IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES CONTÍNUOS UTILIZANDO MODELOS NARMAX: ESTUDO DE CASO DE UM FORNO A ARCO ELÉTRICO

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1 IDENIFICAÇÃO DE SISEMAS DINÂMICOS NÃOLINEARES CONÍNUOS UILIZANDO MODELOS NARMAX: ESUDO DE CASO DE UM FORNO A ARCO ELÉRICO EDGAR CAMPOS FURADO, EDUARDO M. A. M. MENDES, ERIVELON G. NEPOMUCENO, VALCERES V. R. E SILVA Laboratóro d Sstma Sas (LABSIS), Dartamto d Eltrcdad, Fudação d Eso Suror d São João dl R. Praça Fr Orlado,70, CEP: , São João dl R MG, Brasl, Emals: dcfur@ahoo.com.br, mds@fur.br, omuco@cd.ufmg.br, vvrslva@fur.br Rsumo O rst trabalho dscrv uma mtodologa d dtfcação d sstmas ara obtção d modlos cotíuos o domío do tmo (uaçõs dfrcas) u ossbltam uma mlhor comrsão aáls do sstma m studo. Prmramt, modlos olomas NARMAX (Nolar AutoRgrssv Movg Avrag wth Xogous ut) são dtfcados. As fuçõs d rsosta m früêca gralzadas (GFRF) do sstma m studo são, tão, obtdas do modlo dscrto dtfcado, utlzado algortmos rcursvos. as fuçõs trazm formaçõs sobr o sstma, tas como harmôcos, modulaçõs d früêcas, xasão / rdução do gaho tc. Em sguda o modlo cotíuo é obtdo através do maamto do domío da früêca ara o domío do tmo. Esta mtodologa é alcada a dtfcação d um foro a arco létrco submrso.sts statístcos d valdação são alcados ao modlo as vatags dsvatags do mrgo dsta mtodologa são dscutdas. Abstract I ths work, a sstm dtfcato rocdur s usd to obta cotuoustm doma modls (dffrtal uatos). Frst, olomal NARMAX (Nolar AutoRgrssv Movg Avrag wth Xogous ut) modls ar dtfd from th data gratd from th sstm udr vstgato. h Gralzd Fruc Rsos Fuctos (GFRF) ar th calculatd aaltcall from dtfd dscrt modl usg rcursv algorthms. GFRFs cota mortat formato about th sstm, such as harmocs, fruc modulato, xaso/rducto ga tc. Fall, th cotuous modl s obtad b mag th gralzd fruc rsos fuctos to th tm doma. hs aroach s ald to th dtfcato of a lctrcal furac sstm. Statstcal ad damcal tsts ar ald to valdat th dtfd modl. words Sstm Idtfcato; NARMAX; GFRF; Elctrcal Furac. Itrodução Idtfcação d sstmas ãolars é muto utlzada ara dscrvr aalsar caractrístcas d sstmas ras tm sdo alcadas a város camos da cêca (Ljug Sodrstrom, 983). Modlos matmátcos costtum um fct mcasmo ara rsumr o cohcmto acrca d um rocsso ou sstma. O sucsso d modlos dscrtos aramétrcos a aroxmação d sstmas dâmcos cotíuos o tmo é bm cohcdo (Norto, 986; Agurr, 000; Mds, 995; Swa, 996; Ljug, 999). Etr ls, odms ctar os modlos olomas NARMAX (Lotarts Bllgs, 985). Cotudo, a trrtação dos arâmtros do modlo dscrto com rlação ao corrsodt rocsso físco ão é drta. É, ortato, frütmt dsjávl dtfcar modlos cotíuos o tmo, já u os msmos odm cotar rlaçõs drtas com os aramtros d trss. O ajust d modlos aramétrcos ara mdr a rsosta m früêca é uma aroxmação