ANTONIO FERNANDO BRANCO COSTA GRÁFICOS DE CONTROLE DE SHEWHART: DUAS DÉCADAS DE PESQUISA

ANTONIO FERNANDO BRANCO COSTA GRÁFICOS DE CONTROLE DE SHEWHART: DUAS DÉCADAS DE PESQUISA Ts d Lvr-Docêca arstada à Faculdad d Eghara do Camus d Guaratgutá, Uvrsdad Estadual Paulsta, ara a obtção do título d lvrdoct m Eghara da Qualdad. Guaratgutá 7

DADOS CURRICULARES ANTONIO FERNANDO BRANCO COSTA NASCIMENTO FILIAÇÃO 3..956 SÃO PAULO / SP Graldo José Barbosa Costa Magóla Braco Costa 975/979 Curso d Graduação FEG - UNESP 98/983 Mstrado ITA 984/989 Doutorado UNICAMP 995/996 Pós Doutorado Wscos Uvrsty Ctr for Qualty ad Productvty Imrovmt

DEDICATÓRIA aos mus ortadors d mstrado doutorado, rsctvamt Profssors Paulo Rato d Moras Sbastão d Amorm

AGRADECIMENTOS A FUNDUNESP, FAPESP, CAPES, ao CNPq. Aos mus co-autors Profssors Abdur Rahm, Maysa Sacramto D Magalhãs, Eugo Kah Ercht, Luz César Rbro Cartt, aos mus ortados Marcla Aarcda Gurrro Machado Frado Atoo Elas Claro.

COSTA, A. F. B. Gráfcos d Shwhart: Duas Décadas d Psqusa. 7. 63f. Ts d Lvr-docêca m Eghara da Qualdad Faculdad d Eghara do Camus d Guaratgutá, Uvrsdad Estadual Paulsta, Guaratgutá, 7. RESUMO Esta ts arsta, d forma comacta, os trabalhos mas mortats do autor, qu são frutos d uma squsa d vt aos sobr gráfcos d Shwhart. O autor studou os modlos qu dscrvm o to o stat d ocorrêca das causas scas, roôs ovos squmas d amostrags statístcas d motoramto. Mas rctmt, vm avalado a caacdad dos gráfcos d cotrol m salzar causas scas quado as obsrvaçõs são autocorrlacoadas roodo ovas statístcas ara o motoramto d rocssos mutvarados. PALAVRAS-CHAVE: Gráfco d Shwhart, squmas d amostrags, statístcas d motoramto, dados autocorrlacoados, rocssos multvarados

COSTA, A. F. B. Shwhart Charts: Two Dcads of Rsarch 7. 63f. Ts d Lvr-docêca m Eghara da Qualdad Faculdad d Eghara do Camus d Guaratgutá, Uvrsdad Estadual Paulsta, Guaratgutá, 7. ABSTRACT I ths work, a collcto of th most mortat author s ublcatos s rstd. Thy ar th rsult of two dcads of rsarch th qualty cotrol fld. Th author studd th modls that dscrb th way ad th tm th rocss chag, roosd w samlg rocdurs ad w statstcs for motorg. Mor rctly, h s studyg th rformac of th cotrol chart wh th data ar autocorrlatd ad, fally, roosg w statstcs for motorg multvarat rocsss. KEY-WORDS: Shwhart charts, samlg schms, w statstcs for motorg, autocorrlatd data, multvarat rocsss

LISTA DE FIGURAS FIGURA. Gráfco d X - ocorrêca d um alarm falso...3 FIGURA. Gráfco d X - ocorrêca d um alarm vrdadro...5 FIGURA.3 Curvas d Pd vrsus δ...6 FIGURA.4 Curvas d NMA vrsus δ...7 FIGURA. Gráfco d cotrol d X com amostras d tamaho varávl...3 FIGURA. NMA do gráfco d X com amostra d tamaho fxo varávl...33 FIGURA.3 Gráfco d cotrol d com amostras d tamaho varávl...37 FIGURA.4 NMA do gráfco d, squmas FSS, VSS...4 FIGURA.5 Gráfco d X com duas scalas...5 FIGURA.6 TES do gráfco d Shwhart do gráfco V...53 FIGURA.7 TES do gráfco d c com arâmtros fxos varávs...6 FIGURA 5. Gráfco EWMA com valors d Y...97 FIGURA 5. Gráfco d cotrol BIDU...8 FIGURA 5. Gráfco d cotrol BITWO...9 FIGURA 5.3 Gráfco d cotrol SyBIDU... FIGURA 5.4 Gráfco d cotrol SyBITWO... FIGURA 5.5 Gráfco d cotrol SyBITWO do xmlo lustratvo...9 FIGURA 5.6 Gráfco d cotrol VMAX... FIGURA 5.7 Gráfco d cotrol VMAX com amostragm dula...5 FIGURA 5.8 Pça do xmlo lustratvo...8 FIGURA 5.9 Gráfco d cotrol VMAX com amostragm dula - xmlo...3 FIGURA 6. NMA do gráfco d X...33 FIGURA 6. Vsão gráfca do squma d amostragm dula...35 FIGURA 6.3 NMA do gráfco d X com amostragm dula...37 FIGURA 6.4 NMA do gráfco d X com amostras d tamaho varávl...38

LISTA DE TABELAS TABELA. Valors d P d ara dfrts combaçõs d d δ...6 TABELA. Ifluêca d o NMA do gráfco d X, squma VSS...34 TABELA. Parâmtros dos gráfcos d cotrol d...38 TABELA.3 NMA s dos gráfcos d com amostras d tamaho fxo varávl 39 TABELA.4 Os stados da cada d Markov...4 TABELA.5 TES s dos gráfco d X, squmas VSSI, VSI VSS, 3...47 TABELA.6 TES s dos gráfco d X, squmas VSSI, VSI VSS, 5...48 TABELA.7 Ifluêca dos valors d, h k o TES do Gráfco d V...54 TABELA.8 Estados da cada d Markov...55 TABELA.9 Esqumas adatatvos - otação...59 TABELA. Parâmtros do gráfco adatatvo d c...6 TABELA. TES ara os gráfcos d c da tabla...6 TABELA 3. Projto ótmo dos gráfcos d cotrol d X R...73 TABELA 3. Estados da cada d Markov...76 TABELA 3.3 Valors d c,, A A,V,V,d,d,, δ...8 TABELA 3.4 Projto ótmo d um gráfco d X com arâmtros fxos varávs...8 TABELA 4. Valors do NMA ara os gráfcos d X R ara o gráfco d χ ( )..85 TABELA 4. Valors do NMA ara os gráfcos d X R d EWMA (5)...88 TABELA 4.3 Valors do NMA ara os gráfcos d X R d EWMA Y EWMA A...9 TABELA 4.4 Parâmtros do gráfcos d X R, squmas V, VSS, VSI F...9 TABELA 4.5 Parâmtros do gráfco d W, squmas V, VSS, VSI F...9 TABELA 4.6 TMS dos gráfcos d X R d W com arâmtros fxos varávs...93 TABELA 4.7 Gráfco d W adatatvo: fluêca dos arâmtros d rojto o TES...95 TABELA 4.8 Valors d X j, W Y...97 TABELA 4.9 A fluêca dos arâmtros d rojto o NMA do gráfco d EWMA S.99 TABELA 4. NMA dos gráfcos d X S, MaxEWMA, EWMA S (5)... TABELA 5. Efto do arâmtro L os valors do NMA do gráfco SyBITWO...5

TABELA 5. Efto do o NMA dos gráfcos BITWO SyBITWO...6 TABELA 5.3 Valors do NMA dos gráfcos SyBITWO (L) T VSS, 4...6 TABELA 5.4 Dados do xmlo lustratvo...8 TABELA 5.5 Valors do NMA do Gráfco d VMAX ( 5)... TABELA 5.6 Valors do NMA dos gráfcos d VMAX d S...3 TABELA 5.7 Valors d NMA dos gráfco d VMAX ( 4,, 8, ρ,5)...6 TABELA 5.8 NMA s dos gráfcos d VMAX d S com amostragm dula...6 TABELA 5.9 NMA s dos gráfcos d VMAX d S ( 4,, ρ,5)...7 TABELA 5. NMA s dos gráfcos d VMAX d S ( 4, 3, ρ,5)...8 TABELA 5. Dados ara o xmlo lustratvo...9 TABELA 5. Valors d S x, S y, S x, S y, VMAX VMAX...3

