SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS BIFÁSICOS DE FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS E IMISCÍVEIS EM MEIOS POROSOS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS BIFÁSICOS DE FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS E IMISCÍVEIS EM MEIOS POROSOS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Adrso d Lma Mdoça TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. Alvaro Luz Gaoso d Azrdo Coutho, D. Sc. Prof. Luz Ladau, D. Sc. Prof. José Lus Drummod Alvs, D. Sc. Dr. Lus Flp Frs Prra, Ph.D. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL OUTUBRO DE 003

2 MENDONÇA, ANDERSON DE LIMA Smulação Numérca d Escoamtos Icomprssívs Bfáscos d Fludos Não- Ntoaos Imscívs m Mos Porosos Va Método dos Elmtos Ftos [Ro d Jaro] 003 VIII, 47 p. 9,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Eghara Cvl, 003) Ts Uvrsdad Fdral do Ro d Jaro, COPPE. Método dos lmtos ftos. Mo poroso 3. Escoamto bfásco 4. Fludo ão-toao I. COPPE/UFRJ II. Título (sér)

3 A mha sposa Adraa aos mus flhos Adrso Carlos Marcus Vícus Aos mus pas João Carlos Nlza

4 Agradcmtos Ao Prof. Alvaro Luz Gaoso d Azrdo Coutho, amgo ortador, por sua ddcação pacêca dmostradas para comgo durat o príodo d ortação, como também pla cofaça ctvo ao logo d todo o dsvolvmto dss trabalho d psqusa. Ao Prof. Luz Ladau pla dspoblzação dos rcursos matras cssáros para a ralzação dss trabalho. Ao Prof. José Lus Drummod Alvs pla costat prstatvdad durat a ralzação dss trabalho. Ao Prof. Frado L. B. Rbro pla dspoblzação do vsualzador V 3d. À ANP (Agêca Nacoal d Ptrólo) plo apoo facro através da bolsa d mstrado, dspsávl à ralzação dss trabalho. Ao amgo Rato Nascmto Elas plas logas valosas dscussõs qu muto cotrbuíram para a ralzação dss trabalho d psqusa. Ao Núclo d Atdmto m Computação d Alto Dsmpho (NACAD/COPPE/UFRJ) ao Laboratóro d Métodos Computacoas m Eghara (LAMCE/COPPE/UFRJ) plo apoo computacoal. Aos amgos da COPPE/UFRJ qu smpr m apoaram: Marcos Adré Duart Marts Ds Araujo Flguras d Souza. Em spcal a mha qurda sposa Adraa pla comprsão os momtos d ausêca plo carho ctvo os momtos d dfculdads. v

5 Rsumo da Ts aprstada à COPPE/UFRJ como part dos rqustos cssáros para a obtção do grau d Mstr m Cêcas (M.Sc.) SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS BIFÁSICOS DE FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS E IMISCÍVEIS EM MEIOS POROSOS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Adrso d Lma Mdoça Outubro/003 Ortador: Alvaro Luz Gaoso d Azrdo Coutho Programa: Eghara Cvl Est trabalho aprsta uma formulação stablzada d lmtos ftos para a smulação d scoamtos comprssívs bfáscos d fludos ão-toaos mscívs m mos porosos. Esta formulação é uma mportat frramta para a smulação d vasão d fludos durat opraçõs d prfuração. O modlo d l das potêcas é usado para dscrvr o comportamto dos fludos ão-toaos. Portato tato o fludo vasor quato o rsdt podm sr cosdrados como psudoplástcos ou dlatats. A quação rsultat para a saturação da fas molhat é apromada plo método SUPG acrscdo d um trmo d captura d choqu, a quação da prssão é apromada plo método d Galrk é usado um pós-procssamto global para rcuprar a vlocdad d Darc, garatdo a cosrvação d massa. Tsts umércos m problmas udmsoas, arrajo d cco poços cofguraçõs d poço mostram a fcêca da apromação proposta. Partcularmt a smulação d vasão d lama do poço para a formação fo vrfcado qu para baas taas d dformação a lama psudoplástca vad a formação mas ltamt. v

6 Abstract of Thss prstd to COPPE/UFRJ as a partal fulfllmt of th rqurmts for th dgr of Mastr of Scc (M.Sc.) NUMERICAL SIMULATION OF TWO-PHASE INCOMPRESSIBLE FLOWS OF NON-NEWTONIAN IMMISCIBLE FLUIDS IN POROUS MEDIA BY FINITE ELEMENT METHODS Adrso d Lma Mdoça Octobr/003 Advsor: Alvaro Luz Gaoso d Azrdo Coutho Dpartmt: Cvl Egrg Ths ork prsts a stablzd ft lmt formulato for th smulato of to-phas comprssbl flos of o-toa mmscbl fluds porous mda. Ths s a mportat tool for th smulato of flud vaso durg drllg opratos. Th por la modl s usd to dscrb th bhavor of o-toa fluds. Thrfor th vadg ad rsdt fluds ca b cosdrd thr as psudo-plastc or dlatat. Th rsultg quato for th saturato of th ttg phas s appromatd b th SUPG mthod supplmtd b a dscotut capturg trm, th prssur quato s appromatd b th Galrk mthod ad s usd a global post-procssg to rcovr th Darc s vloct, forcg mass cosrvato. Numrcal tsts odmsoal, fv-spot ad borhol cofguratos sho th ffctvss of th proposd approach. Partcularl for th smulato of mud vaso a borhol as vrfd that for lo dformato rats psudo-plastc muds provd th slost vaso to th formato. v

7 Ídc Capítulo Itrodução. Cosdraçõs cas. Objtvos do trabalho 6.3 Orgazação do tto 6 Capítulo Formulação Matmátca 8. Equaçõs Govrats 9.. Forma gral das quaçõs para scoamtos multfáscos.. Escoamto bfásco d fludos mscívs m mos porosos..3 Saturação, saturação rsdual saturação ftva 3..4 Prmabldad absoluta prmabldad rlatva 5..5 Prssão caplar 6..6 Vscosdad vscosdad apart 7. Equação da Prssão.3 Equação da Saturação 4.4 Sstma Acoplado d Equaçõs Dfrcas 8.5 Codçõs d cotoro codçõs cas 30 Capítulo 3 Formulação Apromada d Elmtos Ftos 3 3. Método dos Elmtos Ftos 3 3. Dscrtzação Espacal Formulação d Galrk para a Equação da Prssão Matrzs d Elmto para a Equação da Prssão Matrz d Cofcts Vtor d Trmos Idpdts Pós-procssamto do Campo d Vlocdads Matrzs d Elmto para a Equação da Vlocdad 47 v

8 3.7 Formulação Establzada para a Equação da Saturação Matrzs d Elmto para a Equação da Saturação Matrz d Massa Corrção SUPG da Matrz d Massa Matrz d Covcção Corrção SUPG da Matrz d Covcção Matrz d Dfusão Matrz d Corrção do Oprador d Captura d Dscotudad Dscrtzação Tmporal Algortmo squcalmt mplícto Algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor Solução dos Sstmas d Equaçõs Lars Métodos Itratvos Implmtação lmto-por-lmto Pré-codcoamto 74 Capítulo 4 Rsultados Numércos Emplos d valdação Caso udmsoal jção d um fludo toao Caso udmsoal jção d um fludo psudoplástco Problma clássco d cco poços Emplos Numércos Problma clássco d cco poços Smulação d um poço d ptrólo Problma clássco d cco poços com mo htrogêo Capítulo 5 Coclusõs Cosdraçõs fas Trabalhos futuros 4 Bblografa 43 v

9 Capítulo Itrodução. Cosdraçõs cas Os studos sobr scoamtos d fludos ão-toaos através d mos porosos saturados têm sdo bastat stmulados os últmos aos dvdo suas amplas aplcaçõs as áras d ghara cêcas físcas. Tas scoamtos ocorrm, por mplo, m sstmas gofíscos, procssos d rcupração d ólo, ghara d polímros procssos d fltração [7]. Um tdmto profudo sobr o scoamto d fludos ão-toaos através d mos porosos é d fudamtal mportâca para dvrsas aplcaçõs as áras d ghara. Nas últmas décadas, mutos studos quattatvos prmtas trouram cosdrávs progrssos para a comprsão do comportamto d um úco fludo ão-toao scoado através d um mo poroso. Etrtato, são cotrados poucos trabalhos sobr scoamto multfásco d fludos ão-toaos através d mos porosos ou apromaçõs umércas para tas aálss. Para scoamtos d fludos ão-toaos através d mos porosos, as quaçõs govrats aprstam forts ão-lardads msmo o caso d scoamto d um úco fludo, sto porqu a vscosdad apart do fludo ão-toao é prssa por uma fução altamt ão-lar da taa d dformação do scoamto. A solução para tas problmas m gral é alcaçada somt com a utlzação d métodos umércos [38]. Os problmas d scoamto bfásco d fludos mscívs através d mos porosos aplcam-s à dústra d ptrólo prcpalmt m smulaçõs d

10 rsrvatóros. Tradcoalmt, os smuladors d rsrvatóros utlzam o método das dfrças ftas para dscrtzar as quaçõs dfrcas parcas govrats. Como as quaçõs govrats são altamt ão-lars ss tpo d problma é comum o dsvolvmto d frts abruptas, cudados spcas dvm sr tomados tato para rprstar ssas ão-lardads quato para vtar o surgmto d osclaçõs spúras as promdads das frts. Est últmo problma é gralmt cotorado mprgado-s squmas d dfrças upd. Iflzmt, tas squmas dsspam artfcalmt as frts abruptas coduzm a rsultados qu são ssívs à ortação da malha computacoal. Mutos smuladors comrcas tratam as ãolarads do problma mprgado métodos plíctos a dscrtzação tmporal. Rctmt, os métodos totalmt mplíctos têm s torado mas populars por srm mas robustos codcoalmt stávs. Em algus problmas os métodos mplíctos são também mas fcts qu os métodos plíctos porqu possum mos rstrçõs quato ao crmto d tmpo []. Azz Sttar [] aprstam uma ampla rvsão dst tma ralzam comparaçõs tr os dfrts squmas d dfrças ftas usados m smuladors comrcas. A stêca d struturas gológcas com gomtras complas, tas como falhas stratfcaçõs, a prsça d htrogdads podm flucar dcsvamt o scoamto dos fludos através dstas formaçõs. Portato, métodos d dscrtzação spacal voltados para malhas ão-struturadas são trmamt atrats para a smulação d scoamtos a prsça d cáros complos. Os smuladors d rsrvatóros comrcas gralmt ão possum grad flbldad para o tratamto d gomtras complas, dvdo prcpalmt ao mprgo d métodos d dfrças ftas como a técca prcpal d dscrtzação spacal [0]. As prcpas dfculdads cotradas a rsolução d problmas d scoamto multfásco d fludos m mos porosos stão lgadas às forts ãolardads prsts as rlaçõs costtutvas ao fato d qu sss tpos d problmas gralmt são domados plos ftos covctvos od a utlzação d métodos umércos clásscos além d rsultar m osclaçõs spúras mostra também cssva dfusão artfcal [0]. Adcoalmt, o cálculo da vlocdad utlzado drtamt a l d Darc, a qual cssta d uma multplcação plo gradt d

11 prssão, acarrta prda a prcsão dos rsultados ão garat o prcípo d cosrvação d massa [7]. Dvrsos autors têm aprstado os últmos aos dfrts formulaçõs qu são mprgadas a dscrtzação d problmas d scoamto multfásco d fludos m mos porosos, od o modlo matmátco é prsso por duas quaçõs dfrcas parcas, uma cohcda como quação da prssão outra cohcda como quação da saturação. Bsas Car [4] utlzam uma formulação qu rsolv a prssão d forma mplícta a saturação d forma plícta (IMPES mplct prssur/plct saturato), sdo mprgada a formulação d lmtos ftos d Galrk/mímos quadrados. Durlofsk [4] utlza lmtos ftos mstos para a prssão a vlocdad téccas d volums ftos para a quação da saturação. Já Douglas t al. [3] mprgam a combação d métodos d lmtos ftos mstos para a quação da prssão o método das caractrístcas para acompahar a volução da frt d saturação, m ambts d computação paralla []. Db t al. [] Slva [34] mprgam uma formulação d lmtos ftos com rfamto d malha adaptatvo do tpo hp od a quação da saturação é solucoada com a formulação SUPG (Straml Upd Ptrov-Galrk) acrscda d um oprador d captura d dscotudad. Masud Hughs [7] dscutm os problmas qu surgm quado a vlocdad é calculada drtamt a partr da l d Darc aprstam uma formulação stablzada d lmtos ftos mstos para scoamtos d um úco fludo através d mos porosos. Para problmas d scoamto d fludos mscívs m mos porosos Loula t al. [] Malta t al. [4] utlzaram uma stratéga d pósprocssamto do campo d vlocdads para rcuprar a prcsão a apromação da vlocdad od todas as varávs do problma foram apromadas por trpolaçõs Lagragaas d msma ordm. Lagtag [] compara os rsultados obtdos a partr do mprgo d dfrts formulaçõs d lmtos ftos. Nos casos od os ftos caplars foram sgfcatvos os campos d prssão d saturação mostraram-s suavs todas as formulaçõs utlzadas por Lagtag [] aprstaram bos rsultados. Por outro lado, sgudo Lagtag [] foram cotradas dfculdads para rprstar a frt d saturação formada quado os ftos caplars foram glgcados, sdo tas dfculdads supradas com o mprgo d uma formulação d Ptrov-Galrk qu acrscta stabldad tato a drção das lhas d corrt quato a drção do gradt d saturação. Lagtag [] mostrou também m su 3

12 studo comparaçõs tr as fcêcas d dfrts métodos tratvos combados a dvrsas téccas d pré-codcoamto. Coutho t al. [9] aprstam um algortmo DMP (Damc Msh Partto) od o domío d lmtos ftos é partcoado d acordo com um crtéro d stabldad, basado m um úmro d Courat local, um crtéro d prcsão, basado m varaçõs locas do gradt da solução. Coutho Alvs [8] aprstam uma formulação stablzada d lmtos ftos utlzado téccas d solução m ambts d computação paralla para scoamtos mscívs m mos porosos. Juas a Patzk [0] utlzam uma formulação stablzada d lmtos ftos, a qual basa-s a dcomposção das varávs d trss m multscalas, para scoamtos tato d fludos mscívs quato d fludos mscívs m mos porosos. Parsos Coutho [8] dstacam um mlhor dsmpho do método multgrd a solução do sstma d quaçõs rfrt à quação da prssão quado comparado com o método dos gradts cojugados com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl. O scoamto comprssívl bfásco d fludos ão-toaos mscívs m mos porosos aplca-s por mplo a opraçõs d prfuraçõs d poços d ptrólo, od o fludo d prfuração possu comportamto ão-toao sob dtrmadas codçõs vad o rsrvatóro dslocado o fludo rsdt. Est tpo d smulação prmt portato aalsar o problma da prda do fludo d prfuração durat a prfuração d poços. Wu Pruss [37] tratam do scoamto d fludos ão-toaos através d mos porosos. Esss autors aprstam um tratamto umérco dtalhado para o modlo d l das potêcas para o modlo d fludo d Bgham. Em su trabalho Wu Pruss [37] utlzam o método das dfrças ftas a dscrtzação spacal das quaçõs govrats. Zhu t al. [39] também utlzam o método das dfrças ftas para smular o scoamto d fludos ão-toaos m mos porosos, porém mplmtam um modlo d fludo ão-toao cohcdo como modlo hprbólco. Chu t al. [7] aprstam uma formulação d lmtos ftos para o scoamto d fludos ão-toaos m mos porosos. Esss autors aprstam dos modlos d fludos ão-toaos, ambos basados o modlo d l das potêcas, cohcdos rspctvamt por modlo d Koz modlo d Tu 4

13 Hasslk. Chu t al. [7] studaram os ftos dos parâmtros tato dos fludos ãotoaos quato do mo poroso sobr a solução do problma. Nst trabalho aprsta-s uma formulação stablzada d lmtos ftos para a smulação d scoamtos comprssívs bfáscos d fludos ão-toaos mscívs m mos porosos. Esta formulação é uma mportat frramta para a smulação d vasão d fludos durat opraçõs d prfuração d poços d ptrólo. O modlo d Koz mostrado m [7] é usado para dscrvr o comportamto dos fludos ão-toaos. A quação da saturação é apromada plo método SUPG [5] acrscdo d um trmo d captura d choqu do tpo CAU [], a quação da prssão é apromada plo método d Galrk é usada uma stratéga d pós-procssamto para rcuprar a vlocdad d Darc, garatdo a cosrvação d massa [4]. Uma formulação varacoal sm-dscrta é utlzada para rsolvr o cojuto acoplado d quaçõs dfrcas parcas qu dscrv o problma. O cojuto acoplado d quaçõs dfrcas ordáras rsultat da dscrtzação spacal srá dscrtzado o tmpo utlzado o método trapzodal gralzado aprstado por Hughs [8]. Para ralzar o avaço da solução do problma o tmpo adota-s uma stratéga basada o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor mostrado m Coutho Alvs [8]. Nst algortmo é cssáro, a cada tração ão-lar ou multcorrção, rsolvr três sstmas d quaçõs lars dsttos. Esss sstmas d quaçõs lars rfrm-s, rspctvamt, à prssão, vlocdad saturação. No caso do sstma d quaçõs rfrt à prssão a matrz d cofcts é smétrca postva-dfda para rsolvê-lo aplca-s o método dos gradts cojugados com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl (PCG). No cálculo das vlocdads pós-procssadas o sstma d quaçõs também possu uma matrz d cofcts smétrca postva-dfda porém st caso a solução é alcaçada com a utlzação do método d Jacob lvr d matrzs. A técca d pós-procssamto do campo d vlocdads utlzada basa-s a formulação varacoal da l d Darc combada com o rsíduo da quação d balaço d massa [4]. O sstma d quaçõs rfrt à saturação é ão-smétrco o método GMRES (Gralzd Mmal Rsdual) com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl dscrto m [33] é utlzado para rsolvê-lo. 5

