O EFEITO DO NÚMERO DE PONTOS DA QUADRATURA DE GAUSS NA ANÁLISE NUMÉRICA DA PROTEÇÃO TÉRMICA POR ABLAÇÃO

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1 Procdgs of th 10 th Brazla Cogrss of Thrmal Sccs ad Egrg -- ECIT 2004 Braz. Soc. of Mchacal Sccs ad Egrg -- ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004 Papr CIT O EFEITO DO ÚMERO DE POTOS DA QUADRATURA DE GAUSS A AÁLISE UMÉRICA DA PROTEÇÃO TÉRMICA POR ABLAÇÃO Aluso Vas Patalão aluso@mc.ta.br Clauda Rga d Adrad clauda@mc.ta.br Edso Luz Zaparol zaparol@mc.ta.br Isttuto Tcológco d Aroáutca, Dpartamto d Erga Pça Marchal Eduardo Goms, 50, Vla das Acácas, São José dos Campos, SP, Brasl. Rsumo. Est trabalho aprsta o fto do úmro d potos da quadratura d Gauss a aáls umérca da protção térmca por ablação utlzado uma abordagm tálpca para mudaça d fas m problmas bdmsoas. a solução umérca dst problma, a dscrtzação o spaço fo fta utlzado-s o método d lmtos ftos d Galrk com um procdmto totalmt mplícto tratvo o tmpo, para capturar o fto do calor latt d ablação durat o dsgast da suprfíc da protção térmca. Por fm, os rsultados obtdos foram comparados com a ltratura spcífca, od fo vrfcada uma boa cocordâca. Palavras chav: ablação, quadratura d Gauss, lmtos ftos, protção térmca, método tálpco. 1. Itrodução Procssos volvdo o fômo d ablação são utlzados m dvrsos campos da ghara. a ára d boghara, por xmplo, utlza-s d procssos ablatvos a cura d taqucarda (Trdma l al., 1997) o tratamto d mopa astgmatsmo (Korz t al., 2000), tr outros. Já o stor arospacal, a ablação é utlzada prcpalmt a protção térmca d vículos d rtrada atmosférca, pos sss vículos, quado do rtoro spacal, são submtdos a tsos aqucmtos arodâmcos, dvdo à covrsão da rga cétca do satélt m calor (Costa Moras Jr, 2002), ocasoada plo atrto tr a strutura do vículo a atmosfra trrstr, durat o procsso d dsaclração do msmo. O fômo d ablação cosst d uma vaporação ou uma próls a suprfíc d um matral submtdo a um lvado fluxo d calor. Sob o poto d vsta d protção térmca tal procsso ocorr dvdo ao aqucmto por atrto, orudo da tração tr o matral ablatvo o scoamto m alta vlocdad. o caso d matras qu s dsgastam por um procsso físco, quado é atgdo o poto d fusão ou d sublmação do matral, s dá íco à ablação. Surg tão, a suprfíc do matral, uma camada líquda ou gasosa, qu é trasportada por covcção, da trfac para a camada lmt. Dvdo às codçõs d rtrada a atmosfra, o matral ablatvo usualmt é vaporzado, s mstura com o gás da camada lmt, rduzdo assm a trasfrêca d calor por covcção aumtado a spssura da camada lmt. a ltratura xst uma grad quatdad d trabalhos qu tratam do problma d ablação. Sutto (1982) faz uma dscrção dos dsvolvmtos cas ocorrdos a década d 50 íco d 60 dos tpos d protçõs térmcas qu utlzam matras ablatvos m aplcaçõs spacas vículos hprsôcos. Cosdrado a codução d calor udmsoal m um cldro sm-fto, Bot t al. (1964) utlzaram uma aáls varacoal para studar o fômo d ablação, cosdrado a codutvdad térmca como fução da tmpratura a capactâca térmca costat. Os autors stablcram uma xprssão para o cálculo da dstâca da ptração da frt d fusão para rgm prmat. Uma solução aproxmada para o problma trastóro d ablação udmsoal com fluxo d calor dpdt do tmpo fo proposta por Z (1978). O autor xplcta os rsultados m fução d duas formas d dpdêca do fluxo d calor com o tmpo, ambas admtdo fluxo d calor como sdo fução mootôca do tmpo. Dz t al. (1999) aprstaram uma solução aalítca para o problma ablatvo udmsoal m quatro gomtras dsttas submtdas a um fluxo d calor cohcdo. Foram utlzadas as téccas da trasformada tgral trasformada tgral gralzada. Os rsultados rfrm-s à profuddad d ablação, vlocdad da frt ablatva prfl d tmpratura. Kurokawa (2003) mprgou a técca da trasformada tgral gralzada para solução do sstma ão lar d quaçõs dfrcas parcas acopladas. A solução do problma fo obtda pla trasformação do sstma d quaçõs