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS BIDU - Bvarado com amostragm dula BITWO - Bvarado com amostragm m dos stágos NA Númro d amostras até o sal NMA Númro médo d amostras até o sal SyBIDU - Bvarado com amostragm dula rgra scal d dcsão SyBITWO - Bvarado com amostragm m dos stágos com rgra scal d dcsão TS Tmo até o sal TES Tmo srado até o sal TEC Tmo srado d um cclo d rodução VMAX Corrsod ao maor valor das varâcas amostras, max{ S x, S y } VSS Amostras d tamaho varávl VSI Itrvalo tr amostrags varávl VSSI Amostras trvalo tr amostrags varávl V Amostras, trvalo tr amostrags abrtura dos lmts d cotrol varávl

LISTA DE SÍMBOLOS Os sguts símbolos foram utlzados or Costa (993) ara arstar su modlo coômco ara a obtção dos valors ótmos dos arâmtros dos gráfcos d cotrol d X R, vr sção 3.: μ valor alvo, ou valor m cotrol, da méda do rocsso; σ valor alvo, ou valor m cotrol, do dsvo adrão do rocsso; δ magtud do dslocamto da méda do rocsso, xrssa m udads do valor m cotrol do dsvo adrão σ ( δσ ); γ magtud do aumto do dsvo adrão, xrssa m udads do valor m cotrol do dsvo adrão σ ( γσ ); taxa horára d ocorrêca da causa scal qu altra a méda do rocsso; taxa horára d ocorrêca da causa scal qu altra a varabldad do rocsso; taxa horára d ocorrêca d causas scas ( + ); a custo fxo or amostragm; a custo varávl or amostragm; a 3 custo srado com a rocura a lmação das causas scas; ' a 3 custo com a arada dscssára do rocsso a busca d causas scas xstts; D tmo médo com a rocura d causas scas quado tas causas xstm; D tmo médo com a rocura subsqüt lmação d uma ou das duas causas scas; FD orctagm d ts ão coforms roduzdos quado o rocsso stá sto d causas scas; FD orctagm d ts ão coforms roduzdos quado a méda do rocsso stá fora do su valor alvo;

FD orctagm d ts ão coforms roduzdos quado a causa scal qu aumta a varabldad do rocsso stá rst; FD 3 orctagm d ts ão coforms roduzdos quado stão rsts as duas causa scas qu dslocam a méda do rocsso aumtam a varabldad; V lucro horáro quado todos os ts atdm as scfcaçõs, qu são stablcdas a 3,5σ d dstaca da dmsão omal; V lucro horáro quado o rocsso stá m cotrol, sto é, sto d causas scas; V lucro horáro quado a méda do rocsso stá fora d su valor alvo; V lucro horáro quado a causa scal qu aumta a varabldad do rocsso stá rst; V 3 lucro horáro quado stão rsts as duas causa scas qu dslocam a méda do rocsso aumtam a varabldad; tamaho da amostra; h trvalo d tmo tr amostrags; k fator d abrtura dos lmts d cotrol do gráfco d X ( CL X μ ± kσ / ); k fator d abrtura do lmt suror d cotrol do gráfco d R ( Φ () fução dstrbução ormal acumulada adrão; R amltud amostral; F W () fução dstrbução acumulada da varávl WR/σ; UCL R k σ ); α robabldad do rro do to I quado os gráfcos d cotrol d X R são utlzados m cojuto; odr cojuto dos gráfcos d X R quado a méda a varâca do rocsso stão fora d cotrol; odr cojuto dos gráfcos d X R quado aas a méda do rocsso stão dsajustada; odr cojuto dos gráfcos d X R quado aas a varâca do rocsso stão dsajustada;

q robabldad d qu dtro d um trvalo tmo tr amostrags tha sdo a méda do rocsso a s altrar, dado-qu o rocsso s dsajustou m algum stat d tmo dtro dst trvalo; q robabldad d qu dtro d um trvalo tmo tr amostrags tha sdo a varâca do rocsso a s altrar, dado-qu o rocsso s dsajustou m algum stat d tmo dtro dst trvalo; q 3 robabldad d qu, dtro d um trvalo tmo tr amostrags, méda varâca s altrm, dado-qu o rocsso s dsajustou m algum stat d tmo dtro dst trvalo; τ tmo médo tr a últma amostragm com o rocsso m cotrol o stat m qu l s dsajusta; τ tmo médo tr a últma amostragm com o rocsso sto da causa scal () o stat d sua ocorrêca,,; T X tmo médo m qu o rocsso rmac dsajustado com aas a méda fora d cotrol; T R tmo médo m qu o rocsso rmac dsajustado com aas o dsvo adrão fora d cotrol; T X tmo médo m qu o rocsso rmac dsajustado com a méda a varâca, fora d sus valors alvo; F custo horáro; V V V ; V V ; 3 V V3 ; V ' D a3 V V U + ; B / + h / τ ; B α x( h) /[ x( )]; h / + TX + TR TXR ; VD a3 B + W +

SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS LISTA DE SÍMBOLOS Itrodução...7 Gráfcos d Cotrol d Shwhart... Esqumas adatatvos duas...9. Esqumas adatatvos duas alcados ao tamaho das amostras...3.. Gráfco d cotrol d X...3.. Gráfco d cotrol d...34. Esqumas adatatvos duas alcados ao tamaho das amostras trvalo tr rtrada d amostras...4.3 Esqumas adatatvos duas alcados ao tamaho das amostras trvalo tr rtrada d amostras ao fator d abrtura dos lmts d cotrol...49.3. Gráfco d cotrol d X...49.3. Gráfco d cotrol d c...54 3 Estudo coômco dos gráfcos d cotrol...63 3. Estudo coômco dos gráfcos d cotrol d X R...63 3.. Notação...64 3.. Hótss do modlo...64 3..3 Podr d dtcção rsco d alarm falso...65 3..4 Tmo srado fora d cotrol...65 3..5 Modlo custo...69 3..6 Projto ótmo d gráfcos d cotrol...7 3. Estudo coômco dos gráfcos d cotrol d X com arâmtros varávs...74 3.. Hótss...75

3.. Dtrmação da cada d Markov assocada ao squma d motoramto...75 3..3 Fução d custo...78 4 Uma ova statístca ara o motoramto da méda da varâca...8 4. Gráfco d cotrol basado a statístca d qu-quadrado ão-ctral...8 4. Gráfco d cotrol d EWMA basado a statístca d χ ( )...86 4.3 Exmlo d alcação do gráfco d EWMA basado a statístca d χ ( )...96 4.4 Gráfco d χ ( ) ara a dtcção d dcréscmo a varabldad...98 5 Gráfcos d cotrol multvarados...4 5. Gráfcos d cotrol ara o motoramto do vtor d médas...5 5.. Gráfcos d cotrol bvarados com amostragm m dos stágos...6 5.. Gráfcos d cotrol bvarados com rgra scal d dcsão...9 5..3 Obtção das rordads dos gráfcos d cotrol com amostragm m dos stágos com rgra scal d dcsão... 5..4 Exmlo lustratvo...7 5. Gráfco d cotrol da maor varâca (Gráfco d VMAX)... 5.. Dscrção do gráfco d VMAX... 5.. Gráfco d VMAX com amostragm dula...3 5..3 Prordads dos gráfcos d VMAX com amostragm dula...5 5..4 Exmlo lustratvo...8 6 Motoramto d rocssos autocorrlacoados...3 6. Dscrção do modlo...3 6. Gráfcos d X com amostragm dula ara rocssos autocorrlacoados...3 6.3 Prordads dos gráfcos d X com amostragm dula...35 6.4 Gráfcos d X com amostras d tamaho varávl ara rocssos autocorrlacoados...37 7 Comtáros...39 Rfrêcas...4 Aêdc A Obtção do TES ara o gráfco d X com arâmtros varávs...49 Aêdc B Prova do torma B...55 Aêdc C Obtção do NMA ara o gráfco d VMAX...56

Aêdc D Obtção do NMA ara o gráfco d VMAX com amostragm dula...58 Aêdc E Exrssõs d ara o gráfco d X com amostragm dula...6

