UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JUSSARA MALLIA ZACHI

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1 usp NIVERSIDADE ESTADAL PALISTA FACLDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA JSSARA MALLIA ZACHI SIMLAÇÃO NMÉRICA DE ESCOAMENTOS DE FLIDOS PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS BASEADO EM VOLMES DE CONTROLE EM MALHAS NÃO ESTRTRADAS Ilha Soltra, dzmbro d 2006.

2 Lvros Gráts Mlhars d lvros gráts para dowload.

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4 usp NIVERSIDADE ESTADAL PALISTA FACLDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA SIMLAÇÃO NMÉRICA DE ESCOAMENTOS DE FLIDOS PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS BASEADO EM VOLMES DE CONTROLE EM MALHAS NÃO ESTRTRADAS JSSARA MALLIA ZACHI Dssrtação aprstada à Faculdad d Eghara d Ilha Soltra NESP, como part dos rqustos para obtção do título d Mstr m Eghara Mcâca. ORIENTADOR: PROF. DR. JOÃO BATISTA CAMPOS SILVA Ilha Soltra, dzmbro d 2006.

5 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pla Sção Técca d Aqusção Tratamto da Iformação - Srvço Técco d Bblotca Documtação da NESP - Ilha Soltra. Z6s Zach, Jussara Malla Smulação umérca d scoamtos d fludos plo método d lmtos ftos basado m volums d cotrol m malhas ão struturadas / Jussara Malla Zach. -- Ilha Soltra : [s..], p. : l. Dssrtação mstrado - vrsdad Estadual Paulsta. Faculdad d Eghara d Ilha Soltra, 2006 Ortador: João Batsta Campos Slva Bblografa: p Navr-Stoks, Equaçõs d. 2. Método dos lmtos ftos. 3. Volums d cotrol. 4. Smulação d grads scalas d turbulêca.

6 CERTIFICADO DE APROVAÇÃO ATORA: JSSARA MALLIA ZA Aprovada com part das xgêcas Prof. Dr. EDSON LIZ ZAP ARO Prof. Dr. JOÃO BATISTA CAMPOS... Dpartamto d IS:! NI ':JÚ DE ME EST FIL PA TÍT Smu Num Esc Fl p Mé de usp ORIE ADOR F Pro Bas Dr. JOÃ m Vol BA TIS d ACA Co m Ma ã SII Campus d Ilha Soltra Dpartamto d Eghara Mcâca / Faculdad d Eghara d Ilha Soltra Data da ralzação: 8 d dzmbro d Prsdt da ~~amadora

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8 Aos mus pas, Marcílo Cluza. À mha rmã Julaa.

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10 AGRADECIMENTOS A Dus, por tr m cocddo força prsvraça para coclur ss trabalho. Em spcal à mha famíla; aos mus qurdos pas, qu, codcoalmt fazm das mhas coqustas, as suas mtas, plas suas oraçõs, coslhos stímulos para a ralzação dss trabalho plo grad amor m todos os momtos bos rus da mha vda. Aos mus avós Salvador, Mara Josfa, Laudlo Mara, plo carho rcbdo à mha rmã Julaa plo compahrsmo. Ao profssor José Robrto Nogura, plo ctvo por m fazr acrdtar m mha capacdad m cursar um curso d pós-graduação. Ao mu ortador, João Batsta Campos Slva pla cofaça qu smpr dpostou m mm, plos samtos, pla pacêca por sr uma pssoa tão spcal qurda qu fcará para smpr m mha lmbraça. Ao mu amorado Glso, plo apoo as horas dfícs, por todo o carho, pacêca por tatos momtos flzs. Aos colgas do curso d pós-graduação, m spcal, às mhas amgas d rpúblca Vassa, Kétr, Rosa, Edl, Márca, Cc, Yasm, Marza, Patríca Cláuda aos mus amgos Lus Hrqu Gazta, Odacr, Gustavo, Adrao, Marcos, Rchardso, Lucao, Robrta, Fabaa Adraa pla auda atrbuída smpr qu cssáro plos momtos d dscotração. Às amgas d Osvaldo Cruz, Edlamara, Josla, Jaa, Marcla Iva, plo stímulo ctvo. Aos fucoáros do Dpartamto d Eghara Mcâca, Ela, Érca, Alx, Elas, Ds, Ja, João su Admr pla auda codcoal m todos os momtos. Aos profssors do Dpartamto d Eghara Mcâca, m spcal a José Lus Gasch, rsposávl por boa part dos mus cohcmtos adqurdos. Efm, a todos qu d crta forma cotrbuíram para a ralzação dssa dssrtação, o mu muto obrgada a mha tra gratdão.