vávl ara stmar modlos cotíuos o tmo, os uas tm rcbdo cosdrávl atção o assado (Pa, 970; Lawrc t al, 979). Ests métodos têm sdo alcados a modlos d sstmas lars xlora o fato u as fuçõs d rsosta m früêca (FRF) são uma dscrção varat das caractrístcas do sstma. As fuçõs d rsosta m früêca odm sr mddas drtamt ou gradas d um modlo dscrto rvamt dtfcado. Isto é fto através d algortmos rcursvos u comutam as FRF drtamt d um modlo dscrto rvamt dtfcado (Bllgs sag, 989(a); PtoJos Bllgs, 989; Bllgs PtoJos, 990; Zhag t al., 995). O rst trabalho dscrv uma mtodologa d dtfcação d sstmas ara obtção d modlos cotíuos (uaçõs dfrcas) u ossbltam uma mlhor comrsão aáls do sstma m studo. Prmramt, modlos olomas NARMAX foram utlzados ara grar uaçõs dscrtas. As uaçõs dscrtas foram maadas o domío da früêca utlzado as fuçõs d rsosta m früêca gralzadas (GFRF). Em sguda o modlo cotíuo fo obtdo através do maamto do domío da früêca ara o domío do tmo. Nst trabalho, tal mtodologa fo alcada a um foro a arco létrco dvdo às ãolardads arstadas or tal sstma bm como ara vstgar o comortamto da rsosta m früêca ão lar dst sstma.

2 Fudamtação órca. Modlos Polomas NARMAX Cosdr um modlo NARMAX (Nolar Auto Rgrssv, Movg Avrag, wth Xogous ut) (Lotarts Bllgs, 985) dscrto la E. (). ( t) = F [ ( t ), ( t ),..., ( t ), u( t d), u( t d ),..., u( t d ( t ), ( t ),..., ( t )] ), ( t) () m u t =,...,N, sdo N o comrmto dos dados. F l é uma fução ãolar ualur. (t), u(t), (t) são, rsctvamt, saída, trada ruído do sstma, cujos atrasos máxmos são rrstados or:, u. O tmo morto é rrstado or d. O úmro d trmos da massa d dados dsoívl é dado or N. (t) cotablza crtzas, ruídos, dâmcas ão modladas tc. F[.] é alguma fução ãolar d (t), u(t) (t). Para stmar os arâmtros d uma fução olomal F l [.] com grau d ãolardad l N, E. () od sr xrssa a forma d rdção d rro como sgu: od ψ ( k) = ψ ( k ) Θˆ ( k) ( k ) = [ ψ ( k ) ψ ( k ) ( k )] Θˆ = ψ [ Θˆ Θˆ Θˆ ] ψ ( k ) é uma matrz u cotém trmos d saída cludo tmo k. As matrzs ψ ( k ) ψ ( k ) são dfdas smlarmt. Os arâmtros corrsodsts m tas matrzs são os lmtos dos vtors Θˆ, Θˆ Θˆ, rsctvamt, (k) são os rsíduos, dfdos como a dfrça tr os dados mddos (k) a rdção um asso a frt ψ (k ) Θ ˆ. Os arâmtros do vtor Θ odm sr stmados la técca dos mímos uadrados ortogoas, (Bllgs Ch, 989), os uas rmtm a dtrmação da strutura do modlo fal. A técca d ortogoalzação é ralzada m arâmtros lars do modlo u são rlacoados como lustra a E. (). ( k) = gw ( k) ( k) () od é o úmro d trmos o modlo, são arâmtros costats os olômos { g } { } w k) ( são costruídos dos moômos orgas ortogoas dos dados armazados. Os arâmtros orgas do modlo a E. (), od sr faclmt. obtdos a artr d { } g Um crtéro ara slcoar os trmos mas mortats o modlo od sr adotado como um subroduto da stmação d arâmtros