Gráfcos d Cotrol d Shwhart: Duas Décadas d Psqusa O trss do squsador los Gráfcos d Shwhart ão é rct, cou-s m 987, quado tão dfu o Cotrol Estatístco d Procssos como o assuto d squsa d sua ts d doutorado. A artr d tão, assou a studar o dsmho dos gráfcos d cotrol, a roor ovas statístcas d motoramto ovos squmas d amostrags, m scal os squmas adatatvos duas m qu o tamaho das amostras, /ou o trvalo tr rtrada d amostras h, /ou o fator d abrtura dos lmts d cotrol k ão são fxos, orém varam aas tr dos valors, um mímo um máxmo. Um oto a rgão d advrtêca do gráfco d cotrol tsfca o motoramto, os h k assumm valors mímos o su valor máxmo. Um oto a rgão ctral do gráfco d cotrol atua o motoramto, os h k assumm valors máxmos o su valor mímo. Para uma msma taxa d sção cdêca d alarms falsos, os squmas duas as statístcas roostas mlhoram o dsmho dos gráfcos d Shwhart a dtcção d causas scas qu altram os arâmtros do rocsso. Os trabalhos mas rcts do squsador tratam do motoramto d rocssos autocorrlacoados, da roosção d ovas statístcas ara o motoramto d rocssos multvarados, da alcação dos squmas adatatvos com os gráfcos d cotrol utlzados o motoramto d rocssos multvarados. Itrodução No ao d 98, o squsador fo cotratado la UNESP, m rgm d ddcação tgral a docêca a squsa - RDIDP, ara mstrar tr outras, as dsclas d Estatístca d Cotrol d Qualdad. Vsado um cotíuo armoramto da atvdad d docêca assou tão a dsvolvr squsas, calmt m rocssos stocástcos (Costa, 983) subsqütmt m motoramto d rocssos (Costa, 989). Em 993 ublcou su rmro artgo m ródco tracoal, qu tratou do motoramto cojuto da méda da 7

varâca do rocsso los gráfcos d cotrol d X R (Costa 993). Basado o modlo coômco d Duca (956) roôs um modlo mas ralístco ara a ocorrêca das causas scas. Até tão, or smlcdad, suuha-s qu uma úca causa scal altrava ambas, a méda a varâca do rocsso. No studo roosto, o squsador adotou uma hóts mas ralístca d duas causas scas, uma a aftar o arâmtro d osção do rocsso, outra o arâmtro d dsrsão, sdo ambas totalmt ddts (Al-Sulta Rahm (997), sção.6). Icalmt, foram adotadas duas dstrbuçõs xocas ddts ara dscrvr o momto da ocorrêca d cada causa scal. Em studos subsqüts, otou-s or uma dstrbução mas gral, a d Wbull (Costa Rahm (), Rahm Costa ()). Em 994, o squsador ublcou a rvsta Joural of Qualty Tchology su mas mortat artgo (Costa, 994) m qu roôs, la rmra vz, varar o tamaho das amostras, os squmas adatatvos duas. D acordo com a Wb of Scc st artgo já fo ctado m 44 trabalhos ctífcos, srvu d sração ara os squmas adatatvos duas (squma VSSI) m qu tato o tamaho das amostras quato o trvalo tr rtrada d amostras ão são fxos, os, dddo da svrdad dsjada ao motoramto, assumm um valor mímo, ou tão um valor máxmo. O motoramto s tora svro aós a ocorrêca d um oto a rgão d advrtêca do gráfco d cotrol, quado tão s sra um tmo mímo ara tomada d uma ova amostra qu, m gral, é costtuída or um grad úmro d ts. Por outro lado, o motoramto s tora atuado aós a ocorrêca d um oto a rgão ctral do gráfco d cotrol, os s sra mas tmo do qu o usual ara tomada d uma ova amostra qu, m gral, é costtuída d um úco tm. O squma VSSI fo roosto ara os gráfco d cotrol d X (Costa (997, 998b)), orém logo assou a sr utlzado com os mas dvrsos tos d dsostvos statístcos d motoramto, cludo os squmas EWMA CUSUM (Arold Ryolds (), Ryolds Arolds ()), os gráfcos d cotrol or atrbutos (Costa (993a), Ercht Costa (), Ercht t al. (3, 5)), os gráfcos multvarados (Aars (996) Aars Haro (, 3)). Ao s varar o fator d abrtura dos lmts d cotrol dos gráfcos d Shwhart tm-s uma oortudad adcoal ara mlhorar o dsmho. Com lmts saçados o motoramto atuado, lmts strtos o motoramto svro, é ossívl dmur o 8

tmo d dtcção das causas scas, sm s aumtar à cdêca d alarms falsos ou msmo a taxa d sção (Costa (998, 998a, 999a, 999b)). Os squmas adatatvos duas com todos arâmtros varávs (squma V) clum os arâmtros, h k, rsctvamt, o tamaho das amostras, o trvalo tr rtrada d amostras o fator d abrtura dos lmts d cotrol. O artgo da rvsta IIE-Trasactos (Costa, 998), m qu o squsador arsta o squma V, fo rmado como o mlhor artgo do ao da sção Qualdad Eghara d Cofabldad. O rojto coômco ou coômco-statístco dos gráfcos d Shwhart com arâmtros varávs tm sdo objto d squsa d város squsadors (Costa Rahm (), D Magalhãs Costa (5), D Magalhãs t al. (,, 6), Park Km (4), D Magalhãs Moura Nto (6)). O studo das rordads dos gráfcos d cotrol adatatvos sob a hóts d ão ormaldad da varávl d motoramto tm sdo objto d squsa (L Chou (5, 5a, 7)). O squma d motoramto com amostras sulmtars é uma varat do squma adatatvo dual m qu o trvalo d tmo tr rtrada d amostras é varávl (Varabl Samlg Itrval -VSI). No squma d motoramto com amostras sulmtars, tr os stats fxos obrgatóros d rtradas d amostras são rmtdas as rtradas d amostras adcoas, gualmt saçadas tr s, smr qu s sustar das codçõs do rocsso formaçõs adcoas sobr o msmo sjam cssáras ara s tomar à dcsão d ará-lo ou ão (Costa, 998b). Amostras obrgatóras são, or xmlo, tomadas a cada ma hora, quado há cssdad uma ou duas amostras adcoas são tomadas, rsctvamt, smr aos dz aos vt mutos aós a rtrada da amostra obrgatóra. Em Costa (), é roosto o gráfco d X com amostras sulmtars. A cada stat d amostragm, scoa-s aas um tm da rodução; s a mdda dst tm é róxma do valor alvo, a amostragm é trromda, caso cotráro, todos os ts d uma amostra sulmtar são scoados as statístcas d X R são calculadas comaradas com os lmts dos gráfcos d cotrol da méda da amltud. O gráfco roosto é rojtado ara qu a frqüêca rqurda d amostras sulmtars, durat o ríodo m qu o rocsso rmac sob cotrol, ão xcda a 5%. Já o squma d amostragm m dos stágos (Costa Rahm, 4 6), é uma artcularzação da amostragm dula roosta or Daud (99). Na amostragm dula, a amostra é dvdda m duas sub amostras xcludts. Iscoa-s tão a rmra sub amostra,, com bas as formaçõs obtdas, dv-s dcdr s a amostragm dv sr 9

trromda o rocsso cosdrado sob cotrol ou ão; ou tão, s a dcsão sobr o stado do rocsso dv sr adada ara aós a sção d todos os ts da amostra. Na amostragm m dos stágos, scoa-s o rmro stágo oucos ts da amostra, m gral aas um. Com as formaçõs do rocsso obtdas com a sção dst tm, dcd-s s a amostragm dv sgur ou ão ara o sgudo stágo, quado tão s scoa toda a amostra. S a amostragm ão sgu ara o sgudo stágo, o rocsso é automatcamt julgado m cotrol. A grad vatagm da amostragm m dos stágos é qu o rmro stágo a sção od sr fta or atrbutos. Nas codçõs m qu o rocsso rmac logos ríodos m cotrol, a maor art das vzs, a amostragm ão sgu ara o sgudo stágo, dssado as msuraçõs os cálculos matmátcos ara, or xmlo, s obtr a méda ou a varâca amostral. Em outra vrtt d sus studos, o autor vm roodo ovas statístcas ara o motoramto d rocssos, tas como a statístca d qu-quadrado ão ctral (Costa D Magalhãs (5a, 7), Costa Rahm (4a, 6, 6a, 6b), Costa, D Magalhãs Ercht (5)). O gráfco d cotrol basado a statístca d qu-quadrado ão ctral tm s mostrado mas fct qu os gráfcos cojutos d X R. Uma das hótss báscas ara a alcação dos gráfcos d Shwhart é a da ddêca tr obsrvaçõs coscutvas do rocsso. Com a automação crsct sta hóts vm dxado d sr válda, cosqütmt a autocorrlação xstt tr obsrvaçõs dv sr lvada m cota quado da costrução dos gráfcos d cotrol. Nst stdo, o squsador vm s ddcado ao studo dos gráfcos d cotrol quado as obsrvaçõs ão são ddts, mas s ajustam aos modlos autorgrssvos usuas, sto é, modlos AR ARMA (Costa Claro (8)). Boa art dos studos laborados lo squsador tratou dos gráfcos d cotrol uvarados. O aumto da comlxdad dos ívs d automação dos rocssos dustras a crsct dsobldad d suort comutacoal têm aumtado o trss lo motoramto smultâo d váras caractrístcas d qualdad, também chamadas d varávs do rocsso (Lowry Motgomry, 995). Pouco a ouco, o squsador vm stddo ara os rocssos multvarados, as stratégas d motoramto orgalmt cradas ara rocssos uvarados (Costa Machado, 7).

