INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA MPS 43 Sistemas de Controle LABORATÓRIO 03: Projeto de um Compensador um Método de Resposta em Frequência Data: Turma: Conceito: Nomes: Objetivos: Esta prática tem por objetivo: Materiais: Projetar um compensador em cascata LEAD (avanço de fase) para o servomecanismo da ECP utilizando o método baseado em diagrama de Bode. Verificar o desempenho do sistema de controle projetado utilizando: 1) simulação; 2) experimento. Kit ECP Modelo 220 Reset do DSP: Desktop\Lab3MPS43\ECPDSPResetmdl.mdl Teste degrau: Desktop\Lab3MPS43\TesteDegrau.mdl Identificação da planta: Desktop\Lab3MPS43\Lab3MPS43.m Instruções gerais: Escrever um script em MATLAB (.m) para a realização de todos os cálculos e geração de gráficos (para tal, complementar o arquivo Lab3MPS43.m fornecido). (1,0 ponto) Salvar os gráficos identificando-os com a questão em que foram solicitados. 1. Introdução 1.1. Planta O servomecanismo da ECP será novamente utilizado nesta prática. A Figura 1 mostra os detalhes construcionais da montagem experimental. O Disco 2 emula a carga, cujo deslocamento angular, θ 2, deseja-se controlar por meio do motor acoplado ao disco 1, u 1. 1
Figura 1. Planta a ser controlada. Nesta prática, será utilizada a seguinte configuração: Disco 1: 2 massas de 0,2 kg, com r w1 = 5 cm Disco 2: 2 massas de 0,5 kg, com r w2 = 10 cm RV: n r1 = 24 e n r2 = 36 1.2. Projeto de leis de controle Como visto na prática anterior, de forma geral, o projeto de uma lei de controle para uma dada planta requer como ingredientes o modelo da planta não compensada e a especificação do desempenho desejado. Uma vez que essas informações estejam disponíveis e, impondo-se que a estrutura do sistema de controle seja conforme ilustrado na Figura 2, então o projeto da lei de controle se resume ao cálculo de G c (s). Figura 2. Diagrama de blocos de um sistema de controle em malha fechada com compensador em cascata. 1.3. Método baseado no diagrama de Bode Dado que a estrutura do sistema de controle é aquela ilustrada na Figura 2, o projeto de tal sistema, por meio do enfoque do domínio da freqüência, se resume no cálculo da função de transferência G c (s) de maneira que a resposta em frequência do sistema compensado apresente características em conformidade com as especificações. Especificamente, usando o método baseado no diagrama de Bode, a compensação LEAD consiste tipicamente em inserir um avanço de fase na nova frequência de cruzamento de ganho com o objetivo de aumentar a margem de fase do sistema. A função de transferência de um compensador LEAD é dada por G c (s) = k c (s+b c ) (s+a c ), b c < a c (1) Os diagramas polar e de Bode dessa função de transferência são apresentados nas Figuras 3a e 3b. Do triângulo retângulo da Figura 3a, o ângulo de fase máximo, φ m, do compensador é tal que 2
sin(φ m ) = a c b c a c +b c (2) Fazendo-se a média aritmética entre os logaritmos das frequências de corte, a c e b c, obtém-se a frequência onde ocorre a máxima fase (vide Figura 3b), ω m = a c b c (3) k c 2 (a c b c a c ) 20log (k c ) 20log (k c b c /a c ) 20log (k c b c /a c ) k c b c /a c k c k c 2 (a c + b c a c ) (a) Figura 3. Características do compensador LEAD no domínio da frequência. (b) 2. Modelo da planta Como visto na prática anterior, pode-se rapidamente obter um modelo de segunda ordem, G(s) = Θ 2 (s)/u 1 (s), para o servomecanismo da ECP a partir de um simples teste de resposta ao comando degrau unitário. Tendo em vista a diferença entre as bancadas, tal procedimento será rapidamente repetido. a) Abra o arquivo Desktop/Lab3MPS43/ECPDSPresetmdl.mdl e resete o DSP. b) Abra o arquivo Desktop/Lab3MPS43/TesteDegrau.mdl e execute-o. Na curva resultante (Scope), leia M p e t p e calcule os parâmetros k e a do modelo G(s) = k/s(s + a) utilizando o script Desktop/Lab3MPS43/Lab3MPS43.m. Q1: Anote os valores de k e a. O diagrama de Bode (modelo não-paramétrico) obtido dessa função de transferência será em seguida utilizado no projeto de um compensador LEAD. 3. Projeto de um compensador LEAD Responda as questões Q2-Q7 de forma a projetar um compensador LEAD, como o da equação (1), para o sistema modelado por G(s). As especificações de desempenho são as seguintes: E: 1) Margem de fase desejada: γ d = 45 0 2) Constante de erro de velocidade desejada: k v,d = 15 3
