Modelo de Carreador Simples e Simétrico com Quatro Estados

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1 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 Modlo d Carrador mpls métro om Quatro stados Nsta aula, vamos aplar a tora dsvolvda a aula 8 para dsrvr um modlo smpls d arrador para mplmtar o trasport d soluto através da mmbraa. Para rlmbrar (vja a fgura abaxo), o trasport mdado por arrador o soluto, hamado aqu d substrato, s lga a uma zma arradora rustada a mmbraa formado um omplxo lgado. ss omplxo lgado s trasloa através mmbraa, lbrado o substrato do outro lado. ss tpo d prosso é mutas vzs hamado d dfusão faltada, porqu l falta o trasport d soluto através da mmbraa m rlação ao qu oorrra apas plo prosso d dfusão. 1

2 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 Para formular um modlo para o trasport mdado por arrador, vamos spfar um modlo d éta químa para ada um dos passos xstts o modlo lustrado a fgura atror. O prmro passo é a ração d lgação do soluto om o arrador, rprstada squmatamt pla fgura a sgur. Nst dsho, stamos assumdo qu a lgação do soluto om o arrador é tão rápda qu a ração stá m qulíbro a ada stat. Portato, la pod sr aratrzada pla ostat d dssoação, oform vsto a quação (22) da aula 8, =, od é a otração do soluto são, rsptvamt, as otraçõs a mmbraa do arrador ão-lgado lgado. Como a mmbraa lular é ssalmt uma strutura bdmsoal, é ovt trabalhar om a dsdad suprfal d arradors, ao vés d om a otração, qu é uma mdda volumétra. Para passar para uma mdda d úmro d arradors por ára, vamos supor qu a spssura da mmbraa é d, d mara qu o volum omprddo por um pdaço d ára A é Ad. As otraçõs a mmbraa dos arradors lgados ão-lgados são, rsptvamt: = V = Ad = V = Ad, od dam, rsptvamt, os úmros d mols dos arradors lgados ão-lgados a mmbraa. 2

3 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 tão, os úmro d mols d arrador lgados ão-lgados por udad d ára da mmbraa são dfdos, rsptvamt, omo: = A = d = A = d. m trmos dssas dsdads suprfas d arradors, podmos rsrvr a ostat d dssoação omo, =. (1) Passado agora para o passo d trasloação do dsho da pága 1, l pod sr modlado por uma ração d 1 a ordm, lustrada pla fgura abaxo. α β a dsdad d arradors lgados qu stão abrtos para o lado squrdo do dsho ama for dsgada por o lado drto for dsgada por a dsdad d arradors lgados qu stão abrtos para (os íds dam os lados tralular xtralular da mmbraa, rsptvamt), tão a rlação éta dada por st modlo é d dt = α β. (2) Os passos d lgação trasloação podm sr ombados m um úo squma éto modlado o trasport d soluto plo arrador através da mmbraa, omo mostrado a fgura a sgur. Nsta fgura, m um dos lados da mmbraa o soluto s lga rapdamt ao arrador om ostat d dssoação. O omplxo lgado s trasloa através mmbraa d aordo om uma ração rvrsívl d prmra ordm om ostats étas para as raçõs drta rvrsa dadas por α β, 3

4 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 rsptvamt. O omplxo lgado s dssoa o outro lado da mmbraa om a msma ostat d dssoação da lgação o prmro lado. Falmt, o arrador ão-lgado s trasloa através da mmbraa d aordo om uma ração rvrsívl d prmra ordm om as msmas ostats étas da ração d trasloação do arrador lgado. Vamos aalsar st modlo o stado staoáro, o qu mpla qu as dsdads d arradors m ada um dos sus quatro stados são dpdts do tmpo. Assm, o stado staoáro, as moléulas d soluto trasloadas do lado tror da mmbraa para o lado xtror a ada udad d tmpo são ompsadas por um úmro gual d moléulas trasloadas por arradors da suprfí xtra para a suprfí tra, d mara qu a dsdad d arradors lgados ao soluto é ostat. mlarmt, a dsdad d moléulas d soluto lgadas qu hgam a uma das suprfís da mmbraa s dssoam, formado arradors ão-lgados, é balaada por uma ração statâa d assoação qu lga moléulas d soluto a arradors, d mara qu as dsdads d arradors ão-lgados as duas suprfís da mmbraa s matêm ostats. 4