ortogoas. Quado hum trmo é cluído o modlo o rro d rdção é máxmo (MSPE) uval a (k), od a barra dca tmo médo. Exrssado a rdução como uma orctagm do MSPE total, rsulta taxa d rdução d rro (ERR), E. (3), (Bllgs Ch, 989). g w ( k) [ ERR] x00 = ( k) (3) od =,,,. Auls trmos com grads valors d ERR são slcoados ara formar o modlo.. Modlagm d Sstmas Não Lars o Domío da Früêca A aáls d sstmas ãolars usado sérs d Voltrra tm sdo muto studada as últmas décadas (Bllgs Boagh, 999). Basado a tora d Voltrra o sstma ãolar é tato caractrzado or Voltrra rls o domío do tmo como também lo su uvalt o domío da früêca, obtdo la alcação da trasformada d Fourr os krls o domío do tmo. No domío da früêca os Voltrra rls são comumt chamados Gralsd Fruc Rsos Fuctos (GFRF). As GFRF s costtum uma tutva rrstação das rordads do domío da früêca d um sstma mutos fômos ãolars tas como harmôcos, gaho xasão/rdução trmodulaçõs odm sr studados usado GFRF. Dvdo ao grad custo comutacoal dsddo ara mdr tas fuçõs or FF (rasformada ráda d Fourr), altratvamt é stmado um modlo o domío do tmo a artr d dados d tradasaída do sstma m studo maas o modlo ara o domío da früêca u sado a técca xloratva (Bdrosa Rc, 97). O modlo stmado é usualmt um modlo olomal NARMAX. As róxmas sçõs arstam algus coctos trodutóros sobr as GFRF como são obtdas d modlos NARMAX stmados... GFRF d um modlo Voltrra A saída d uma amla class d sstmas ãolars od sr rrstada como a E (4). = ( t ) ( t ) = (4)

3 od (t), a ésma ordm d saída do sstma é dada la E. (5). ( t) = h ( τ,, τ ) u( t τ ) dτ (5) ara > 0 od h (τ,..., τ ) é cohcdo como o ésmo Voltrra rl ou fução d rsosta ao mulso d ordm. al fução od sr obtda alcado a trasformada vrsa d Fourr m su uvalt o domío da früêca, u são as GFRF, como lustra a E. (6). h ( τ,, τ ) = [ H (π ) *x( j( wτ w τ ( jw,, jw )* )) dw,, dw ] (6) Substtudo a E. (6) a E. (5) rtrado as múltlas tgraçõs m τ,..., τ, tms: ( t) = (π ) * [ H ( jw,, jw )* U ( jw )x( j( w w ) t) dw ] od U(jw ) rrsta o sctro d trada. Dfrtmt d sua corrsodt o domío do tmo, u od ão sr cssaramt úca, a vrsão smétrca d H ( ) é úca, tm valors u são ddts do argumto ormalmt usadas ara todos os roóstos. Esta é dfda como: H asm jw,, jw ) = H ( jw,, jw )! sm ( odas as rmutaçõs d w,..., w Uma mortat caractrístca das GFRF é u las costtum uma dscrção varat das ãolardads do sstma, ão mortado s o sstma é dscrto or uma sér d Voltrra cotíua o tmo ou or um modlo NARMAX dscrto o tmo. As GFRF fazm a coxão tr as rrstaçõs d Voltrra NARMAX. Esta uvalêca hablta a rcostrução d modlos cotíuos o tmo a artr d modlos dscrtos... GFRF d um modlo NARX Algortmos rcursvos são mrgados ara mdr as GFRF a artr d um modlo NARX. as algortmos foram calmt roostos or (Bllgs sag, 989(a)) mas tard stddos mlmtados or (PtoJos Bllgs, 989). O método cosst