Caítulo. Gráfcos d Cotrol d Shwhart. Os gráfcos d cotrol surgram m 94, quado Shwhart, tão fucoáro da Bll Laborators, ublcou rlatóro técco vsado dvulgar os fudamtos d uma técca statístca dstada ao motoramto d rocssos. No íco, como ra d s srar, oucos acrdtaram o otcal dsta ova técca. Pouco a ouco, o tato, os gráfcos d cotrol gaharam a fama d srm frramtas odrosas d motoramto. A década d 7 od sr cosdrada como a década dos gráfcos d Shwhart; o lma da éoca ra: só s assgura qualdad d rocssos qu stjam sob o motoramto d gráfcos d Shwhart. Esta fbr tv su lado bom su lado rum. O lado bom fo qu o uso tso dos gráfcos d cotrol facltou a dvulgação d dvrsas téccas statístcas, scalmt dsvolvdas ara o motoramto d rocssos dustras. O lado rum fo qu, m fução da rssão atural grada lo modsmo da éoca, os gráfcos d Shwhart assaram a sr utlzados d forma dvda, ou or, m stuaçõs dscssáras, cado assm o dscrédto. Ada hoj, s st o fto dst modsmo. Quado o gráfco d Shwhart, mas scfcamt o gráfco d X, stá m uso, motorado um rocsso, amostras d tamaho são rtradas dgamos a cada 5 mutos, ou a cada ma hora, o valor da statístca X calculado ara cada amostra é lotado o gráfco d cotrol. Est dsostvo statístco od sr vsto como uma sqüêca d tsts d hótss, od, a cada 5 ou 3 mutos, tstamos smr as msmas hótss: H : Procsso m cotrol (.) H : Procsso fora d cotrol (.) Outras maras d dscrvr as hótss H H são: H : Procsso ajustado (.3) H : Procsso dsajustado (.4)

ou H : Procsso ctrado o valor-alvo (.5) ou ou, ada, H : Procsso ão ctrado o valor-alvo (.6) H : Procsso lvr d causas scas (.7) H : Procsso sob a fluêca d causas scas (.8) H : μ μ (.9) H : μ μ (.) od μ é o valor-alvo ou o valor médo m cotrol da varávl alatóra X. A hóts H é acta como vrdadra todas as vzs qu o valor d X car dtro dos lmts d cotrol. Já a hóts H é acta como vrdadra smr qu o valor d X car fora dos lmts d cotrol. S o rocsso stvr m cotrol ( H vrdadra), α rrsta o rsco (robabldad) d rroamt s cosdrar o rocsso fora d cotrol ( alarm falso ). S o rocsso stvr fora d cotrol ( H vrdadra), β rrsta o rsco (robabldad) d rroamt s cosdrar o rocsso m cotrol ( ão-dtcção ). A cosqüêca d ordm rátca assocada ao rro do to I (alarm falso) é trvr o rocsso a hora rrada, quado o msmo stá sto d causas scas (o qu m s já acarrta um custo d trrução do rocsso, d mão d obra além d um rsco d dsajustar um rocsso qu stava ajustado); a cosqüêca d ordm rátca assocada ao rro do to II (ão dtcção) é ão trvr o rocsso a hora crta, quato o msmo stá sob a fluêca d causas scas. As robabldads d alarm falso (α) d ão-dtcção (β) são dadas or: α Pr[ X > LSC X ou X < LIC μ μ ] (.) X

β Pr[ LIC < X < LSC μ μ ] (.) X X O odr do gráfco d cotrol, P d, é dfdo como sdo a robabldad d dtcção ( P β ). d A Fgura. rtrata a ocorrêca d um alarm falso. Nssa fgura, a hóts H é vrdadra, os a méda μ da varávl alatóra X é gual ao valor-alvo μ X. Tradcoalmt, os lmts d cotrol do gráfco d X são stablcdos usado os valors m cotrol dos arâmtros do rocsso, μ σ a ± 3 dsvos adrõs amostras, σ X, da lha méda (LM μ ), ou sja, m μ ± 3σ /. X ~ N( μ ; σ ) ~ N( μ; σ / X X ) LSC μ + 3σ / Alarm falso LM μ LIC μ 3σ / 5 3 45 6 75 9 5 Mutos Fgura.. Gráfco d X ocorrêca d um alarm falso (Costa, Ercht Cartt, 5) 3

Para uma abrtura dos lmts d cotrol d ± 3 dsvos adrõs amostras, o rsco α é gual a,7. Etão, durat o ríodo m qu o rocsso rmac stávl ajustado, ortato sob cotrol, ssa é a robabldad d o valor d X car a rgão d ação do gráfco (acma do LSC, ou tão, abaxo do LIC); ou sja, é a robabldad qu cada amostra tm d grar um alarm falso. A dstrbução do úmro d amostras, L, qu atcdm um alarm falso (cludo a amostra qu gra o alarm falso), é gométrca d arâmtro α: Pr[ d L d] ( ), d,, 3, (.3) Por xmlo, a Fgura. tmos L7. A méda da dstrbução gométrca é gual a /, ortato o úmro médo d amostras até um alarm falso é gual a / α. Em outras alavras, com lmts d 3 sgma, trmos m méda um alarm falso a cada /,7 37,4 otos lotados. Caso o usuáro cosdr sta frqüêca d alarms falsos actávl, a altratva cosst m alargar os lmts d cotrol, or xmlo aumtar k d 3, ara 3, (k é o fator d abrtura dos lmts d cotrol, ou sja, LIC μ k / LIC μ + k / ). Com k 3,, o rsco d alarm falso dmu ara σ σ,9 o tmo médo tr alarms falsos aumta ara (/,9) h 56,7 h, sdo h o trvalo d tmo tr rtrada d amostras. S uma amostra é rtrada do rocsso a cada 5 mutos, tão, m méda, tr-s-á um alarm falso a cada 56,7/49 horas d rodução. O rsco α é fução aas do fator d abrtura dos lmts d cotrol, k. S or um lado o tamaho d amostra,, ão afta a robabldad d alarm falso α, or outro lado l tm uma fluêca grad o odr do gráfco d cotrol Quado a hóts H é a hóts vrdadra (rocsso sob a fluêca d causas scas), o dal sra qu o rmro oto lotado já caíss fora dos lmts d cotrol (salzado o stado d falta d cotrol). Cotudo, sto m smr ocorr, m scal s o dslocamto sofrdo la méda do rocsso for quo. É usual xrssar st dslocamto 4

m udads guas ao dsvo adrão da varávl X, d forma qu o ovo valor da méda, μ, od sr scrto como μ μ + δσ, ortato δ μ μ σ (.4) D um modo gral, s δ, 5, tão radamt um valor d X cará fora dos lmts d cotrol. Caso cotráro, xstrá uma crta érca. Por xmlo, a Fgura., o sal só ocorr quado o 5º valor d X é lotado. Nssa Fgura, a hóts H é vrdadra orqu a méda da varávl X é dfrt d μ ; a vrdad la é gual a μ + δσ. A Tabla. arsta valors d P d ara dfrts combaçõs d δ d. A Fgura.3 arsta as curvas d P d vrsus o dslocamto δ, ara, 3, 4, 5, 9 6. μ X X ~ N( μ ; σ ) ~ N( μ + δσ ; σ / X X ) LSC μ + 3σ / Alarm vrdadro LM μ δσ μ μ + δσ LIC μ 3σ / 5 3 45 6 75 9 Mutos Fgura.. Gráfco d X ocorrêca d um alarm vrdadro (Costa, Ercht Cartt, 5) 5

Tabla.. Valors d P d ara dfrts combaçõs d d δ (Costa, Ercht Cartt, 5) δ 3 4 5 9,5,4,5,6,7,,5,,6,3,3,67,75,6,44,67,93,7,56,,59,,5,5,9,,39,49,773,5,9,344,5,638,933,43,679,84,93,999 3,893,986,999 Podr,,9,8,7,6,5,4,3,,, 3 4 5 9 6,5,5,5 3 δ (dslocamto) Fgura.3. Curvas d P d vrsus δ (Costa, Ercht Cartt, 5) 6