Q2: Calcule o ganho DC do compensador, k DC k c b c /a c, de forma que G c (s)g(s) cumpra com a especificação de regime permanente (k v,d = 15). Q3: Utilizando o comando bode, obtenha o diagrama de Bode do sistema com ganho DC ajustado, k DC G(jω). Meça a margem de fase, γ, do sistema não compensado e determine o ângulo φ m necessário a ser adicionado à fase do sistema na nova frequência de cruzamento de ganho de forma que se cumpra a especificação de margem de fase (γ d = 45 0 ): φ m = γ d γ + 5 o (Explique a necessidade do termo de 5 o ). Q4: Utilizando a equação (2), determine a relação b c /a c necessária para que o compensador (1) produza o avanço de fase φ m calculado em Q3. Q5: Utilizando o valor k DC obtido em Q2 e a relação b c /a c obtida em Q4, calcule o valor do ganho de altas frequências do compensador, k c. Q6: Para que φ m contribua integralmente com o aumento da margem de fase, a frequência ω m deve ser ajustada como sendo a frequência de cruzamento de ganho do sistema compensado. Portanto, por meio do diagrama de Bode de G(s), escolha ω m igual à frequência ω onde G(jω) db = 20 log(k c b c /a c ). Com base na Figura 3b, justifique esse procedimento. Q7: Utilizando a equação (3) e o valor de b c /a c calculado em Q4, calcule os valores de a c e b c individualmente. G c (s) = Neste momento, tem-se a função de transferência do compensador LEAD, 4
4. Verificação Uma vez projetado o compensador, o sistema de controle em malha fechada deverá ter o seu desempenho verificado mediante simulação e experimento. 4.1. Simulação Q8: Utilizando o comando margin do MATLAB, obtenha o diagrama de Bode de G c (s)g(s), com o compensador G c (s) projetado na Seção 3. Salve o gráfico. Verifique se as especificações foram cumpridas. Q9: Obtenha (manualmente ou utilizando o comando feedback) a função de transferência de malha fechada (FTMF) do sistema compensado. Utilizando o comando bode, obtenha o diagama de Bode de malha fechada. Salve o gráfico. Q10: Suponha que o sistema esteja sujeito a uma interferência elétrica de 60Hz. Explique qualitativamente qual seria o efeito dessa interferência sobre o desempenho do sistema. 4.2. Experimento Utilizando o driver do ECPDSP e o compensador G c (s) projetado na Seção 3, construa o diagrama em Simulink ilustrado na Figura 4. Configure o Scope para salvar dados no Workspace numa estrutura com nome Dados. Figura 4. Diagrama em Simulink para realização de experimento. OBS: Os valores inseridos nas caixas de texto são ilustrativos. 5
Em seguida, será realizado um experimento para identificação da resposta em frequência do sistema compensado em malha fechada. Para tal, o sistema será excitado por uma entrada aleatória. Os dados de entrada/saída serão processados pelo algoritmo SPA (Spectral Analysis), disponível no System Identification Toolbox. Como excitação, utilize o bloco Sources/Band-Limited White Noise configurado com Power: (20 pi/180) 2 e Sample Time: 1. Configure o tempo de execução em 300 s e o período de amostragem do Scope em 0,1 s. Após resetar o DSP, compile o diagrama e execute o experimento. Finalizada a execução, estime a resposta em frequência através dos seguintes passos: a) Forme a estrutura com os dados experimentais no formato IDDATA: >> Y = Dados.signals.values(:,1); % sinal de saída >> R = Dados.signals.values(:,2); % sinal de entrada >> Z = iddata(y,r,0.1); % estrutura de dados b) Abra a interface gráfica da Toolbox: >> ident c) Importe a estutura de dados Z no ambiente gráfico da Toolbox: Em Import data, selecione Time domain data. Em Data Format for Signals selecione Data Object. Na caixa Object, escreva Z. Clique em Import. d) Estime a resposta em frequência: No menu pull-down estimate, selecione Spectral models. Escolha o método SPA (Blackman-Tuckey) e os demais parâmetros em seus valores padrão. Clique em Estimate e feche essa caixa de diálogo. e) Na tela principal do System Identification Tool, selecione o check box Frequency resp. Neste momento, aparecerá uma janela contendo o gráfico da resposta em frequência estimada. No menu file dessa janela, selecione copy figure para obter o correspondente gráfico no formato.fig. Q11: Compare as respostas em frequência de malha fechada simulada (obtida em Q9) e experimental (obtida no item (e) acima), plotando-as no mesmo diagrama. Salve o gráfico. Comente. Por fim, verifica-se o desempenho do sistema em malha fechada no domínio do tempo por meio de um teste com excitação do tipo degrau. Para tal, modifique o diagrama ilustrado na Figura 4 substituindo a excitação aleatória por uma do tipo degrau de magnitude 1 rad. Altere o tempo de execução para 10 s. Compile e execute o código correspondente. Finalizado o teste, obtenha o gráfico: >> Y = Dados.signals.values(:,1); % sinal de saída >> R = Dados.signals.values(:,2); % sinal de entrada >> T = Dados.time; % instantes de tempo >> plot(t,y,t,r); Q12: Meça o instante de pico e o overshoot. Comente. 6
Q13: Escreva uma conclusão que resuma o que essencialmente foi aprendido nesta prática. 7