CÁLCULO I Aula n o 29:Técnicas de Integração: Integrais Trigonométricas - Substituição Trigonométrica Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida
1 Integrais Trigonométricas
Iniciaremos com o seguinte exemplo: Calcule a integral indefinida sen 3 x dx.
Dessa forma, podemos estabelecer algumas regras para calcular as primitivas de potências de seno e cosseno. Seja n um número natural. Então cos n x dx = { Se n for ímpar faça u = sen x e cos 2 x = 1 sen 2 x Se n for par faça cos 2 x = 1 2 + 1 2 cos(2x) sen n x dx = { Se n for ímpar faça u = cos x e sen 2 x = 1 cos 2 x Se n for par faça sen 2 x = 1 2 1 2 cos(2x)
Calcule cos 5 x dx.
Calcule cos 5 x dx. Calcule sen 4 x dx.
Calcule cos 5 x dx. Calcule sen 4 x dx. Calcule cos 4 x dx.
Em busca de uma generalização para a integral das potências de seno e cosseno temos as seguintes fórmulas de recorrência que podem ser provadas utilização de integral por partes. Sendo n 2, temos que sen n x dx = 1 n sen n 1 x cos x + n 1 sen n 2 x dx n cos n x dx = 1 n cosn 1 x sen x + n 1 cos n 2 x dx n
Em busca de uma generalização para a integral das potências de seno e cosseno temos as seguintes fórmulas de recorrência que podem ser provadas utilização de integral por partes. Sendo n 2, temos que sen n x dx = 1 n sen n 1 x cos x + n 1 sen n 2 x dx n cos n x dx = 1 n cosn 1 x sen x + n 1 cos n 2 x dx n Calcule cos 5 x dx.
Agora, vamos determinar regras para calcular a integral de produtos de potências de seno e cosseno. Sejam m e n números naturais e considere a seguinte integral sen n x cos m x dx (i) Se n for ímpar, faça u = cos x; (ii) Se m for ímpar, faça u = sen x; (iii) Se n e m forem pares não nulos, faça sen 2 x = 1 cos 2 x ou cos 2 x = 1 sen 2 x. Ou então, faça cos 2 x = 1 2 + 1 2 cos(2x) e sen 2 x = 1 2 1 2 cos(2x).
Determine sen 3 (3x) cos 3 (3x) dx.
Determine sen 3 (3x) cos 3 (3x) dx. Calcule sen 2 x cos 2 x dx.
Determine sen 3 (3x) cos 3 (3x) dx. Calcule sen 2 x cos 2 x dx. Determine sen 5 x cos 2 x dx.
Em alguns casos, podemos calcular integrais de produto de senos e cossenos da forma sen (mx) cos(nx) dx sen (mx)sen (nx) dx cos(mx) cos(nx) dx Para isso, utilize as identidades (i) sen (mx) cos(nx) = 1 [sen (m n)x + sen (m + n)x] 2 (ii) sen (mx)sen (nx) = 1 [cos(m n)x cos(m + n)x] 2 (iii) cos(mx) cos(nx) = 1 [cos(m n)x + cos(m + n)x] 2
Calcule sen (4x) cos(5x) dx.
Calcule sen (4x) cos(5x) dx. Calcule sen (3x)sen (6x) dx.
Calcule sen (4x) cos(5x) dx. Calcule sen (3x)sen (6x) dx. Calcule cos(4π x) cos(π x) dx.
Agora, vamos verificar técnicas para calcular as integrais de potências de secante e tangente. Considere as integrais da forma: sec m x tg n x dx Então, (i) Se m é par, então mantenha um fator sec 2 x e use a relação sec 2 x = 1 + tg 2 x para expressar os fatores restantes. Em seguida, faça u = tg x. (ii) Se n é ímpar, mantenha um fator sec x tg x e utilize a relação tg 2 x = sec 2 x 1 para expressar os outros fatores. Em seguida faça a substituição u = sec x. (iii) Os outros casos, não possuem regras tão simples e talvez seja necessário utilizar as integrais indefinidas de tangente e secante.
Calcule tg 5 x sec 2 x dx.
Calcule tg 5 x sec 2 x dx. Calcule sec 5 x tg x dx.
Calcule tg 5 x sec 2 x dx. Calcule sec 5 x tg x dx.
Calcule tg 3 x dx.
Calcule tg 3 x dx. Determine sec 4 x dx.
Para calcular as integrais de potências de tangente e secante utilizamos as seguintes fórmulas de recorrência para n 2. sec n x dx = secn 2 x tg x + n 2 n 1 n 1 tg n x dx = tg n 1 x n 1 tg n 2 x dx sec n 2 x dx
Calcule tg 3 x dx.
Calcule tg 3 x dx. Calcule sec 3 x dx.
Calcule tg 3 x dx. Calcule sec 3 x dx. Calcule tg 2 x sec x dx.
Ao resolver certas integrais, f(x) dx não conseguiremos fazer uma substituição comum como fizemos em aulas passadas. Sendo assim, se faz necessário escrever a variável x como uma função inversível e derivável ϕ em função de uma variável u, com inversa derivável. Logo, fazendo a mudança x = ϕ(u), então du = ϕ (u) du e assim, f(x) dx = f(ϕ(u))ϕ (u) du
Ao resolver certas integrais, f(x) dx não conseguiremos fazer uma substituição comum como fizemos em aulas passadas. Sendo assim, se faz necessário escrever a variável x como uma função inversível e derivável ϕ em função de uma variável u, com inversa derivável. Logo, fazendo a mudança x = ϕ(u), então du = ϕ (u) du e assim, f(x) dx = f(ϕ(u))ϕ (u) du observando que, após calcular a integral indefinida no 2 o membro, deve-se voltar à variável x, através da inversa de ϕ. Essa técnica é chamada também substituição inversa. Nessa seção, estamos interessados nos casos em que a função ϕ é trigonométrica, chamando essa técnica de substituição trigonométrica.
1 Calcule x2 dx.
1 Calcule x2 dx. 1 Calcule + x2 dx
1 Calcule x2 dx. 1 Calcule + x2 dx x2 Calcule 1 dx.
Generalizando, podemos adotar Expressão Substituição a2 x 2, a > 0 x = a sen u π 2 u π 2 a2 + x 2, a > 0 x = a tg u π 2 < u < π 2 x2 a 2, a > 0 x = a sec u 0 u < π 2 ou π u < 3π 2
Calcule a área do círculo de raio r e centro na origem.
Calcule a área do círculo de raio r e centro na origem. Encontre 3 3 2 0 x 3 (4x 2 + 9) 3 2 dx.
Na próxima aula... Aplicações da Integral
Na próxima aula... Aplicações da Integral Área e Volume;
Na próxima aula... Aplicações da Integral Área e Volume; Trabalho;
Na próxima aula... Aplicações da Integral Área e Volume; Trabalho; Sólidos de Revolução;
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