1. Introdução Bifurcação de Equilíbrio

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1 Itrodução à Estabdad d Estruturas. Itrodução Nst capítuo vamos studar os fómos d bfurcação sob o poto d vsta do comportamto ástco. Esta póts ão é vrdadra, porqu ats d s vrfcar st fómo ocorr fdação ou msmo pastfcação a pça. Está racoada com casos d stabdad, poddo sr utzado m cojuto com a Aás Pástca mt... Bfurcação d Equíbro Supodo qu uma ba stá gada através d uma moa rotacoa à fudação, o caso do mto vrtca rodar d θ s a carga P s matvr, o sstma cotua a provocar um momto uo m ração à rotua da bas O. Psθ ηpcosθ kθ P k θ sθ ηcos θ od η rprsta a proporção da carga orzota. P S rprstarmos m gráfco a varação d θ com, k

2 Itrodução à Estabdad d Estruturas Ratvamt a um comportamto ar ástco, θ va aumtar dvdo ao dsocamto atra da ba. Os comportamtos típcos da strutura vão sr : () Estado a qu corrspodm pquos dsocamtos; () Comportamto m qu a rgdz ão aumta; () Para dsocamtos muto vados a pça vota a aumtar d rgdz. Rprstado o Estado d Equíbro da Estrutura, corrspodt à dmução d η para zro (ão á carga orzota), vrfca-s sr possív aumtar a carga P dfdamt. No caso d produzrmos um dsocamto a strutura (ou a vbrarmos) até P, a ba matém-s m quíbro. k P Para k s a strutura for sujta a uma pqua dformação, va-s matr m quíbro (com θ ) para a dformação ca.

3 Itrodução à Estabdad d Estruturas Para vaors suprors va ocorrr uma bfurcação do camo m dos ramos. No caso d s fctuar um carrgamto fora do xo do par /ou o caso dst tr uma mprfção (dsocamto ca), a pça va procurar uma posção d quíbro a CURVA ESTÁVE. Vamos supor qu stamos a trabaar com pquos dsocamtos qu o vaor d θ é pquo. No caso d aproxmarmos o comportamto da CURVA ESTÁVE aos prmros trmos d uma sér d Tayor (arzarmos), só a prmra drvada das fuçõs va tr mportâca, A quação qu os dá a posção d quíbro vrá, P k θ θ η Utzado stas xprssõs, ão vamos cosdrar o aumto d rgdz qu caractrzava a xprssão ca.

4 Itrodução à Estabdad d Estruturas P Até vaors d va vbrar à vota do Estado d Equíbro com um crto k amortcmto. Para vaors suprors pod provocar uma rotura catastrófca. Nsta forma d coapso até ao poto mt (cusv) pod avr a vrfcação ao Estado d Equíbro, d outro modo tmos uma cdêca frág. Gramt goramos st tpo d comportamto qu va corrspodr a um modo d coapso mas ato (a pastcdad da strutura é mtada, ão s poddo dsvovr st comportamto).. Ddução da Matrz d Rgdz Gométrca Vamos dtrmar a rgdz gométrca (cmátca) qu pod sr dfda como sdo o fto a rgdz cmátca da strutura dvdo ao curtamto. 4

5 Itrodução à Estabdad d Estruturas ( ds dx) ( du dx dx) du dx... dx du dx du dx dx u T dx T dx u Vamos supor qu o modo para a dformada é cúbco u(x) N(x) u, od u é o dsocamto as xtrmdads d N( x) θ(x) dx u u d N( x) k(x) dx u B u Po Torma da Erga Potca Tota Míma W U V EI k dx P T u w( x) u( x) dx W T T T T T u B EI B dx u Pu dxu u w( x) N dx u Para obtrmos o vaor mímo d W fazmos : dw T T B EI B P ( ) N dx u dx u w x dx du 5

6 Itrodução à Estabdad d Estruturas ou sja, K w( x) N dx od K K E K G Etão, supodo qu a vga é bcastrada K E K G 4EI 4P EI P 6EI P 6EI P EI P 4EI 4P 6EI P 6EI P 6EI P 6EI P EI 6P EI 6P 6EI 6EI P EI 6P EI P 6P Exmpo : G K - Efto d uma rotação du θ dx du θ dx x 6 6 x x du du dx dx... P 6

7 Itrodução à Estabdad d Estruturas. Dtrmação da Carga d Bfurcação um Pórtco Pao Caso Hpóts d cácuo : A strutura va prmacr drta sm sofrr fxão. Esta póts justfca qu o pórtco s pod dsocar para uma ova posção d quíbro sob acção d cargas axas. Vamos cosdrar qu tramos a curva d comportamto stáv m qu ão va avr durcmto, po qu tmos d assgurar qu st comportamto ão rá troduzr ovas cargas a strutura. Como o sstma acma dscrto é omogéo, ão é possív obtr d uma forma úca u, u u. Cotudo st stado pod sr cosstt com as cargas apcadas à strutura, s for uma soução das quaçõs agébrcas, A ( λ) x od o parâmtro λ é uma varáv (carga d bfurcação). Est probma cosst a dtrmação dos vaors própros do sstma omogéo d quaçõs ars. 7