14 . Objtvos do trabalho Os objtvos do prst trabalho podm sr umrados da sgut mara: ) mplmtar uma formulação d lmtos ftos stablzada para smular scoamto d fludos ão-toaos através d mos porosos; ) aalsar o comportamto da vscosdad apart dos fludos ãotoaos sua fluêca a solução do problma; ) vrfcar s o tratamto umérco dos fludos ão-toaos trfr sgfcatvamt o comportamto tato dos métodos tratvos quato do algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor, afm d ão compromtr a qualdad dos rsultados; v) forcr subsídos para o studo do fômo d prda do fludo d prfuração durat opraçõs d prfuraçõs d poços d ptrólo (scala d poço) smular o dslocamto d fludos ão-toaos o tror dos rsrvatóros acompahado sua varação d vscosdad apart (scala d rsrvatóro)..3 Orgazação do tto Os prómos capítulos dst trabalho cotram-s assm orgazados. O Capítulo aprsta a formulação matmátca do problma studado. Nl são aprstadas as cosdraçõs mprgadas a solução do problma, as rlaçõs costtutvas do modlo, a forma fal das quaçõs govrats além das codçõs d cotoro codçõs cas cssáras para compltar o modlo matmátco. No Capítulo 3 aprsta-s a formulação d lmtos ftos mprgada. Nst capítulo dscrv-s dtalhadamt a formulação stablzada d lmtos ftos, os métodos utlzados para solucoar os sstmas d quaçõs lars orudos da dscrtzação d lmtos ftos, o algortmo d avaço o tmpo as matrzs d lmto qu compõm o sstma a sr 6

15 solucoado. No Capítulo 4 cotram-s os rsultados umércos qu dmostram a potcaldad a aplcabldad da formulação aprstada. Falmt o Capítulo 5 são aprstadas as coclusõs fas as sugstõs para trabalhos futuros. 7

16 Capítulo Formulação Matmátca A modlagm matmátca d scoamtos multfáscos d fludos mscívs m mos porosos é fudamtada as quaçõs báscas da mcâca do cotíuo. Tas quaçõs são prssas plas ls d cosrvação d massa (quação da cotudad), cosrvação da quatdad d movmto (quação do movmto) cosrvação d rga. Nst trabalho srá studado o caso spcífco d um scoamto bfásco sotérmco d fludos mscívs comprssívs através d um mo poroso rígdo cujo volum ão s altra durat o procsso d scoamto. Como s trata d um problma sotérmco as quaçõs govrats st caso são prssas plas quaçõs da cotudad do movmto. As hpótss as cosdraçõs utlzadas st trabalho srão dscutdas m dtalhs a Sção.. Além dsso as quaçõs qu govram o procsso d scoamto multfásco bm como as rlaçõs costtutvas qu compltam a modlagm do problma também srão aprstadas sta sção. As Sçõs..3 aprstam as formulaçõs altratvas do problma coform aprstado por Azz Sttar [], Hlmg [7], Lagtag [] Pacma [9]. A Sção.4 faz uma rcaptulação das quaçõs qu modlam o problma quato a Sção.5 mostra o cojuto d codçõs d cotoro codçõs cas cssáro para compltar a modlagm matmátca. Do poto d vsta matmátco cosdra-s qu o problma m qustão aprsta um domío vtor ormal utáro tro = (, ) o tmpo por t [ 0, T ]. Ω R com um cotoro Γ o qual s cotra qupado com um. O vtor posção é rprstado por = (, ) 8

17 . Equaçõs Govrats O problma d scoamto multfásco sotérmco d fludos mscívs através d mos porosos é govrado plas quaçõs da cotudad do movmto [6], mostradas rspctvamt a sgur: ( s ρ ) φ () ( ρv ) q = 0 t ( φ ρ u ) t u ( ρ u ) σ = ρ g, () od v é a vlocdad suprfcal d scoamto da fas [LT - ], u é a vlocdad trstcal d scoamto da fas [LT - ], ρ é a massa spcífca da fas [ML -3 ], q é a vazão mássca por udad d volum da fas [MT - L -3 ], s é a saturação da fas [admsoal], φ é a porosdad do mo [admsoal], σ é o tsor tsão da fas [ML - T - ] g é o vtor campo gravtacoal [LT - ]. A vlocdad suprfcal d scoamto, utlzada amplamt m substtução à vlocdad trstcal, é mdda dscosdrado a prsça da matrz porosa [5]. As vlocdads suprfcal trstcal s rlacoam da sgut forma: v = φ. (3) u Na modlagm d um problma costtuído por fass são cssáras quaçõs da cotudad do movmto para cada fas stt. É mportat rssaltar qu a quação da cotudad () a vazão mássca por udad d volum q srá postva quado s tratar d fot gatva quado s tratar d sumdouro. As quaçõs () () govram o scoamto d fludos mscívs através d um mo poroso. Essas quaçõs são dfdas m scala mcroscópca gralmt o qu s faz [7] m mcâca dos fludos é trabalhar m scala macroscópca, ou sja, utlza-s um valor médo das proprdads mcroscópcas d uma crta quatdad d substâca cotda m um dtrmado volum (REV Rprstatv Elmtar 9

18 Volum). Assm, sgudo Hlmg [7], a trasção da scala mcroscópca para a scala macroscópca a quação do movmto toma a forma da l d Darc. D acordo com Massara [5] a l d Darc é utlzada dscrmadamt a ltratura sobr a fludodâmca m mos porosos. Cada problma d scoamto m mos porosos tm suas partculardads portato dv sr tratado por mo d dfrts stratégas. Sgudo Prr t al. [30], problmas d scoamtos d fludos volvdo formaçõs gológcas, como por mplo rsrvatóros d ptrólo aqüífros, são problmas qu aprstam scoamto lto ls aplca-s a l d Darc m substtução à quação do movmto. Nsss problmas o úmro d Rolds, gradza qu prssa o balaço tr os ftos covctvos os ftos vscosos, é mor qu um (R < ). Algus autors, como por mplo Hlmg [7], aprstam valors lmts para o úmro d Rolds od a l d Darc pod sr aplcada. Massara [5] dscrv as cosdraçõs hpótss qu prmtm smplfcar a quação do movmto a quação d Darc. Hlmg [7] faz um apahado dos dvrsos trabalhos qu tratam a quação d Darc como uma smplfcação da quação do movmto. Nos scoamtos m mos porosos od o úmro d Rolds é bao as forças vscosas prdomam a quda d prssão é proporcoal à vscosdad do fludo à sua vlocdad suprfcal. No caso d scoamtos od o úmro d Rolds é lvado a quda d prssão é proporcoal à dsdad do fludo ao quadrado d sua vlocdad suprfcal [30]. Como st trabalho o mo poroso é um rsrvatóro d ptrólo através dl o scoamto dos fludos é lto, utlza-s a quação d Darc, gralzada para o caso d scoamto multfásco d fludos mscívs, m substtução à quação do movmto. A quação d Darc gralzada para o caso d scoamto multfásco tm a sgut forma: v kr = K( p ρg), µ (4) od K é o tsor prmabldad absoluta do mo [L ], k r é a prmabldad rlatva da fas [admsoal], µ é a vscosdad dâmca da fas [ML - T - ], p é a prssão da fas [ML - T - ]. 0

19 É comum dfr a gradza scalar mobldad d fas como: k r λ =. µ (5) O tsor prmabldad absoluta o vtor campo gravtacoal são dfdos o R, rspctvamt, da sgut forma: k K = k k k (6) g g =. g (7) Nst trabalho cosdra-s a smtra do tsor prmabldad absoluta, sto é, m todos os casos aalsados k =k. Nas subsçõs sguts srá aprstada a forma gral das quaçõs tato para o caso d scoamto multfásco quato para o caso d scoamto bfásco d fludos mscívs m mos porosos. Aprsta-s também, stas subsçõs, o cojuto d formaçõs qu caractrzam o sstma, as domadas quaçõs costtutvas... Forma gral das quaçõs para scoamtos multfáscos A forma gral das quaçõs para o caso d scoamto multfásco d fludos mscívs através d mos porosos é obtda combado a quação da cotudad com a quação d Darc. Dsta forma tm-s: ( φ s ρ ) t k ρ µ r K ρg ( p ) q = 0. (8)

20 Além da quação (8) dos tpos d rlaçõs suplmtars são cssáras. O prmro tpo rlacoa as saturaçõs das fass quato o sgudo tpo rlacoa as prssõs das fass através do cocto d prssão caplar. Etão tm-s: = s = (9) cαψ α ψ ( s,..., s ) α, ψ, α ψ p = p p = f. (0) Nas quaçõs (9) (0) rprsta o úmro d fass stt a prssão caplar pcαψ tr as fass α ψ dpd somt da saturação das fass como srá mostrado adat a Subsção..5. As quaçõs (8), (9) (0) rprstam um sstma acoplado d quaçõs dfrcas qu dscrv o scoamto d dos ou mas fludos mscívs através d um mo poroso saturado ou ão. O comportamto dst sstma acoplado d quaçõs dfrcas é altamt ão-lar plo fato da prssão caplar da prmabldad rlatva srm prssas por fuçõs ão-lars das saturaçõs das fass [7]. O carátr ão-lar dst sstma acoplado d quaçõs dfrcas é ada maor quado s trabalha com fludos ão-toaos od, ao cotráro dos fludos toaos, a vscosdad ão é costat. A vscosdad dos fludos ão-toaos podm sr prssas d dfrts formas. Chu t al. [7] Massara Tlls [6] aprstam a vscosdad dos fludos ão-toaos como uma fução da vlocdad do scoamto. Por outro lado, Wu Pruss [37] aprstam a vscosdad dos fludos ão-toaos como uma fução do gradt do potcal... Escoamto bfásco d fludos mscívs m mos porosos No caso spcífco m qu tm-s apas duas fass (scoamto bfásco), dtfcadas plos subídcs os quas rprstam a fas molhat a fas ãomolhat rspctvamt, as quaçõs (8), (9) (0) têm a sgut forma:

21 ( φ s ρ ) t ρ k µ r K ( p ρ g) q = 0 () ( φ s ρ ) t ρ k µ r K ( p ρ g) q = 0 () s s = (3) p c = p p. (4) No scoamto bfásco stm quatro cógtas ou varávs prmáras, são las as saturaçõs as prssõs d ambas as fass. Azz Sttar [], Hlmg [7], Lagtag [] Pacma [9] aprstam dfrts stratégas od as quaçõs () () são rarrajadas com objtvo d rduzr o úmro d varávs prmáras. Nst trabalho optou-s m utlzar apas s p como varávs prmáras. Coform mostrado por Azz Sttar [], Hlmg [7], Lagtag [] Pacma [9] outras scolhas d varávs também são possívs (p -s, p -s, p -s tc). O rsultado da stratéga adotada rsulta m duas quaçõs, uma cohcda como quação da prssão outra cohcda como quação da saturação. O dsvolvmto matmátco para s obtr as quaçõs da prssão da saturação srá aprstado adat as Sçõs Saturação, saturação rsdual saturação ftva Os spaços vazos m um mo poroso podm star compltamt ou parcalmt prchdos por um ou mas fludos. Quado os vazos do mo poroso stão compltamt prchdos o mo poroso é chamado d saturado. Por outro lado quado os vazos do mo poroso stão parcalmt prchdos o mo poroso é chamado d ão-saturado. O cocto d saturação surg quado os vazos do mo poroso stão prchdos por dos ou mas fludos mscívs. Df-s saturação d uma 3

22 dtrmada fas como sdo a fração do volum poroso ocupada por sta fas [3]. Assm o caso m qu tha-s fass ocupado os vazos d um mo poroso a sgut rlação é vrdadra: = s =. (5) Quado os fludos qu stão ocupado os vazos d um mo poroso são mscívs o cocto d saturação é substtuído plo cocto d coctração. Outro cocto muto utlzado é o cocto d saturação rsdual. A saturação rsdual d uma dtrmada fas pod sr tdda como sdo o mor valor possívl assumdo pla saturação d fas. A saturação rsdual da fas é rprstada por s r. Sgudo Hlmg [7] a dfção da saturação ftva s basa-s as curvas d prmabldad rlatva d prssão caplar pod sr prssa d váras maras. Uma das possívs formas d prssar a saturação ftva é mostrada a sgur: s sr s = sr s, s r (6) od s é a saturação ftva, s é a saturação da fas molhat s r é a saturação rsdual da fas molhat. No caso d um scoamto bfásco od os subídcs dcam rspctvamt a fas molhat a fas ão-molhat rspctvamt a saturação ftva pod sr prssa por: s s s r = sr s sr, sr sr (7) od s é a saturação ftva, s é a saturação da fas molhat, s r é a saturação rsdual da fas molhat s r é a saturação rsdual da fas ão-molhat. 4

23 Hlmg [7] aprsta uma dscussão dtalhada sobr as dfrts dfçõs d saturação ftva, suas partculardads, aplcaçõs lmtaçõs...4 Prmabldad absoluta prmabldad rlatva O tsor prmabldad absoluta K dfdo m (6) md a habldad do mo m prmtr o scoamto d fludos através d sus poros. Portato o tsor prmabldad absoluta é uma caractrístca trísca do mo. S os vazos d um mo poroso stvrm sdo ocupados por mas d um fludo, a prsça d uma das fass trfr o scoamto das outras fass prsts vc-vrsa. Assm o scoamto d cada fas srá flucado tato plo mo (prmabldad absoluta) quato pla prsça das outras fass (prmabldad rlatva). A prmabldad rlatva é portato uma gradza admsoal qu md o quato cada fas fluca o scoamto das dmas fass prsts o mo. As curvas d prmabldad rlatva são obtdas m laboratóro através d saos ralzados sobr amostras do mo poroso. Tas curvas podm sr prssas por fuçõs ão-lars da saturação da fas molhat s. Város autors aprstam dfrts formas d modlar as curvas d prmabldad rlatvas m fução da saturação da fas molhat s. A sgur aprsta-s algus modlos d prmabldad rlatva para o caso spcífco d scoamto bfásco. Chu t al. [7] aprstam as sguts quaçõs para as prmabldad rlatvas das fass molhat ão-molhat rspctvamt: k r p = p d c 3λ (8) k r p = p d c λ λ pd pc (9) od k r é a prmabldad rlatva da fas molhat, k r é a prmabldad rlatva da fas ão-molhat, p c é a prssão caplar, p d é a prssão d dslocamto λ é uma costat mpírca do modlo. 5

24 A prssão d dslocamto p d é dfda como sdo a prssão caplar míma cssára para qu a fas ão-molhat comc a ptrar m um mo poroso saturado pla fas molhat. Um modlo bm mas smpls, muto comum m ghara d ptrólo para rprstar as prmabldad rlatvas das fass molhats ão-molhats rspctvamt, é dado por: k r = s (0) k r ( s ) =, () od k r é a prmabldad rlatva da fas molhat, k r é a prmabldad rlatva da fas ão-molhat s é saturação da fas molhat. É mportat dstacar qu m todos os modlos aprstados a prmabldad rlatva é uma fução ão-lar da saturação da fas molhat s...5 Prssão caplar A prssão caplar é um fto qu ocorr a trfac das fass pod sr tdda como sdo uma dscotudad d prssão o tror do mo poroso. A prssão caplar pod sr prssa como a dfrça tr as prssõs das fass ão-molhat molhat: p c = p p, () sdo p c a prssão caplar, p a prssão da fas ão-molhat p a prssão da fas molhat. Em procssos multfáscos a prssão caplar pod sr prssa como uma fução da saturação da fas molhat s, ou sja: 6

25 c c ( s ) p = p. (3) Város autors aprstam dfrts rlaçõs tr as curvas d prssão caplar a saturação da fas molhat s. A sgur aprsta-s algus modlos d prssão caplar para o caso spcífco d scoamto bfásco. Hlmg [7] aprsta o modlo d Brooks-Cor para a prssão caplar: s ( p ) c = s s s r r p = p d c λ, (4) od s é a saturação ftva, s é a saturação da fas molhat, s r é a saturação rsdual da fas molhat, p d é a prssão d dslocamto, p c é a prssão caplar λ é uma costat mpírca do modlo. Durlofsk [4] aprsta um modlo qu rlacoa a prssão caplar a saturação da fas molhat da sgut forma: p c pc ma s ps = l, ps ps l ps (5) od p c é prssão caplar, p cma é a prssão caplar máma, s é a saturação da fas molhat ps é um parâmtro do modlo. É mportat dstacar qu m todos os modlos aprstados a prssão caplar é uma fução ão-lar da saturação da fas molhat s...6 Vscosdad vscosdad apart Um fludo é uma substâca qu s dforma cotuamt sob a ação d uma tsão d csalhamto, ão mportado quão pqua ssa tsão d csalhamto possa sr. Os 7

26 fludos podm sr classfcados d acordo com a rlação tr a tsão d csalhamto aplcada a taa d dformação. Os fludos os quas a tsão d csalhamto é drtamt proporcoal à taa d dformação são chamados d fludos toaos, tão: dγ τ. dt (6) A costat d proporcoaldad a quação (6) é a vscosdad absoluta ou vscosdad dâmca µ. Portato a l d Nto da vscosdad é dada por: dγ τ = µ. dt (7) Os fludos os quas a tsão d csalhamto ão é drtamt proporcoal à taa d dformação são chamados d fludos ão-toaos. Sgudo Fo [6] umrosas quaçõs mpírcas têm sdo propostas para laborarm o modlo matmátco das rlaçõs obsrvadas tr a tsão d csalhamto a taa d dformação o caso d fludos ão-toaos. Para mutas aplcaçõs prátcas d ghara ssas rlaçõs tr a tsão d csalhamto a taa d dformação podm sr adquadamt rprstadas plo modlo pocal, cohcdo como l das potêcas, dado por: dγ τ = H, dt (8) od H é chamado d parâmtro d cosstêca o pot é o ídc d comportamto do scoamto. A quação (8) s rduz à l d Nto da vscosdad quado = H=µ. É comum rscrvr a quação (8) da sgut forma: 8