2 Procdgs of ECIT ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004, Papr CIT dfrcas parcas ão lar m um sstma d quaçõs dfrcas ordáras d prmra ordm acopladas tão rsolvdas umrcamt. O autor cosdrou o trabalho a suprfíc xtra do domío sujto a um fluxo d calor trast prscrto. Os rsultados d trss tas como o tmpo d ablação prda total d matral ablatvo foram aprstados comparados com os dspoívs a ltratura. Os prmros trabalhos umércos sobr ablação utlzavam uma abordagm od o sstma d coordadas ra fxo o matral utlzado também. À mdda qu a suprfíc ra dsgastada, lmavam-s sucssvamt, os ós da malha computacoal qu rcobram o domío a rgão qumada. Est procdmto rsultava m uma stabldad umérca. Postrormt, os trabalhos sobr ablação adotaram uma abordagm (o caso udmsoal) od o matral da protção s dslocava m drção à orgm do sstma d coordadas com uma vlocdad gual à vlocdad d dsgast da suprfíc, d modo qu a fac aqucda prmaca smpr a orgm. st procdmto é cssára a dtrmação da vlocdad d dsgast a partr d uma quação obtda através d um balaço d rga a suprfíc aqucda Blackwll (1988). Est últmo autor utlzou o método dos volums ftos com dfrcação xpocal para podrar os trmos covctvos à motat do scoamto a prdção d ablação udmsoal. A abordagm tálpca para mudaça d fas m problmas d ablação fo utlzada por Stort (1995). Est autor cosdrou qu o matral da protção térmca ada vrgm o qumado prtcam a um msmo domío, o prmro com as proprdads térmcas do matral ablatvo o qumado rprstado por uma fas fctíca com calor spcífco ulo, para qu sta fas ão absorvss rga após a quma. a trasção tr stas fass, o matral absorv o calor latt d ablação corporado a talpa como fução da tmpratura. o tato, a mplmtação computacoal da abordagm d Stort (1995), vrfcou-s uma stabldad assocada ao calor spcífco ulo. Para vtar st problma, stablcu-s st trabalho, qu a fas fctíca tha o msmo valor do calor spcífco do matral vrgm, mas com um valor muto alto d codutvdad térmca, rsultado, também, m um alto valor d dfusvdad térmca. Esta abordagm fo tstada para o caso udmsoal os trabalhos d Lt Zaparol (1999), Patalão (2001) Frrra (2002). o prst trabalho, os autors aprstam os rsultados obtdos rlacoados ao fto do úmro d potos da quadratura d Gauss a aáls umérca da protção térmca por ablação utlzado uma abordagm tálpca para mudaça d fas m problmas bdmsoas, os comparam com os rsultados provts da ltratura spcífca. a obtção da solução umérca dst problma, fo ralzada uma dscrtzação o spaço utlzado-s o método d lmtos ftos d Galrk com um procdmto totalmt mplícto tratvo o tmpo, para capturar o fto do calor latt d ablação durat o dsgast da suprfíc da protção térmca. 2. Modlo Matmátco - Formulação tálpca A formulação tálpca utlzada m mudaça d fas para o problma d ablação rqur a trodução d um matral fctíco para rprstar a rgão da protção térmca qu já fo cosumda plo procsso d dsgast. a ablação o fluxo d calor cd drtamt a suprfíc d dsgast dpd d suas proprdads, sto mpõ algumas rstrçõs as caractrístcas do matral fctíco. O fluxo d calor dvdo ao aqucmto arodâmco dpd da tmpratura da suprfíc d ablação (qu a formulação tálpca stá o tror ao domío) para qu a tmpratura da suprfíc orgal tha um valor aproxmado ao da tmpratura d ablação, a codutvdad térmca do matral fctíco dv sr lvada para rduzr os gradts d tmpratura a valors mímos. A quação da rga para a formulação tálpca é dada pla Eq. ( 1 ). H ρ = [ k T ] ( 1 ) t od ρ é a dsdad, H é a talpa, t é o tmpo, k é a codutvdad térmca, T é a tmpratura os símbolos são rspctvamt, os opradors dvrgt o gradt. A rlação tr tmpratura talpa para o matral ablatvo orgal para o matral fctíco dv globar o calor latt d mudaça d fas. É mportat rssaltar qu a talpa sofr uma varação abrupta quado a tmpratura s aproxma da tmpratura d mudaça d fas, coform aprstado a Fg. 1. Além dsso, a capacdad térmca ftva (qu corpora a volução do calor latt d sublmação) td a uma dstrbução dlta d Drac-δ, cosqütmt, ão pod sr rprstada a rgão d pco por uma fução suav, surgdo dfculdads para sua tgração ssa rgão.