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12 Dus ão scolh o capactado, mas capacta oscolhdo. Albrt Est

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14 RESMO Zach, Jussara Malla, Smulação Numérca d Escoamtos d Fludos plo Método d Elmtos Ftos Basado m Volums d Cotrol m Malhas ão Estruturadas, Ilha Soltra, Faculdad d Eghara d Ilha Soltra NESP, 2006, 57 p., Dssrtação Mstrado m Eghara Mcâca. O obtvo prcpal dst trabalho é a smulação umérca d scoamtos d fludos comprssívs plo método d lmtos ftos basado m volums d cotrol CVFEM utlzado a mtodologa d smulação das grads scalas. As quaçõs govrats são fltradas para a smulação das varávs d grads scalas as scalas sub-malhas, qu aparcm dvdo ao procsso d fltragm, são modladas por mo do modlo d vscosdad turbulta d Smagorsky. O domío é dscrtzado m malha ão struturada formada por lmtos ftos tragulars d ss ós as quaçõs são tgradas m volums d cotrol formados m toro dos ós dos lmtos. O prst códgo umérco fo valdado aplcado-o a algus problmas-tsts os rsultados, comparados com os dspoívs a ltratura. Os casos tsts foram o scoamto m uma cavdad quadrada duzdo plo movmto da pard supror, scoamto por covcção atural m uma cavdad quadrada. Os rsultados obtdos, o prst trabalho, cocordaram com os rsultados da ltratura. Palavras-chav: Equaçõs d Navr-Stoks, método d lmtos ftos, volums d cotrol, scoamto comprssívl, smulação d grads scalas d turbulêca.

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16 ABSTRACT Zach, Jussara Malla, Numrcal Smulato of Flud Flows by a Cotrol Volum-Ft Elmt Mthod structurd Mshs, Ilha Soltra, Faculdad d Eghara d Ilha Soltra NESP, 2006, 57 p., Dssrtação Mstrado m Eghara Mcâca Th ma purpos of ths work s th umrcal smulato of comprssbl flud flows by a cotrol volum ft lmt mthod CVFEM usg th mthodology of larg-ddy smulato. Th doma s dscrtzd usg ustructurd msh of sx-odd tragular ft lmts ad th quatos ar tgratd to cotrol volums aroud th ods of th ft lmts. Th govrmt quatos ar fltrd for smulato of th larg scals varabls ad th sub-grd scals apparg du to th fltrg procss ar modld through th ddy vscosty modl of Smagorsky. Two-dmsoal bchmark problms ar solvd to valdat th umrcal cod ad th rsults ar prstd ad compard wth avalabl rsults from th ltratur. Th tst cass wr th ld-drv cavty flow ad atural covcto flow sd a squar cavty. Th obtad rsults, th prst work, agr wth rsults from th ltratur. Kywords: Navr-Stoks quatos, ft lmt mthod, cotrol volum, comprssbl flow, larg ddy smulato.

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18 LISTA DE SÍMBOLOS Ltras Latas 2 A - ára d um volum d cotrol [m ] I - oprador dfrcal c - costat admsoal C s - costat d Smagorsky c p - calor spcífco à prssão costat [ J KgK ] f - compot rprstatva das grads scalas da turbulêca f ' - compot rprstatva das pquas scalas da turbulêca g - compot da aclração da gravdad a drção do xo G x r r x' - fução fltro spacal Gr - úmro d Grashof K - codutvdad térmca x [m s] 2 [W/mK] k - rga cétca turbulta [ J Kg] l c - comprmto caractrístco do fltro l d - mor scala da turbulêca scala dsspatva d Kolmogorov L - maors struturas turblhoars comprmto caractrístco Ngl - úmro d graus d lbrdad [m] [m] [m] N β - fução d trpolação para as vlocdads N β ' - fução d trpolação para a prssão p 0 - prssão d rfrêca p - prssão dmsoal p t - prssão modfcada pla trodução d k a prssão státca 2 [N/ m ] 2 [N/ m ] 2 [N/ m ]