27 dγ τ = η, dt (9) sdo: d η = H γ, dt (30) od η é a vscosdad apart do fludo ão-toao. Os fludos m qu a vscosdad apart dmu com taas d dformaçõs crscts ( < ) são chamados d psudoplástcos. S a vscosdad apart aumtar com taas d dformação crscts ( > ) o fludo é chamado d dlatat. Estm fludos qu s comportam como um sóldo até qu uma tsão d csalhamto míma sja cdda, subsqütmt, aprstam uma rlação lar tr a tsão d csalhamto a taa d dformação. Um fludo qu aprsta tas caractrístcas é domado fludo plástco d Bgham ou smplsmt fludo d Bgham. O modlo aproprado para a rlação tr a tsão d csalhamto a taa d dformação para o fludo d Bgham é dado por: dγ τ = τ m µ b, dt (3) od µ b é o cofct d vscosdad do fludo d Bgham τ m é a tsão d csalhamto míma do fludo d Bgham. A Fgura aprsta as curvas típcas da tsão d csalhamto m fução da taa d dformação para dfrts tpos d fludos. No caso d scoamto d fludos ão-toaos através d mos porosos os parâmtros qu caractrzam o mo também flucam a vscosdad apart. 9

28 Fludo d Bgham µ b Tsão d csalhamto τ m Psudoplástco < Ntoao = µ Dlatat > Taa d dformação Fgura Curvas típcas da tsão d csalhamto m fução da taa d dformação para dfrts tpos d fludos. Város modlos para vscosdad apart d fludos ão-toaos m mos porosos têm sdo propostos. Chu t al. [7] aprstam um modlo d l das potêcas od a vscosdad dos fludos ão-toaos é uma fução da vlocdad do scoamto. Massara Tlls [6] aprstam um modlo smlhat ao modlo aprstado por Chu t al. [7]. Wu Pruss [37] aprstam tato um modlo d l das potêcas quato um modlo d fludo d Bgham od a vscosdad dos fludos ão-toaos é uma fução do gradt do potcal. Nst trabalho o modlo d Koz, qu é basado o modlo d l das potêcas aprstado por Chu t al. [7], é utlzado para s obtr a vscosdad apart do fludo ão-toao. Tal modlo é prsso por: H 3 η = 9 50 ( κ aφ ) vt, (3) Algus autors substtum a omclatura potcal por prssão pzométrca. 0

29 od H é o parâmtro d cosstêca, é o ídc d comportamto do scoamto, κ a é prmabldad absoluta a drção do scoamto, φ é a porosdad do mo v t é a orma ucldaa da vlocdad total do scoamto. Assm como a prmabldad rlatva a prssão caplar a vscosdad apart d fludos ão-toaos também é prssa por uma fução ão-lar. No caso do modlo d Koz, quação (3), a vscosdad apart é uma fução ão-lar da vlocdad do scoamto ão da saturação da fas molhat s. Como o problma d scoamto bfásco d fludos mscívs m mos porosos é dscrto por um sstma acoplado d quaçõs dfrcas, como pod sr obsrvado mas adat a Sção.4, td-s qu a vscosdad apart possu uma dpdêca ão-lar drta com a saturação da fas molhat s.. Equação da Prssão A quação da prssão, sgudo Lagtag [], é obtda coform mostrado abao. As quaçõs da cotudad, o caso d scoamtos comprssívs, para as fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por: ( φ s ) t ( φ s ) t v q ρ = 0 q v = 0. ρ (33) (34) Somado as quaçõs (33) (34) tm-s a sgut prssão:. [ ( s s )] φ ( v v ) ( Q Q ) = 0 (35) t od:

30 Q q =, =,. ρ (36) Assm, lvado m cota a rlação (3), a quação (35) toma a sgut forma: v Q = 0, (37) t t od: v = v v (38) t Q = Q Q. (39) t Sdo v t a vlocdad total d prcolação das fass Q t a vazão volumétrca total das fass por udad d volum. A vlocdad total d prcolação das fass v t, dv sr scrta m fução das varávs prmáras do problma, p s, como srá aprstado a sgur. Sabdo-s qu a vlocdad d prcolação d cada fas é dada pla L d Darc, gralzada para scoamtos multfáscos, tm-s: ( g) v = Kλ p ρ (40) ( g) v = Kλ p ρ. (4) Somado as quaçõs (40) (4) tm-s: v t ( λ ρ λ ρ ) = Kλ p Kλ p Kg. (4) Pla dfção da prssão caplar sab-s qu:

31 p = p p. (43) c Calculado o gradt da quação (43) obtém-s: p = p p. (44) c Como a prssão caplar é uma fução da saturação da fas molhat s, podmos scrvr a quação (44) da sgut mara: dp c p = p s. ds (45) Substtudo a quação (45) a quação (4) tmos a sgut prssão: v t = Kλ p dp s Kλ p Kg ( λ ρ λ ρ ) c ds. (46) Mapulado a quação (46) chgamos a forma fal da prssão da vlocdad total d prcolação das fass m fução da prssão da fas ão-molhat p da saturação da fas molhat s : dp v = K, t ( λ ρ λ ρ ) c λ t p Kλ s Kg ds (47) od: λ = λ λ. (48) t As quaçõs (37) (47) compõ a modlagm do sstma prssão/vlocdad. A quação (47) é cohcda como quação da vlocdad. A quação da prssão é obtda substtudo a quação (47) a quação (37) da sgut forma: 3

32 dp c K λt p Kλ s Kg ( λρ λρ ) Qt = 0. ds (49) A quação (49) é cohcda como quação da prssão, porém é comum a utlzação das quaçõs (37) (47) para rprstarm, rspctvamt, a quação prssão a quação da vlocdad total d prcolação das fass. Sgudo Pacma [9] a quação da prssão para scoamtos comprssívs, qu é o caso da quação (49), é uma quação líptca quato o caso d scoamtos lgramt comprssívs a quação rsultat srá uma quação parabólca..3 Equação da Saturação A quação da saturação, sgudo Azz Sttar [], Hlmg [7] Pacma [9], é obtda coform mostrado abao. Prmramt utlza-s a dfção d prssão caplar, quação (44), a quação da vlocdad da fas ão-molhat, quação (4), o qu forc a sgut quação: v ( p p ρ g) = Kλ. (50) c fraccoal: A combação das quaçõs (40) (50) forc a quação do scoamto λ v = v λk( pc ρg ρg). λ (5) Utlzado-s a dfção d vlocdad total d prcolação das fass, quação (38), m cojuto com a quação (5) obtém-s o sgut: 4

33 v = t pc ρ λ λ [ v λ K( ρ g g) ]. (5) Substtudo a quação (5) a quação (34) tm-s: s v, t [ f t hk( pc ρg ρg) ] = φ Q (53) od dfm-s as fuçõs d fluo fracoáro como: f f λ = λ λ λ λ λ =, (54) (55) a fução h também é dfda como sdo uma fução das mobldads d fas: λ λ h =. λ λ (56) Algus trmos da quação (53), qu são fuçõs da saturação da fas molhat s, podm sr scrtos da sgut forma: p c dp = ds c s ( f v t ) = vt f f ( vt ) = vt s fqt [ hk( ρ g ρg) ] = Kg( ρ ρ ) h = Kg( ρ ρ ) s df ds dh ds. (57) (58) (59) Aalsado as quaçõs (54) (55) pod-s coclur qu: 5

34 df ds df = ds (60) f f =. (6) Etão a sgut smplfcação pod sr scrta: Q f Q = Q f Q. (6) t t Nst poto, fazdo as smplfcaçõs substtuçõs cssáras a quação (53) chga-s a sgut quação: s φ t v t df ds Kg G s K h dp ds c s Q f Q t = 0, (63) od: G ( ρ ρ ) dh =. ds (64) D acordo com Lagtag [] as vzhaças dos poços as fots os sumdouros, rspctvamt, jtam tram fludos a proporção d suas mobldads locas. Etão pod-s ralzar a sgut smplfcação: Q = f Q = f v. (65) t t Substtudo (65) m (63) chga-s falmt à forma fal da quação da saturação qu é a sgut: s φ v a s D s = 0. t (66) 6

35 Na quação (66) v a é a vlocdad apart d trasport do fludo D, d acordo com a omclatura utlzada por Hlmg [7], é o tsor d dfusão. Sgudo Durlofsk [4] os ftos caplars troduzm ao tsor D ftos smlhats aos ftos dfusvos, mbora st ão sja um tsor d dfusão propramt dto. Abao são aprstadas as quaçõs qu dfm as duas gradzas acma dscrtas. A vlocdad apart d trasport do fludo é prssa por: va v a =, va (67) od: df v a = v ( kg kg )G ds df v a = v ( kg k g )G ds (68) (69) O tsor d dfusão é prsso por: dpc D = h K. ds (70) Do poto d vsta físco o prmro trmo da quação (66) é o trmo d acúmulo, o sgudo é o trmo covctvo o trcro é o trmo dfusvo. A quação da saturação, quação (66), tm um carátr altamt ão-lar vsto qu algumas das gradzas qu compõ sta quação, como por mplo a prssão caplar a prmabldad rlatva das fass, são fuçõs ão-lars da saturação da fas molhat s. Quado s trata d scoamto d fludos ão-toaos o carátr ão-lar da quação (66) é ada maor uma vz qu a vscosdad qu srá utlzada a quação d Darc srá a vscosdad apart, qu pod sr prssa por uma fução ão-lar tato da vlocdad do scoamto quato do gradt do potcal. Sgudo Pacma [9] a quação da saturação, quação (66), é uma quação parabólca-hprbólca. O comportamto da quação (66) é dtrmado plo valor da 7

36 drvada da prssão caplar m fução da saturação da fas molhat dp ds c. Quado a drvada da prssão caplar m fução da saturação da fas molhat aprstar valors sgfcatvos a quação (66) trá um comportamto prdomatmt parabólco. Por outro lado quado a drvada da prssão caplar m fução da saturação da fas molhat aprstar valors pquos dp ds comportamto prdomatmt hprbólco [7]. c 0 a quação (66) trá um.4 Sstma Acoplado d Equaçõs Dfrcas Com bas as Sçõs..3 pod-s agora scrvr o sstma complto d quaçõs dfrcas objto d studo dst trabalho, dado por: v Q = 0 (37) t t v t = K dp ( λ ρ λ ρ ) c λ t p Kλ s Kg ds s φ v a s D s = 0. t (47) (66) A quação (37) é a quação da prssão, a quação (47) é a quação da vlocdad total d prcolação das fass a quação (66) é a quação da saturação. A quação da vlocdad total d prcolação das fass é rsposávl plo acoplamto das quaçõs da prssão da saturação. D acordo com Durlofsk [4] o sstma acoplado d quaçõs dfrcas parcas acma dscrto pod sr admsoalzado dtfcado-s valors caractrístcos para cada varávl, sdo qu as quaçõs admsoas rsultats dpdm d dos grupos admsoas. O prmro grupo admsoal quatfca a rlação tr os ftos gravtacoas os ftos covctvos é dado por: 8

37 G d K ρ g c =, µ v c Tc (7) od K c é a prmabldad caractrístca do rsrvatóro, ρ=ρ -ρ, µ c é a vscosdad caractrístca do scoamto, ν Tc é a vlocdad total caractrístca do scoamto. O sgudo grupo admsoal quatfca a rlação tr os ftos covctvos os ftos rlacoados à prssão caplar é dado por: µ c P v L Tc c =, pckc (7) od L c é o comprmto caractrístco do rsrvatóro caractrístca. pc é a prssão caplar Lagtag [] também aprsta dos grupos admsoas qu, da msma mara como dscrto por Durlofsk [4], prmtm tratar o sstma d quaçõs dfrcas m studo d forma admsoal. O prmro grupo admsoal aprstado por Lagtag [] é dado por: V c p K t =, L c µ c c c c (73) od ṗc é a prssão caractrístca do rsrvatóro t c é o tmpo caractrístco da aáls. O sgudo grupo admsoal aprstado por Lagtag [] é dado por: W c ρ g K t c c c c =, µ c Lc (74) od ρ c é a massa spcífca caractrístca g c é um valor caractrístco qu rprsta os ftos gravtacoas. Coform aprsta Lagtag [] o valor ral d uma dtrmada gradza é obtdo multplcado su valor caractrístco por su valor admsoalzado usado a smulação. Por mplo, o caso da vscosdad tm-s: 9

38 µ = µ µ, =, (75) c, od dcam as fass molhat ão-molhat rspctvamt o suprídc astrístco dtfca o valor admsoalzado da gradza..5 Codçõs d cotoro codçõs cas Para compltar a dscrção do problma é prcso spcfcar um cojuto aproprado d codçõs d cotoro codçõs cas. A frotra Γ do domío Ω pod aprstar rgõs d poços jtors, poços produtors codçõs d fluo ulo. Assm a frotra Γ do domío Ω pod tão sr partcoada d modo qu Γ = Γ Γ p Γ d Γ, od Γ Γ p dotam, rspctvamt, a frotra os poços jtor produtor, Γ d dota a frotra od a prssão é prscrta Γ a part da frotra od a codção d fluo ulo é spcfcada. No caso da quação da prssão, quação (37), pod-s prscrvr tato valors para as prssõs (codção d cotoro sscal) quato para os fluos (codção d cotoro atural). Para a quação da saturação, quação (66), por qustõs prátcas gralmt lmta-s a prscrvr saturaçõs (codção d cotoro sscal) a frotra dos poços jtors. Portato as codçõs d cotoro para a quação da prssão são dadas por: [ 0, T ] v t = h m Γ (76) [ 0, T ] v t = hp m Γp (77) [ 0, ] v = 0 m Γ T (78) t p (, t) = p m Γ [ 0, T ] (79) d od h h p são os fluos prscrtos os cotoros d poços jtors poços produtors rspctvamt p d é o valor d prssão prscrta. d 30

39 Para a quação da saturação as codçõs d cotoro são dadas por: s (, t) = s m Γ [ 0, T ] (80) [ 0, T ] D s = 0 m Γ (8) As codçõs cas para as quaçõs da prssão da saturação são dadas rspctvamt por: ( 0) = p m Ω p (8), 0 ( 0) = s m Ω s (83), 0 Jutamt com as quaçõs da prssão, da vlocdad da saturação, as quaçõs d codçõs d cotoro codçõs cas compltam a modlagm matmátca do problma d scoamto bfásco d fludos mscívs comprssívs através d um mo poroso rígdo. 3

40 Capítulo 3 Formulação Apromada d Elmtos Ftos A solução aalítca do modlo matmátco rprstado plas quaçõs (37), (47) (66) raramt pod sr alcaçada os casos prátcos d ghara. Assm utlzam-s métodos umércos para s cosgur uma solução apromada do problma. Dvrsos métodos umércos podm sr mprgados para s alcaçar a solução apromada, como por mplo, o método das dfrças ftas, o método dos volums ftos o método dos lmtos ftos. Nst trabalho adota-s o método dos lmtos ftos para s obtr uma solução apromada. Dsta forma srá utlzada uma formulação varacoal smdscrta para s rsolvr o cojuto acoplado d quaçõs dfrcas parcas qu rprsta o problma studado. A formulação varacoal sm-dscrta caractrza-s pla dscrtzação por lmtos ftos o spaço sguda pla dscrtzação por dfrças ftas o tmpo. 3. Método dos Elmtos Ftos No método dos lmtos ftos a formulação matmátca (quação dfrcal o cojuto d codçõs d cotoro codçõs cas) é rformulada m trmos d uma formulação varacoal. O método dos lmtos ftos cosst m subdvdr o domío do problma Ω m um cojuto d subdomíos Ω (lmtos ftos) tal qu, Ω = l = Ω l = Ω =, od l rprsta o úmro total d lmtos da malha o suprídc 3

41 dca o -ésmo lmto da malha. Dsta forma a solução do problma lva m cota a cotrbução d cada lmto da malha. É cssáro ada dfr os cojutos d fuçõs admssívs para a prssão P h, para a saturação S h o cojuto d fuçõs pso W h, P h = h h h h { p p H ( Ω), p (, t) = p m Γ } / (84) d d S W h h = = h h h h { s s H ( Ω), s (, t) = s m Γ } / (85) h h h h { H ( Ω), = 0 m Γ Γ } / (86) d od o suprídc h dca a dscrtzação d lmtos ftos, sdo H h ( Ω) H ( Ω) um spaço d dmsõs ftas sobr o domío Ω ( Ω) cuja a prmra drvada é quadrado tgrávl [8], sto é, s H é o spaço das fuçõs df f H ( Ω) dω <. Ω d (87) Nst trabalho utlza-s lmtos tragulars lars para dscrtzar o domío Ω coform mostra a Fgura. Para s rsolvr as tgras do problma ralza-s uma mudaça d varávs, sto é, um lmto tragular lar qualqur dfdo m varávs globas = (, ) é mapado para um Elmto Pa dfdo m varávs aturas = (ξ, η) coform squma aprstado a Fgura. As varávs do problma a fução pso são apromadas da sgut forma: h os p = N h = os = p s = N s s t h = os = N a, os h = Nc = (88) (89) (90) (9) 33

42 od p é a prssão odal, s é a saturação odal, a é a drvada tmporal odal d s, c é uma costat qualqur arbtrára, os é úmro total d ós da malha d lmtos ftos N é a fução d trpolação do ó dpdt somt da posção, sto é, N =N (). No caso d lmtos tragulars lars as fuçõs d trpolação são dfdas da sgut forma: [ N N ] N =. (9) N3 As compots do vtor d fuçõs d trpolação para o lmto tragular lar, dfdas m coordadas aturas, são dadas por: N = ξ (93) N = η (94) N = ξ η. (95) 3 ξ? = η 3 η (0,) 3 Elmto Pa lmto lmto (0,0) (0,0) (,0) ξ = Fgura Elmto tragular lar. 34