A mdda d fcêca mas usual dos gráfcos d cotrol é o NMA, úmro médo d amostras até o sal. A Fgura.4 arsta as curvas do NMA vrsus o dslocamto δ. Exmlo, m méda, são cssáras amostras (NMA) d tamaho 3 (3), ou (NMA) d tamaho 9 (9) ara s dtctar um dslocamto a méda do rocsso d um dsvo adrão (δ,). NMA/Pd (.5) NMA 3 4 5 9 6,5,75,5,5,75 δ (dslocamto) Fgura.4. Curvas d NMA vrsus δ (Costa, Ercht Cartt, 5) O gráfco d Shwhart salza uma dtroração do rocsso smr quado um oto ca m sua rgão d ação. D acordo com os fudamtos stablcdos or Shwhart, smr qu um oto é lotado a rgão d ação do gráfco, o rsosávl lo rocsso dv trromê-lo mdatamt, vsado cotrar causas scas qu aftam a qualdad dos rodutos, xmlo, um dsgast d frramta qu altra a dmsão dos xos qu stão sdo maufaturados. Na rátca, cotudo, oucos são aquls qu sgum a rgra stablcda or 7

Shwhart, a maora rfr srar a ocorrêca d um sgudo oto a rgão d ação. As rordads dos gráfcos d cotrol ddm das rgras d motoramto. Assm, ao s srar, d forma dscrmada, lo sgudo oto a rgão d ação do gráfco d cotrol, aumta-s, d forma absurda, o NMA (Costa, Ercht Cartt (5)). É smr trssat roor ovas rgras d motoramto, cotudo, sm um studo cautloso da fluêca dstas a rformac do gráfco d cotrol, m gral, cra-s dsostvos d motoramto fcts, ou or grar um úmro absurdo d alarms falsos, ou la morosdad a salzação d uma causa scal (NMA muto grad). 8

Caítulo. Esqumas Adatatvos Duas A smlcdad oracoal dos gráfcos d Shwhart tm sdo a rcal motvação ara o su uso tso o motoramto d rocssos rodutvos. Cotudo, sta smlcdad oracoal, sto é, d s tomar amostras d tamaho a cada h horas vstgar o rocsso somt quado um oto amostral ca fora dos lmts d cotrol, faz dos gráfcos d Shwhart um dsostvo lto a dtcção d quas altraçõs o rocsso. Por cota dsto, os gráfcos d Shwhart vm sdo gradualmt substtuídos or outros gráfcos, tas como os gráfcos das somas acumuladas ou os gráfcos das médas móvs, oracoalmt mas comlxos, orém ágs a dtcção d quas mudaças o rocsso. O avaço tcológco vm tsfcado sta tdêca, vsto qu os rocssos stão cada vz mas robustos (robustos o stdo d roduzrm ts cada vz mas guas m trmos d so, dmsõs, comosção, tc.). Nst cotxto, quas altraçõs o rocsso odm sr crítcas, ortato dvm sr dtctadas corrgdas com radz. Nsts últmos vt aos, scal atção tm sdo dvotada aos gráfcos d Shwhart vsado a sua utlzação o motoramto d rocssos robustos. A déa básca cosst m s varar os arâmtros d rojto dos gráfcos d Shwhart d mara arorada, tr um valor mímo um valor máxmo (Tagaras, 998). Ests arâmtros são o tamaho da amostra, o trvalo d tmo tr rtrada d amostras h, o fator d abrtura k dos lmts d cotrol (o caso artcular do gráfco X, os lmts d cotrol são dados or μ ± σ, od μ k / σ são rsctvamt a méda o dsvo adrão da varávl X com o rocsso m cotrol). Assm, quado há sustas d qu o rocsso s altrou, o cotrol s tora mas rígdo, caso cotráro l é rlaxado. Sustas d qu o rocsso s altrou são obtdas quado um oto amostral ca a chamada rgão d advrtêca do gráfco (vja Fgura.). Nstas codçõs, o cotrol s tora mas rígdo orqu s toma uma, duas ou todas das sguts mddas: a) Rdução o tmo d sra ara a rtrada da róxma amostra (valor mímo d h); b) Aumto do tamaho da róxma amostra (valor máxmo d ); c) Estrtamto dos lmts d cotrol (valor mímo d k). 9

Um oto amostral a rgão ctral do gráfco é uma dcação d qu o rocsso ão sofru altraçõs. Nstas codçõs, o cotrol é rlaxado orqu s toma uma, duas ou todas das sguts mddas: a) Aumto o tmo d sra ara a rtrada da róxma amostra (valor máxmo d h); b) Rdução do tamaho da róxma amostra (valor mímo d ); c) Alargamto dos lmts d cotrol (valor máxmo d k). A déa d varar o trvalo tr rtrada d amostras fo rmro xlorada com os gráfcos d X (Ryolds t al.(988), Rugr Pgatllo (99), Am Mllr (993), Rugr Motgomry (993), Baxly (995), Ryolds t al. (996), Ryolds (996)), mas logo s stdu ara outros gráfcos (Ryolds t al. (99), Saccucc t al. (99)). Por sua vz, Prabhu, t al. (993) Costa (994) studaram os gráfcos d X com o tamaho das amostras varávl... Esqumas Adatatvos Duas Alcados ao Tamaho das Amostras Costa (994) roôs ara o gráfco d X o uso do squma d amostrags com amostras d tamaho varávl. Ercht Costa () adotaram st squma com o gráfco d... Gráfco d Cotrol d X Costa (994) roôs o gráfco d cotrol d X com amostras d tamaho varávl (VSS - Varabl saml sz) ara o motoramto d um rocsso qu stá sujto a ocorrêca d uma causa scal. O rocsso ca-s m cotrol com a méda μ μ. A causa scal dsloca a méda do rocsso d μ ara μ μ ± δσ, sdo δ >. Amostras alatóras d tamaho varávl são xtraídas do rocsso a cada h horas. As médas amostras são lotadas m um gráfco d cotrol d X com lmts d advrtêca μ ± wσ lmts d ação μ X ± kσ, com X w < k. Para facltar a arstação, os otos amostras lotados o gráfco d cotrol srão as médas amostras adrozadas, sto é, ( X μ ) / σ, vr Fgura.. Nss caso, os lmts d advrtêca d ação srão smlsmt ± w ± k, rsctvamt. A vstgação d causas scas srá mrdda quado o oto amostral ão rtcr ao trvalo (-k, k). O tamaho da róxma amostra dd da osção do oto amostral da amostra atual, m rlação aos lmts do gráfco d cotrol. S o oto amostral rtc ao trvalo ( w, w ), X 3

tão a róxma amostra srá costtuída d ts; s o oto amostral rtc ao trvalo ( k, w ] ou [ w, k), tão a róxma amostra srá costtuída d ts, sdo >. A Fgura. arsta um gráfco d X com amostras d tamaho varávl. ( Xμ ) / σ X k w -w -k 3 4 5 Númro da amostra > amostras d tamaho > amostras d tamaho Fgura.: Gráfco d cotrol d X com amostras d tamaho varávl (Costa, Ercht Cartt, 5) As rordads dos gráfcos d cotrol d X com amostras d tamaho varávl são dtrmadas lo úmro d amostras, NA, rtradas do rocsso até o alarm. Para um rocsso m cotrol ( μ μ ), o NA dv sr grad d tal sort qu a taxa d alarms falsos sja baxa. Para um rocsso fora d cotrol ( μ μ ), o NA dv sr quo ara uma ráda dtcção da causa scal. Para a obtção do úmro médo d amostras até o sal, NMA, faz-s uso das rordads das cadas d Markov,, NMA r ( Q) (.) 3

od I é matrz dtdad x, é o vtor x d us, a matrz Q cotém as robabldads d trasção, Pr[ Y < w Y ~ N( δ, )], (.), Pr[ w Y < k Y ~ N( δ, )],. (.3), O vtor r é o vtor d robabldads cas; r (, ), sdo a robabldad d qu a rmra amostra rtrada do rocsso aós a ocorrêca da causa scal sja uma amostra costtuída d ts. A otação Y ~ N( μ, σ ) é utlzada ara uma varávl Y ormalmt dstrbuída com méda μ varâca σ. Da xrssão (.) obtém-s od: NMA + ( ) (.4) ( )( ) ( )( ) Pr[ Z < w Z < k ] sdo Z ~ N(,). O cofct d abrtura do lmt d advrtêca, w, é ajustado ara qu durat o ríodo m cotrol, o gráfco d X com amostras d tamaho varávl tha a msma taxa d sção do gráfco d X com amostras d tamaho fxo, ortato: ( + ) A Fgura. comara o gráfco d X com amostras d tamaho varávl (VSS) com o gráfco d X com amostras d tamaho fxo (FSS). A adoção d amostras d tamaho varávl rduz o NMA substacalmt. 3