19 P - prssão admsoal Pr - úmro d Pradtl Pr t - úmro d Pradtl turbulto q ''' - taxa d gração d calor [W m ] q t - fluxos d calor submalha Ra - úmro d Raylgh R - úmro d Ryolds R t - úmro d Ryolds turbulto S - taxa d dformação [ s ] S - trmo fot a quação d quatdad d movmto a drção x u φ S - trmo fot uma quação d trasport para a varávl φ T - tmpratura * t - coordada do tmpo dmsoal [] s t - coordada do tmpo admsoal u - compot d vlocdad dmsoal a drção do xo x u0 - vlocdad caractrístca do scoamto [K] [m/s] [m/s] u - compot d vlocdad m otação tsoral cartsaa a drção do xo [m/s] 3 u - compot da vlocdad fltrada a drção do xo x [m/s] - compot d vlocdad admsoal a drção do xo - compot d vlocdad admsoal m otação tsoral cartsaa a drção do xo v - compot d vlocdad dmsoal a drção do xo y [m/s] 3 V - compot d vlocdad admsoal a drção do xo Y [m ] - abscssa admsoal o sstma d coordadas cartsaas x - abscssa do sstma d coordadas cartsaas m otação tsoral - xos do sstma d coordadas cartsaas m otação tsoral Y - ordada admsoal o sstma d coordadas cartsaas y - ordada o sstma d coordadas cartsaas m otação tsoral W - fução pso

20 Ltras Grgas α - ídc qu dca o úmro do ó local, ou do subvolum d cotrol m um lmto. β - cofct d xpasão térmca [ K] δ - dlta d Krockr - spssura do fltro η - ordada do sstma d coordadas locas o lmto d rfrêca [m] µ - vscosdad dâmca [Kg/ms] µ 0 - vscosdad absoluta d rfrêca [Kg/ms] µ - vscosdad dâmca ftva [Kg/ms] µ t - vscosdad dâmca turbulta [Kg/ms] ν - vscosdad cmátca [ m 2 s ] ν - vscosdad cmátca ftva [ m 2 s ] ν t - vscosdad cmátca turbulta [ m 2 s ] ξ - abscssa do sstma d coordadas locas o lmto d rfrêca φ - varávl qualqur a quação d trasport d um scalar - scalar Ψ - fução d corrt - massa spcífca 3 [ Kg/m ] - dsdad d rfrêca 3 [ Kg/m ] 0 θ - tmpratura admsoal φ Γ - cofct d dfusão da varávl φ τ - tsor submalha ω - compot do vtor rotação a drção do xo x [s] Ídcs Suprors - gradza avalada o tmpo t - gradza avalada o tmpo t t

21 k - tração atror o procsso d solução um tmpo t qualqur k - tração k crmtada o procsso d solução um tmpo t qualqur * - gradza a forma dmsoal Ídcs Ifrors - drção do xo o sstma d coordadas α - subvolum d cotrol assocado a um ó d lmto β - fução d trpolação assocada ao ó d um lmto 0 - uma varávl, ou proprdad m um stado d rfrêca Abrvaçõs EDP - Equação Dfrcal Parcal CFD - Dâmca dos Fludos Computacoal CVFDM - Método d Dfrças Ftas basado m Volums d Cotrol CVFEM - Método d Elmtos Ftos basado m Volums d Cotrol DNS - Smulação Numérca Drta FDM - Método d Dfrças Ftas FEM - Método d Elmtos Ftos FVM - Método d Volums Ftos LES - Smulação das Grads Escalas RANS - Equaçõs Médas d Ryolds WRM - Método d Rsíduos Podrados Sglas DEM - Dpartamto d Eghara Mcâca FEIS - Faculdad d Eghara d Ilha Soltra NESP - vrsdad Estadual Paulsta Júlo d Msquta Flho