3 Procdgs of ECIT ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004, Papr CIT Fgura 1 Proprdads térmcas do matral ablatvo m fução da tmpratura. Para rduzr as stabldads umércas dvdo à varação m dgrau da talpa durat a ablação, supõ-s qu o matral pass pla sublmação m uma faxa d tmpratura T, com uma varação lar para a codutvdad térmca para talpa com a tmpratura, coform dscrto m Patalão (2003). Itroduzdo a dfção do calor spcífco ( c p = H T ) para rduzr o úmro d varávs dpdts do problma, ao msmo tmpo possbltar a mplmtação d um procdmto mplícto d tgração umérca o tmpo, a Eq. (1) tora-s: H H T T ρ = ρ c p [ k T ] t T t = ρ t = ( 2 ) Durat a solução umérca do problma, cada lmto da malha, cuja uão rcosttu o domío, passa plo procsso d ablação tdo part com matral ablatvo part com matral fctíco. st caso dv-s dar atção spcal ao método d avalação do calor spcífco ftvo dst lmto. Para qu m cada poto tro do domío, o calor spcífco ftvo ( Eq ( 3 ) ) captur o fto do calor latt d sublmação, é adotado o squma aprstado pla Eq. ( 4 ): H c pf = ( 3 ) T ( H H ) 1 ( T T ) c = ( 4 ) pf 1 od: H 1 é a talpa o stat - 1 ou ( t t ); H é a talpa o stat ou ( t ); T 1 é a tmpratura o stat - 1 ou ( t t ) T é tmpratura o stat ou ( t ). As codçõs d cotoro para a Eq. ( 2 ) são: T q ( s ) = k ( 5 ) s para a suprfíc xtra sujta ao aqucmto arodâmco. Equato qu a suprfíc tra a codção d cotoro mposta é dada por: T s = 0 ( 6 ) od é a drção ormal à suprfíc.