NMA 45 4 35 3 5 5 5 VSS FSS,5,6,7,8,9,,,3,4,5 δ Fgura.: NMA dos gráfcos d X com amostras d tamaho fxo ( 4 k3,) com amostras d tamaho varávl (,, k,9 k3,) A Tabla. lustra a fluêca do valors d o NMA do gráfco d X com amostras d tamaho varávl. Quado s aumta o valor d, ou s rduz o valor d, o gráfco d cotrol salza quas (modradas) mudaças a méda com maor (mor) radz. 33

Tabla.: Ifluêca dos valors d o NMA do gráfco d X, squma VSS 4 δ 8 8, 37,4 37,4 37,4,5 38,9 6,9 4,6,5 5,9 8, 7,,75 6,54 4,6 6,73,,76,46,75,5,7,8,64,5,3,54,.. Gráfco d Cotrol d Ercht Costa () rousram o gráfco d cotrol d com amostras d tamaho varávl (VSS) ara o motoramto d um rocsso qu stá sujto à ocorrêca d uma causa scal. O rocsso ca-s m cotrol, com cada tm roduzdo tdo uma robabldad d sr ão coform. Aós a ocorrêca da causa scal o rsco d um tm roduzdo sr ão coform aumta d ara. Amostras alatóras d tamaho varávl são xtraídas do rocsso o úmro d ts ão coforms dtro d cada amostra é a statístca (oto amostral) lotado o gráfco d cotrol d. O tamaho da róxma amostra dd da osção do oto amostral da amostra atual, m rlação aos lmts do gráfco d cotrol. S o oto amostral é lotado abaxo do lmt d cotrol, log dst, a róxma amostra srá costtuída d ts; s o oto amostral é lotado abaxo do lmt d cotrol, mas róxmo a st, a róxma amostra srá costtuída d ts, sdo <. Dst modo, o gráfco d cotrol d é costruído com lmts d advrtêca duas scalas (vd Fgura.3). Os otos abaxo dos lmts d advrtêca (LA) são cosdrados dstats dos lmts d cotrol (LC), os otos amostras advdos d amostras quas (grads) são lotados 34

utlzado-s a scala da squrda (drta). Ercht Costa () obtvram a sgut xrssão do NMA ara o gráfco d cotrol d com o tamaho das amostras varávl: NMA r ( q q ) + ( r )( q ( q )( q ) q q (.5) q ) od q a j j (- ) j j,, ad a t( LA ) q b j a + j (- ) j j,, b t( LC ) ( r + ( 3-3 )) + ( ( + 3 - ( 3 ) 3-3 )) + 4( 3-3 ) sdo t(y) o maor tro mor qu ou gual a Y, a j j o (- ) j j,, a Maor Itro LA u j a + j o (- ) j j,, u Maor Itro LC 3 -,,. Quado o rocsso stá m cotrol, a taxa méda d alarms falsos α o tamaho médo das amostras ara o gráfco d com amostras d tamaho varávl são dados rsctvamt or 35

α 3 + (- r ) (.6) r 3 + (- r ) (.7) r Cosqütmt, o NMA / α. Quado o rocsso stá sto d causas scas o NMA, qu st caso é chamado d NMA, é o úmro médo d amostras até a ocorrêca d um alarm falso, cludo a amostra qu grou o alarm. O NMA ara o gráfco d cotrol d com amostras d tamaho (FSS) lmt d cotrol LC é dado or: NMA /α od α j a+ j (- ) j j, a t( LC) O NMA é dado or /( β ), od β a j j (- ) j j, a t( LC) 36

Amostras d Tamaho Amostras d Tamaho LC LC LA LA 3 4 5 Númro da amostra > valors lotados utlzado-s a scala da squrda > valors lotados utlzado-s a scala da drta Fgura.3: Gráfco d cotrol d com amostras d tamaho varávl (Ercht Costa, ) A Tabla.3, obtda d Ercht Costa (), arsta os NMA s ara város gráfcos d com o tamaho das amostras fxo varávl. Os arâmtros d rojto s cotram a Tabla., vr Ercht Costa (). Só faz stdo comarar gráfcos d cotrol qu lvm aos msmos NMA s msmas taxas d sção or amostrags durat o ríodo m qu o rocsso rmac sob cotrol, sto é,. Cotudo, ara gráfcos or atrbutos, a varávl d motoramto é dscrta; cosqütmt, ara dos gráfcos d cotrol or atrbutos, é mossívl qu tha os msmos NMA s os msmos tamahos médos d amostras. Para fto d comaração, stablc-s qu o gráfco d cotrol com tamaho d amostral varávl (VSS) dv ofrcr rotção gual ou suror cotra alarms falsos, a méda, dv dmadar gual ou mos sção qu o su comtdor, o gráfco d cotrol d com amostras d tamaho fxo (FSS) 37

Para quos a modrados aumtos m, a adoção do squma d amostragm com amostras d tamaho varávl mlhora o dsmho do gráfco d cotrol d, cotudo, ara grads aumtos, sto ão s vrfca. Tabla.: Parâmtros dos gráfcos d cotrol d cosdrados a Tabla.3 FSS VSS Caso LC LC LA LC LA r A.5 3.5 45 347 3.5.5 5.5 3.5.888 B.5 4.5 84 3.5.5 9.5 4.5.86776 C.5 3 5.5 69 5.5.5 7.5 4.5.7566 D.5 4 6.5 9 845 4.5.5 9.5 4.5.6983 E.5 6 8.5 3 35 6.5.5.5 7.5.6643 F.5 8.5 599 59 9.5 5.5 5.5 6.5.79839 G. 5 3.5 5.5.5 6.5.5.8973 H. 4.5 5 395 3.5.5 8.5 5.5.94 I. 6.5 7 8 4.5.5 7.5 8.5.873 J. 4.5 88 8.5 3.5 6.5 8.5.73 K. 6 3.5 39 7.5 4.5.5 7.5.733 L. 8 6.5 8 7.5.5.5 7.5.33589 38

Tabla.3: NMA s ara os gráfcos d com amostras d tamaho fxo varávl (x -3 ) Caso* squma NMA 7,5,,5 5, 7,5,,5 5, 7,5 3, A B C D E F FSS 597,6 4,6 54,4 3,85 5,57,9 7,9 5,3 4,5 3,38,83 VSS 99,88 64,9 74,7, 8,7 5,3 3,68,98,59,36,, FSS 8, 55,4 9,33 9,3 5,45 3,65,69,3,78,55,39 VSS 99,6 33,7 4,68 6,75 3,96 3,,53,4,4,9,78,68 FSS 3 3,8 37,5,6 5,68 3,37,34,8,49,3,,3 VSS 99,8 84, 4,6 6,46 3,3,34,94,73,6,5,4,34 FSS 4 6,6 3,36 9, 4,,54,8,45,6,5,8,5 VSS 377, 8,6 4,97 4,34,59,6,84,74,68,64,6,57 FSS 6 7, 5, 6,59,96,83,38,8,8,4,, VSS 599, 388,6 7,39 3,96,8,7,5,4,3,4,8,3 FSS 8 36, 3,8 5,46,4,53,,8,3,,, VSS 798,8 4,6 9,99 3,4,97,55,34,,,5,3, Caso* squma NMA,5,,5,3,35,4,45,5,55,6 G H I J K L FSS 5 66,5 48,5 56,3 7,6 5,93,8 7,9 5,35 4,7 3,39,84 VSS 46,5 99, 9,5,8 8,35 5,4 3,88 3,4,87,63,46,33 FSS 9,4 56,5 9,67 9,4 5,49 3,57,69,3,77,54,38 VSS 83,76 3, 7, 7,45 4,7 3,,6,3,,95,83,7 FSS 3,8 3,89 9, 4,4,54,8,45,5,4,8,4 VSS 97, 39,4 3,93 5,,83,5,8,6,47,36,7, FSS 4 37,7 4,7 5,49,4,5,,8,3,,, VSS 397,5 375, 8,44,79,94,65,49,36,5,7,,6 FSS 6 9, 3,83 3,5,56,6,4,,,,, VSS 599,6 354, 8,,3,59,37,,,5,,, FSS 8 8,5,4,3,8,6,,,,,, VSS 799, 84,8 6,54,3,45,3,5,,5,,7,5 * Os arâmtros d rojto stão a Tabla. 39