22 LISTA DE FIGRAS Fgura. - Vsualzação do scoamto a usat d uma pqua quda dágua sboçada por Da Vc Slvra Nto, Fgura 2. - Dscrtzação struturada Malska, Fgura Dscrtzação ão-struturada Malska, Fgura 3. - Fução f x sua compot fltrada Tada-Martíz, Fgura 4. - Elmto com cotoros parabólcos Dhatt Touzot, Fgura Domío d forma rrgular dscrtzado m trâgulos d ss ós...70 Fgura Elmtos utlzados para a dscrtzação das quaçõs d quatdad d movmto d trasport d um scalar qualqur....7 Fgura Malha computacoal formada por volums d cotrol para a tgração das quaçõs d quatdad d movmto d trasport d um scalar qualqur...72 Fgura Elmtos utlzados para a dscrtzação das quaçõs d cotudad...72 Fgura Malha computacoal formada por volums d cotrol para tgração da quação d cotudad...73 Fgura Mapamto d lmtos...87 Fgura Itrfacs dos subvolums d cotrol utlzadas as tgras d fluxos covctvo dfusvo...93 Fgura Arrao das varávs u, p, v localmt m um lmto Fgura Dfção d frot omclatura usada o método frotal Fgura 4. - Ilustração da formação do ídc das varávs a matrz global...98 Fgura Formação do vtor cotdo o ídc global do prmro grau d lbrdad por ó...98 Fgura Formação do vtor cotdo o úmro d graus d lbrdad por ó...99 Fgura Estrutura do programa computacoal...00 Fgura 5. - Gomtra codçõs d cotoro da cavdad quadrada Fgura Cavdad quadrada dscrtzada m 744 lmtos...08 Fgura 5.3a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R Fgura 5.3 b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad para R Fgura 5.4a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R

23 Fgura 5.4b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R Fgura 5.5a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R Fgura 5.5b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R Fgura 5.6a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R.000 Cs0, Fgura 5.6b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R.000 Cs0, Fgura 5.7a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R.000 Cs0, Fgura 5.7b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R.000 Cs0, Fgura 5.8a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R.000 Cs0, Fgura 5.8b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R.000 Cs0, Fgura 5.9a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R.000 Cs 0, Fgura 5.9b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R.000. Cs 0, Fgura 5.0a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R Cs0, Fgura 5.0b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad para R Cs0, Fgura 5. - Lhas d corrt para R Fgura Lhas d corrt para R Fgura Lhas d corrt para R Fgura Lhas d corrt para R.000 Cs0, Fgura Lhas d corrt para R.000 Cs0, Fgura Lhas d corrt para R.000 Cs0, Fgura Lhas d corrt para R Cs0, Fgura 6. - Gomtra codçõs d cotoro para o scoamto por covcção atural... 28

24 Fgura 6.2a - Varação tmporal do prfl d vlocdad V a lha méda horzotal da cavdad quadrada, para Y0,5 Ra Fgura 6.2b - Varação tmporal do prfl d vlocdad V a lha méda horzotal da cavdad quadrada, para Y0,5 Ra Fgura 6.2c - Varação tmporal do prfl d vlocdad a lha méda horzotal da cavdad quadrada, para Y0,5 Ra Fgura 6.3a - Lhas d corrt do scoamto por covcção atural uma cavdad quadrada para Ra Fgura 6.3b - Lhas d corrt do scoamto por covcção atural uma cavdad quadrada para Ra Fgura 6.4 Lhas sotérmcas o scoamto por covcção atural m uma cavdad quadrada, para Ra Fgura 6.5 Lhas sotérmcas o scoamto por covcção atural m uma cavdad quadrada, para Ra Fgura 6.6 Lhas sotérmcas o scoamto por covcção atural uma cavdad quadrada, para Ra0.000 Campos-Slva, Fgura 6.7 Lhas Isotérmcas o scoamto por covcção atural m uma cavdad quadrada, para Ra