4 Procdgs of ECIT ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004, Papr CIT a abordagm tálpca ão é cssáro fazr o rastramto da suprfíc d dsgast também ão é cssára a mudaça d codçõs d cotoro do príodo pré-ablatvo para o príodo ablatvo. Como a vlocdad d dsgast da suprfíc m cada poto ão é calculada, há uma cooma d tmpo computacoal, mas qu é palzado pla cssdad d ada s calcular as tmpraturas a rgão d matral fctíco. A vatagm da abordagm tálpca, por ão sr cssáro dtrmar a posção da suprfíc d ablação, tora-s mas mportat m problmas b trdmsoas. 3. Mtodologa d Solução 3.1. Método d Elmtos Ftos Para a solução umérca do problma d ablação fo utlzada a abordagm tálpca, dscrta atrormt, jutamt com a aplcação do método d lmtos ftos d Galrk para a dscrtzação o spaço. Para a tgração o tmpo fo adotado um procdmto totalmt mplícto tratvo. Assm pod-s capturar o fto do calor latt d ablação durat o dsgast da suprfíc da protção térmca assgurar qu a cada passo d tmpo, para todos os lmtos qu stão sofrdo ablação, sja utlzado um valor corrto do calor spcífco ftvo também da codutvdad térmca. A dscrtzação o spaço basada o método d Galrk (Huag Usma, 1994) cosst a mmzação do rsíduo R qu surg quado uma solução aproxmada do campo d tmpratura T é substtuída a quação dfrcal L ( T ) = 0 : Ω R dω= 0 ( 7 ) od: r r dt L( T ) = ( k T ) ρ c = 0, Pf dt K ~ R T = T = L (T ) = 1 od K é o úmro d ós o domío Ω = U Ω (uão dos sub-domíos d cada lmto ); é uma fução d trpolação global qu forc a propagação da fluêca do valor da tmpratura o ó sobr o domío. Aplcado-s o método d rsíduos podrados d Galrk o Torma d Gr (para rduzr a ordm da drvada o trmo dfusvo), a Eq. (7) assum a sgut forma: [ x y ] [ k T x y ] ~ (, ) (, ) dv + ( 8 ) + Ω Ω C pf ~ T dv = t S ~ r [ k T ] ds ; = 1, K od S dca a suprfíc do lmto qu tm trscção com a frotra do domío Ω. os lmtos, qu m dtrmado stat stão passado plo procsso d ablação, o calor spcífco ftvo tm uma varação muto actuada. Para s atgr a prcsão cssára a tgração do últmo trmo do lado squrdo da Eq. (8) adotou-s uma quadratura d Gauss com o úmro d potos mas lvado qu o usual. Em cada poto da quadratura d Gauss o calor spcífco ftvo fo avalado sgudo a Eq. (9) (Morga t al, 1978): dh dt = ( H H 1 ) ( T T ) 1 ( 9 ) ormalmt o calor spcífco ftvo é calculado os ós dos lmtos a partr do valor da tmpratura m cada stat d tmpo para postrormt sr propagado para o tror do lmto, sto é, para os potos da quadratura d Gauss, através d uma fução d trpolação. Uma vz qu a tmpratura é uma fução qu sofr mors varaçõs qu a talpa, dcdu-s st trabalho, dtrmar a tmpratura prmramt m cada poto d Gauss, utlzado para sso a fução d trpolação para tmpratura, para dpos, calcular o calor spcífco ftvo sts potos. Est procsso cofru ao programa uma maor stabldad umérca, já qu as osclaçõs dvdo aos grads gradts a

5 Procdgs of ECIT ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004, Papr CIT fução talpa foram mmzados, uma vz qu a tmpratura s comporta d forma mas stávl qu a talpa. Para a dtrmação da codutvdad térmca fo utlzado um squma aálogo ao usado para dtrmação do calor spcífco ftvo, ou sja, com o valor da tmpratura cohcdo (os potos d Gauss) calculou-s tão a codutvdad térmca para cada um dsss potos. 