43 É comum dfr o oprador gradt dscrto das fuçõs d trpolação por: N, B =, N, (96) od N = N,, N = N,. As drvadas d N m fução das coordadas globas (,) podm sr avaladas utlzado a rgra da cada como: N a, N a, ξ ξ, N a, ηη, = (97) N a, Na, ξ ξ, Na, ηη, =, (98) od a=,,3. As quaçõs (97) (98) podm sr scrtas m forma matrcal como: ξ η,,, [ N N ] = [ N N ] a, a, ξ a, ξ a, η. η, (99) As drvadas N a, ξ a, η N podm sr computadas plctamt a partr das dfçõs (93), (94) (95). Etrtato, os trmos da matrz quadrada stt a quação (99) ão podm sr computados plctamt uma vz qu ão s têm prssõs plíctas d ξ = ξ (, ) η = η(, ) rlaçõs vrsas:. Por outro lado, tm-s as sguts 3 ( ξ, η) = N ( ) a ξ, η a a= 3 ( ξ, η) N ( ) a ξ, η a =, a= (00) (0) as quas os prmt calcular a sgut matrz: 35

44 , ξ, η J =., ξ, η (0) As compots da matrz (0) são dadas por: 3 = N a, ξ, ξ a= 3, η, η a= a = N a 3, ξ, ξ a= a = N a a 3, η =, η a. a= N a (03) (04) (05) (06) A matrz (0) é a vrsa da matrz quadrada stt a quação (99), ou sja: ξ η, ξ η,, η, η = J =, j, ξ, ξ,, (07) od j = dt (J) =., ξ, η, η, ξ Com bas o qu fo posto é possívl calcular as drvadas N a, N a,. A matrz (0), qu df a trasformação d coordadas globas para coordadas aturas, é cohcda como matrz jacobaa. Calculado-s a vrsa da matrz jacobaa, o caso d lmtos tragulars lars, tm-s: 3 3 J =, A 3 3 (08) od A = dt (J) sdo A a ára do lmto j = j j = j,,j =,,3. 36

45 Fazdo as substtuçõs cssáras o oprador gradt dscrto das fuçõs d trpolação para o lmto tragular lar pod falmt sr calculado é rprstado por: 3 3 B =. A 3 3 (09) como: O oprador gradt dscrto pod sr scrto m fução d suas compots B B =, B (0) dsta forma tm-s qu: B = () [ 3 3 ] A B = [ 3 3 ] A. () A dfção do oprador gradt dscrto é tsamt utlzada o dsvolvmto das matrzs d lmto. 3. Dscrtzação Espacal Como a quação da prssão, quação (37), é uma quação líptca a formulação clássca d Galrk é sufct para s obtr uma boa apromação da solução. Porém o caso da quação da saturação, quação (66), qu é uma quação parabólca-hprbólca a formulação clássca d Galrk tora-s stávl, aprstado forts osclaçõs umércas prcpalmt m problmas prdomatmt covctvos, od st uma frt abrupta d saturação qu s mov o domío. Etão o caso da quação da saturação, quação (66), para s vtar o surgmto d osclaçõs umércas dsjávs ou rfa-s drastcamt a malha d 37

46 lmtos ftos [5], aumtado o sforço computacoal ou adota-s uma formulação stablzada. Nst trabalho optou-s pla utlzação d uma formulação stablzada qu acrscta à formulação clássca d Galrk stabldad tato a drção das lhas d corrt (SUPG - Straml Upd Ptrov-Galrk) quato a drção do gradt da solução (CAU Cosstt Appromat Upd). O trmo qu acrscta stabldad a drção das lhas d corrt é cohcdo como corrção SUPG quato o trmo qu acrscta stabldad a drção do gradt da solução é cohcdo como oprador d captura d choqu (ou dscotudad). Para forcr a stabldad dsjada, à fução pso d Galrk é somada uma fução pso dscotíua rfrt a corrção SUPG [5] acrscta-s também à formulação um trmo rfrt ao oprador d captura d choqu []. Maors dtalhs a rspto das formulaçõs d lmtos ftos usadas st trabalho srão aprstados as Sçõs Formulação d Galrk para a Equação da Prssão A formulação clássca d Galrk para a quação da prssão, quação (37), cosst m cotrar h h p P tal qu h h W tm-s: Ω h h h ( Q ) dω = 0 v. (3) t t Rsolvdo a quação (3) tm-s: h h h h v dω = Q dω. (4) Ω t Ω t Aplcado o torma da dvrgêca combado à técca d tgração por parts o lado squrdo da quação (4) tm-s: 38

47 39 Ω Γ = Ω Ω Γ Ω d Q d d h t h h t h h t h v v. (5) Dpddo do tpo d codção d cotoro spcfcada o produto scalar v h t pod tr su valor ulo (codção d fluo ulo) ou pod tr um valor d fluo spcífco. Nst dsvolvmto adota-s a codção d fluo ulo dvdo sua comoddad, porém ao fal dv-s fcar claro qu m algus problmas o trmo rfrt ao fluo prscrto dv str mbora aqu o msmo tha sdo omtdo. Assm d acordo com as codçõs mpostas acma substtudo a quação da vlocdad total d prcolação dos fludos, quação (47), tm-s: (6) ( ) Ω Ω Ω Ω = Ω Ω Ω Ω d d s ds dp d Q d p h h c h h t h h t h ρ λ ρ λ λ λ Kg K K. 3.4 Matrzs d Elmto para a Equação da Prssão Substtudo as dfçõs (88), (89) (9) a quação (6) tm-s: (7) ( ) Ω Ω Ω Ω = Ω Ω Ω Ω d N d s N ds dp N d q N N d p N N a b b c a b b a b b t a,,,,, ρ λ ρ λ λ λ Kg K K. A quação (7) pod sr scrta a forma matrcal como: f Kp =, (8) od K é a matrz d cofcts, f é o vtor d trmos dpdts p é o vtor d cógtas odas (prssõs odas).

48 É covt scrvr os trmos das parclas da quação (8) m fução das cotrbuçõs d cada lmto. Assm, os trmos qu cotrbum para a formação da matrz K são dados por: l K = A = ( k ) [ k ], a, =,, 3 (9) k = b (0) ab k ab = Na, Kλt Nb, dω, () Ω od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. Dsta forma, a matrz do lmto é dada por: T k = B Kλ tb dω. () Ω Aalogamt o vtor f pod sr scrto m trmos da cotrbução d cada lmto da sgut forma: l f = A = ( f ) [ f ], =,,3 (3) f = a (4) a f a = Ω Ω N N a, a N Kg b q b ( λ ρ λ ρ ) dω dω Ω N a, Kλ dp ds c N b, s b dω (5) od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. Dsta forma, o vtor do lmto é dado por: 40

49 f = Ω Ω B T T N Nq dω Kg ( λ ρ λ ρ ) dω Ω T B Kλ dp ds c Bs dω. (6) 3.4. Matrz d Cofcts A matrz d cofcts, dfda m (8), é rprstada por: T k = B Kλ tb dω. (7) Ω Substtudo a dfção (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (7) são costat o tror do lmto, uma vz qu as gradzas volvdas são avaladas o barctro do lmto, a matrz d cofcts pod sr scrta da sgut forma: 3 3 k k 3 3 λ k = t A k k 3 3 (8) Dst poto m dat m todas as tgras rsolvdas st trabalho as gradzas volvdas srão avaladas o barctro do lmto. Como cosquêca dsto os trmos do tgrado d cada tgral srão costats o tror do lmto. Rsolvdo a prssão (8) tm-s a forma fal da matrz d cofcts: ( k k ) 3 k k3 λ k = t ( k k3) k3 4 ( ), A sm k3 k3 (9) od: 4

50 k = (30) 3k 3k k = (3) k 3k k = (3) k 3k k 3k 3k = (33) k 3k 3k = (34) 3 k k k = (35) 4 k k k =. (36) 3.4. Vtor d Trmos Idpdts O vtor d trmos dpdts lva m cota os trmos fot o domío, as codçõs d cotoro os ftos gravtacoas. Portato o vtor d trmos dpdts toma a sgut forma: f f q f s f g = f, (37) p od f q é o vtor d trmos fot o domío, f s é o vtor qu lva m cota os valors da saturação s, f g é o vtor qu lva m cota os ftos gravtacoas f p é o vtor qu lv m cota as codçõs d cotoro d prssõs prscrtas. O vtor qu lva m cota as codçõs d cotoro d fluo prscrto f Γ é calculado a ívl d lmto m sguda armazado drtamt o vtor global f. O procsso pod sr rprstado por: f ( q ) = f ( q) f Γ, (38) od q dca a cotrbução do vtor d lmto para o vtor global. 4

51 O vtor d trmos fot o domío f q tm a sgut forma: T f q = N Nq dω. (39) Ω Cosdrado a dfção (9) para a fução d trpolação N rsolvdo cada tgral trval volvda m (39), o vtor d trmos fot o domío pod sr scrto da sgut forma: q A f q = q. q (40) domío: Rsolvdo a prssão (40) tm-s a forma fal para o vtor d trmos o q q q3 A f q = q q q3. q q q3 (4) O vtor qu lva m cota os valors da saturação da fas molhat f s tm a sgut forma: dp T c fs = B Kλ Bs dω. Ω ds (4) Substtudo a dfção (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (4) são costat o tror do lmto, o vtor qu lva m cota os valors da saturação da fas molhat pod sr scrto da sgut forma: 3 3 s λ k k 3 3 dpc f = s 3 3 s 4. A ds k k 3 3 s3 (43) 43

52 Rsolvdo a prssão (43) tm-s a forma fal para o vtor qu lva m cota os valors da saturação da fas molhat: 3ks 3ks λ dpc f s = 3ks 3ks, 4A ds ks ks (44) od: k = k s k s (45) s k = k s k s (46) s s = (47) 3s 3s s3 s =. (48) 3s 3s s3 O vtor qu lva m cota os ftos gravtacoas f g tm a sgut forma: ( λ ρ λ ) dω f. (49) T g = B Kg ρ Ω Substtudo a dfção (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (49) são costat o tror do lmto, o vtor qu lva m cota os ftos gravtacoas pod sr scrto da sgut forma: 3 3 g f g = 3 3 ( λρ λρ ) dω. Ω A g (50) Rsolvdo a prssão (50) tm-s a forma fal para o vtor qu lva m cota os ftos gravtacoas: 44

53 3g 3g λρ λρ f = g 3g 3g, g g (5) od: g = kg kg (5) g = kg k g. (53) O vtor qu lva m cota as prssõs da fas ão-molhat prscrtas f p tm a sgut forma: f k p = p, (54) od k é a matrz d cofcts a ívl d lmto, dfda m (9), p é o vtor d prssõs odas prscrtas a ívl d lmto. Assm coform aprstado m (9), tm-s: ( k k ) 3 k k3 p λt f ( ) p = k k3 k3 p 4 ( ). A sm k3 k3 p3 (55) Rsolvdo a prssão (55) tm-s a forma fal para o vtor qu lva m cota as prssõs da fas ão-molhat prscrtas: f p λt = 4A ( k k ) k k 3 p p 3 p ( k k ) k k 3 p p 3 p k k 3 3 p p 3 3. ( ) k3 k3 p3 (56) O vtor qu lva m cota as codçõs d cotoro d fluo prscrto f Γ tm a sgut forma: 45

54 T f Γ = N N h d Γ. (57) Γ Cosdrado a dfção (9) para a fução d trpolação N rsolvdo cada tgral trval volvda m (57), o vtor qu lva m cota as codçõs d cotoro d fluo prscrto pod sr scrto da sgut forma: L h f Γ =, 6 h (58) od L rprsta o comprmto do lado do lmto od s tm codção d cotoro d fluo prscrto h h são os valors dos fluos prscrtos. Rsolvdo a prssão (58) tm-s a forma fal para o vtor qu lva m cota as codçõs d cotoro d fluo prscrto: L h h f Γ =. 6 h h (59) 3.5 Pós-procssamto do Campo d Vlocdads Quado o campo d vlocdads é calculado drtamt a partr da l d Darc, quação (47), os rsultados obtdos ão aprstam boa prcsão, satsfazm fracamt a codção d fluo ulo ão garatm a cosrvação d massa [][4][7][8]. Uma stratéga para mlhorar a apromação do campo d vlocdads é a utlzação d métodos mstos coform mostrado, por mplo, m Masud Hughs [7] m Durlofsk [4]. Altratvamt, téccas d pós-procssamto do campo d vlocdads podm sr utlzadas para s obtr rsultados satsfatóros [][4]. Nst trabalho utlza-s a stratéga d pós-procssamto global do campo d vlocdads aprstada por Malta t al. [4]. Esta stratéga basa-s a formulação varacoal da l d Darc (47) combada com o rsíduo da quação d balaço d massa (37). 46

55 Etão cohcdo-s os campos d prssão h p d saturação h s dfdo: U h = h h h h { H ( Ω) H ( Ω), = 0 m Γ }, (60) o pós-procssamto do campo d vlocdads cosst m cotrar h h v~ t U tal qu h h U tm-s: Ω l h Ω = ~ v h t δ Kλ p h t h Kλ s ( ~ h h v Q ) dω = 0 t t dp ds c h Kg ( λ ρ λ ρ ) dω, (6) od h v~ t é o vtor d vlocdads pós-procssadas o parâmtro δ é dpdt da malha d lmtos ftos pod sr tomado como δ h =, od h é o tamaho caractrístco do lmto dado por h = A sdo A a ára do lmto. Com a utlzação dsta técca d pós-procssamto do campo d vlocdads as varávs do problma, prssão, vlocdad saturação, são apromadas por trpolaçõs Lagragaas d msma ordm []. 3.6 Matrzs d Elmto para a Equação da Vlocdad Substtudo as dfçõs (88), (89) (9) a quação (6) tm-s a sgut forma matrcal: ~ ~ Kv ~ = f, (6) od K ~ é a matrz d cofcts, v ~ é o vtor d vlocdads pós-procssadas f ~ é o vtor d trmos dpdts. 47

56 É covt scrvr os trmos das parclas da quação (6) m fução das cotrbuçõs d cada lmto. Assm, os trmos qu cotrbum para a formação da matrz K ~ são dados por: ~ l ~ K = A = ~ ( k ) ~ [ k ], a, =,, 3 (63) ~ k = b (64) ab k ab = N a N b dω δ N a N b dω, (65) Ω Ω od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. Dsta forma, a matrz do lmto é dada por: ~ T T k = N N dω δ dω D dv D dv, (66) Ω Ω od D dv é o oprador dvrgt dscrto dfdo, o caso d lmtos tragulars lars, como: D dv = [ ]. A (67) A matrz d cofcts dfda m (66) é formada pla soma d duas matrzs portato pod sr scrta como: ~ ~ ~ = k. (68) k k ~ A matrz k dfda m (68) é dada por: 48

57 ~ T k = N N dω. (69) Ω Cosdrado a dfção (9) para a fução d trpolação N, tm-s: NI ~ k N = [ N N N ] dω Ω I I I 3I. N 3I (70) Na quação (70) I é a matrz dtdad d ordm dada por: 0 I =. 0 (7) Rsolvdo cada tgral trval volvda m (70), tm-s a forma fal para a ~ matrz k : ~ k I A = I I I I I I I. I (7) A matrz ~ k dfda m (68) é dada por: ~ T k = δ D dω Ω dvddv. (73) Cosdrado a dfção (67) para o oprador dvrgt dscrto qu os trmos do tgrado d (73) são costats o tror do lmto tm-s: 49

58 ~ 3 3 [ ] 3 k A 3 = δ (74) Rsolvdo a quação (74) tm-s a forma fal para a matrz ~ k : ~ δ k =. 4A sm (75) Aalogamt o vtor f ~ pod sr scrto m trmos da cotrbução d cada lmto da sgut forma: ~ l f = A = ~ ( f ) ~ [ f ],,,3 (76) ~ f = a = (77) a ~ f a = δ Ω N Ω a N Kλ a dp ds c N b N q b b, dω s b dω Ω N Kλ N Ω a N a t Kg b, ( λ ρ λ ρ ) dω p b dω (78) od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. Dsta forma, o vtor do lmto é dado por: 50

59 ~ f = δ Ω Ω T N Kλ T D Nq dω dp ds c Bs dω Ω T N Kλ Bp dω Ω N t T Kg ( λ ρ λ ρ ) dω. (79) O vtor d trmos dpdts dfdo m (79) é formado pla soma d quatro vtors portato pod sr scrta como: ~ ~ ~ ~ ~ = f, (80) f f f f3 4 od ~ ~ f é o vtor d trmos fot o domío, f é o vtor rfrt ao gradt d prssão, ~ ~ f é o vtor rfrt ao gradt d saturação f é o vtor rfrt aos 3 ftos gravtacoas. 4 O vtor d trmos fot o domío ~ f tm a sgut forma: ~ Nq T f = δ D dω. (8) Ω A tgral das fuçõs d trpolação N, =,,3, pod sr faclmt calculada portato tm-s: A N dω = [ ]. Ω 6 (8) Substtudo as dfçõs (9) (67) cosdrado qu os trmos do tgrado d (8) são costats o tror do lmto, o vtor d trmos fot o domío pod sr scrto da sgut forma: 5

60 5 (83) [ ] = ~ q q q A A δ f. Rsolvdo a prssão (83) tm-s a forma fal para o vtor d trmos fot o domío: (84) ( ) = ~ q q q δ f. O vtor rfrt ao gradt d prssão ~ f tm a sgut forma: t T d = Ω Ω ~ Bp K N f λ. (85) Substtudo as dfçõs (9) (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (85) são costats o tror do lmto, o vtor d rfrt ao gradt d prssão pod sr scrto da sgut forma: (86) = ~ p p p A k k k k A t λ I I I f. Rsolvdo a prssão (86) tm-s a forma fal para o vtor rfrt ao gradt d prssão:

61 k p k p k p k p ~ λ k p k p t f =, 6 k p k p k p k p k p k p (87) od: p = (88) 3 p 3 p p3 p =. (89) 3 p 3 p p3 O vtor rfrt ao gradt d saturação ~ f 3 tm a sgut forma: ~ dp T c f3 = N Kλ Bs dω. Ω ds (90) Substtudo as dfçõs (9) (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (90) são costats o tror do lmto, o vtor d rfrt ao gradt d saturação pod sr scrto da sgut forma: I s ~ k k 3 3 A dpc f = 3 I λ s 6. k k ds A 3 3 I s 3 (9) Rsolvdo a prssão (9) tm-s a forma fal para o vtor rfrt ao gradt d saturação: 53