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26 LISTA DE TABELAS Tabla 4. - Fuçõs d trpolação suas drvadas para trâgulo d três ós...82 Tabla Fuçõs d trpolação suas drvadas para trâgulo d ss ós Tabla Coordadas psos d Gauss para áras cotoros Tabla 5. - Valors das lhas d corrt para um scoamto duzdo uma cavdad quadrada para R00, Tabla Valors das lhas d corrt para um scoamto duzdo uma cavdad quadrada para R000 Cs0,76, 000 Cs0, Tabla Escoamto duzdo m uma cavdad quadrada, R Tabla Escoamto duzdo m uma cavdad quadrada, R Tabla 6. - Valors das lhas d corrt para um scoamto por covcção atural uma cavdad quadrada para dfrts úmros d Raylgh...34 Tabla Comparação d rsultados para valors máxmos da fução d corrt vlocdad vrtcal....35

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28 SMÁRIO PREÂMBLO - INTRODÇÃO As Equaçõs d Navr-Stoks Dâmca dos Fludos Computacoal Smulação d Escoamtos Turbultos Motvação Obtvos do Trabalho Rvsão Bblográfca FNDAMENTOS TEÓRICOS PARA A CONSTRÇÃO...45 DO MODELO NMÉRICO Modlo Matmátco Métodos Numércos Malhas Estruturadas Não-Estruturadas O Arrao das Varávs Dpdts a Malha Sstma d Equaçõs a sr Rsolvdo Caractrístcas do Acoplamto Prssão-Vlocdad MODELO MATEMÁTICO Itrodução Equaçõs Govrats Tratamto da Turbulêca - Smulação d Grads Escalas Procsso d Fltragm das Equaçõs d Sparação das Escalas Modlagm Submalha da Turbulêca: Modlo d Smagorsky Admsoalzação das Varávs DESENVOLVIMENTO DO MODELO NMÉRICO Itrodução Dscrtzação dos Domíos para Problmas Bdmsoas Obtção das Equaçõs Dscrtzadas Dscrtzação Tmporal Dscrtzação Espacal Cálculo das Matrzs os Elmtos Solução do Sstma d Equaçõs Dscrtzadas Estrutura do Programa Computacoal 00

29 5 - APLICAÇÕES DO MODELO NMÉRICO PARA ESCOAMENTOS ISOTÉRMICOS Escoamto uma Cavdad Quadrada com Pard Supror Dslzat Gomtra Codçõs d Cotoro Equaçõs Govrats Dscrtzação do Domío APLICAÇÕES DO MODELO NMÉRICO PARA ESCOAMENTOS NÃO ISOTÉRMICOS Escoamto por Covcção Natural m uma Cavdad Quadrada Gomtra Codçõs d Cotoro CONCLSÕES E SGESTÕES PARA TRABALHOS FTROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A - O MÉTODO DOS RESÍDOS PONDERADOS... 5 A. - O Método dos Rsíduos Podrados 5 A. - Método d Elmtos Ftos d Bubov-Galrk A.2 - Método d Elmtos Ftos d Ptrov-Galrk A.3 - Método d Elmtos Ftos d Mímos Quadrados A.4 - Método d Elmtos Ftos d Colocação A.5 - Método d Subdomío APÊNDICE B - APROIMAÇÃO DE BOSSINESQ... 55

30 PREÂMBLO O prst trabalho s sr a lha d psqusa dsvolvda o Laboratóro d Mcâca dos Fludos Computacoal da sp - Ilha Soltra. O obtvo da lha d psqusa é dsvolvr frramtas para smular scoamtos com trasfrêca d calor /ou massa utlzado métodos d lmtos ftos as suas váras vrsõs. No prst caso, o trabalho fo subdvddo m st capítulos, cuos cotúdos srão dscrtos a sgur. No prmro Capítulo é fta uma trodução mostrado algus aspctos prcpas da dâmca dos fludos computacoal; um rsumo sobr scoamtos turbultos as mtodologas dspostas a ltratura;, por fm, a motvação, os obtvos uma brv rvsão bblográfca. No Capítulo 2 é aprstado um rsumo sobr os métodos dspoívs para o cálculo d scoamtos, com êfas o método d lmtos ftos basado m volums d cotrol CVFEM; os tpos d malha qu podm sr mprgadas a dscrtzação do domío o arrao das varávs dpdts a malha computacoal. O Capítulo 3 trata do modlo matmátco, o qual globa a fltragm das quaçõs govrats utlzado a modlagm da turbulêca a admsoalzação das varávs. No Capítulo 4 é aprstado o dsvolvmto do modlo umérco, sgudo-s algus passos báscos para as mplmtaçõs do modlo umérco. No Capítulo 5 são aprstadas algumas aplcaçõs do programa computacoal dsvolvdo, para o caso d scoamto sotérmco m uma cavdad quadrada com a tampa supror dslzat ld-drv cavty flow; problma ss qu, apsar da smplcdad da gomtra, s trasformou um dos problmas padrõs, bastat utlzado para a valdação d códgos computacoas, pla complxdad do scoamto dvdo às rcrculaçõs. Ess tpo d scoamto pod aparcr, por xmplo, m câos urbaos m aroavs.