3.2 Cálculo dos Cofcts da Matrz dos Elmtos O prmro o sgudo trmo do lado squrdo da Eq. (8) dtrmam as tgraçõs a srm calculadas m todo o domío físco do problma, qu corrspodm rspctvamt, à avalação da codutâca da capactâca térmca o tror dos lmtos, quato o trmo do lado drto corrspod ao cálculo do fluxo d calor a frotra do domío, od são mpostas as codçõs d cotoro. A matrz do lmto A srá composta plas cotrbuçõs provts das matrzs d codutâca (Eq. (10)) j d capactâca térmca (Eq. (11)) d cada lmto, rspctvamt chamadas d matrzs d massa [K () ] d rgdz [C () ] do lmto (Ow, 1980). K j j= 1, P g j = [ ] = [ ] = 1, P k j dv w k Ω Ω l = 1 Ω j ( 10 ) C j = Ω C pf j= 1, P Ω j dv = g l= 1 C pf j= 1, P Ω j ( 11 ) od g é o úmro d potos da quadratura d Gauss o tror do lmto, w é o pso atrbuído a cada poto da quadratura d Gauss é um dos lmtos qu cotém o ó. Uma vz obtdas as matrzs d codutâca capactâca térmca m cada lmto, é motada a matrz global (Eq. (12)), rsultado o sgut sstma d quaçõs dfrcas ordáras: [ K ] { T} + [ C] { T& } { Q} = 0 ( 12 ) od: [K] = matrz d codutâca global; [C] = matrz d capactâca global; {T} = matrz-tmpratura, {T & } = matrz drvada da tmpratura; [Q] = matrz-fluxo d calor cdt. Adotou-s um procdmto mplícto o tmpo para s obtr a solução do sstma d quaçõs dfrcas ordáras rprstado pla Eq. (12), d modo qu a cada passo d tmpo rsolv-s um sstma d quaçõs algébrcas. o caso d um rgm trastóro bdmsoal, st sstma d quaçõs rsulta m uma matrz smétrca d cofcts. Utlzou-s um squma umérco para s obtr a solução do sstma quaçõs plo procdmto Profl Solvr, para matrz smétrca (Bath Wlso (1987)). 3.3 Itgração umérca Quadratura Gaussaa A tgras dcadas plas Eq. (10) Eq. (11) srão calculadas umrcamt utlzado a rgra da quadratura Gaussaa aprstada por Bath (1996) Cowpr (1973). As tgras das Eq. (10) Eq. (11) foram obtdas pla fórmula para tgração umérca através da quadratura d Gauss, o lmto tragular d ára S assum a forma da Eq. (13), abaxo. 1 f dr ds = 2 = 1 g w f ( r, s ) ( 13 ) od r s são as coordadas d ára dos g- potos da quadratura d Gauss localzados o tror d cada lmto do domío; w é o pso atrbuído a cada poto da quadratura d Gauss f é a fução avalada, corrspodt aos tgrados das Equaçõs. (10) (11). st trabalho, os potos da quadratura d Gauss o tror do lmto tragular (2D) sus rspctvos psos foram obtdos d uma tabla forcda por Duavat (1985). A Fg. 2 aprsta um lmto tragular com 79 potos a localzação dos rspctvos potos da quadratura d Gauss.

6 Procdgs of ECIT ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004, Papr CIT Fgura 2. Dstrbução dos g-potos da quadratura d Gauss os lmtos tragulars ( 79 potos). As tgras do últmo trmo da Eq. (8) foram obtdos pla quadratura d Gauss (Eq. 14). Os potos da quadratura d Gauss sus rspctvos psos foram obtdos m Abramowtz (1964). g f dr = = 1 w f ( ) r ( 14 ) od r é a coordada lar dos g- potos da quadratura d Gauss localzados a frotra d cada lmto qu cocd com a frotra do domío; w é o pso atrbuído a cada poto da quadratura d Gauss f é a fução avalada, corrspodt ao tgrado do últmo trmo da Eq. ( 8 ). 4. Rsultados st trabalho utlzou-s como rfrêca para comparação dos rsultados obtdos a solução aprstada por Blackwll (1988), qu smulou o dsgast d uma protção térmca d tflo mprgado a abordagm d Stfa. Essa protção térmca é squmatzada a Fg. 3 od q é o fluxo d calor cdt. Fgura 3. Rprstação squmátca do sstma d protção térmca studado. 2 a smulação fo mposto um fluxo d calor cdt q = 2,84 MW m por um príodo d 4 sgudos. As proprdads físcas do tflo utlzadas são dcadas a Tab. 1 quato as do matral fctíco são aprstadas pla Tab. 2. A codção cal d tmpratura fo admtda gual a T = 298 K m todos os ós do domío físco. Tabla. 1 Proprdads físcas do tflo PROPRIEDADE SÍMBOLO VALOR / UIDADE Dsdad 3 ρ 1922 [ kg m ] Codutvdad térmca k 0,22 [ W m K] Calor spcífco a prssão costat cp 1256 [ J kg K ] Calor latt d sublmação H fs 2326 [ MJ kg] Tmpratura d sublmação T m 833 [ K ]

