 c) d) e) f) f() f() f() 6 f() f() 7 9 6 Matemática Básica XI. 5
GABARITO Eercícios Complementares EC.) y 6 k 7 c) y d) y e) t < EC.) A EC.) º < î < 5º EC.) S R ou 5 S c) S R R ou d) S R ou e) S R f) S R ou 5 EC.5) S R 5 S R EC.6) A EC.7) E EC.8) C EC.9) B GABARITO Eercícios Adicionais EA.) ou 5 ou > 7 ou < 5 ou > 7 c) < ou 5 < 7 d) ou 5 < 7 e) < < f) X = ou = g) X < ou > h) i) < ou 5 < 7 j) ou ou EA.) t ou t t EA.) t e t t < ou < t ou t EA.) ou ou 5 c) ou d) < ou < ou 5 e) f) EA.5) < ou > e c) > e d) < < e) Matemática Básica XI. 6