5 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 Vamos assumr qu a dsdad total d moléulas arradoras, ou zmas, a mmbraa é gual a T mols d arrador por udad d ára qu ada um dsss arradors stá um dos quatro stados possívs, dsgados por,,. sss quatro stados orrspodm, rsptvamt, a: soluto lgado a arrador a fa tra da mmbraa; soluto lgado a arrador a fa xtra da mmbraa; arrador ão-lgado a fa tra da mmbraa; arrador ão-lgado a fa xtra da mmbraa. Para ada um dsss quatro stados tmos um valor d dsdad suprfal, dados, rsptvamt, por,,. m trmos dssas dsdads, pod-s dfr os fluxos d arradors ão-lgados, φ, lgados, φ, através da mmbraa. A fgura abaxo, qu rfr-s a uma população d arradors, lustra o sgfado as drçõs postvas (d dtro para fora da élula) dsss fluxos. O modlo é dfdo plas sguts hpótss: 5

6 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 A dsdad total d arradors, lgados ão lgados, é ostat gual à soma das dsdads dos arradors m ada stado dvdual, = (3) T O fluxo total d arradors é ulo, pos os arradors ão podm sar da mmbraa, φ + φ = 0. (4) Uma moléula d soluto só pod ruzar a mmbraa s stvr lgada a um arrador, φ = φ. (5) Lmbrado da dfção d fluxo ( o d mols por udad d ára por udad d tmpo = dsdad suprfal d mols por udad d tmpo) usado a quação (2), φ = φ = α β. (6) D mara smlar (pos a ração do arrador ão-lgado é, por hpóts, do msmo tpo qu a do arrador lgado), φ = α β. (7) As raçõs d lgação d dssoação as duas trfas da mmbraa são tão rápdas m omparação om a taxa d trasport d soluto pla mmbraa qu podm sr osdradas omo stado m qulíbro, om a msma ostat d dssoação. Usado a quação (1), = =. (8) st modlo é hamado smpls porqu assum qu as raçõs d lgação a trfa são rápdas. l é hamado smétro porqu assum qu as raçõs d lgação as trfas têm as msmas ostats d dssoação qu as ostats étas α β são as msmas para as raçõs do arrador lgado do ão-lgado. 6

7 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 Vamos usar as quaçõs (3) a (8) para obtr uma rlação tr o fluxo d soluto a otração d soluto. Prmramt, vamos ombar as quaçõs (4), (6) (7) para obtr, ou, α β = β α, α β ( + ) = +. (9) ubsttudo agora a quação (3) a quação (9) para lmar o fator α β ( + ) = ( + ) T, +, qu os dá a sgut quação volvdo duas varávs dsohdas, α +1 β sta quação pod sr rsrta omo: ( + ) = T + T β = α + β,. (10). (11) sta quação da qu a fração d arradors a fa tra da mmbraa m rlação ao úmro total d arradors é dada pla quatdad β ( α + β). Usado a quação (8), podmos lmar Isolado, obtmos para obtr, α +1 + = β T. β = α + β + T. (12) 7

8 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 O prmro trmo tr parêtss a quação (12) já fo vsto m (11). l dá a fração d arradors a fa tra da mmbraa. Já o sgudo, usado a quação (8), pod sr rsrto omo, + = + qu é fração d arradors a fa tra da mmbraa qu stá lgada ao soluto m rlação ao úmro total d arradors a fa tra da mmbraa., Assm, a quação (12) os dz qu a fração d arradors lgados a fa tra da mmbraa m rlação ao úmro total d arradors é dada plo produto d duas fraçõs: (1) a fração d arradors a fa tra da mmbraa m rlação ao úmro total d arradors; (2) a fração d arradors lgados ao soluto a fa tra da mmbraa m rlação ao úmro total d arradors a fa tra da mmbraa. ubsttudo (12) m (11), obtmos uma xprssão para a fração d arradors ãolgados a fa tra da mmbraa m rlação ao úmro total d arradors, β = α + β + T. (13) As quaçõs (12) (13) os dzm qu, quado aumta, rs drs, d mara hprbóla, omo mostrado a fgura a sgur (qu fo fta para um aso partular m qu α = β = 1. 8