7 Procdgs of ECIT ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004, Papr CIT Tabla. 2 Proprdads físcas do matral qumado (fctíco) PROPRIEDADE SÍMBOLO VALOR / UIDADE Dsdad 3 ρ fc 1922 [ kg m ] Codutvdad térmca k fc 500 [ W m K] Calor spcífco à prssão costat cp fc 1256 [ J kg K ] A codutvdad térmca do matral fctíco fo dfda como sdo gual à 500 [ W m K] uma vz qu o tuto ra obtr uma codutâca o matral fctíco tddo ao fto, como dscutdo atrormt. Para sso, foram ftas dvrsas ttatvas, lvado-s sucssvamt o valor d k fc até a obtção do fto dsjado. A malha computacoal utlzada para obtção dos rsultados aprstados st trabalho é costtuída d 3314 lmtos tragulars ão struturados 1780 ós. A Fg. 4 aprsta sta malha computacoal, para o trvalo d x = 0 até x = l. y x l Fgura 4. Malha computacoal utlzada a mtodologa d solução aplcada ao sóldo rprstado pla Fg Efto do úmro d potos da quadratura d Gauss. As Fgs. 5 a 9 aprstam os rsultados obtdos as smulaçõs umércas comparados com a solução forcda por Blackwll (1988) para o fômo d dsgast a protção térmca por ablação. As fguras m qustão mostram a volução da solução do problma d ablação para um T d mudaça d fas costat gual a 10 K tmpos guas a 0,2 s, 1.0 s, 2,0 s, 3,0 s 4,0s (rspctvamt para as Fgs. 5, 6, 7, 8 9). Além dsso, é comparada m cada um dos gráfcos, a fluêca do aumto do úmro d potos da quadratura d Gauss (o tror d cada lmto do domío) a solução do problma. Pod-s otar, obsrvado a Fg. 5, qu para um stat d tmpo muto pquo (t = 0,2 s) os rsultados obtdos para todos os casos studados (para úmros d potos da quadratura d Gauss guas a 3, 7, 13, 25, 37 79) aprstam uma boa cocordâca quado comparados à solução da abordagm d Stfa aprstada por Blackwll (1988).

8 Procdgs of ECIT ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004, Papr CIT Fgura 5. Comparação dos rsultados obtdos com os forcdos por Blackwll para t = 0,2 s. À mdda qu o tmpo va voludo, surgm rros umércos rlacoados aos altos gradts do calor spcífco ftvo (Eq. 4) d mudaça d fas da codutvdad dtro do lmto, xgdo uma prcsão cada vz maor os rsultados da tgração umérca m cada um dos lmtos a rgão d mudaça d fas. Portato, para mmzar os rros comtdos o cálculo do calor ftvo da codutvdad térmca, faz-s cssáro a utlzação d quatdads cada vz maors d potos da quadratura d Gauss o tror dsss lmtos, aumtado assm a xatdão da solução. Isso pod sr vrfcado as Fgs. 6, 7, 8, 9, od as curvas obtdas para úmro d potos da quadratura d Gauss maors qu 25 covrgram para um msmo rsultado. 900 Tmpratura [ K ] Tmpo = 1s T = 10 K Blackwll (1988) Potos d Gauss = 3 Potos d Gauss = 7 Potos d Gauss = 13 Potos d Gauss = 25 Potos d Gauss = 37 Potos d Gauss = x x x x x10-03 Comprmto [ m ] Fgura 6. Comparação dos rsultados obtdos com os forcdos por Blackwll para t = 1,0 s.

9 Procdgs of ECIT ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004, Papr CIT Tmpratura [ K ] Tmpo=2s T=10 K Blackwll (1988) Potos d Gauss = 3 Potos d Gauss = 7 Potos d Gauss = 13 Potos d Gauss = 25 Potos d Gauss = 37 Potos d Gauss = x x x x10-03 Comprmto [ m ] Fgura 7. Comparação dos rsultados obtdos com os forcdos por Blackwll para t = 2,0 s. 900 Tmpratura [ K ] Tmpo = 3 s T = 10 K Blackwll (1988) Potos d Gauss = 3 Potos d Gauss = 7 Potos d Gauss = 13 Potos d Gauss = 25 Potos d Gauss = 37 Potos d Gauss = x x x x x10-03 Comprmto [ m ] Fgura. 8. Comparação dos rsultados obtdos com os forcdos por Blackwll para t = 3,0 s.