62 54 (9) = c s k s k s k s k s k s k s k s k s k s k s k s k ds dp 6 ~ 3 λ f, od: s s s s = (93) s s s s =. (94) O vtor rfrt aos ftos gravtacoas 4 ~ f tm a sgut forma: ( ) T d Ω = Ω ~ 4 ρ λ ρ λ Kg N f. (95) Substtudo a dfção (9) cosdrado qu os trmos do tgrado d (95) são costats o tror do lmto, vtor rfrt aos ftos gravtacoas pod sr scrto da sgut forma: (96) ( ) g k g k g k g k A ρ λ ρ λ = I I I f 6 ~ 4. Rsolvdo a prssão (96) tm-s a forma fal para o vtor rfrt aos ftos gravtacoas:

63 55 (97) ( ) = g k g k g k g k g k g k g k g k g k g k g k g k A 3 ~ 4 ρ λ ρ λ f. O vtor d vlocdads pós-procssadas a ívl d lmto tm a sgut forma: (98) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 3 v v v v v v ~ v, od o suprídc (), =,,3, dca a umração local do ó o lmto o subídc j=, dca a drção da compot do vtor d vlocdad. 3.7 Formulação Establzada para a Equação da Saturação Ats d aprstar a formulação stablzada para a quação da saturação df-s um oprador blar qu dtfca a quação (66) como: ( ) h h h a h h a h s s t s s L = D v v φ,. (99) A formulação stablzada d Ptrov-Galrk para a quação da saturação, quação (66), cosst m cotrar h h S s tal qu h h W tm-s:

64 Ω l h L Ω = l h h h h h h ( s, v a ) dω τ v a L( s, v ) τ h s h Ω = dω = 0 dω. (00) Na quação (00) a prmra tgral rprsta o trmo d Galrk, o prmro somatóro d tgras rprsta o trmo d corrção SUPG o sgudo somatóro d tgras rprsta o trmo d corrção rfrt ao oprador d captura d dscotudad. Os parâmtros d stablzação τ τ são dpdts da malha d lmtos ftos podm sr calculados da sgut forma: τ δ P = m, v 3 a (0) τ P = δ v 3 a T ( v a ) D v a ( s, ) (0) = L v (03) a P// δ m, s 4 P // a // = δ T ( v ) D v a // v a = s 3 a // a // v s v s. (04) (05) Nas dfçõs (0), (0), (03), (04) (05) P é o úmro d Pclt o qual rprsta o balaço tr os ftos covctvos os ftos dfusvos. O suprídc dca qu a varávl fo calculada o tror do lmto quato o subídc // dca a projção da varávl a drção paralla ao gradt da solução, sto é, paralla à s. Cosdra-s qu δ h = quato qu δ pod sr podrado por h δ = ou por δ = h. O tamaho caractrístco do lmto é dado por h A rprsta a ára do lmto. 56 =, od A

65 No dsvolvmto da formulação stablzada, quação (00), aplca-s o torma da dvrgêca combado à técca d tgração por parts o trmo dfusvo d Galrk. O trmo dfusvo rfrt à corrção SUPG é ulo uma vz qu o msmo é podrado por fuçõs pso costats o tror do lmto. Da mara como fo dfdo o oprador d captura d dscotudad só ag m rgõs od o gradt da solução for dfrt d zro. 3.8 Matrzs d Elmto para a Equação da Saturação Substtudo as dfçõs (88), (89), (90) (9) a quação (00) tm-s a sgut forma matrcal: Ma Cs =, (06) f s od M é a matrz d massa gralzada, C é a matrz ftva d cofcts, s é o vtor d cógtas odas (saturaçõs odas), a é o vtor das drvadas tmporas d s, f s é o vtor qu provém da cotrbução dos graus d lbrdad prscrtos d s. É covt scrvr os trmos das parclas da quação (06) m fução das cotrbuçõs d cada lmto. Assm, os trmos qu cotrbum para a formação da matrz M são dados por: l M = A = ( m ) [ m ], a, =,, 3 (07) m = b (08) ab ( N φ N φτ v N v ) N Ω m = a a, a a, φτ a b d, Ω ab (09) od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. 57

66 Dsta forma, a matrz do lmto é dada por: m = T T T φ N N dω B φτ v a a dω N B φτ v N. (0) Ω Ω Na quação (0) a prmra tgral é rfrt à matrz d massa a sguda tgral é rfrt à corrção SUPG da matrz d massa. Aalogamt a matrz C pod sr scrta m trmos da cotrbução d cada lmto da sgut forma: l C = A = ( c ) [ c ], a, =,, 3 () c = b () ab c ab = Ω τ ( N τ ( N v N N v N ) a, N a v N N N N ( N a, DNb, N a, DN b, ) ( N N N N ) dω a, a a, a v v a b, a b, v b, a a, b, a a, b, a v a a, b, v v a a N v b, a N b, ) (3) od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. Dsta forma, a matrz do lmto é dada por: c Ω = B T Ω T T ( N v B N v B ) DB dω a Ω a T τ B B dω dω Ω τ B T AB dω, (4) od: 58

67 v a vava A A A = v a v a = =. vava va A A (5) Na quação (4) a prmra tgral é rfrt à matrz d covcção, a sguda tgral é rfrt à corrção SUPG da matrz d covcção, a trcra tgral é rfrt à matrz d dfusão d Galrk a quarta tgral é rfrt ao oprador d captura d dscotudad do tpo CAU. O vtor f s, dfdo m (06), provém da cotrbução dos graus d lbrdad prscrtos da saturação da fas molhat s portato tm a sgut forma: s l = ( m a c s ) f = A, (6) od l é o úmro d lmtos a malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8] Matrz d Massa A parcla d Galrk rfrt à matrz d massa, dfda m (06), é rprstada por: T g = Ω Ω N N d m φ, (7) od o subídc g dtfca o trmo provt da parcla d Galrk. Cosdrado a dfção (9) para a fução d trpolação N, tm-s: N m g = φ N [ N N N ] dω Ω 3. N 3 (8) 59

68 Rsolvdo cada tgral trval volvda m (8), tm-s a forma fal para a matrz d massa: A m = g φ. (9) 3.8. Corrção SUPG da Matrz d Massa O trmo rfrt à corrção SUPG da matrz d massa, dfdo m (06), é rprstado por: m pg T T = B φτ v a dω a dω N B φτ v N, (0) Ω Ω od o subídc pg dtfca o trmo provt da parcla d corrção SUPG. Cosdrado qu os trmos do tgrado d (0) são costat o tror do lmto, a corrção SUPG da matrz d massa pod sr scrta da sgut forma: m pg = T T v B N d Ω φτ v ab N Ω Ω φτ dω. () A tgral das fuçõs d trpolação N, =,,3, pod sr faclmt calculada portato tm-s: A N dω = [ ]. Ω 6 () Assm, cosdrado o rsultado obtdo m () utlzado as dfçõs () () a corrção SUPG da matrz d massa pod sr scrta da sgut forma: 60

69 3 3 v φτ v φτ a a m 3 [ ] pg = 3 [ ] 6 6. (3) Rsolvdo a quação (3) tm-s a forma fal para a prssão da corrção SUPG da matrz d massa: m pg m pg m pg φτ m pg = 6 m pg m pg m pg, m pg m pg m pg (4) od: m pg = v (5) 3va 3 a m pg = v (6) 3va 3 a m 3 pg = v. (7) va a Matrz d Covcção Os trmos covctvos rfrts à parcla d Galrk, dfdos m (06), são rprstados por: T T c g = N vab dω a dω N v B, (8) Ω Ω od o subídc g dtfca o trmo provt da parcla d Galrk. Substtudo as dfçõs () () cosdrado qu os trmos do tgrado d (8) são costat o tror do lmto, a matrz d covcção pod sr scrta da sgut forma: 6

70 c g A T [ ] N dω v [ ] T = N dω v a 3 3 Ω Ω a A 3 3. (9) D forma smlar à quação () vrfca-s qu: N A T dω = Ω 6. (30) Substtudo a dfção (30) a prssão (9) tm-s: v va a c g = [ 3 3 ] [ 3 3 ] 6 6. (3) Galrk: Rsolvdo a prssão (3) tm-s a forma fal da matrz d covcção d 3 c g cg cg 3 c g = 6 cg cg cg, 3 cg cg cg (3) od: c g = v (33) 3va 3 a c g = v (34) 3va 3 a 3 c = ( c c ). (35) g g g 6

71 3.8.4 Corrção SUPG da Matrz d Covcção O trmo rfrt à corrção SUPG da matrz d covcção, dfdo m (06), é rprstado por: T c pg = τ B AB dω, (36) Ω od o subídc pg dtfca o trmo provt da parcla d corrção SUPG. Substtudo as dfçõs (09) (5) cosdrado qu os trmos do tgrado d (36) são costat o tror do lmto, a prssão para a corrção SUPG da matrz d covcção tm a sgut forma: 3 3 A A 3 3 τ c pg = A A A 3 3 (37) Rsolvdo a prssão (37) tm-s a forma fal para prssar a corrção SUPG da matrz d covcção: ( B B ) 3 B B3 τ c pg = ( B B3 ) B3 4 ( ), A sm B3 B3 (38) od: B = (39) 3B 3B B = (40) B 3B B = (4) B 3B 63

72 B 3A = A (4) 3 B 3A = A (43) 3 3 B A = A (44) 4 B A = A. (45) Matrz d Dfusão A parcla qu cotém os trmos dfusvos, dfda m (06), é rprstada por: T c dg = B DB dω, (46) Ω od o subídc dg dtfca o trmo d dfusão provt da parcla d Galrk. Substtudo a dfção (09) (70) cosdrado qu os trmos do tgrado d (46) são costat o tror do lmto, a matrz d dfusão pod sr scrta da sgut forma: 3 3 k k 3 3 h dpc c dg = A ds k k 3 3 (47) Rsolvdo a prssão (47) tm-s a forma fal para a matrz d dfusão: ( c c ) 3 c c3 h dpc c dg = ( c c3) c3 4 ( ), A ds sm c3 c3 (48) od: 64

73 c = (49) 3c 3c c = (50) c 3c c = (5) c 3c c 3k 3k = (5) c 3k 3k = (53) 3 c k k = (54) 4 c k k =. (55) Matrz d Corrção do Oprador d Captura d Dscotudad O trmo rfrt ao oprador d captura d dscotudad, dfdo m (06), é rprstado por: T c op = τ B B dω, (56) Ω od subídc op dtfca o trmo provt da parcla d corrção do oprador d captura d dscotudad. Substtudo a dfção (09) cosdrado qu os trmos do tgrado d (56) são costats o tror do lmto, a matrz d corrção do oprador d captura d dscotudad pod sr scrta da sgut forma: τ c op = A 3 3 (57) 65

74 Rsolvdo a prssão (57) tm-s a forma fal para a matrz d corrção do oprador d captura d dscotudad: od: op op ( B B ) op op 3 B B3 τ op op op ( ) ( ) c op = B B3 B3. 4A op op sm B3 B (58) B op = (59) B op = (60) B op =. (6) Dscrtzação Tmporal Nst trabalho utlza-s uma formulação varacoal sm-dscrta para rsolvr o cojuto acoplado d quaçõs dfrcas parcas qu dscrv o problma d scoamto bfásco d fludos mscívs m mos porosos. A formulação varacoal sm-dscrta caractrza-s pla dscrtzação por lmtos ftos o spaço sguda pla dscrtzação por dfrças ftas o tmpo. Dst modo o cojuto acoplado d quaçõs dfrcas ordáras rsultat da dscrtzação spacal srá dscrtzado o tmpo utlzado o método trapzodal gralzado aprstado por Hughs [8]. Para ralzar o avaço da solução do problma o tmpo adota-s uma stratéga basada o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor mostrado m Coutho Alvs [8]. As quaçõs (8) (06) formam um sstma acoplado ão-lar d quaçõs dfrcas ordáras qu pod sr scrto da sgut forma: Fp Fs ( p, s, t) Q p = ( p, s, s, t) Q s, (6) od os subídcs p s dcam, rspctvamt, as cotrbuçõs da prssão da fas ão-molhat da saturação da fas molhat. Os trmos F p F s são fuçõs ão- 66

75 lars da prssão, da saturação da drvada tmporal da saturação. Os trmos Q p Q s lvam m cota os trmos fot as codçõs d cotoro. O sstma (6) possu dos graus d lbrdad, a prssão da fas ão-molhat a saturação da fas molhat. Estm duas stratégas d solução para s rsolvr o sstma (6). Na prmra os dos graus d lbrdad do problma são solucoados smultaamt. Já a sguda stratéga d solução rsolv-s sqücal cada quação d cosrvação do problma, ou sja, cada grau d lbrdad do problma é solucoamt sparadamt d forma squcal. Lagtag [] aprsta dos algortmos basados ssas duas stratégas, tas algortmos são dtfcados rspctvamt como algortmo totalmt mplícto algortmo squcalmt mplícto. Nst trabalho utlza-s o algortmo squcalmt mplícto aprstado por Lagtag [] para solucoar o sstma (6) Algortmo squcalmt mplícto A prêca mostra qu o mprgo da stratéga d solução totalmt mplícta dmada mas mmóra quado comparado com a stratéga d solução squcalmt mplícta. Assm ao cotráro da stratéga totalmt mplícta, qu armaza uma úca matrz rfrt ao sstma global, a stratéga squcalmt mplícta armaza dvdualmt submatrzs assocadas a cada grau d lbrdad do problma. A ára d armazamto para as submatrzs é cosdravlmt mor do qu a ára cssára para armazar a matrz assocada ao sstma global. O gaho o armazamto das submatrzs m rlação ao armazamto da matrz rfrt ao sstma global fca mas vdt quado s trabalha com problmas d grad port. Etrtato o úmro d traçõs cssáras para s alcaçar a solução do problma é gralmt maor a stratéga squcalmt mplícta do qu a stratéga totalmt mplícta. Todava o tmpo cssáro para s compltar uma úca tração o procsso d solução é mor a stratéga squcalmt mplícta quado comparado com a stratéga totalmt mplícta. A prêca tm mostrado qu, m gral, o balaço fal é favorávl à stratéga squcalmt mplícta quado aplcada à solução d problmas bdmsoas d grad port gralmt a todos os problmas trdmsoas [5]. 67

76 Um outro poto favorávl à stratéga squcalmt mplícta é o fato d qu a solução tratva dos sstmas d quaçõs lars rsultats da dscrtzação das quaçõs dfrcas parcas tm su comportamto rlacoado ao tpo d quação dfrcal a sr dscrtzada. No prst trabalho por mplo, aplcado-s a stratéga d solução squcalmt mplícta srão rsolvdos dos sstmas d quaçõs lars dsttos, um smétrco orudo d uma quação líptca (quação da prssão) outro ão-smétrco orudo d uma quação parabólca-hprbólca (quação da saturação). O sstma orudo da quação líptca cssta d um úmro d traçõs tpcamt O(h - ) para covrgr quato o sstma orudo da quação parabólca-hprbólca cssta d um úmro d traçõs tpcamt O(h - ) para covrgr. S a stratéga d solução totalmt mplícta for aplcada ao problma apas um sstma d quaçõs lars srá rsolvdo. Est sstma d quaçõs lars é ão-smétrco l cotram-s prsts trmos rlatvos à quação líptca à quação parabólca-hprbólca. Dsta forma st uma tdêca dos trmos rlatvos à parcla líptca prdomarm duzrm um comportamto tpcamt O(h - ) para o sstma[]. A stratéga d solução squcalmt mplícta prmt a scolha d métodos tratvos d pré-codcoadors mas adquados fcts para cada sstma d quação lar volvdo o problma. Buscado smpr otmzar a forma d solucoar um problma a stratéga d solução squcalmt mplícta mostra-s bm mas atrat quado comparada com a stratéga d solução totalmt mplícta. No prst trabalho a stratéga d solução squcalmt mplícta rsulta a sgut sqüêca d cálculos: ) Rsolv-s a quação da prssão; ) Calcula-s o campo d vlocdads; 3) Rsolv-s a quação da saturação Algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor O problma é dscrtzado o tmpo através do método trapzodal gralzado aprstado por Hughs [8] o avaço da solução do problma d um stat d 68

77 69 tmpo para um stat d tmpo é obtdo com o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor [8] dscrto a sgur: Dados: s, a, p p =, v v = Icalza as gradzas (prdção) = 0 ( ) t a s s = γ = 0 a Para = 0,,, 3... até matr ou até covrgr, Faça Bloco : Rsolv a quação da prssão ( ) ( ) = s f p s K Bloco : Calcula o campo d vlocdad ( ) ( ), ~ ~, ~ = p s f v p s K Bloco 3: Rsolv a quação da saturação ( ) ( ) * ~,,, ~, = v p s r a v p s M od: ( ) ( ), ~,, ~, = t v p C s v p M s M γ ( ) ( ) ( ) s ~,, ~,, ~,, = s v p C s a v p M s v p s f r Atualza as gradzas (corrção) = t a s s γ = a a a Fm.