31 O Capítulo 6 aprsta aplcaçõs do programa computacoal dsvolvdo, para o caso do scoamto por covcção atural m uma cavdad quadrada. Tal problma também costuma sr muto xplorado para a valdação d códgos umércos. Falmt, o Capítulo 7, são aprstadas as prcpas coclusõs do trabalho, bm como as sugstõs para trabalhos futuros. Além dos st capítulos, o prst trabalho aprsta dos apêdcs. No Apêdc A é fta uma aprstação do método dos rsíduos podrados MWR, bm como das rspctvas fuçõs d podração qu dão orgm aos prcpas métodos umércos. O Apêdc B traz o quacoamto rlacoado à aproxmação d Bousssq, a qual srá utlzada a solução do problma d scoamto por covcção atural.

32 - INTRODÇÃO. - As Equaçõs d Navr-Stoks O ar a água dos ros mars stão costatmt m movmto. O movmto dsss gass líqudos fludos é chamado scoamto a mcâca dos fludos é a ára qu studa sss scoamtos Nakayama, 993. Não xst dúvda quato à mportâca dos cohcmtos qu volvm os fômos físcos qu ocorrm a aturza com matras fludos. O tdmto d tas fômos tm prmtdo ao homm um avaço crsct o dsvolvmto técco, propcado-lh mlhors codçõs d sobrvvêca. Schozr, 996. O dsvolvmto da mcâca dos fludos fo cado ats d Crsto. Houv uma época obscura até o Rascmto, quado as aplcaçõs, sm o prfto cohcmto do comportamto dos fômos, podram sr cosdradas mas art do qu propramt cêca. O homm, dsd sus prmórdos smpr s catou com o movmto das águas dos vtos, á aqula ocasão, coctos d arodâmca hdrodâmca ram mprgados, ada qu tutvamt. Os gípcos possuíam rlógos d água; Arstótls a.c. fo o prmro a dscrvr o prcípo da cotudad; Arqumds a.c., plo su prcípo, dfu as codçõs para qu um corpo, quado mrgulhado m um fludo, flutuass ou ão. Os romaos costruíram aqudutos para trasportar água para as suas cdads. O gêo Loardo da Vc , o século V, sugru, tr outras cosas, formas qu rduzam o arrasto d barcos a água, além d dduzr a quação da cosrvação da massa para scoamtos udmsoas m rgm prmat. Exímo xprmtalsta,