NMA 6 5 4 FSS VSS 3,,5,5,75,,5,5,75,3 P Fgura.4. NMA do gráfco d, squmas FSS VSS A Fgura.4 comara o gráfco d com amostras d tamaho varávl (VSS) com o gráfco d com amostras d tamaho fxo (FSS), caso A da Tabla..3. A adoção d amostras d tamaho varávl rduz o NMA substacalmt. 4

.. Esqumas Adatatvos Duas Alcados ao Tamaho das Amostras ao Itrvalo tr Rtrada d Amostras Costa (997) roôs o gráfco d cotrol d X com squma VSSI d motoramto, m qu o tamaho das amostras o trvalo tr rtrada d amostras são varávs (varabl saml sz ad varabl samalg trval). O rocsso ca-s m cotrol com a méda μ μ, assm rmac até a ocorrêca d uma causa scal qu dsloca a méda do rocsso d μ ara μ μ ± δσ, sdo δ >. O stat d sua ocorrêca é dado or uma dstrbução xocal d arâmtro (assm / é o tmo médo m qu o rocsso rmac ajustado). Amostras alatóras d tamaho varávl são xtraídas do rocsso. As médas amostras são lotadas m um gráfco d cotrol d X com lmts d advrtêca μ ± wσ X lmts d ação μ ± kσ, com w < k. Para facltar a arstação, os otos X amostras lotados o gráfco d cotrol srão as médas amostras adrozadas, sto é, ( X μ ) / σ X. Nss caso, os lmts d advrtêca d ação srão smlsmt ± w ± k, rsctvamt. A vstgação d causas scas srá mrdda quado o oto amostral ão rtcr ao trvalo (-k, k). O tamaho da róxma amostra o stat d sua rtrada dd do qu ocorr com a amostra atual. S o oto amostral atual rtc ao trvalo ( w, w ), tão a róxma amostra srá costtuída d ts srá rtrada aós um trvalo d tmo h ; s o oto amostral atual rtc ao trvalo ( k, w ] ou [w, k), tão a róxma amostra srá costtuída d ts srá rtrada aós um trvalo d tmo h ; sdo > h < h. O tamaho da rmra amostra qu é rtrada do rocsso d rodução quado st s ca, ou aós um alarm falso, é scolhdo alatoramt. S la é grad (qua) la srá rtrada aós um curto (logo) trvalo d tmo. Durat o ríodo m cotrol todas as amostras, cludo a rmra, dvm tr robabldad d srm quas (- ) d srm grads, od Pr[ Z < w Z < ] (.8) k 4

A vlocdad com a qual o gráfco d cotrol dtcta altraçõs o rocsso md sua fcêca statístca. Quado o trvalo tr rtrada d amostras é fxo a vlocdad od sr mdda lo NA, úmro d amostras até o sal, mas quado o trvalo é varávl, adota-s o TS, tmo até o sal. O TS é o tmo qu va do dsajust do rocsso até a sua salzação lo gráfco. A duração d um cclo, TC, corrsod ao tmo qu va do íco da rodução até o rmro sal aós o dsajust do rocsso. S a causa scal ocorr sgudo uma dstrbução xocal d arâmtro tão TESTEC-/ (.9) od TES é o tmo srado até o sal TEC é o tmo srado d um cclo. A rordad d Esqucmto da dstrbução xocal rmt obtr o TEC usado o aroach d cada d Markov. Assm, a cada stat d amostragm m fução das codçõs do rocsso (sob ou fora d cotrol) do tamaho da amostra (grad ou quo), um dos sguts stados é alcaçado; Estado : O rocsso stá sob cotrol a amostra é qua Estado : O rocsso stá sob cotrol a amostra é grad Estado 3: O rocsso stá fora d cotrol a amostra é qua Estado 4: O rocsso stá fora d cotrol a amostra é grad Altratvamt, as codçõs da méda do rocsso (ajustada ou dsajustada) quado da rtrada da (+) ésma amostra a osção do -ésmo oto o gráfco d cotrol dfm os stados trasts da cada d Markov (vd Tabla.4). Tabla.4: Os stados da cada d Markov. ésma amostra Posção do oto amostral (rgão) (+) ésma amostra Codçõs do rocsso Estado da cada d Markov (sob ou fora d cotrol)* advrtêca sob advrtêca fora 4 ctral sob ctral fora 3 (*) sob cotrol sgfca qu μ μ fora d cotrol sgfca qu μ μ ± δσ 4

O gráfco d cotrol roduz um sal smr qu um oto amostral é lotado a rgão d ação do gráfco. S o stado corrt é o stado ou (3 ou 4) o sal é um alarm falso (vrdadro). O stado absorvt (stado 5) é alcaçado com a ocorrêca d um alarm vrdadro. A matrz d robabldad d trasçõs é dada or P 3 4 3 4 33 34 35 43 44 45 55 od Pr[ Z < w Z < k] h Pr[ w < Z < w Z < k] h 3 3 3 h Pr[ Z < w Z < k]( ) 4 4 4 h Pr[ w < Z < k Z < k]( ) Pr[ Y < wy ~ N( δ,)] 33 Pr[ w < Y < k Y ~ N( δ,)] 34 Pr[ Y > k Y ~ N( δ,)] 35 Pr[ Y < wy ~ N( δ,)] 43 Pr[ w < Y < k Y ~ N( δ,)] 44 Pr[ Y > k Y ~ N( δ,)] 45 Das rordads lmtars d cadas d Markov (Çlar (975)) 43

TEC b ' (I Q) t (.) od b,,, ) é o vtor d robabldads cas, I é a matrz dtdad d ordm 4, ( 3 4 Q é a matrz d robabldads d trasção sm os lmtos assocados ao stado absorvt, ' t (,h,h, h ) h é o vtor d trvalos tr amostrags. Um gráfco d cotrol é mas fct qu o outro quado l tm a caacdad d dtctar altraçõs o rocsso com maor radz. Cotudo, os gráfcos d cotrol dvm sr comarados m gualdads d codçõs, sto é, dvm dmadar o msmo úmro d amostras, NA, a msma quatdad d ts a srm scoados, QI, durat o ríodo m cotrol, qu s suõ sr muto mas logo qu o ríodo fora d cotrol. Ada das rordads lmtars d cadas d Markov sgu NMA b (I Q) ' r QMI b (I Q) ' s od ' r (,,, ) ' s (,,, ). Portato NMA + )/( ) (.) ( QMI /( ) + /( ) (.) O NMA, QMI, TEC ara um gráfco adrão d X são faclmt dtrmados orqu ss caso, s m m rrstam o úmro d amostras tomadas do rocsso, ats aós a ocorrêca da causa scal, tão m + m são varávs alatóras gomtrcamt dstrbuídas com arâmtros q, rsctvamt. Portato, ara um gráfco adrão d X com tamaho d amostra trvalo tr amostrags h 44

NMA q/( q) (.3) QMI q/( ) (.4) q TEC h[ q / ( q) + / ] (.5) od q h Pr[ Y > k Y ~ N( δ, )] Para comarar o squma VSSI d motoramto com o squma adrão, os lmts d advrtêca dvm sr dados or; ( ) hh ) Φ Φ ( k ) Φ ( k ) (.6) w A xrssão (.6) fo obtda gualado o NMA (dado las xrssõs (.) (.3)) o QMI (dado las xrssõs (.) (.4)), od Φ ) é a fução dstrbução ormal adrão acumulada. ( Cosdrado o cojuto d arâmtros,,h, ), o usuáro od fxar aas três ( h dls. O últmo é fução dos dmas. Normalmt é o arâmtro h qu é dfdo m fução dos dmas h h [Φ( k) ] l ( hh ) [ Φ( k) Φ( w) Φ( w) (.7) 45

As Tablas.5.6 arstam os TES s ara város gráfcos d X com o tamaho das amostras /ou o trvalo tr amostrags varávl. A adoção d amostras d tamaho varávl /ou o trvalo tr amostrags varávl rduz o TES substacalmt. Tabla.5: TES s dos gráfcos d cotrol d X, squmas VSSI, VSI VSS, 3 46

Tabla.6: TES s dos gráfcos d cotrol d X, squmas VSSI, VSI VSS, 5 Nsta sção, or mo das rordads lmtars das cadas d Markov, fo ossívl obtr o TES ara os gráfcos d cotrol d X, squmas VSSI, VSI VSS. Na róxma sção, srá arstado um dsvolvmto matmátco altratvo ara a obtção do TES. Os dos rocdmtos lvam a valors d TES cada vz mas guas, a mdda m qu dmu. 47