9 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 Para st modlo d arrador smpls, smétro om quatro stados, o stado do arrador a fa tra da mmbraa dpd somt da otração d soluto o lado tro, sdo dpdt da otração d soluto o lado xtro. D forma aáloga, podmos obtr quaçõs para (13), quvalts às quaçõs (12) α = α + β + T, (14) α = α + β + T. (15) Portato, quado aumta, aumta drs hprbolamt, omo a fgura da trasparêa atror. O stado do arrador a fa xtra da mmbraa dpd somt da otração do soluto o lado xtro, sdo dpdt da otração do soluto o lado tro da mmbraa. O fluxo d soluto pod sr obtdo pla substtução das quaçõs (12) (14) a quação (6), para obtrmos, 9

10 od Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 φ =, (16) ( φ ) max + + αβ α + β ( φ ) =. (17) max T As quaçõs ama podm sr tddas qualtatvamt om o auxílo dos dagramas squmátos da fgura a sgur. A fgura mostra squmas d mmbraa, ada um tdo 20 arradors, 10 abrtos para o lado tro da mmbraa 10 abrtos para o lado xtro da mmbraa. 10

11 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 1. Para a prmra mmbraa, = 0, d mara qu hum arrador stá lgado a soluto; = 2. Para a sguda mmbraa, a otração d soluto o lado tro fo aumtada, mas <. Assm, mos da mtad dos arradors abrtos para o lado tro stá lgada a soluto, quato qu todos os arradors abrtos para o lado xtro otuam ão lgados ( = 0 ); 3. Para a trra mmbraa, =. Isto mpla qu mtad dos arradors abrtos para o lado tro stá lgada a soluto, a outra mtad ão; 4. Para a quarta mmbraa, >>, d mara qu todos os arradors abrtos para o lado tro stão lgados ao soluto (mas todos os arradors abrtos para o lado xtro prmam ão lgados); 5. Para as mmbraas dos squmas 5 7, >> va sdo aumtada progrssvamt, d mara qu o úmro d arradors abrtos para o lado xtro lgados a soluto também aumta progrssvamt. Para a últma mmbraa, as otraçõs d soluto dos dos lados da mmbraa são tão grads qu todos os arradors stão lgados a soluto. D uma mara mas quattatva, podmos studar o masmo d arração aalsado as quaçõs (12) (15). Quado = 0, ão há soluto lgado a arrador s = s os dos lados da mmbraa = 0 ( α β ). Portato, = β ( α + β ) = =α +. α = β, = = 2, d mara qu mtad dos T arradors stão abrtos para o lado tro mtad stão abrtos para o lado xtro. Como a dsdad d arradors lgados é zro, o fluxo d soluto através da mmbraa, φ, também é zro. T T 11

12 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 s for aumtada, tão aumta dmu. Na outra fa da mmbraa o stado dos arradors ão muda, d mara qu otua gual a zro. Portato, > <. st stado orrspod a um fluxo d arradors lgados (fluxo líqudo d arradors lgados da fa tra para a fa xtra da mmbraa), portato, a um fluxo d soluto para o lado d fora da mmbraa. Isto qur dzr qu φ φ > 0. Oorr também um fluxo d arradors ão lgados, φ < 0. Como o = fluxo d soluto para dtro da mmbraa prma ulo, o fluxo d arradors lgados d soluto va aumtado à mdda qu T ( ( α β )) = = β 2 + T s aumta. Quado =, tão, d mara qu mtad dos arradors a fa tra stá o stado lgado mtad stá o stado ão lgado., a partr do poto m qu =, a otração d soluto do lado xtro,, omçar a sr aumtada, tão aumta dmu. O aumto m lva a uma rdução o fluxo d soluto até qu =, quado mtad dos arradors do lado xtro da mmbraa stá o stado lgado mtad stá o stado ão lgado. Nst últmo aso, xatamt ¼ do úmro total d arradors stará m ada um dos quatro possívs stados (,, ), os fluxos, tato d arradors lgados omo ão lgados, srão ulos. Novos aumtos a otração d soluto, ou d um dos lados da mmbraa, ou os dos, aumtarão ada mas as quatdads d arradors os stados lgados. O modlo smpls dsvolvdo aqu lvou à quação (16), qu dsrv o fluxo d soluto através da mmbraa m trmos das otraçõs d soluto dos dos lados da ostat d dssoação. A quação (16) pod sr rsrta a forma: 12