m ajustar um modlo NARMAX ara os dados d trada saída do sstma tão drvar as GFRF drtamt dos dados stmados do modlo NARMAX, dscartado o ruído modlado. O modlo NARX, um subcojuto dos modlos NARMAX, cotém fuçõs d atrasos d trada saída sozhas, é xrsso como a E. (7), N = l ( k) m ( k) ml l (7) od (k), a ordm d saída do m l ésmo trmo do m l modlo NARX do sstma é dado or: ml m = l c, ( k,, k ) ( t k ) ( k) = 0 k, k = u( t k ) com =m l, k =,...,. Cada trmo cotém um fator d ordm m (k k ) um fator d ordm m u(k k ), é multlcado los cofcts c, (k,...,k ). é o máxmo atraso d tradasaída. As GFRF são obtdas lo maamto do modlo NARX o domío da früêca sdo xrssas como lustra a E. (8). 0 k= 0, k, k = = = k, k = *x( j( w c c ( k )x( j( w w ) k) H ( k,..., k ) x( j( w k c 0 = k, k = [ c, ( k,, k k ( k,..., k ) H... w, )*... w k )) k )) H ( jw,..., jw ) asm, ( jw,..., jw ) = ( jw,.., jw )] asm O trmo H ( ) é calculado utlzado a sgut, formula rcursva: H asm, [ H ( ) = asm * x( j( w ( jw,..., jw ) H... w ) k, )] ( jw,..., jw ) * Nst trabalho, as GFRF foram obtdas através dsta xrssão acma. A trrtação das GFRF fo studada or PtoJos Bllgs (989) Zhag Bllgs (994)..3 Modlo d um foro a arco létrco O sstma do foro a arco létrco fo smulado utlzado o acot comutacoal SIMULIN tgrat do softwar MALAB, tdo como bas o modlo roosto or Mlo Dckma (997). A Fg. lustra o modlo tomado ara studo. (8)

4 Fgura Esuma do modlo smulado. Nas smulaçõs, o sstma fo xctado, durat 00 ms com asso d tgração d 00µs, or uma fot d oda sodal com früêca amltud d 60 Hz u (or udad) rsctvamt, multlcada or um gaho, ajustado m 0,7, uma fução d saturação. Est sal é somado a uma fot d ruído fltrado, cotdo os sguts arâmtros: otêca do ruído = 0,0005, tmo d amostragm = 0,008 smt = 334. A rd d atraso RLC caractrza o tmo d stablzação da tsão d arco do sstma. Sus arâmtros foram fxados m: R = 000 Ω, L = 0,8 H C =,µf. al sstma arsta forts ão lardads, bm como vasta rodução d harmôcos, o u tora trssat o studo d sua rsosta m früêca usado téccas ão lars. Para stmar as dâmcas váldas do modlo é cssáro garatr u os dados a srm amostrados cotham formaçõs das dâmcas do sstma. Isto od sr fto através da scolha d um sal d trada, u tha um largo comrmto d faxa ara ralmt xctar as dâmcas do foro. Para sto, um ruído fltrado fo utlzado. Um cojuto d 00 amostras fo utlzado ara dtfcação do modlo NARX com taxa d a mostragm d 3 Hz. O modlo NARX obtdo utlzado as sguts scfcaçõs: u = 3, = 3, = 0, N = 3. O modlo ãolar dtfcado u mlhor rroduzu as dâmcas cotdas os dados, é dscrto la E. (9). (k) =,60 0,549 0,0389,674,3990 0,0953,5953,94 0,095 0,074 u(k) (k3) (k) (k) u(k) (k3) (k) (k) (k3) (k3) (k3) u(k) u(k) u(k) (k) u(k) u(k) u(k) u(k) (k) u(k) (9) st d valdação dâmca é alcado ao modlo obtdo, sdo lustrado a Fg. 6, od a