10 Procdgs of ECIT ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004, Papr CIT Tmpratura [ K ] Tmpo=4s T=10 K Blackwll (1988) Potos d Gauss = 3 Potos d Gauss = 7 Potos d Gauss = 13 Potos d Gauss = 25 Potos d Gauss = 37 Potos d Gauss = x x x x x x10-03 Comprmto [ m ] Fgura. 9 Comparação dos rsultados obtdos com os forcdos por Blackwll para t = 4,0 s. À proporção qu ocorr uma volução o tmpo, a frt d mudaça d fas dtrmada computacoalmt sofr um lgro adatamto quado comparada à solução proposta por Blackwll (1988), sdo qu para o tmpo t = 4 s, ocorr a maor aproxmação tr as curvas rlacoadas ao úmro d poto da quadratura Gauss maors gual a 25 a solução advda da ltratura. 5. Coclusõs Os rsultados obtdos st trabalho, rvlaram qu, com o aumto do úmro d potos da quadratura d Gauss o tror d cada lmto, a solução covrg para um rsultado úco, lvado-s a coclur qu, para um dtrmado problma spcífco, a xatdão da solução aumta à mdda qu aumta a quatdad d potos da quadratura d Gauss. Pôd-s obsrvar qu os rsultados obtdos cocordaram com os rsultados da ltratura forcdos por Blackwll (1988) Frrra (2002). Fo vrfcada uma mlhora a cocordâca tr os rsultados obtdos os provts da ltratura (Blackwll, 1988), a mdda qu s aumtava o úmro d potos da quadratura d Gauss ( para uma faxa d tmpratura d mudaça d fas costat). Isso s dv à prcsão da tgração através da quadratura d Gauss mplmtada o programa computacoal, od s cosguu atgr uma tgração com 79 potos da quadratura d Gauss. Uma maor prcsão para solução dst problma podra sr obtdo com um rfamto adcoal da malha, mas sto ão fo possívl st trabalho dvdo à lmtação do qupamto computacoal utlzado. 6. Agradcmto Ao CPq ( procsso º /1999-4) plo apoo para o dsvolvmto dst trabalho. 7. Rfrêcas Abramowtz, M.; STEGU, I. A Hadbook of Mathmatcal Fuctos; Wth Formulas, Graphs ad Mathmatcal Tabls. w York: Dovr, Bath, K. J. 1996, Ft Elmt Procdurs. Eglwood Clffs, J: Prtc-Hall of Ida. Bath, K. J.; Wlso, E. L. 1987, umrcal Mthods Ft Elmts Aalyss. w Dlph: Prtc-Hall of Ida. Bot, M. A.; Agrawal, H. C. 1964, Varatoal Aalyss of Ablato for Varabl Proprts. Joural of Hat Trasfr, august, p Blackwll, B. F. 1988, umrcal Prdcto of O-Dmsoal Ablato Usg a Ft Cotrol Volum Procdur Wth Expotal Dffrcg. umrcal Hat Trasfr, v.14, pp Costa, L. E. V. L; Moras, P. J.,2002 Aspctos d Projto do Escudo Térmco do Prmro Protótpo da Plataforma Orbtal Rcuprávl SARA. I: Cogrsso acoal d Eghara Mcâca, 2.,, João Pssoa, PB. Aas...