8 Itrodução à Estabdad d Estruturas S cosdrarmos a strutura m quíbro para uma posção d quíbro com uma pqua dformação do tpo orgada por fxão, o úmro d graus d brdad va sr a dtrmação cmátca, rotaçõs dsocamtos, mas dsta vz m otação d vocdad, porqu s rfrm a modos d bfurcação. A quação qu os dá o modo como a strutura s mov da posção d quíbro srá : [ K K ] u E G 8

9 Itrodução à Estabdad d Estruturas 9 A matrz K G é fução d β, od β é dvdo à prsça d cargas axas os mmbros (ão é uma mdda dvdua). Etão, [ ] 7P 4EI P 6EI P 6EI P 6EI 4P 8EI EI P 6EI EI 4P 8EI K K G E Rsovdo o sstma d quaçõs d quíbro, 7P 4EI P 6EI P 6EI P 6EI 4P 8EI EI P 6EI EI 4P 8EI u u u Dvddo as as por, sgudo-s a m utpcação da coua por fazdo β 6EI P, trm os : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β β β β β β β EI u u u

10 Itrodução à Estabdad d Estruturas Para uma soução ão trva (a soução ca sra obtda ão cosdrado o fto das cargas axas) {u} vamos tr : dt [ K K ] E G Rsovdo st sstma vamos obtr os vaors própros corrspodts aos modos d rotura por curvadura da strutura. Estamos trssados a carga d bfurcação mas baxa. Assm, vamos rsovr a quação atror m ordm a β. Com st vaor podmos dtrmar o vctor própro corrspodt, u (modo d bfurcação). O mor vaor d β qu satsfaz a quação ( 4β)(7 6β 45β ) é : β.4 qu corrspod a uma carga crítca, P cr EI Substtudo β o sstma d quaçõs d quíbro fazdo u, tmos : u. 58 u. 58 u.

11 Itrodução à Estabdad d Estruturas qu corrspod ao sgut modo d bfurcação : Como d uma gra ão são cocdas as cargas axas as couas dos pórtcos, para dtrmar a compot da matrz d rgdz gométrca, tm qu s rsovr tratvamt o sstma d quaçõs d quíbro. O procsso é trmado quado o vaor dos sforços axas é dêtco m traçõs sucssvas. Como os rsutados ão são ormamt obtdos uma só tração df-s st fto como aás gomtrcamt ão-ar. Caso : Quado a carga é xrcda a vga d um pórtco ão as couas, pod sr mportat dtrmar como s dgrada a rgdz da strutura até ocorrr o fómo da bfurcação

12 Itrodução à Estabdad d Estruturas No sgudo caso as cargas vrtcas stão apcadas a vga do pórtco. Va sr bastat mas dfíc dtrmar os vaors vctors própros do sstma. Vamos cosdrar a carga tota apcada os pars fazr o studo a partr da posção d quíbro. Dst modo a carga d bfurcação é dmuída mbora ão o sja d um modo sgfcatvo. Em rsumo : ) Quado ocorrm cargas orzotas um pórtco, a strutura ão s va bfurcar, dado qu comça a fctr a partr do momto m qu as cargas são apcadas. ) A carga d bfurcação dá-os uma boa aproxmação para o tpo d acçõs a strutura qu vão provocar grads dsocamtos. Vamos cosdrar a carga coctrada, aasamos o sstma m quíbro dtrmamos a carga d bfurcação... Utzação d Modos d Dformação Parabócos Quado s studam modos d dformaçõs dos mmbros dvduas assumm-s dsocamtos tr as xtrmdads dos mmbros d acordo com uma xprssão cúbca ão parabóca qu é a forma corrcta. Gramt as quaçõs d quíbro são dsvovdas para struturas o stado ca m qu s cosdr sta ada ão dformada. Cotudo quado s apcam cargas, a strutura va dformar-s, modfcado as caractrístcas gométrcas. O momto fctor stá racoado com a curvatura. A mudaça d curvatura srá d w w, qu va dar uma quação dfrca d ª ordm ratvamt a w. A soução dsta quação é basada a póts d pquas dformaçõs.

13 Itrodução à Estabdad d Estruturas No caso d ocorrrm também tracçõs cosdr-s um modo prbóco para as tracçõs, oposto ao modo parabóco d comprssõs. Podmos rsovr o sstma utzado os prcípos d cácuo automátco (quaçõs d rotaçõs, afudamtos dstrbução d momtos) ou métodos gércos (rgdz dos mmbros capacdad rsstt da strutura). NOTA : Caso os ós stjam fxos podm-s utzar as fuçõs d Brry. Obtdo-s as caractrístcas f j ou k j dos mmbros dformados qu stão racoados com stados d quíbro (stáv stáv) ão com fuçõs d stabdad (m mtos do tpo vga). No caso d s fazr uma aproxmação do tpo tagt vamos tr uma aproxmação smps parabóca ou prbóca. Cada uma dstas raçõs ão é a vrsa da outra (mbora o sjam por aproxmação). Nst caso cada uma das fuçõs é ão ar. Podmos dfr o probma d vaors própros, dt[ K E K G ] Usado um método d soução gráfca (dtrmado os vaors do dtrmat para város vaors do parâmtros d carga λ, obtmos as formas d bfurcação). A prmra corrspod a : EI P cr 7.8 o qu mpca um rro fror a %.

