2 ª SÉRIE EM ORIENTAÇÕES FINAIS Matemática 2 Prof. Heitor Achilles ORIENTAÇÃO DE ESTUDO CONTEÚDOS PARA A RECUPERAÇÃO FINAL COMBINATÓRIA: PFC, Permutações simples, Combinações simples, Permutação com elementos nem todos distintos, Combinações completas, números binomiais, Triângulo de Pascal e Binômio de Newton. PROBABILIDADE: Definição, Probabilidade com reunião e intersecção de eventos, probabilidade condicional, Probabilidade de eventos independentes e Probabilidade binomial. MATRIZES E DETERMINANTES: Operações com matrizes, matriz inversa, resolução de problemas envolvendo matrizes, cálculo de determinantes de matrizes 2x2 e 3x3, propriedades dos determinantes. SISTEMAS LINEARES: Resolução de sistemas lineares com três equações e três incógnitas. Importante: O foco dos estudos deve ser direcionado à resolução de problemas contextualizados, principal objetivo ao longo deste ano nas aulas de Matemática II. Sendo assim, segue uma lista de exercícios que apresenta ideias importantes relacionadas aos tópicos listados acima. 1. O almoxarifado de uma empresa adotou um código para classificar os produtos em estoque. O código é formado por uma letra do nosso alfabeto e três algarismos, sendo que o primeiro algarismo tem de ser par. Quantos são os diferentes códigos que eles poderão dispor? E se não for permitida a repetição de algarismos? 2. Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas porque produzem mistura explosiva? 3. De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e 4 mulheres e que a fila terá: A) os homens e as mulheres agrupados. B) homens e mulheres misturados C) homens e mulheres alternados MAT2012-202. - EM Heitor Achilles
4. (UERJ Adaptado) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, determine a quanto equivale X. 5. Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra: Qual é o número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra? 6. Um código para a leitura ótica é constituído por 6 barras, brancas ou pretas. Nenhum código tem barras de uma só cor. Veja dois exemplos desses códigos: Quantos desses códigos, distintos entre si, podem ser formados? 7. De quantas maneiras 3 casais podem ocupar 6 cadeiras dispostas em fila, de tal forma que as duas das extremidades sejam ocupadas por homens?
8. Quantos anagramas da palavra PROBLEMA: A) começam com R B) começam com P e terminam por M C) começam com P ou terminam por M 9. Numa classe de 10 estudantes universitários, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado, se dentre os estudantes existe um casal que não pode ser separado? 10. De um grupo com 7 mulheres e 5 homens deseja-se formar comissões de 5 pessoas onde cada uma delas deve ter pelo menos 3 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas nessas condições? 11. De quantas maneiras distintas podemos sair do ponto A e chegar ao ponto B, sabendo que só podemos caminhar a cada 1 unidade, sempre para a direita, horizontalmente, ou para cima, verticalmente? 12. Seja o lançamento de um dado comum. Qual a probabilidade de sair: A) Um número par? B) Um múltiplo de 3? C) Um número par ou múltiplo de 3? 13. Jogando-se dois dados, um branco e um vermelho, qual a probabilidade de sair dois números primos? 14. Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só Matemática, 10 estudam Física e 5 estudam Matemática e Física. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda Matemática também estudar Física. 15. Um levantamento feito com 200 funcionários de uma empresa apresentou o resultado a seguir: Homens Mulheres Fumantes 70 10 Não-fumantes 30 90 Sorteia-se um funcionário ao acaso. A) Qual a probabilidade que seja homem? B) Qual a probabilidade que seja mulher? C) Sabendo que foi sorteado um funcionário não-fumante, qual a probabilidade de que seja homem? D) Sabendo que foi sorteado um funcionário não-fumante, qual a probabilidade de que seja mulher? 16. Retirando-se duas cartas ao acaso, com reposição, de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de ser a primeira de ouros e a segunda de espadas?
17. Um grupo de 30 pessoas apresenta a composição: 20 italianos e 10 portugueses; 15 homens e 15 mulheres; 5 casados e 25 solteiros. Determine a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja um homem casado e português. 18. Um piloto de fórmula 1 estima que suas chances de subir ao pódio numa dada prova são de 60% se chover no dia da prova e de 20% se não chover. O Serviço de Meteorologia prevê que a probabilidade de chover durante a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio. 19. Num certo país, 10 % das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas. Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta? 20. A temperatura corporal de um paciente foi medida, em grau Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento a ij da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j. [ ] Determine: A) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura. B) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação. 21. Considere as matrizes: A = (a ij ) 2 x 2 tal que a ij = 3i + j, i,j B = (b ij ) 2 x 2 tal que b ij = i 3 j, i,j A) Determinar A -1 B T. B) Qual o valor de det (4A -1 B -1 )? 22. Sabendo que, calcule o valor numérico de cada determinante abaixo: A) = B) = C) = D) =
E) = 23. Uma fábrica produz dois tipos de peça P 1 e P 2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E 1 e E 2. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P 1 é R$ 3,00 e de cada peça P 2 é de R$ 2,00. A matriz abaixo fornece a quantidade de peças P 1 e P 2 vendidas a cada uma das empresas, E 1 e E 2, no mês de outubro. E 1 E 2 P 1 P 2 [ ] Determinar a matriz [ ], em que x e y representam os lucros, em real, obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças às empresas E 1 e E 2, respectivamente. 24. Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos: Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C; O destinatário recebe do remetente a matriz P, tal que MC = P, onde M é a matriz mensagem a ser decifrada; Considere o alfabeto com 23 letras, excluindo k, y e w; Cada número da matriz corresponde a uma letra do alfabeto 1 = a, 2 = b, 3 = c,, 23 = z; O número 0 corresponde ao ponto de exclamação; A mensagem é lida encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 m 31 m 32 m 33 Considere as matrizes: [ ] e [ ] Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, escreva a mensagem que foi enviada por meio da matriz M. 25. Resolva, se possível, os seguintes sistemas de equações lineares: A) { B) { C) {