de Carvalho
Revisão Analise Vetorial e Sist. de Coord. Revisão básica álgebra vetorial e Sist. de Coordenadas (Páginas 1 a 22 no Livro texto) Objetivo: Introduzir notação que será usada neste e nos próximos cursos. Relembrar as ferramentas matemáticas básicas que serão usadas. Revisar Sistemas de coordenadas 1
Revisão de Análise Vetorial Grandezas Escalares Ex: massa (m), temperatura (T), tensão elétrica (V) densidade (ρ), etc. Fasores Grandezas Vetoriais Ex: Campos elétrico e magnético (E e H), velocidade (v), posição (r p ) Notação (negrito): E, H, v, r p (ou E, H, v, r p ) Vetores unitários: a x, a y, a z, i, j, k (ou aˆ x, aˆ y, aˆ z ) 2
Análise Vetorial Grandezas Vetoriais possuem intensidade, direção e sentido no espaço. Diferentes formas de escrever: A x é um número 3
Análise Vetorial Campos Escalares representam a distribuição espacial de grandezas escalares. e.g. T( r ) = T(x, y, z) r = (x, y, z) é o vetor posição 4
Análise Vetorial Campos Vetoriais representam a distribuição espacial de grandezas que possuem intensidade, direção e sentido. Vetor Campo Vetorial Para visualizar Campos Vetoriais no espaço, os vetores do campo são amostrados em pontos discretos no espaço, embora o campo normalmente exista em toda a região. 5
Análise Vetorial Um Campo Vetorial em um sistema de coordenadas tridimensional é representado por três Campos Escalares (multiplicando vetores unitários). E x não é número, é função E x ( r ) = E x (x, y, z) E y ( r ) = E y (x, y, z) E z ( r ) = E z (x, y, z) 6 Campo Vetorial
Análise Vetorial Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo: Simulação Numérica) 7
Análise Vetorial Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo Simulação Numérica) 8
Análise Vetorial A magnitude ou valor absoluto de um vetor A em coordenadas cartesianas é dada por: Como fica o vetor unitário na direção de A? 9
Análise Vetorial Exemplo: A magnitude do vetor posição (r p ) do ponto P em coordenadas cartesianas é:! r p = 3 2 + 4 2 + 5 2! r p = 50 = 7, 07 O vetor unitário na direção r p é: â rp = 3â x + 4â y + 5â y 7, 07 10
Aritmética Vetorial Vetor distância R PQ (distância de P a Q) O vetor distância entre os pontos P e Q cujas posições são dadas pelos vetores posição r P e r Q é: R PQ = r Q r P Para os pontos da figura ao lado, qual é o vetor R PQ?! R PQ = (2 1)â x + ( 2 2)â y + (1 3)â z = â x 4â y 2â z 11
Algebra Vetorial O produto escalar entre dois vetores A e B é igual ao produto das magnitudes dos dois vetores pelo cosseno do angulo θ AB entre A e B: B A Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas? θ AB O produto escalar entre A = A x a x + A y a y + A z a z e B = B x a x + B y a y + B z a z é: 12
Algebra Vetorial O Produto escalar é útil para projetarmos um vetor em uma dada direção (encontrar componente do vetor nesta direção). E θ E x x E x = E a x E x = E a x cos θ 13
Algebra Vetorial O produto vetorial entre dois vetores A e B é o vetor cuja magnitude é a área do paralelepípedo formado por A e B e cuja direção e sentido são dados pela regra da mão direita com os dedos apontando para A e girando em direção a B. ˆ Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas? O produto vetorial entre A = A x a x + A y a y + A z a z e B = B x a x + B y a y + B z a z é: 14
Sistemas de Coordenadas Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si. Para realizar integrais no Sistema Cartesiano, O elemento de linha é: O elemento de superfície é: O elemento de volume é: 15
Sistemas de Coordenadas Sistemas de coordenadas cilíndricas Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cilíndrico para o cartesiano: Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o cilíndrico: 16
Sistemas de Coordenadas Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si. Para realizar integrais no Sistema Cilíndrico, O elemento de linha é: O elemento de superfície é: O elemento de volume é: 17
Sistemas de Coordenadas Sistemas de coordenadas esféricas Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema esférico para o cartesiano: Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o esférico: 18
Sistemas de Coordenadas Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si. Para realizar integrais no Sistema Esférico, O elemento de linha é: O elemento de superfície é: O elemento de volume é: 19
Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas Como fazemos para transformar vetores unitários entre os sistemas? 20
Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas Para transformar os vetores unitários do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos: Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos: 21
Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas Para transformar os vetores unitários do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos: Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos: 22
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Exemplo Dados o ponto P(-2, 6, 3) e o vetor A = ya x +(x+z) a y, expresse P e A coordenadas cilíndricas. Determine A em P no sistema cilíndrico. 25