33 32 suas aotaçõs cotêm dscrçõs prcsas d odas, atos, rssaltos hdráulcos, formação d vórtcs, protos d baxo arrasto alhados com o scoamto alto arrasto pára-qudas Wht, 999. Em 586, Smo Stv publcou Estátca Hdrostátca, um tratado matmátco sobr a mcâca dos fludos como ra cohcda até tão. Hstorcamt, a mcâca dos fludos procupou-s m studar sss movmtos xprmtalmt muto ats do qu matmatcamt, até msmo porqu, a dscrção matmátca dsss movmtos só fo possívl a partr do século I com as quaçõs d Navr-Stoks. Essas quaçõs comçaram a sr dduzdas a partr do século VIII por Loard Eulr , rsposávl pla formulação matmátca do scoamto d fludos víscdos. Os fracss Claud Navr Smo Posso , m 827 m 83, rspctvamt, troduzram as quaçõs d Eulr, os ftos da vscosdad, aalsado as forças trmolculars m um scoamto d fludo. Em 843, ssas quaçõs foram dduzdas ovamt, dsta vz plo fracês Barr d Sat-Vat m 845, plo glês Gorg Stoks qu, avalado macroscopcamt o movmto do fludo as forças qu lh dão orgm, troduzram pla prmra vz o cocto d tsão d csalhamto como uma fução lar da taxa d dformação. Além dsso, troduzram também o cocto d prssão trmodâmca um poto qualqur do scoamto como sdo gual à méda artmétca das tsõs ormas agdo aqul poto. Assm, obtvram a quação vtoral para o balaço d quatdad d movmto, qu, aplcada a fludos wtoaos, é cohcda como as quaçõs d Navr- Stoks Frgo, Embora a úca rstrção para a aplcação d tas quaçõs sa a d qu o mo dva sr cotíuo, a solução aalítca dssas quaçõs tora-s xtrmamt complxa, ada mas quado sutas a rgõs arbtráras com codçõs d cotoro gércas. Além dsso, apsar d formarm um sstma fchado, o qual o úmro d quaçõs é gual ao úmro d cógtas, trata-s d um sstma d quaçõs dfrcas parcas EDPs fortmt ãolars a tora matmátca dssa class d quaçõs ada ão stá sufctmt dsvolvda para rsolvê-las. Por ssa razão, é qu o studo do movmto dos fludos d sus ftos, além dos métodos aalítcos, utlzam-s também saos xprmtas métodos umércos. A grad vatagm do uso da mtodologa xprmtal é o fato d tratar com a cofguração ral do problma, trtato, o fômo m studo m smpr é passívl d rprodução m laboratóro, pod sr d altíssmo custo mutas vzs ão pod sr ralzado

34 33 por qustõs d sguraça, como é o caso da trasfrêca d calor o úclo d rators uclars Malska, 995. Em vsta dsso, váras mtodologas foram dsvolvdas para rsolvr umrcamt ss couto d quaçõs. A partr dos aos 60, com o otávl avaço dos computadors sua crsct dspobldad as uvrsdads ctros d psqusa, programas d smulação capazs d rprstar dfrts tpos d scoamtos passaram a sr mplmtados. Assm, surgu a Dâmca dos Fludos Computacoal Malska, Dâmca dos Fludos Computacoal Sgudo Saabas 99, a smulação computacoal d scoamtos d fludos rqur: um modlo matmátco do problma físco, o qual dv clur quaçõs dfrcas, modlos d turbulêca codçõs d cotoro qu govrm a dstrbução das varávs dpdts dscohcdas a rgão d trss; 2 um método umérco para a solução do modlo matmátco m domíos d formas rgulars rrgulars;, 3 uma mplmtação computacoal do método umérco. O modlo matmátco m couto com um procdmto d solução umérca é cohcdo como modlo umérco. A smulação umérca m Mcâca dos Fludos Trasfrêca d Calor, cohcda como CFD Computatoal Flud Dyamcs é a ára da computação ctífca qu studa métodos computacoas para a smulação d fômos qu volvm scoamtos d fludos, com ou sm trocas d calor. Algus dos prcpas trabalhos qu cotrbuíram, ada m um stágo cal, para o avaço da CFD são ctados a sgur. Grbl t al. 998 cta qu o prmro trabalho a rsolvr umrcamt quaçõs dfrcas parcas drtamt aplcadas à dâmca dos fludos fo fto por Thom, m 933, o qual utlzou uma dscrtzação por dfrças ftas com spaçamtos spacas mas rfados m áras spcífcas d trss o domío d cálculo. Naqula época á ra possívl prvr as possbldads d solução d problmas d mcâca dos fludos por mo da solução umérca; o tato, os computadors dgtas ada ão stavam dspoívs, o qu vablzava a aplcação. Roach 998 rlmbra qu mutos trabalhos poros m CFD foram ralzados o laboratóro ctífco d Los Alamos. Etr ls dstacam-s os trabalhos d Joh Vo Nwma, o qual dsvolvu um crtéro d stabldad para quaçõs parabólcas m