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.3. Esqumas Adatatvos Duas Alcados ao Tamaho das Amostras ao Itrvalo tr Rtrada d Amostras ao Fator d Abrtura dos Lmts d Cotrol Costa (999) roôs ara o gráfco d X varar o tamaho das amostras o stat d amostragm. Ercht, Costa Mds (3) adotaram st squma com o gráfco d c..3. Gráfco d Cotrol d X Costa (999) roôs o gráfco d cotrol d X com squma V d motoramto, m qu o tamaho das amostras, o trvalo d tmo tr rtrada d amostras, o fator d abrtura dos lmts d cotrol são varávs. O rocsso ca-s m cotrol com a méda μ μ, assm rmac até a ocorrêca d uma causa scal qu dsloca a méda do rocsso d μ ara μ μ ± δσ, sdo δ >. A osção do últmo oto amostral stablc o tamaho da róxma amostra o stat d sua amostragm (vd Fgura.5). S o últmo oto amostral rtc a rgão d advrtêca do gráfco tão a róxma amostral dvrá sr grad, sto é, la dv sr amostrada aós um trvalo curto d tmo, sto é h. Por outro lado, s o últmo oto amostral rtcr a rgão ctral do gráfco a róxma amostral dvrá sr qua, sto é, la dvrá sr amostrada aós um trvalo logo d tmo, sto é h. Além dsso, os valors d X dvrão sr lotados m um gráfco com lmts d advrtêca d ação dados or ± w / ± k / rsctvamt, od () s X vr d uma amostra qua (grad), sdo k >k>k w >w. Para vtar o uso d dos gráfcos d X, um ara amostras quas outro ara amostras grads, o usuáro od costrur o gráfco d X com duas scalas, uma do lado squrdo outra do lado drto, coform lustrado a Fgura.5. Os valors d X vdos d amostras quas 49

(grads) são lotados o gráfco d X cosdrado a scala da squrda (drta). Como a scala da squrda ão é uma fução lar da scala da drta, os lmts d advrtêca (/ou d ação) ara amostras quas grads ão cocdm. O gráfco d X da Fgura.5 é um gráfco scal, od as scalas da squrda da drta foram scolhdas ara qu os lmts d advrtêca do lado squrda do lado drto cocdam. Além dsso, a rgão d advrtêca ara amostras quas fo colhda forçado a cocdêca dos lmts d ação. Por smlcdad, os lmts do gráfco d X da Fgura.5 foram obtdos ara μ σ. gráfco roosto salza smr qu uma obsrvação d X ca a rgão d ação do gráfco. Quado μ μ o sal é um alarm falso, quado μ μ o sal é um alarm vrdadro. O tamaho da rmra amostra qu é rtrada do rocsso d rodução quado st s ca, ou aós um alarm falso, é scolhdo alatoramt. S la é grad (qua) la srá. O rtrada aós um curto (logo) trvalo d tmo. Durat o ríodo m cotrol todas as amostras, cludo a rmra, dvm tr robabldad d srm quas (- ) d srm grads, od [ ] Pr Z <w Z <k,,. (.8) od Z ~ N(,). A xrssão (.8) fo costruída sob a hóts qu, durat o ríodo m qu o rocsso rmac ajustado, as amostras tm robabldad (- ) d srm quas (grads). 5

X k / X k / w / -w / -k / w / -w / -k / h h + h h h + (h + h ) Tmo Lmt d ação Lmt d advrtêca Amostra qua (lotada utlzado a scala da squrda) Amostra grad (lotada utlzado a scala da drta) Fgura.5: Gráfco d X com duas scalas No Aêdc A é obtda a xrssão do tmo médo tr o stat m qu o rocsso s dsajusta o stat m qu o gráfco d cotrol salza tal dsajust, TES. Os oto arâmtros do squma d motoramto V utlzado com o gráfco d cotrol d X,, ), h, ), w, ) k, ), são scolhdos lvado m cota a rstrção m (.8) ( ( h as rstrçõs a sgur: ( w ( k ( + ) h + h ( ) h Pr[ Z > k] + Pr[ Z > k] ( ) Pr[ Z > k] (.9) (.) (.) 5

od, h, k são os arâmtros do gráfco d X adrão (gráfco d Shwhart). Usualmt 3, 4 ou 5, k 3,,, sm rda d graldad, h,. As rstrçõs stablcdas as xrssõs (.8) até (.) assguram qu a taxa d alarms falso a taxa d sção com o rocsso ajustado é a msma ara o gráfco d X adrão ara o gráfco d X com todos arâmtros varávs. D acordo com as xrssõs (.8), (.9) (.) o usuáro od scolhr os valors d um dos ars, ), h, ) ( ( ( h k, k ), um dos lmtos d cada ar rstat. Sugr-s scolhr (, ), os lmtos h k or duas razõs:. O gama d valors ara h ddm do tmo cssáro ara amostrar cada tm. O squma V é rcomdado ara dtctar quas altraçõs a méda do rocsso; st caso, o gráfco d X tm um mlhor dsmho quado k grad o sufct ara qu com amostras quas o rsco d s tr um alarm falso sja ratcamt zro. Os dmas arâmtros srão dados or: k Φ ( ) Φ( k) ( ) Φ( k ) h w Φ h( ( ) Φ( k ( ) + ) ) h ( ),, A Fgura.6 comara o gráfco d X com arâmtros varávs (V) com o gráfco d X com arâmtros fxo, gráfco d Shwhart. O Aêdc A arsta o dsvolvmto matmátco ara a obtção da xrssão do tmo srado até o sal TES. A adoção d arâmtros varávs rduz o TES substacalmt. 5

TES 45 4 35 3 5 5 5 V Shwhart,5,6,7,8,9,,,3,4,5 δ Fgura.6: TES do Gráfco d Shwhart ( 4, h, K3,) do gráfco V (,, h,34, h,, w,97, w,8, k 6, k,579 ) A Tabla.7 lustra a fluêca do valors d k, h o TES do gráfco V. Quado s aumta o, s rduz h, ou s aumta o k, gráfco d cotrol salza quas mudaças a méda com maor radz 53

Tabla.7: Ifluêca dos valors d, h k o TES do Gráfco d V* k 6, 3, *NMA 37,4 h,,5,5 δ 8,5,84 8,99 9,5 4,39,6 6,87 5,8 5,43 7,,7 4,4 3,69 3,77 4,4,8 3,,93,97 3,,9,4,5,5,6,,7,,,6,,86,99,,,,7,8,83,8,3,57,66,68,67,4,47,53,56,54,5,38,4,45,43.3. Gráfco d Cotrol d c Ercht, Costa Mds (3) rousram o gráfco d cotrol d c com o tamaho das amostras, a abrtura dos lmts d cotrol o trvalo tr rtrada d amostras varávs (squma V). Sja um rocsso rodutvo, cuja statístca d trss x k é o úmro d ão coformdads m m udads d sção. A varávl x k tm dstrbução d Posso com méda c mu, od u é o úmro médo d ão coformdads or udad scoada. No íco d oração o rocsso é cosdrado star sob cotrol com uu, mas aós a ocorrêca da causa 54

scal o rocsso s dsajusta, os u assa d u ara u, com u >u. O rocsso rmac dsajustado até qu ocorra uma trvção ara rtorá-lo ao stado d cotrol. Suoha qu um gráfco adatatvo d c é utlzado ara cotrolar o rocsso. O gráfco adatatvo d c é dfdo com dos cojutos d arâmtros, Θ {m, h, UCL, WL } Θ {m, h, UCL, WL }, od m (, ) é o tamaho da amostra, h é o trvalo tr amostrags, UCL é o lmt d ação, WL é o lmt d advrtêca, sdo <WL <UCL (, ), m m h h. A oração do gráfco adatatvo d c é smls: a osção d x k o gráfco d cotrol stablc o cojuto d arâmtros, Θ ou Θ, ara a róxma amostra: s x k WL, us ara a róxma amostra o cojuto d arâmtros Θ ; s WL <x k UCL, us ara a róxma amostra o cojuto d arâmtros Θ ; s x k >UCL, vstgu a xstêca d causa scal. A artr da costrução d uma cada d Markov é ossívl obtr as rordads do gráfco adatatvo d c. A cada é costruída d tal modo qu, a cada stat d amostragm, um dtr três stados é alcaçado, dddo da osção do valor amostral x k (vd Tabla.8). Tabla.8. Estados da cada d Markov k ésma amostra Posção d x k (k+) ésma amostra Cojuto d arâmtros Estados da Cada d Markov x k WL Θ WL < x k UCL Θ x k > UCL 3* * stado absorvt (cotrol trromdo) S j rrsta a robabldad d trasção m um stágo do stado ra o stado j, quado uu s, s,tão; 55