11 Procdgs of ECIT ABCM, Ro d Jaro, Brazl, ov Dc. 03, 2004, Papr CIT Cowpr, G. R. 1973, Gaussa Quadratur Formulas for Tragls. Itratoal Joural for umrcal Mthods Egrg, v.7, p Dz, A.J., Campos Slva, J.B., Zaparol, E.L. 1999, Aalytcal Soluto of Ablato Problm wth olar Couplg Equato. Hybrd Mthods Egrg, w York, USA, v. 1,.3, p Duavat, D. A. 1985, Hgh Dgr Effct Symmtrcal Gaussa Quadratur Ruls for th Tragls. Itratoal Joural for umrcal Mthods Egrg,, v. 21, p Frrra, M. V. C. 2002, Ifluêca dos Métodos d Avalação da Capacdad Térmca Eftva os Rsultados da Smulação d Sstma Ablatvo por Sublmação. Dssrtação (Mstrado) Isttuto Tcológco d Aroáutca, São José dos Campos SP. Huag, H. C.; Usmay, A. S. 1994, Ft Elmt Aalyss for Hat Trasfr -Thory ad Softwar. w York: Sprgr-Vrlag. Korz, Mchal C.; 2000, uha, T. Tratmt of Myopa ad Myopc Astgmatsm by Customzd Lasr I Stu Kratomluss Basd o Coral Topography. Amrca Acadmy of Ophthalmology, ISS /00. Kurokawa, F. Y. 2003, Estudo Híbrdo Aalítco/umérco da Equação d Dfusão Bdmsoal m Sóldos com Protção Térmca Ablatva, Dssrtação (Mstrado m Eghara Mcâca), Uvrsdad Estadual Paulsta - UESP, Ilha Soltra - SP. Lt, R. M. G.; Zaparol, E. L. 1999, Aplcação da Técca d Elmtos Ftos para a Solução d um Problma d Ablação Utlzado uma Abordagm Etálpca. I: XV Cogrsso Braslro d Eghara Mcâca, Águas d Ldóa, SP, Brasl. Aas... Morga, K.; Lws, R. W.; Zkwcz, O. C. 1978, A Improvd Algorthm for Hat Coducto Problms wth Phas Chag. Itratoal Joural for umrcal Mthods Egrg, v.12, p Ow, D. E. J.; Hlto, E. 1980, A Smpl Gud to Elmt Fts. Swasa, UK: Prdg Prss Ltd. Patalão, A. V. d Marco, F.C.G, Zaparol, E, L, Frrra, M. V. C., d Adrad, C. R.,. 2001, Ifluêca da Técca d Itrpolação das Proprdads Térmcas a Abordagm Etálpca m Ablação. I: Cogrsso Braslro d Eghara Mcâca, 16., Ubrlâda, MG, Brasl. Aas... Patalão, A. V., 2003, Aáls Bdmsoal d Protção Térmca por Ablação, Ts (Doutorado), Isttuto Tcológco d Aroáutca - ITA, São José dos Campos - SP. Stort, M., 1995, umrcal Modlg of Ablato Phoma as Two-phas Stfa Problms. It. J. Hat Mass Trasfr, v. 38,. 15, p Sutto, G. W.,1982, Th Ital of Ablato Hat Protcto A Hstorcal Prspctv. Joural ad Spaccraft ad Rockts, v.19, º 2, p Trdma, Joh K. t al. 1997, Effcacy of Radofrqucy Ablato for Cotrol of Itraatral Rtrat Tachycarda Patts Wth Cogtal Hart Dsas. JACC, v.30, º 4, p Z, T. F.,1978 Itgral Solutos of Ablato Problms wth Tm-Dpdt Hat Flux. AIAA Joural, v.16, º12, Dcmbr 8. Drtos autoras Os autors são os úcos rsposávs plo cotúdo do matral mprsso cluído o su trabalho. THE EFFECT OF GAUSSIA POITS UMBER O UMERICAL AALYSIS OF ABLATIO THERMAL PROTECTIO Aluso Vas Patalão aluso@mc.ta.br Clauda Rga d Adrad clauda@mc.ta.br Edso Luz Zaparol zaparol@mc.ta.br Isttuto Tcológco d Aroáutca, Dpartamto d Erga Pça Marchal Eduardo Goms, 50, Vla das Acácas, São José dos Campos, SP, Brasl. Abstract Ths work prsts th ffct of Gaussa pots umbr aalyss of ablato thrmal mployg th thalpy approach for phas chag two-dmsoal problms. For th umrcal soluto, th spac dscrtzato was mad usg th Galrk ft lmts mthod wth a mplct ad tratv procdur tm, to captur th ffct of th ablato latt hat durg th thrmal protcto surfac cosumpto. Fally, th rsults wr compard wth th spcfc ltratur obtag a good agrmt. Kywords: ablato, Gaussa quadratur, ft lmt, thrmal protcto, thalpy