78 70 No algortmo acma dscrto é o cotador d passos d tmpo, matr é o úmro mámo d traçõs ão-lars do algortmo, é o cotador das multcorrçõs (traçõs ão-lars), t é o passo d tmpo da aáls, a é o crmto da drvada tmporal da saturação γ é o parâmtro qu cotrola a stabldad a prcsão a tgração do tmpo. No prst trabalho adota-s γ = 0.5 o qu lva a um método mplícto, codcoalmt stávl d sguda ordm (O( t) ) cohcdo como método d Crak-Ncolso. O procsso tratvo cotua até qu sja atgdo um crtéro d covrgêca pré-dtrmado, qu é avalado mprgado-s as sguts mddas d rros das varávs d trss: = p p p p (63) v = v v v (64) = a a a (65) 0 = = R r r (66) (67) ( ) ( ) 0 0 = = = T T E r a r a, od dca a orma Eucldaa do vtor p, v a são rspctvamt os rros rlatvos à prssão, à vlocdad à drvada tmporal da saturação. A quatdad R md o rro o balaço d massa da quação da saturação E rprsta o rro rlatvo à orma d rga, uma vz qu a sgut rlação é válda: a M a r a = * T T. (68)

79 Para s alcaçar a covrgêca é cssáro satsfazr as sguts codçõs: sat p (69) tol v (70) tol a R E (7) = ma,,. tol tol tol O parâmtro tol rprsta o valor da tolrâca do problma é forcdo plo usuáro. S as codçõs (69) (70) form satsftas os valors da prssão da vlocdad prmacrão altrados durat as traçõs ão-lars o algortmo cotuará atualzado somt os valors da saturação. Quado a codção (7) for satsfta crra-s o procsso tratvo. D acordo com Durlofsk [4] m problmas d smulação d rsrvatóros d ptrólo as varaçõs d prssão d vlocdad ocorrm m trvalos d tmpo bm maors do qu as varaçõs d saturação. Nsss casos a quação da prssão a quação da vlocdad ão prcsam sr rsolvdas a cada passo d tmpo. Df-s tão um úmro fo d passos d tmpo m qu a prssão a vlocdad prmacrão costats o algortmo d solução somt rsolvrá a quação da saturação durat st úmro fo d passos d tmpo. Est procdmto pod coduzr a gahos computacoas cosdrávs vsto qu a solução da quação da prssão é mas dspdosa do qu a solução da quação da saturação. 3.0 Solução dos Sstmas d Equaçõs Lars No algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor utlzado st trabalho é cssáro, a cada tração ão-lar ou multcorrção, rsolvr três sstmas d quaçõs lars dsttos. Esss sstmas d quaçõs lars rfrm-s, rspctvamt, a prssão, vlocdad saturação. Os métodos utlzados para rsolvr um sstma d quaçõs lars podm sr classfcados como métodos drtos ou métodos tratvos. Os métodos drtos são basados a fatoração da matrz d cofcts do sstma, tal como lmação d 7

80 Gauss. Esss métodos ão são dcados o caso d rsolução d problmas d grad port []. Os métodos tratvos basam-s a déa d qu a partr d uma stmatva cal da solução gra-s uma sqüêca d apromaçõs qu faz a solução parcal do problma, a cada tapa d cálculo, s apromar da solução ata. Os métodos tratvos m comparação com os métodos drtos são mas fcts do poto d vsta computacoal prcpalmt m problmas 3D []. Os métodos tratvos podm sr mplmtados a partr d dfrts stratégas, como por mplo téccas sparsas [3], téccas lmto-por-lmto [8] téccas basadas as arstas dos lmtos [3]. Cada uma dssas téccas possum suas partculardads, vatags, dsvatags caractrístcas própras qu flucam m sua aplcabldad. A taa d covrgêca d um método tratvo dpd das proprdads spctras da matrz d cofcts. Sgudo Lagtag [] a aplcação d téccas d pré-codcoamto sobr o sstma d quaçõs aumtam cosdravlmt a taa d covrgêca do método tratvo. Para s alcaçar uma fcêca computacoal satsfatóra a rsolução d sstmas d quaçõs lars dv str uma harmoa tr os dvrsos aspctos do problma. Assm o sucsso d um método tratvo dpd, por mplo, da stêca d um algortmo fct, qu stá assocado à aturza do problma, alado a uma técca d pré-codcoamto adquada Métodos Itratvos Nst trabalho adotam-s métodos tratvos para s rsolvr os sstmas d quaçõs lars rfrts às quaçõs da prssão, vlocdad saturação. Como cada um dos sstmas d quaçõs têm caractrístcas spcífcas, dfrts métodos tratvos são utlzados para rsolvê-los dvdualmt. No caso do sstma d quaçõs rfrt à quação da prssão a matrz d cofcts é smétrca postva-dfda para rsolvê-lo aplca-s o método dos gradts cojugados com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss- Sdl (PCG). No cálculo das vlocdads pós-procssadas o sstma d quaçõs também possu uma matrz d cofcts smétrca postva-dfda porém st caso utlza-s o método d Jacob lvr d matrzs. O sstma d quaçõs rfrt à 7

81 quação da saturação é ão-smétrco o método GMRES (Gralzd Mmal Rsdual) com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl é utlzado para rsolvê-lo. Dtalhs sobr os algortmos para cada um dos métodos tratvos acma ctados podm sr obtdos m [], [3] [33] Implmtação lmto-por-lmto Os métodos tratvos usados st trabalho foram mplmtados utlzado téccas lmto-por-lmto. Bascamt, os métodos tratvos volvm opraçõs tr vtors matrzs. As prcpas opraçõs são produto scalar tr dos vtors, atualzação d vtors o produto matrz-vtor. O produto matrz-vtor é uma opração d grad mportâca pos dpd da forma como a matrz d cofcts stá armazada. A mplmtação lmto-porlmto vta a motagm da matrz d cofcts global vsto qu sta opração é bastat dspdosa. O produto matrz-vtor é solucoado tão a ívl d lmto m sguda su rsultado é dstrbuído para o problma d forma global. O produto matrz-vtor mplmtado a forma lmto-por-lmto pod sr rprstado por: l l A = A A = A A, = = od A são rspctvamt a matrz d cofcts global o vtor global, A são rspctvamt a matrz d cofcts d lmto o vtor d lmto, l é o úmro d lmtos da malha d lmtos ftos A é o oprador d globalzação [8]. A cução do produto matrz-vtor mplmtado a forma lmto-porlmto ralza-s através d três passos como s sgu [33]: Localzação das compots do vtor d lmtos o vtor global: 73

82 . Ecuta a opração matrz-vtor a ívl d lmto: A. 3 Espalha as compots do vtor d lmto o vtor global:. Os passos dst algortmo podm sr cutados d forma paralla ou vtoral sm maors dfculdads. Porém o passo 3, qu volv uma opração d atualzação m um vtor global, só pod sr cutado d forma paralla ou vtoral dtro d um grupo d lmtos ão-adjacts. Grupos d lmtos ão-adjacts podm sr costruídos rordado a malha d lmtos ftos, ats d s car os cálculos, através d um algortmo d coloração d malha [8] Pré-codcoamto A taa d covrgêca d um método tratvo, usado a rsolução d um dtrmado sstma d quaçõs lars, dpd das proprdads spctras da matrz d cofcts do sstma. A técca d pré-codcoamto basa-s a déa d trasformar o sstma d quaçõs orgal m um outro sstma qu sja quvalt ao sstma orgal, ou sja, qu possua a msma solução do sstma orgal porém tha proprdads spctras mas favorávs [35]. Esta últma caractrístca aumta a taa d covrgêca do método tratvo. Nst trabalho utlzam-s pré-codcoadors lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl coform aprstado m [8] m [33]. Para dscrvr o pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl utlzado st trabalho são cosdrados dos sstmas quaçõs lars, um smétrco rfrt a quação da prssão, um ão-smétrco rfrt a quação da saturação, dados rspctvamt a sgur: 74

83 Hs = b (7) H s = b. (73) Os sstmas (7) (73) são calmt trasformados da sgut forma: HW = W b (74) W W HW = W b, (75) od: ( H) W = dag (76) ( H) W = dag (77) = W s = W s. (78) (79) Os sstmas (74) (75) são rscrtos como: A = u (80) A = u, (8) od: A = W HW (8) A = W HW (83) 75

84 u = W b u = W b. (84) (85) Em sguda, a cada multcorrção cutada plo método tratvo, ralzam-s sobr os sstmas (80) (8) as sguts opraçõs qu dfm o pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl: L B A = B u (86) AU = L u, (87) od: = U. (88) As matrzs B, L U são obtdas a partr da dcomposção d Gauss-Sdl das matrzs A A como: B = l T { L } { L} = = l L = l = L U = l U =, (89) (90) (9) tal qu: T L L = A I (9) L U = A I (93) 76

85 sdo qu o subídc dca a cotrbução das matrzs a ívl d lmto l é o úmro d lmtos da malha d lmtos ftos. A aplcação do pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo Gauss-Sdl ão volv huma ára d mmóra adcoal além da ára rfrt às matrzs d lmto. Além dsso, a ação do pré-codcoador pod sr calculada d forma paralla ou vtoral sm maors dfculdads [8]. 77

86 Capítulo 4 Rsultados Numércos Nst capítulo são aprstados dos grupos dfrts d rsultados. O prmro grupo é formado plos mplos d valdação. Os mplos d valdação têm o objtvo d comprovar a qualdad dos rsultados obtdos com a formulação dsvolvda. Dsta forma os rsultados obtdos ss trabalho são comparados com os rsultados cotrados a ltratura. Uma vz dmostrada a fcêca da formulação dsvolvda ss trabalho o sgudo grupo d mplos é aprstado, os mplos umércos. Nsss mplos aalsa-s como a rologa dos fludos fluca a solução do problma. Compara-s tão os rsultados obtdos a partr do scoamto d dfrts fludos, tas como toaos, dlatats psudoplástcos. Nos mplos umércos também srão tratados casos m qu o mo poroso é htrogêo. Nst trabalho o método dos gradts cojugados com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo d Gauss-Sdl, mprgado para rsolvr a quação da prssão, é dtfcado como PCG. O método GMRES com pré-codcoador lmto-por-lmto do tpo d Gauss-Sdl, mprgado para rsolvr a quação da saturação, é dtfcado como GMRES. O método d Jacob lvr d matrzs mprgado o cálculo das vlocdads, é dtfcado como JCB. 4. Emplos d valdação São aprstados três mplos d valdação cuja a solução umérca obtda é comparada com a solução cotrada a ltratura. O prmro mplo d valdação é o caso udmsoal od jta-s um fludo toao pla latral squrda do domío, o sgudo é o caso udmsoal od jta-s um fludo psudoplástco 78

87 pla latral squrda do domío o trcro mplo d valdação é o problma clássco d cco poços. Nsss mplos d valdação vstga-s a fluêca dos parâmtros da formulação stablzada, mprgada a apromação da quação da saturação, sobr o rsultado da smulação. Dst modo, a quação da saturação, a formulação d Galrk pod sr acrscda somt da formulação SUPG, ou somt do trmo rfrt ao oprador d captura d dscotudad do tpo CAU ou acrscda tato da formulação SUPG quato do trmo rfrt ao oprador d captura d dscotudad do tpo CAU. Os rsultados od somt a formulação SUPG fo usada são rprstados smplsmt por SUPG. Quado a formulação SUPG é usada jutamt com o oprador d captura d dscotudad do tpo CAU os rsultados são rprstados por SUPGCAU. É mportat otar qu a cotrbução do oprador d captura d dscotudad pod sr podrada tato por δ = h quato por δ h =, sdo sus rfrdos rsultados rprstados rspctvamt por CAU h CAU h/. Os casos od somt o oprador d captura d dscotudad fo utlzado são dtfcados smplsmt por CAU h ou por CAU h/. Em todos os mplos d valdação a tolrâca dos métodos tratvos é fada m 0-6 a tolrâca para tração ão-lar m 0 -, o úmro mámo d multcorrçõs é fado m 0 o passo d tmpo é fado m t = 0.000, cto mplo 4..3 od o passo d tmpo é fado m t = Adota-s também um úmro d 5 vtors d Krlov para o algortmo GMRES. 4.. Caso udmsoal jção d um fludo toao O objtvo dst mplo é valdar a formulação stablzada utlzada para rsolvr a quação da saturação. Para tal o problma udmsoal aprstado por Durlofsk [4] é usado como rfrêca. Coform aprsta Durlofsk [4], as gradzas do problma são dadas m um sstma compatívl d udads. O problma cosst m jtar um fludo (fas molhat) pla latral squrda do domío com o objtvo d dslocar o fludo stt o rsrvatóro (fas ão-molhat), sdo ambos os fludos cosdrados toaos. Utlza-s uma malha com 80 células, sdo cada célula dvdda m dos lmtos tragulars, dstrbuídas o rtâgulo 0 4, 79

88 Foram aplcadas codçõs d cotoro pródcas a drção para smular o dslocamto udmsoal a drção, od o dslocamto total é L = 4. Nst mplo os ftos da prssão caplar dos trmos fot o tror do domío foram dscosdrados. A vlocdad total é v t = fou-s s = m = 0. Icalmt cosdra-s qu o rsrvatóro stá prchdo apas pla fas ãomolhat, ou sja, m t = 0 s = 0 m todo o rsrvatóro. A porosdad do rsrvatóro é gual a 0.0 as prmabldads rlatvas das fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por k = ( ) r s k r =. O rsrvatóro é cosdrado um s mo poroso homogêo sotrópco. A razão tr a vscosdad da fas ão-molhat a vscosdad da fas molhat é gual a 5. Dos casos dsttos são aalsados: o prmro os ftos gravtacoas são dscosdrados, quato o sgudo tas ftos são lvados m cosdração agm o stdo oposto ao dslocamto dos fludos. No prmro caso G d = 0 quato qu o sgudo caso G d =, od G d é dfdo m (7). Os rsultados são aprstados m trmos d Volums Porosos Ijtados (VPI), qu é uma gradza aáloga ao tmpo admsoalzado. A Fgura 3 mostra o prfl d saturação obtdo para o caso m qu os ftos gravtacoas ão foram cosdrados quato a Fgura 4 mostra o prfl d saturação para o caso m qu s cosdra os ftos gravtacoas. Ambos os rsultados são tomados m t = 0.5 VPI. Sgudo Durlofsk [4] a altura tórca para o choqu o caso sm gravdad é 0.4, o qu stá m boa cocordâca com os rsultados obtdos, como pod sr obsrvado a Fgura 3. Na Fgura 4 stão os rsultados obtdos com gravdad, d acordo com Durlofsk [4], st caso a altura tórca para o choqu é d 0.76, o qu também stá m boa cocordâca com os prsts rsultados. Na Fgura 3 o rsultado obtdo quado utlza-s somt a formulação SUPG é o mos dfusvo, aprstado porém as osclaçõs spúras (udr-shootg) mas actuadas. No caso do rsultado obtdo quado s utlza a formulação SUPGCAU h/ também s costata a prsça d osclaçõs spúras, mbora com mor tsdad. Nos dmas rsultados ssas osclaçõs spúras ão são obsrvadas. Quado os ftos gravtacoas são cosdrados vrfca-s, a Fgura 4, a ausêca d osclaçõs spúras mas uma vz o rsultado obtdo quado somt a formulação SUPG é mprgada aprsta-s como o mos dfusvo. 80

89 0,8 Saturação - S 0,6 0,4 0, 0-0, SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Altura tórca 0 0, 0,4 0,6 0,8 Dslocamto horzotal (/L) Fgura 3 Frt d saturação m t=0.5 VPI para o caso udmsoal sm gravdad. 0,8 Saturação - S 0,6 0,4 0, 0 SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Altura tórca -0, 0 0, 0,4 0,6 0,8 Dslocamto horzotal (/L) Fgura 4 Frt d saturação m t=0.5 VPI para o caso udmsoal com gravdad. 8

90 4.. Caso udmsoal jção d um fludo psudoplástco O objtvo dst mplo é valdar o cálculo da vscosdad dos fludos ãotoaos. Para tal o problma udmsoal aprstado por Wu Pruss [37] é usado como rfrêca. O problma cosst m jtar um fludo psudoplástco (fas molhat) pla latral squrda do domío com o objtvo d dslocar o fludo stt o rsrvatóro (fas ão-molhat) sdo st últmo cosdrado um fludo toao. Utlza-s uma malha com 80 células, sdo cada célula dvdda m dos lmtos tragulars, dstrbuídas o rtâgulo 0 4 m, m. Foram aplcadas codçõs d cotoro pródcas a drção para smular o dslocamto udmsoal a drção, od o dslocamto total é L = 4 m. Nst mplo os ftos da prssão caplar, dos trmos fot o tror do domío os ftos gravtacoas foram dscosdrados. A saturação rsdual da fas ão-molhat é gual a 0.0. A porosdad do rsrvatóro é gual a 0.0. As prmabldads rlatvas k r =.7 s das fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por ( ) k r (.s ) = O rsrvatóro é cosdrado um mo poroso homogêo sotrópco sdo a prmabldad absoluta dst gual a Darc. A taa d jção é d m 3 s - quato o tmpo total d jção é d 0h (dz horas). A vscosdad da fas ão-molhat é gual a 5cP para a fas molhat o parâmtro d cosstêca o ídc d comportamto do scoamto, utlzados o modlo d l das potêcas, são dados rspctvamt por H = 0.0 Pa.s = 0.5. A Fgura 5 mostra o prfl d saturação obtdo dpos d 0h d jção. O rsultado umérco obtdo stá m boa cocordâca com o rsultado aprstado por Wu Pruss [37], od a altura tórca para o choqu é 0.36, o qu valda o códgo utlzado para calcular a vscosdad dos fludos ão-toaos. Na Fgura 5, assm como vrfcado o mplo atror, o rsultado obtdo quado utlza-s somt a formulação SUPG é o mos dfusvo aprstado porém as osclaçõs spúras (udr-shootg) mas actuadas. No caso do rsultado obtdo quado s utlza a formulação SUPGCAU h/ também s costata a prsça d osclaçõs spúras, mbora com mor tsdad. Nos dmas rsultados ssas osclaçõs spúras ão são obsrvadas. Aalsado a Fgura 5 coclu-s ada qu o mlhor rsultado é obtdo quado s utlza a formulação SUPGCAU h. 8

91 Saturação - S 0,8 0,6 0,4 0, SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Altura tórca 0-0, Dslocamto horzotal (m) Fgura 5 Frt d saturação dpos d 0h d jção d um fludo psudoplástco Problma clássco d cco poços O objtvo dst mplo é valdar a solução do sstma acoplado d quaçõs (prssãovlocdad-saturação). Para tal o problma clássco d cco poços aprstado por Durlofsk [4] é usado como rfrêca. Assm como m Durlofsk [4] o problma cosst m rsolvr um quarto do problma d cco poços. Nst problma o fludo jtado o poço jtor (fas molhat) dsloca o fludo do rsrvatóro (fas ãomolhat) m drção ao poço produtor, sdo ambos os fludos cosdrados toaos. Coform aprsta Durlofsk [4], as gradzas do problma são dadas m um sstma compatívl d udads. O domío do problma é um quadrado d lado utáro. Foram utlzados 800 lmtos tragulars lars para dscrtzar rgularmt o domío do problma. Nst mplo os ftos da prssão caplar, dos trmos fot o tror do domío os ftos gravtacoas foram dscosdrados. Icalmt cosdra-s qu o rsrvatóro stá prchdo apas pla fas ãomolhat, ou sja, m t= 0 s = 0 m todo o rsrvatóro. No poço jtor fou-s s = as prmabldads rlatvas das fass molhat ão-molhat são dadas 83