lha cotíua rrsta os dados d saída obtdos a lha tracjada a saída do modlo dtfcado. Os dados utlzados ara dtfcação valdação corrsodm a trvalos dsttos do cojuto d dados. Asar dos rros lvados o modlo dscrto rrsta d mara cofávl a dâmca do sstma (svramt ão lar), rcalmt uado o objtvo é cotrol do msmo. 3 Rsultados Numércos Os sas d trada saída utlzados ara dtfcação são arstados as Fgs. 3 rsctvamt. Fgura Dados d trada do sstma. Fgura 3 Dados d saída do sstma. Fgura 6 Valdação do modlo dscrto NARMAX stmado: (cotíuo) Dados orgas; (tracjado) Saída do modlo da E. 9. Um sgudo tst ara valdação fo alcado utlzado fuçõs d autocorrlação ara dtctar alguma ossívl dâmca ão modlada os rsíduos [ (k) ]. Esss tsts basam m crtéros statístcos tm como objtvo vrfcar, dtro d lmts, s os rsíduos odm sr cosdrados como ruído braco. Ests lmts basams o comrmto do rgstro d dados, N, dsoívs, dtro do ual as fuçõs d corrlação dvm s matr ara srm cosdradas ulas. Os lmts do trvalo d cofaça d 95% são dados or (Bllgs,96 Voo (986)): ±. N Fgs. 7 8, mostram os rsultados dos tsts d autocorrlação lar ãolar. Para st caso scífco os tsts utlzados st trabalho foram

5 sufcts, trtato o uso d fuçõs d corrlação ãolar d ordm suror a dos é rcomdado m outros casos. Fgura 7 Autocorrlação lar. Fgura 8 Autocorrlação ãolar. A artr do modlo NARMAX cotrado, o algortmo rcursvo od tão sr alcado ara obtção das GFRF. Como, or lmtação da mlmtação, a rcostrução s faz ara ãolardads d até trcra ordm, três GFRF são obtdas, as uas são: a fução lar do sstma, a trmodulação das früêcas w w a trmodulação das früêcas w, w w 3. As Fg. 9 0 lustram as fuçõs d rmra sguda ordm, tdo como foco a magtud do gaho (db) das fuçõs d trasfrêca. Fgura 0 Voltrra rl d º ordm. A Fg. 0 mostra claramt u o sstma m vstgação arsta carátr ãolar. Os vals cos a rsosta m fruca dmostram u a combação d duas früêcas od ocasoar a rssoâca do sstma. Est fômo é artcularmt mortat, os raramt cota o fto ãolar é cosdrado. A artr dstas fuçõs d trasfrêca, od sr obtdo o modlo cotíuo o tmo do sstma sob vstgação, assumdo u as GFRF costtum uma dscrção varat das ãolardads cotdas o sal dsd u sja obsrvado o crtéro d Nust. Dssa forma, o modlo cotíuo é stmado fazdo um ajust d curvas das GFRF gradas a artr do modlo dscrto, utlzado ara sso, téccas d mímos uadrados ortogoas. O modlo cotíuo obtdo vablza o studo d ãolardads do sstma, bm como, uma ossívl corrlação do sgfcado dos arâmtros com o sstma físco. O msmo é lustrado a E. (0) o rsultado d su tst dâmco d valdação é arstado a Fg.. = u uu u(d/dt) (0) Fgura 9 Caractrístca do logmódulo da fução d trasfrêca lar do sstma. Fgura Valdação do modlo cotíuo lstado a uação 0. Ess modlo fo smulado utlzado o método d Rug utta d uartaordm dsoívl o SmulkM. O rsultado obtdo fo comarado com os dados orgas.