14 Itrodução à Estabdad d Estruturas Assm, s arrumarmos um modo cúbco d dformaçõs obtmos um probma d dtrmação d vaors própros ar agébrco.. Outros Modos d Bfurcação Quado cosdramos as fuçõs d stabdad para rsovr o dtrmat da strutura, obtmos um probma d vaors própros ão-ar. Estamos ormamt trssados o prmro modo qu dá uma aproxmação para o vaor mas baxo da carga d bfurcação, mt a partr do qua a strutura tra m coaspso. Os rstats modos stão assocados a dformadas a qu corrspod maor rga só são cosdrados s a stabzação goba da strutura for rsutat da tracção dos modos..4. Método d Rayg P cr EI '' ( ) ds ' ρ ( ) ds k od a dformada aprsta otação d vocdad dado qu ão stamos a afctar d uma posção d quíbro Obsrvaçõs 4

15 Itrodução à Estabdad d Estruturas ) Os trmos dscrtos só são utzados quado s cocm o vaor das forças momtos as xtrmdads. ) O umrador rprsta a Erga d Dformação qu é cssára para mudar o corpo d uma para outra posção. Atrormt cosdraram-s 4 graus d brdad a strutura, od rprsta o modo aproxmado d bfurcação. No caso ra, também á a cosdrar o curtamto dos pars, aém do dsocamto orzota rotaçõs dos pars. NOTA : são uma forma d mdr a trasação da strutura. Podr-s-á dtrmar vaors aproxmados d,, apcado um par d forças orzotas. No caso d trabaarmos com rga armazada. A Erga d Dformação o modo aproxmado srá : V δ (,,..., adars) Dsvovdo a xprssão, 5

16 Itrodução à Estabdad d Estruturas 6 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] S S S S V od S rprsta a força orzota tota qu actua o adar. Trabao produzdo pas cargas vrtcas w W ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] c c w c w... w w c w... w w c w... c c w w c W P od, w, w,..., w tm vaors costats ats, durat dpos d s dar a dformação P rprsta a força axa tota os pars do adar fror Podmos utzar as xprssõs aproxmadas,

17 Itrodução à Estabdad d Estruturas λ cr S P c ; λ cr. 9 S P ou λ cr Obsrvaçõs : ) A sguda xprssão é drvada da prmra, mado c (cosdr-s o msmo vaor para todos os adars,, ou quaqur vaor trmédo). 5 Isto cosgu-s fazdo,. 9 c médo ) Procddo dst modo cotramos rros d a 5% do ado da sguraça, dado qu stamos a rstrgr agum dos movmtos da strutura por ss motvo o pórtco comporta-s d um modo mas rígdo. ) No caso d cosdrarmos o pórtco com vgas (pavmtos) rígdas, tão o fómo da bfurcação va ocorrr o adar fror, o qu ão é vrdadro mas qu ajuda a obtr stmatvas. λ 5 6 S k cr Pk, od todos os outros acma do ív cosdrado são uos. k Uma aproxmação do msmo tpo fo proposta por Hook, 7

18 Itrodução à Estabdad d Estruturas λ cr.9s P k k k para os vaors d k dtrmados a partr d uma Aás ar Eástca. Como st caso vamos studar todos os psos, va sr uma stmatva do ado da sguraça uma vz qu os ftos mas dsfavorávs são o adar fror. 4) Uma outra aproxmação da carga d bfurcação sra obtda à custa d tabas. Va-s gorar o qu s passa m outros adars à xcpção d dos coscutvos.. Comparação dos Dfrts Comportamtos Exmpo : Obsrvaçõs : 8

19 Itrodução à Estabdad d Estruturas ) Cosdra-s o carrgamto apcado m ambos os ós para s podr fazr a Aás Eástca Não-ar com mas facdad. ) Quado s faz uma Aás Easto-Pástca tmos qu tomar m cosdração o procsso d formação das rótuas. ) A Aás Easto-Pástca Não-ar, qu tra m cosdração o fto dos sforços axas produz-os a carga fa d rotura da strutura mas baxa, apsar d sr mas trabaoso do poto d vsta computacoa. Obtmos dfrts tpos d comportamto, cosoat o tpo d aás. Aproxmação Tpo Rak λ λ C λ E A Aás Pástca mt só os dá ívs d carrgamto, ão os mostrado como os mmbros dvduas s comportam m tra m cosdração com as rotaçõs pástcas produzdas as rótuas qu s formam para o mcasmo d rotura. Em Btão Armado as raçõs momtos-curvaturas são muto mportats para traduzrm o comportamto do matra. Po qu podmos cocur qu m a Aás Pástca mt m a Aás Eástca ar dão rsutados corrctos. 9