92 rspctvamt por k = ( ) r s k r =. O rsrvatóro é cosdrado um mo s poroso homogêo sotrópco, assm sdo a prmabldad absoluta do msmo é dada por K=I. A porosdad do rsrvatóro é gual a 0.0. A razão tr a vscosdad da fas ão-molhat a vscosdad fas molhat é gual a 4. Dos cáros dsttos são aalsados: o prmro, dtfcado como dagoal, a lha magára poço jtor-poço produtor é prpdcular às lhas dagoas dos lmtos tragulars; o sgudo, dtfcado como parallo, as lhas dagoas dos lmtos tragulars são parallas à lha magára poço jtor-poço produtor. A Fgura 6 mostra a malha d lmtos ftos usada st problma. No caso dtfcado como dagoal o poço jtor stá stuado o vértc fror squrdo o poço produtor o vértc supror drto. No caso dtfcado como parallo o poço jtor stá stuado o vértc supror squrdo o poço produtor o vértc fror drto. Nos dos casos, os vértcs od ão stm poços prscrvm-s prssõs ulas o rstat do cotoro a codção d fluo ulo é spcfcada. Sgudo Durlofsk [4] os rsultados para os dos cáros, o dagoal o parallo, dvram sr dêtcos pos o dsvolvmto matmátco é o msmo m ambos os casos. Porém pod-s otar qu os rsultados obtdos dfrm um pouco dvdo ao fto d ortação d malha. Os rsultados são aprstados m trmos d Volums Porosos Ijtados (VPI), qu é uma gradza aáloga ao tmpo admsoalzado. Assm como m Durlofsk [4] os rsultados são mostrados d duas maras dfrts: rcupração d ólo ormalzada plo volum total jtado acumulação d ólo rcuprado (volum d ólo produzdo ou volum d ólo rcuprado). As Fguras 7 a mostram qu os rsultados umércos obtdos stão m boa cocordâca com os rsultados aprstados por Durlofsk [4]. O rsultado od somt a formulação SUPG fo utlzada, a cofguração paralla, fo o qu aprstou a maor dscrpâca m rlação aos rsultados mostrados m Durlofsk [4]. A aáls dos rsultados obtdos prmt vrfcar a prsça do fto d ortação d malha, porém os casos od a formulação SUPGCAU h fo utlzada st fto fo pratcamt lmado coform pod sr obsrvado as Fguras. Nos dmas casos o fto d ortação d malha st porém ão é tão actuado quato o cotrado a solução SUPG. 84

93 As Fguras 3 4 aprstam o úmro médo d multcorrçõs por passo d tmpo cutado plo algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor o úmro médo d traçõs m cada multcorrção cutado plos métodos umércos utlzados para rsolvr as quaçõs da prssão da saturação assm como os cálculos das vlocdads. As Tablas aprstam o úmro total d passos d tmpo da aáls, o úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação o úmro d total d traçõs cutado plos métodos PCG, JCB GMRES. Fgura 6 Malha d lmtos ftos com 800 lmtos tragulars lars. Aalsado as Fguras 3 4 pod-s obsrvar qu o método PCG cssta m méda d um úmro muto lvado d traçõs para atgr a covrgêca quado comparado com os dmas métodos aprstados. Nota-s também qu quado a formulação SUPG é mprgada sm o oprador d captura d choqu o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor cssta m méda d apas 3 traçõs para covrgr. O mprgo do oprador d captura d choqu aumta cosdravlmt o úmro d multcorrçõs dss algortmo. Nas Tablas obsrva-s qu para todas as formulaçõs aprstadas, cto a formulação SUPG com a cofguração paralla, o método GMRES cutou o maor úmro d traçõs. É mportat dstacar também o bao úmro d traçõs cutado plo método JCB m todos os casos 85

94 mostrados. Falmt coclu-s qu st mplo o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor prcsou m méda d 0 multcorrçõs por passo d tmpo para covrgr, cto quado s mprgou a formulação SUPG sm o oprador d captura d choqu. As quaçõs da prssão da vlocdad foram solucoadas m méda uma úca vz a cada passo d tmpo quato qu a quação da saturação prcsou sr solucoada durat todas as multcorrçõs do algortmo. 86

95 Rcupração d ólo 0,8 0,6 0,4 SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura 7 Rcupração d ólo ormalzada plo volum total jtado a cofguração dagoal. Volum d ólo rcuprado 0,8 0,6 0,4 0, SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura 8 Volum d ólo rcuprado a cofguração dagoal. 87

96 Rcupração d ólo 0,8 0,6 0,4 SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura 9 Rcupração d ólo ormalzada plo volum total jtado a cofguração paralla. Volum d ólo rcuprado 0,8 0,6 0,4 0, SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura 0 Volum d ólo rcuprado a cofguração paralla. 88

97 Rcupração d ólo 0,8 0,6 0,4 Dagoal - SUPGCAU h Paralla - SUPGCAU h 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura Rcupração d ólo ormalzada plo volum total jtado m dfrts cáros utlzado a formulação SUPGCAU h. Volum d ólo rcuprado 0,8 0,6 0,4 0, Dagoal - SUPGCAU h Paralla - SUPGCAU h 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 VPI Fgura Volum d ólo rcuprado m dfrts cáros utlzado a formulação SUPGCAU h. 89

98 Multcorrcao PCG GMRES JCB Númro médo d traçõs SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Fgura 3 Númro médo d traçõs para o problma d cco poços a cofguração dagoal. 35 Multcorrcao PCG GMRES JCB 30 Númro médo d traçõs SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Fgura 4 Númro médo d traçõs para o problma d cco poços a cofguração paralla. 90

99 Tabla Númro total d passos d tmpo, úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação, úmro total d traçõs dos métodos PCG, JCB GMRES para a cofguração dagoal. SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Passos d tmpo Eq. prssão PCG total Eq. vlocdad JCB total Eq. saturação GMRES total Tabla Númro total d passos d tmpo, úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação, úmro total d traçõs dos métodos PCG, JCB GMRES para a cofguração paralla. SUPG CAU h CAU h/ SUPGCAU h SUPGCAU h/ Passos d tmpo Eq. prssão PCG total Eq. vlocdad JCB total Eq. saturação GMRES total

100 4. Emplos Numércos São aprstados três mplos umércos com o objtvo d dmostrar a potcaldad a aplcabldad da formulação dsvolvda. O prmro mplo umérco é o problma clássco d cco poços, o sgudo é a smulação d um poço d ptrólo o trcro mplo umérco é o problma clássco d cco poços com mo htrogêo. Nsss mplos são jtados o rsrvatóro dfrts tpos d fludos. Em todos os mplos srá mprgada a formulação SUPGCAU h a apromação da quação da saturação, a tolrâca dos métodos tratvos é fada m 0-6, a tolrâca para tração ão-lar é fada m 0 - o úmro mámo d multcorrçõs é fado m 5. Adota-s também um úmro d 5 vtors d Krlov para o algortmo GMRES. 4.. Problma clássco d cco poços Nst mplo, assm como o mplo 4..3, rsolv-s um quarto do problma cco d poços. O fludo jtado o poço jtor (fas molhat) dsloca o fludo do rsrvatóro (fas ão-molhat) m drção ao poço produtor. As gradzas do problma são dadas m um sstma compatívl d udads. O domío do problma é um quadrado d lado utáro. Foram utlzados 800 lmtos tragulars lars para dscrtzar rgularmt o domío do problma. A malha d lmtos ftos usada st mplo é a msma utlzada o mplo 4..3 mostrada a Fgura 6. O poço jtor stua-s o vértc fror squrdo o poço produtor o vértc supror drto. Nos outros dos vértcs do quadrado prscrvm-s prssõs ulas o rstat do cotoro a codção d fluo ulo é spcfcada. Nst mplo os ftos da prssão caplar, dos trmos fot o tror do domío os ftos gravtacoas foram dscosdrados. Icalmt cosdra-s qu o rsrvatóro stá prchdo apas pla fas ão-molhat, ou sja, m t= 0 s = 0 m todo o rsrvatóro. No poço jtor fou-s s = as prmabldads rlatvas das fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por k = ( ) r s k r =. O rsrvatóro é cosdrado um s mo poroso homogêo sotrópco, assm sdo a prmabldad absoluta do msmo é dada por K=I. A porosdad do rsrvatóro é gual a 0.0 o passo d tmpo é fado 9

101 m t = O fludo stt o rsrvatóro é cosdrado toao sua vscosdad é gual a 4. Os rsultados são prssos m fução do Volum Poroso Ijtado (VPI) qu é uma gradza aáloga ao tmpo admsoalzado. Srão aalsados três casos dsttos od o parâmtro d cosstêca H do modlo d l das potêcas assum dfrts valors. Em todos os casos quado s jtar um fludo toao sua vscosdad srá gual à vscosdad do fludo stt o rsrvatóro. Os parâmtros rológcos dos fludos ão-toaos jtados o rsrvatóro stão aprstados as Tablas 3 a 5. A Fgura 5 aprsta a frt d saturação o prfl d vscosdad, m t = 0.5 VPI, tomados tr o poço jtor o poço produtor, stado o poço jtor stuado o poto d coordada = 0 o poço produtor stuado o poto d coordada =.4, od rprsta a dstâca poço jtor-poço produtor. Aalsado a Fgura 5 coclu-s qu a vlocdad com qu a frt d saturação s dsloca o tror do rsrvatóro é maor o caso d fludos dlatats do qu o caso d fludos psudoplástcos. Nota-s também, o caso d fludos ãotoaos, qu quato maor o parâmtro d cosstêca H mor a vlocdad com qu a frt d saturação s dsloca. Portato quado H = 4 a maor vlocdad d dslocamto da frt d saturação é a do fludo dlatat m todos os dmas casos, H = 8 H = 6, a frt d saturação s dsloca mas rapdamt o caso d fludo toao. Na Fgura 5 obsrva-s também comportamtos opostos quato à vscosdad apart dos fludos dlatats dos fludos psudoplástcos. No caso d fludos dlatats a vscosdad apart aprsta valors lvados prómo ao poço jtor qu dmum gradatvamt quado o fludo s afasta dst poço. Por outro lado, o caso d fludos psudoplástcos a vscosdad apart aprsta valors rduzdos prómo ao poço jtor qu aumtam gradatvamt quado o fludo s afasta dst poço. Quato à vscosdad do fludo toao, logcamt, prmac costat por todo rsrvatóro. As Fguras 6 7 comparam os rsultados obtdos para jção d dfrts fludos m t = 0.50 VPI. Na Fgura 6 a frt d saturação obtda com a jção do fludo toao é comparada com o rsultado (frt d saturação) obtdo com a jção d dfrts fludos dlatats. Na Fgura 7 a frt d saturação obtda com a jção do fludo toao é comparada com o rsultado (frt d saturação) obtdo com a jção d dfrts fludos psudoplástcos. Em ambos os casos quato maor o 93

102 valor do parâmtro d cosstêca H dos fludos ão-toaos mor a vlocdad com qu a frt d saturação s dsloca. As Fguras 8, 9 0 aprstam a dstrbução d vscosdad apart d dfrts fludos dlatats. A aáls dssas fguras mostra qu a vscosdad apart dos fludos dlatats é lvada as promdads do poço jtor dmu gradatvamt quado o fludo s afasta dst poço. As Fguras, 3 aprstam a dstrbução d vscosdad apart d dfrts fludos psudoplástcos. A aáls dssas fguras mostra qu a vscosdad apart dos fludos psudoplástcos possu valors rduzdos as promdads do poço jtor qu aumtam gradatvamt quado o fludo s afasta dst poço. Em todos os casos aalsados a vscosdad apart dos fludos ãotoaos aumta com o aumto do parâmtro d cosstêca H. A Fgura 4 aprsta o úmro médo d multcorrçõs por passo d tmpo cutado plo algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor o úmro médo d traçõs m cada multcorrção cutado plos métodos umércos utlzados para rsolvr as quaçõs da prssão da saturação assm como os cálculos das vlocdads. A Tabla 6 aprsta o úmro total d passos d tmpo da aáls, o úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação o úmro d total d traçõs cutado plos métodos PCG, JCB GMRES. Aalsado a Fgura 4 pod-s obsrvar qu o método PCG cssta m méda d um úmro muto lvado d traçõs para atgr a covrgêca quado comparado com os dmas métodos aprstados. Na Tabla 6 obsrva-s qu o método GMRES cutou o maor úmro d traçõs. É mportat dstacar também o bao úmro d traçõs cutado plo método JCB m todos os casos mostrados. Obsrva-s também sta tabla qu o úmro d traçõs cutado plo método JCB aumta com o aumto do parâmtro d cosstêca H. Falmt coclu-s qu st mplo o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor prcsou m méda d multcorrçõs por passo d tmpo para covrgr. As quaçõs da prssão da vlocdad foram solucoadas m méda uma úca vz a cada passo d tmpo quato qu a quação da saturação prcsou sr solucoada durat todas as multcorrçõs do algortmo. 94

103 Tabla 3 Parâmtros rológcos dos fludos ão-toaos - Caso. Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H=4 Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H=4 Ídc d comportamto do scoamto =0.7 Tabla 4 Parâmtros rológcos dos fludos ão-toaos - Caso. Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H=8 Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H=8 Ídc d comportamto do scoamto =0.7 Tabla 5 Parâmtros rológcos dos fludos ão-toaos - Caso 3. Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H=6 Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H=6 Ídc d comportamto do scoamto =0.7 95

104 Saturação - S 0,8 0,6 0,4 0, 0 Ntoao Dlatat H=4 =.3 Psud H=4 =0.7 Vscosdad Ntoao Dlatat H=4 =.3 Psud H=4 =0.7-0, 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 Dstâca tr o poço jtor o poço produtor 0 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 Dstâca tr o poço jtor o poço produtor (a) (b) 6 Saturação - S 0,8 0,6 0,4 0, 0 Ntoao Dlatat H=8 =.3 Psud H=8 =0.7 Vscosdad Ntoao Dlatat H=8 =.3 Psud H=8 =0.7-0, 0 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 Dstâca tr o poço jtor o poço produtor Dstâca tr o poço jtor o poço produtor (c) (d) 30 Ntoao 0,8 5 Dlatat H=6 =.3 Saturação - S 0,6 0,4 0, Vscosdad Psud H=6 =0.7 Ntoao 0-0, Dlat H=6 =.3 Psud H=6 = ,0 0,3 0,6 0,8,,4 0,0 0,3 0,6 0,8,,4 Dstâca tr o poço jtor o poço produtor Dstâca tr o poço jtor o poço produtor () (f) Fgura 5 Frt d saturação prfl d vscosdad, ambos tomados m t=0.50 VPI, para dfrts valors do parâmtro d cosstêca: (a) frt d saturação, H=4; (b) prfl d vscosdad, H=4; (c) frt d saturação, H=8; (d) prfl d vscosdad, H=8; () frt d saturação, H=6; (f) prfl d vscosdad, H=6. 96

105 (a) (b) (c) (d) Fgura 6 Frt d saturação tomada m t =0.5 VPI: (a) jção d fludo toao com vscosdad µ =4, (b) jção d fludo dlatat Caso, (c) jção d fludo dlatat Caso (d) jção d fludo dlatat Caso 3. 97

106 (a) (b) (c) (d) Fgura 7 Frt d saturação tomada m t =0.5 VPI: (a) jção d fludo toao com vscosdad µ =4, (b) jção d fludo psudoplástco Caso, (c) jção d fludo psudoplástco Caso (d) jção d fludo psudoplástco Caso 3. 98

107 (a) (b) (c) (d) Fgura 8 Dstrbução d vscosdad para jção d fludo dlatat Caso : (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 99

108 (a) (b) (c) (d) Fgura 9 Dstrbução d vscosdad para jção d fludo dlatat Caso : (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 00

109 (a) (b) (c) (d) Fgura 0 Dstrbução d vscosdad para jção d fludo dlatat Caso 3: (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 0

110 (a) (b) (c) (d) Fgura Dstrbução d vscosdad para jção d fludo psudoplástco Caso : (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 0

111 (a) (b) (c) (d) Fgura Dstrbução d vscosdad para jção d fludo psudoplástco Caso : (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 03

112 (a) (b) (c) (d) Fgura 3 Dstrbução d vscosdad para jção d fludo psudoplástco Caso 3: (a) t = 0. VPI, (b) t = 0. VPI, (c) t = 0.3 VPI (d) t = 0.5 VPI. 04

113 Multcorrcao PCG GMRES JCB Númro médo d traçõs Nt Dlat H=4 Psud H=4 Dlat H=8 Psud H=8 Dlat H=6 Psud H=6 Fgura 4 - Númro médo d traçõs para o problma d cco poços cosdrado jção d dfrts tpos d fludos. Tabla 6 Númro total d passos d tmpo, úmro total d soluçõs das quaçõs da prssão, vlocdad saturação, úmro total d traçõs dos métodos PCG, JCB GMRES para o problma d cco poços cosdrado jção d dfrts tpos d fludos. Nt Dlat H4 Psud H4 Dlat H8 Psud H8 Dlat H6 Psud H6 Passos d tmpo Eq. prssão PCG total Eq. vlocdad JCB total Eq. saturação GMRES total