6 4 Coclusão Est trabalho arstou uma mtodologa d dtfcação d sstmas ara obtção d um modlo cotíuo o domío do tmo m forma d uaçõs dfrcas, a artr d modlos olomas dscrtos NARMAX. Esta mtodologa cosdra as GFRF varats o domío do tmo ou a früêca dsta forma, o ajust d curvas das GFRF é fto. A grad vatagm d usar os modlos NARMAX ara obtção das GFRF é u um uo cojuto d dados é rurdo ara dtfcação há uma substacal rdução do úmro d arâmtros uma vz u modlos NARMAX trazm formaçõs d ambas tradas saídas assadas. A dsvatagm da mtodologa é a scolha das faxas d früêca u srão utlzadas o ajust d curvas das GFRF. al scolha basous m métodos hurístcos, mas cosdrados a bada d assagm (rsosta m früêca d rmra ordm) do sstma. A uvalêca o domío da früêca tr rrstaçõs d Voltrra modlos NARMAX é, cotudo m smr alcávl. Há sstmas dscrtos or um modlo NARMAX ara o ual uma rrstação d Voltrra ão xst. as sstmas são, or xmlo, fortmt ãolars ou xbm dâmcas comlxas (cclos lmts, subharmôcas, caos). Para sts casos as GFRF ão odm sr usadas ara rdzr sstmas dâmcos. A vatagm da aáls o domío cotíuo é o fato d havr um ossívl rlacoamto tr os arâmtros do modlo cotíuo dtfcado o sstma físco, oddo tal caractrístca sr xlorada m trabalhos futuros. O rlacoamto dos arâmtros do modlo dtfcado com o modlo ral é mas dfícl d sr ralzado através d um modlo dtfcado dscrto o tmo. Outra vatagm arstada rfrs à alcação o rojto d fltros com os dados d trmodulação das früêcas. Agradcmtos Os autors agradcm o aoo facro rovdo or PIBIC/CNP o dsvolvmto dst trabalho. Rfrêcas Bblográfcas Agurr, L.A. (000). Itrodução à Idtfcação d Sstmas, Edtora UFMG, Blo Horzot MG. Bdrosa, E., Rc, S.O. (97). h outut rorts of Voltrra sstms (olar sstms wth mmor) drv b harmoc ad Gaussa uts. Proc. of IEEE, 59: Bllgs, S.A., Boagh, O.M. (999). Rsos sctrum mas, Voltrra srs rrstatos ad th Duffg uato. Dt. of Automatc Cotrol ad Sstms Egrg, Uvrst of Shffld, rsarch rort Bllgs, S.A., PtoJos, J.C. (990). Mag olar tgrodffrtal uatos to th fruc doma. It. J. Cotrol, 5(4): Bllgs, S.A., Ch, S. (989). Idtfcato of olar ratoal sstms usg a rdcto rror stmato algorthm. Itratoal Joural Sstms Sc, 0(3): Bllgs, S.A., sag,.m. (989(a)). Sctral aalss for olar sstms: Part I Paramtrc olar sctral aalss, Joural of Mchacal Egrg ad Sgal Procssg, 3(4): Bllgs, S.A., Voo, W.S.F. (986). Corrlato basd modl valdl tsts for olar modls. It. Joural of Cotrol. 44(): Lawrc, P.J., Rogrs, G.J. (979). Sutal trasfr fucto sthss from masurd data. Procdgs of th IEE, 6(): Lotarts, I. J., Bllgs, S.A. (985). Iut/Outut aramtrc modls for olar sstms art : sthocastc olar sstms. Itratoal Joural of Cotrol, 4( ): Ljug, L., Sodrstrom,. (983). hor ad ractc of rcursv dtfcato. MI Prss, Massachustts. Mlo, E. F., Dckma, S. M. (997). Smulação d Foro d Arco rfásco através do PSPICE. Aas do Cogrsso Braslro d Eltrôca d Potêca, Blo Horzot MG. Mds, E.M.A.M. (995). Idtfcato of Nolar Dscrt Sstms wth Itllgt structur Dtcto. Ph.D. dss., Uvrst of Shffld, Shffld, U. Pa, P.A. (970). A mrovd tchu for trasfr fucto sthss form fruc rsos data. IEEE rasactos o Automatc Cotrol, : PtoJos, J.C., Bllgs, S.A. (989). Rcursv algorthm for comutg th fruc rsos of a class of olar dffrc uato modls. It. Joural of Cotrol, 5(): Swa, A.. (996). Cotuous tm dtfcato of olar sstms usg fruc doma trasfr fuctos. Ph.D. dss., Uvrst of Shffld, Shffld, U. Zhag, H. t al (995). Fruc rsos fuctos for olar ratoal modls. I. J. C., 6: Zhag, H., Bllgs, S.A. (994). Aalzg olar sstms th fruc domai, h trasfr fucto. J.M. E. S. S. Procdg, 7(6):