13 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 φ = φ ( ) max s ( + ) + ( ). (18) Not qu φ > 0 s > qu φ < 0 s <. Isto é, o fluxo d soluto stá a drção otrára à do gradt d otração, omo o aso da dfusão d soluto studado a aula 1. Portato, st modlo d trasport mdado por arrador xb trasport passvo. Para baxas otraçõs d soluto, < <, a quação (18) pod sr aproxmada por, ( φ ) ( ) max φ, (19) qu é formalmt dêta à prmra l d Fk para mmbraas, dsd qu s dtfqu a prmabldad da mmbraa ao soluto, P s, om o trmo multplado a dfrça d otraçõs, P s ( φ ) max =. (20) Notm, porém, qu, st aso, ao otráro do modlo puramt marosópo d Fk (sto é, sm rlação om a strutura mrosópa da mmbraa), a prmabldad possu uma dpdêa strutural, pos dpd da ostat d dssoação da ração tr o soluto o arrador. Nst aso, a dpdêa é vrsa, d mara qu s aumta, P s dmu. Portato, faz o papl d uma mdda d mprmabldad da mmbraa. A tabla a sgur dá os valors mddos d para a mmbraa d rtrótos humaos algus açúars sloados. Notm a grad varabldad xstt, dado a fort dpdêa strutural d, portato, d P s. 13

14 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 Açúar (mmol/l) D-glos (6) 4 10 D-maos (6) 14 D-galatos (6) D-xlos (5) 60 L-arabos (5) 250 D-rbos (5) L-sorbos (6) D-frutos (6) Tabla: Valors d para dfrts açúars trasportados através da mmbraa d rtrótos humaos (adaptada d t, W.D., Chals, Carrrs, ad Pumps. Aadm Prss, Nw York, 1990). Os açúars marados om (6) são açúars d ss arboos (hxoss) os marados om (5) são açúars d o arboos (ptoss). Todas as mddas foram ftas om téas smlars, usado sagu d trasfusão a uma tmpratura d 37 C, om xção da L-sorbos da D-frutos, ujas mddas foram ftas a 25 C. Mddas d fluxo são frqutmt ftas om traçadors radatvos usados para marar o soluto. Por xmplo, o fluxo d soluto pod sr stmado marado-s o soluto tralular om traçador radatvo. O fluxo dss soluto marado para fora da élula pod sr mddo m fução d varávs xprmtas l é rapdamt rmovdo após sto, d forma a mpdr o su rtoro para o tror da élula. Dsta forma, todo o fluxo d soluto mddo st aso é um fluxo, om pratamt hum fluxo aprávl. Com o uso dss tpo d téa pod-s mdr, sparadamt, o fluxo o fluxo d um dado tpo d soluto através da mmbraa. Vamos domar sts dos fluxos udroas por φ φ, rsptvamt. Olhado para a quação (16), podmos srvr sts dos fluxos, rsptvamt, omo d mara qu, + φ ( φ ) ( φ ) = max φ = max (21) + 14

15 Bofísa II FFCLRP UP Prof. Atôo Roqu Aula 9 φ φ φ =. (22) D aordo om as quaçõs ama, a rlação tr o fluxo udroal a otração é a d uma hpérbol rtagular, omo mostrado a fgura abaxo, srta m trmos das varávs ormalzadas φ ( φ ) max s. 1,0 φ (φ ) max 0,5 A quação (21) pod sr trasformada m, Portato, fazdo o gráfo d 0, / 1 1 = 1 +. (23) φ ( φ ) max 1 φ m fução d 1 alulado a lação da rta ) max o poto d trsção om o xo vrtal, pod-s obtr ( φ, omo mostrado a fgura abaxo. 1 φ ( ) max φ 1 Ilação = ( φ ) max