CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.1 Inequação do Primeiro Grau Bárbara Simionatto - Engenharia Civil
Definição Equação x Inequação Uma equação é uma igualdade entre dois membros e por isso usa-se o sinal de igual entre eles. Uma inequação é uma desigualdade, então, em vez de um sinal de igual, usa-se sinais de:
Inequação
Inequação Nas inequações utiliza-se a mesma linguagem das equações: membro, termo, incógnita e solução.
Inequação Assim, na desigualdade x+2 > 4, tem-se: Incógnita - x 1º membro - x + 2 2º membro - 4 Numa inequação temos muitas soluções: 5 é solução de 5 + 2 > 4 3 é solução de 3 + 2 > 4 OBS: Uma inequação está resolvida quando se determina o conjunto solução da mesma.
Inequação Toda sentença matemática que contém um ou mais elementos desconhecidos e que representa uma desigualdade é denominada inequação. não é inequação: 5² + 5 > 3² - 2 é uma equação: 3x + 1 = 45-4x
Princípios Das Desigualdades Métodos de resolução Adição Multiplicação
Princípio Aditivo Se numa balança tivermos 3kg num prato e 5kg no outro, e se acrescentarmos 2kg a cada um dos pratos, a situação não se altera. Matematicamente 5 > 3 5 + 2 > 3 + 2 ou 5 2 > 3-2
Princípio Multiplicativo Multiplicação por um número positivo: Observando que 2 é menor que 3 matematicamente escrevemos: 2 < 3 Podemos multiplicar ambos os membros por qualquer número positivo, que a desigualdade não se alterará: 2 x 6 < 3 x 6 2 x 0,01 < 3 x 0,01
Princípio Multiplicativo Multiplicação por um número negativo: Tendo que: 2 < 3, se multiplicarmos ambos os lados por -1 verifica-se que: (-1) x 2 = -2 e (-1) x 3 = -3 Nota-se que -2 é maior que -3, por isso ao multiplicarmos uma inequação por um número negativo, deve-se inverter o sinal da desigualdade. 2 x (-1) < 3 x (-1) -2 > -3
Inequações Exemplo: Um retângulo tem y metros de comprimento e x metros de largura, enquanto um triângulo equilátero tem 3 m de lado. Qual a sentença matemática que podemos escrever para expressar o fato de o perímetro do retângulo ser maior que o perímetro do triângulo equilátero?
Inequações Resolução: Sendo P o perímetro do retângulo e p o perímetro do triângulo, temos: P= 2x + 2y e p= 9 Como, de acordo com a situação, devemos ter P > p, a sentença matemática pedida é: 2x + 2y > 9
Inequações do Primeiro Grau Exemplos: Vamos resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7, sendo U =
ESTUDO DO SINAL DE UMA INEQUAÇÃO
Inequações Do Primeiro Grau Pode-se resolver qualquer inequação do 1 grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1 grau, com o seguinte procedimento: 1.Iguala-se a expressão ax + b a zero; 2. Localiza-se a raiz no eixo x; 3. Estuda-se o sinal conforme os exemplos
Inequações Do Primeiro Grau Exemplo: -2x + 7 > 0 x (-1) 2x - 7 < 0-2x + 7 = 0 x = 7/2
Exemplo: 2x 6 < 0 2x 6 = 0 x = 3
Inequações Do Primeiro Grau Exemplo: Resolva a inequação (x+3) > (-x-1). x+3 > -x-1 x + x + 3 + 1 > 0 2x + 4 > 0 Seja y = 2x + 4 2x + 4 = 0 x = -2 Estudando os sinais da função:
SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Sistemas De Inequações do 1º Grau Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução satisfaz a todas, simultaneamente. Resolução Resolvemos individualmente cada inequação; O conjunto-solução do sistema é o conjunto resultado da intersecção das inequações resolvidas individualmente.
Sistemas De Inequações Do 1º Grau Exemplo: Achar o conjunto-solução do sistema A solução da desigualdade é S= {x R / x 3} ou [3, + )
Inequações Simultâneas São sentenças matemáticas que tem mais de uma desigualdade. -3 < x < 4 Nessa inequação, os valores de x variam de 3 até 4. Resolução 1. Separamos a inequação em duas desigualdades; 2. Achamos as soluções individuais; 3. A solução procurada é determinada pela intersecção das respostas individuais.
Inequações Simultâneas Exemplo: Ache o conjunto solução da inequação simultânea -x + 3 < x+ 1 < 2x Resolução Separando as desigualdades, temos: -x + 3 < x + 1 inequação 1 x+1 < 2x inequação 2
Inequação Simultâneas Continuando: Encontrando o conjunto solução de cada inequação, individualmente, temos:
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Continuando: A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção ( ) das soluções individuais, ou seja das soluções da Inequação 1 e 2: 1 2 = {x IR x > 1} {x IR x > 1}= {x IR x > 1} Observe que nesse exemplo, as desigualdades são iguais. Assim, a solução da desigualdade é S = {x IR x >1} = ]1, + )
Inequações Produto e Quociente
Inequações Produto e Quociente Sentenças matemáticas constituídas por desigualdades com produto ou quociente de funções. Essas inequações em geral, tem sua solução baseada no estudo da variação do sinal de uma função do 1 o grau e nas propriedades dos sinais do produto e do quociente dos números reais.
Inequação Produto Encontre o conjunto solução da inequação produto do 1º grau (x-4) (x+2)>0 Resolvendo: Cada um dos fatores (x-4) e (x+2) representa uma função do 1 o grau. Assim, iniciamos pelo estudo dos sinais dessas expressões que chamaremos de y e z, respectivamente. Para y = x-4 e z = x+2 temos: (1) Se y = x - 4, então sua raiz é obtida fazendo x - 4 = 0 x = 4. (2) Se z = x+2 então sua raiz é obtida fazendo x + 2 = 0 x = -2.
Inequação Produto Continuando: (1) (2) A solução da inequação produto é obtida a partir da integração das análises das variações de sinais de y e z, representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do produto dos números reais e analisamos o resultado final encontrado.
Inequação Produto Continuando: y z yz Assim, a inequação produto (x-4) (x+2)>0 está definida no intervalo real { x IR x < -2 ou x > 4}
Inequação Quociente Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação quociente do 1º grau: < 0 Resolvendo: A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação produto pois no conjunto dos números reais, a divisão ou multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de sinais. Assim, cada termo do quociente representa uma expressão do 1 o grau. Iniciamos pelo estudo dos sinais dessas expressões que chamamos de a e b, respectivamente.
Inequação Quociente Continuando: Para a = x-1 e b = x+5 temos: (1) Se a = x-1 então sua raiz é obtida fazendo x-1 = 0 x = 1. (2) Se b = x+5 então sua raiz é obtida fazendo x+5 = 0 x = -5. A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises das variações de sinais das expressões a e b, representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do quociente dos números reais e analisamos o resultado final encontrado.
Inequação Quociente Observe: Assim, a inequação quociente intervalo real { x IR -5 < x < 1} < 0 está definida no
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