114 4.. Smulação d um poço d ptrólo Nst mplo aalsa-s o scoamto dos fludos as promdads d um poço d ptrólo. Dsta forma o fludo qu vad o rsrvatóro (fas molhat), provt do poço, dsloca o fludo rsdt (fas ão-molhat). Est mplo forc subsídos às opraçõs d prfuraçõs d poços d ptrólo od o fludo d prfuração, qu é um fludo ão-toao, sob dtrmadas codçõs d opração vad o rsrvatóro dslocado o fludo rsdt. Nas opraçõs d prfuraçõs d poços d ptrólo é mportat vtar a prda do fludo d prfuração, ou sja, é mportat mmzar a vasão do fludo d prfuração o rsrvatóro. As gradzas do problma são dadas m um sstma compatívl d udads. Utlza-s um quarto do domío do problma, ou sja, o domío computacoal é um quarto d uma coroa crcular d rao mor gual a 0.0 rao maor gual a 0, od o rao mor é o rao do poço. A malha d lmtos ftos utlzada possu 600 lmtos tragulars lars stá mostrada a Fgura 5. Esta malha caractrza-s por sr uma malha com um grad rfamto a rgão próma ao poço. Nst mplo os ftos da prssão caplar, dos trmos fot o tror do domío os ftos gravtacoas foram dscosdrados. Icalmt cosdra-s qu o rsrvatóro stá prchdo apas pla fas ão-molhat, ou sja, m t = 0 s = 0 m todo o rsrvatóro. No poço fou-s s = as prmabldads rlatvas das fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por k r ( s ) k r = s =. O rsrvatóro é cosdrado um mo poroso homogêo sotrópco, assm sdo sua prmabldad absoluta é dada por K=I. A porosdad do rsrvatóro é gual a 0.0 o passo d tmpo é fado m t = O fludo stt o rsrvatóro é cosdrado toao sua vscosdad é gual a 5. O scoamto dos fludos ss mplo é govrado pla prscrção d um dfrcal d prssão tr o poço o rsrvatóro. Dos casos são aalsados, o prmro a dfrça d prssão tr o poço o rsrvatóro é P = 40 quato o sgudo sta dfrça é P = 0. Como ss mplo cosst m scoamto d fludos comprssívs apas a dfrça d prssão, ão o valor absoluto dsta gradza, é fscamt rlvat []. 06

115 A Fgura 6 mostra a frt d saturação m t = 000 passos d tmpos cosdrado a jção d dfrts fludos para P = 40. Aalsado sta fgura vrfca-s qu os fludos toaos a vlocdad com qu a frt d saturação s dsloca é maor do qu o caso d fludos ão-toaos. É fácl costatar qu o fludo toao com vscosdad µ = é o caso od a frt d saturação s movmta mas rapdamt. Através da Fgura 6 também é possívl vrfcar qu o caso d fludos psudoplástcos a frt d saturação s movmta mas rapdamt do qu o caso d fludos dlatats. Fgura 5 Malha d lmtos ftos com 600 lmtos tragulars lars. A Fgura 3 mostra a frt d saturação m t = 4000 passos d tmpos cosdrado a jção d dfrts fludos para P = 0. A trprtação dsta fgura forc rsultados aálogos aos obtdos com a aáls da Fgura 6, cto plo fato d qu st caso a frt d saturação s movmta mas rapdamt os fludos dlatats do qu os fludos psudoplástcos. 07

116 As Fguras 7, 8, 3 33 aprstam a dstrbução d vscosdad apart d dfrts fludos dlatats. A aáls dssas fguras mostra qu a vscosdad apart dos fludos dlatats é lvada as promdads do poço dmu gradatvamt quado o fludo s afasta do poço. Fazdo comparaçõs tr as Fguras 7 3 tr as Fguras 8 33 coclu-s qu quado P = 40 a vscosdad apart dos fludos dlatats é maor do qu quado P = 0. Tabla 7 Parâmtros rológcos dos fludos jtados o rsrvatóro. Fludo Ntoao Vscosdad µ = Fludo Ntoao Vscosdad µ = 5 Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H=8 Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H= Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H=8 Ídc d comportamto do scoamto =0.7 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H= Ídc d comportamto do scoamto =0.7 As Fguras 9, 30, aprstam a dstrbução d vscosdad apart d dfrts fludos psudoplástcos. A aáls dssas fguras mostra qu a vscosdad 08

117 apart dos fludos psudoplástcos possu valors rduzdos as promdads do poço qu aumtam gradatvamt quado o fludo s afasta do poço. Fazdo comparaçõs tr as Fguras 9 34 tr as Fguras coclu-s qu quado P = 40 a vscosdad apart dos fludos psudoplástcos é mor do qu quado P = 0. Em s tratado d fludos ão-toaos fca vdt qu tato a vlocdad d dslocamto da frt d saturação quato o comportamto da vscosdad apart dpdm do dfrcal d prssão aplcado. Como os mplos aalsados são govrados pla l d Darc, od a vlocdad d scoamto do fludo é drtamt proporcoal ao gradt d prssão, as trprtaçõs acma prmtm coclur qu para P = 40 o scoamto cotra-s m uma rgão d lvada taa d dformação quato qu para P = 0 o scoamto cotra-s m uma rgão d baa taa d dformação. Em todos os casos aalsados a vscosdad apart dos fludos ãotoaos aumta com o aumto do parâmtro d cosstêca H. As Fguras aprstam o úmro médo d multcorrçõs por passo d tmpo cutado plo algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor o úmro médo d traçõs m cada multcorrção cutado plos métodos umércos utlzados para rsolvr as quaçõs da prssão da saturação assm como os cálculos das vlocdads. As Tablas 8 9 aprstam o úmro total d passos d tmpo da aáls, o úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação o úmro d total d traçõs cutado plos métodos PCG, JCB GMRES. Aalsado as Fguras pod-s obsrvar qu o método PCG cssta m méda d um úmro muto lvado d traçõs para atgr a covrgêca quado comparado com os dmas métodos aprstados. Nas Tablas 8 9 obsrva-s qu o método GMRES cutou o maor úmro d traçõs. É mportat dstacar também o bao úmro d traçõs cutado plo método JCB m todos os casos mostrados. Obsrva-s também stas tablas qu o úmro d traçõs cutado plo método JCB aumta com o aumto do parâmtro d cosstêca H. Falmt coclu-s qu st mplo o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor prcsou m méda d multcorrçõs por passo d tmpo para covrgr. As quaçõs da prssão da vlocdad foram solucoadas m méda uma úca vz a cada passo d tmpo quato qu a quação da saturação prcsou sr solucoada durat todas as multcorrçõs do algortmo. 09

118 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 6 Frt d saturação m t = 000 passos d tmpos ( P = 40): (a) jção d fludo toao com µ =, (b) jção d fludo toao com µ = 5, (c) jção d fludo dlatat com H = 8, (d) jção d fludo dlatat com H =, () jção d fludo psudoplástco com H = 8 (f) jção d fludo psudoplástco com H =. 0

119 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 7 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo dlatat com H = 8 ( P = 40): (a) t = 00 passos d tmpos, (b) t = 300 passos d tmpos, (c) t = 500 passos d tmpos, (d) t = 700 passos d tmpos, () t = 900 passos d tmpos (f) t = 000 passos d tmpos.

120 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 8 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo dlatat com H = ( P = 40): (a) t = 00 passos d tmpos, (b) t = 300 passos d tmpos, (c) t = 500 passos d tmpos, (d) t = 700 passos d tmpos, () t = 900 passos d tmpos (f) t = 000 passos d tmpos.

121 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 9 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 8 ( P = 40): (a) t = 00 passos d tmpos, (b) t = 300 passos d tmpos, (c) t = 500 passos d tmpos, (d) t = 700 passos d tmpos, () t = 900 passos d tmpos (f) t = 000 passos d tmpos. 3

122 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 30 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo psudoplástco com H = ( P = 40): (a) t = 00 passos d tmpos, (b) t = 300 passos d tmpos, (c) t = 500 passos d tmpos, (d) t = 700 passos d tmpos, () t = 900 passos d tmpos (f) t = 000 passos d tmpos. 4

123 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 3 Frt d saturação m t = 4000 passos d tmpos ( P = 0): (a) jção d fludo toao com µ =, (b) jção d fludo toao com µ = 5, (c) jção d fludo dlatat com H = 8, (d) jção d fludo dlatat com H =, () jção d fludo psudoplástco com H = 8 (f) jção d fludo psudoplástco com H =. 5

124 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 3 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo dlatat com H = 8 ( P = 0): (a) t = 400 passos d tmpos, (b) t = 00 passos d tmpos, (c) t = 000 passos d tmpos, (d) t = 800 passos d tmpos, () t = 3600 passos d tmpos (f) t = 4000 passos d tmpos. 6

125 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 33 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo dlatat com H = ( P = 0): (a) t = 400 passos d tmpos, (b) t = 00 passos d tmpos, (c) t = 000 passos d tmpos, (d) t = 800 passos d tmpos, () t = 3600 passos d tmpos (f) t = 4000 passos d tmpos. 7

126 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 34 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 8 ( P = 0): (a) t = 400 passos d tmpos, (b) t = 00 passos d tmpos, (c) t = 000 passos d tmpos, (d) t = 800 passos d tmpos, () t = 3600 passos d tmpos (f) t = 4000 passos d tmpos. 8

127 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 35 Dstrbução d vscosdad as promdads do poço o caso d jção d fludo psudoplástco com H = ( P = 0): (a) t = 400 passos d tmpos, (b) t = 00 passos d tmpos, (c) t = 000 passos d tmpos, (d) t = 800 passos d tmpos, () t = 3600 passos d tmpos (f) t = 4000 passos d tmpos. 9

128 Multcorrcao PCG GMRES JCB 30 5 Númro médo d traçõs Nt vsc= Nt vsc=5 Dlat H=8 Psud H=8 Dlat H= Psud H= Fgura 36 - Númro médo d traçõs para a smulação d um poço d ptrólo cosdrado jção d dfrts tpos d fludos ( P = 40). 5 Multcorrcao PCG GMRES JCB Númro médo d traçõs Nt vsc= Nt vsc=5 Dlat H=8 Psud H=8 Dlat H= Psud H= Fgura 37 - Númro médo d traçõs para a smulação d um poço d ptrólo cosdrado jção d dfrts tpos d fludos ( P = 0). 0

129 Tabla 8 Númro total d passos d tmpo, úmro total d soluçõs das quaçõs da prssão, vlocdad saturação, úmro total d traçõs dos métodos PCG, JCB GMRES para a smulação d um poço d ptrólo cosdrado jção d dfrts tpos d fludos ( P = 40). Nt Nt 5 Dlat H8 Psud H8 Dlat H Psud H Passos d tmpo Eq. prssão PCG total Eq. vlocdad JCB total Eq. saturação GMRES total Tabla 9 Númro total d passos d tmpo, úmro total d soluçõs das quaçõs da prssão, vlocdad saturação, úmro total d traçõs dos métodos PCG, JCB GMRES para a smulação d um poço d ptrólo cosdrado jção d dfrts tpos d fludos ( P = 0). Nt Nt 5 Dlat H8 Psud H8 Dlat H0 Psud H0 Passos d tmpo Eq. prssão PCG total Eq. vlocdad JCB total Eq. saturação GMRES total

130 4..3 Problma clássco d cco poços com mo htrogêo Nst mplo rsolv-s um quarto do problma cco d poços. O fludo jtado o poço jtor (fas molhat) dsloca o fludo do rsrvatóro (fas ão-molhat) m drção ao poço produtor. As gradzas do problma são dadas m um sstma compatívl d udads. O domío do problma é um quadrado d lado utáro. Foram utlzados 300 lmtos tragulars lars para dscrtzar rgularmt o domío do problma. A malha d lmtos ftos usada st mplo cotra-s a Fgura 38. O poço jtor stá stuado o vértc fror drto o poço produtor o vértc supror squrdo. Nos outros dos vértcs do quadrado prscrvm-s prssõs ulas o rstat do cotoro a codção d fluo ulo é spcfcada. Nst mplo os ftos da prssão caplar, dos trmos fot o domío os ftos gravtacoas foram dscosdrados. Icalmt cosdra-s qu o rsrvatóro stá prchdo apas pla fas ão-molhat, ou sja, m t= 0 s = 0 m todo o rsrvatóro. No poço jtor fou-s s = as prmabldads rlatvas das fass molhat ão-molhat são dadas rspctvamt por k = ( ) r s k r =. A porosdad m todo s rsrvatóro é gual a 0.0 o passo d tmpo é fado m t = O fludo stt o rsrvatóro é cosdrado toao sua vscosdad é gual a 5. Os parâmtros rológcos dos fludos jtados o rsrvatóro cotram-s a Tabla 0. Os rsultados são prssos m fução do Volum Poroso Ijtado (VPI) qu é uma gradza aáloga ao tmpo admsoalzado. O rsrvatóro é cosdrado um mo poroso htrogêo composto por três matras dfrts stado sua cofguração dada a Fgura 39. O tror do rsrvatóro aprsta uma rgão d alta uma rgão d baa prmabldad. São aalsados dos casos dsttos od a localzação dssas rgõs são altradas. Os valors das prmabldads absolutas dos matras qu compõm o rsrvatóro, para cada caso aalsado, cotram-s as Tablas. As Fguras 40, 4, 4, 45, mostram o dslocamto da frt d saturação o tror do rsrvatóro para jção d dfrts fludos. Todos os rsultados obtdos rprstaram bm a htrogdad do mo. Em todos os casos ota-s a formação d zoas prfrcas d scoamto dos fludos cocddo com as rgõs d alta prmabldad stts o rsrvatóro. Por outro lado, as rgõs d baa prmabldad do rsrvatóro agm como uma barrra. A frt d saturação

131 s movmta mas rapdamt o caso do fludo toao do qu o caso dos fludos ão-toaos. Os rsultados mostram qu a vlocdad d dslocamto da frt d saturação é maor quado s jta um fludo dlatat m comparação com a jção d um fludo psudoplástco. Fgura 38 Malha d lmtos ftos com 300 lmtos tragulars lars. As Fguras 43, 44, mostram a dstrbução d vscosdad o tror do rsrvatóro para a jção d dfrts fludos ão-toaos. No caso d jção d fludo dlatat vrfcou-s a formação d zoas d baas vscosdads o tror do rsrvatóro. Já o caso d jção d fludo psudoplástco vrfcou-s a formação d zoas d altas vscosdads o tror do rsrvatóro. Tato as zoas d altas vscosdads quato as zoas d baas vscosdads cotram-s prómas as rgõs d alta d baa prmabldad do rsrvatóro dmostrado como a htrogdad do mo stá flucado a vscosdad apart dos fludos ãotoaos. O fato do problma d scoamto d fludos psudoplástcos aprstar zoas d altas vscosdads o tror do rsrvatóro plca porqu para sss fludos a vlocdad com qu a frt d saturação s movmta é mor do qu o caso d 3

132 scoamto d fludos dlatats qu aprstam zoas d baas vscosdads o tror do rsrvatóro. Tabla 0 Parâmtros rológcos dos fludos jtados o rsrvatóro. Fludo Ntoao Vscosdad µ = Fludo Dlatat Parâmtro d cosstêca H=5 Ídc d comportamto do scoamto =.3 Fludo Psudoplástco Parâmtro d cosstêca H=5 Ídc d comportamto do scoamto =0.7 Poço produtor Mat Mat Mat 3 Poço jtor Fgura 39 Cofguração do rsrvatóro para o problma d cco poços com mo htrogêo. 4

133 Tabla Prmabldad absoluta dos matras qu compõ o rsrvatóro Caso. Matral Prmabldad absoluta k = k = k = 0 Matral Prmabldad absoluta k = k = 0.0 k = 0 Matral 3 Prmabldad absoluta k = k = 0 k = 0 Tabla Prmabldad absoluta dos matras qu compõ o rsrvatóro Caso. Matral Prmabldad absoluta k = k = k = 0 Matral Prmabldad absoluta k = k = 0 k = 0 Matral 3 Prmabldad absoluta k = k = 0.0 k = 0 Nota-s também qu a vlocdad com qu a frt d saturação s dsloca o tror do rsrvatóro é mor quado o rsrvatóro possu as prmabldads absolutas aprstadas a Tabla - Caso. Nst caso, por mplo, a frt d saturação do fludo psudoplástco ão cosgu alcaçar o poço produtor como pod sr obsrvado a Fgura 47. As Fguras 50 5 aprstam o úmro médo d multcorrçõs por passo d tmpo cutado plo algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor o úmro médo d traçõs m cada multcorrção cutado plos métodos umércos utlzados para rsolvr as quaçõs da prssão da saturação assm como os cálculos das vlocdads. As Tablas 3 4 aprstam o úmro total d passos d tmpo da 5

134 aáls, o úmro total d soluçõs para as quaçõs da prssão, vlocdad saturação o úmro d total d traçõs cutado plos métodos PCG, JCB GMRES. Aalsado as Fguras 50 5 pod-s obsrvar qu o método PCG cssta m méda d um úmro muto lvado d traçõs para atgr a covrgêca quado comparado com os dmas métodos aprstados. Nas Tablas 3 4 obsrva-s qu o método GMRES cutou o maor úmro d traçõs. É mportat dstacar também o bao úmro d traçõs cutado plo método JCB m todos os casos mostrados. Obsrva-s também stas tablas qu o úmro d traçõs cutado plo método JCB aumta com o aumto do parâmtro d cosstêca H. Falmt coclu-s qu st mplo o algortmo bloco-tratvo prdtor-multcorrtor prcsou m méda d multcorrçõs por passo d tmpo para covrgr. As quaçõs da prssão da vlocdad foram solucoadas m méda uma úca vz a cada passo d tmpo quato qu a quação da saturação prcsou sr solucoada durat todas as multcorrçõs do algortmo. 6

135 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 40 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo toao com µ = Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 7

136 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 4 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo dlatat com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 8

137 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 4 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 9

138 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 43 Dstrbução d vscosdad o tror do rsrvatóro o caso d jção d fludo dlatat com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 30

139 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 44 Dstrbução d vscosdad o tror do rsrvatóro o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 3

140 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 45 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo toao com µ = Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 3

141 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 46 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo dlatat com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 33

142 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 47 Lhas d cotoro d saturação o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 34

143 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 48 Dstrbução d vscosdad o tror do rsrvatóro o caso d jção d fludo dlatat com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 35

144 (a) (b) (c) (d) () (f) Fgura 49 Dstrbução d vscosdad o tror do rsrvatóro o caso d jção d fludo psudoplástco com H = 5 Caso : (a) t = 0.05 VPI, (b) t = 0.5 VPI, (c) t = 0.5 VPI, (d) t = 0.35 VPI, () t = 0.45 VPI (f) t = 0.50 VPI. 36