35 34 dfrças ftas, aprstado um método para aáls d sstmas larzados. Em su trabalho com Rtchmyr, fo troduzdo, pla prmra vz, o cocto d vscosdad artfcal, o qual troduz um fto vscoso com o obtvo d dsspar a solução, suavzado os gradts spalhado o prfl. Na década d 50, surgram város métodos umércos para o tratamto d quaçõs dfrcas parcas, como o método Altratg Drcto Implct ADI. Na década d 60 surgram város trabalhos qu possbltaram vrfcar, a prátca, a potcaldad dos métodos umércos, spcalmt para a solução d scoamtos vscosos comprssívs. m método umérco dssa msma década qu s torou rapdamt popular fo o Markr-ad-cll MAC dscrto por Harlow & Wlch 965 dsvolvdo o laboratóro d Los Alamos. Grbl dstaca qu apsar d sua smplcdad, o método é surprdtmt flxívl fct, além d sr d fácl tdmto, por sso, cotua a sr usado até os das atuas. Fo também um dos prmros métodos a utlzar um arrao dslocado a malha. O método MAC rcbu mutos sforços mlhoras qu mrcm sr ctadas, como o método Smplfd MAC SMAC d Amsdm & Harlow 970 o método SOLA d Hrt & Cook 972 qu, como dscrto por Fortua 2000, smplfca a mplmtação das codçõs d cotoro para a prssão o método MAC. Roach 998 cta qu o artgo d Harlow & Fromm 965 marcou claramt o aparcmto da CFD como um mportat assuto a mrcr sforços da comudad ctífca. Bascamt, o usuáro da CFD stá trssado m obtr as dstrbuçõs d vlocdads, prssõs tmpraturas a rgão do scoamto, poddo, assm, otmzar o proto, rduzdo os custos opracoas mlhorado o dsmpho do tm protado. Por xmplo, a rdução o arrasto arodâmco d uma aroav prmt rduzr o su cosumo d combustívl. A facldad d aplcação dsss métodos umércos o dsvolvmto d computadors d alta vlocdad d grad capacdad d armazamto fzram com qu houvss uma grad actação dsss métodos por part dos trssados. Essa ára tv um grad dsvolvmto os últmos aos Malska, 995. O uso d métodos umércos d forma alguma mplca qu a mcâca dos fludos xprmtal as aálss tórcas stam sdo postas d lado. É muto comum as três téccas s complmtarm durat um proto qu volva scoamto d fludos o studo d modlos tórcos para algum fômo partcular, tal como a turbulêca.

36 35 O obtvo básco da CFD é rduzr o úmro d xprmtos xplorar fômos qu ão podram sr studados m laboratóros d forma prátca. tlzado as téccas da CFD, podm-s avalar umrcamt os dvrsos parâmtros rlvats do problma, os quas podm sr faclmt altrados até qu o rsultado da smulação atda às xgêcas do proto. Nos últmos aos ssa ára gahou mutos adptos, tato qu os das atuas ssas smulaçõs stão sdo muto utlzadas por ghros, por psqusadors protstas para a prvsão do comportamto d um dtrmado produto d ghara, ou uma stuação físca sdo mposta a dvdas codçõs d cotoro. Além dsso, como á mcoado, ssa forma d abordagm o custo o prazo d obtção d rsultados umércos são, m gral, bastat frors àquls rqurdos para a ralzação d tsts xprmtas. Em algus casos, o uso da CFD é o úco mo para s ttar prvr o comportamto dos scoamtos. m xmplo típco é o scoamto dtro d rators uclars, od xst uma grad dfculdad d ralzação d xprmtos para s dtctar codçõs d falha. Outros xmplos m qu s usa CFD são: cálculo d susttação arrasto m foguts; scoamtos m toro d mísss; scoamto d ar o tror d motors d combustão tra; scoamto d ar d rsframto dtro d qupamtos ltrôcos dsprsão d poluts dtro d ros, ocaos o ar atmosférco. Por todas ssas razõs, códgos computacoas d grad vrsatldad vêm sdo dsvolvdos, com grad actação por part dos trssados. No próxmo capítulo é fto um rsumo sobr os prcpas métodos umércos utlzados pla CFD a solução d problmas rlacoados a scoamtos d fludos. A sgur é aprstada uma brv dscrção d mtodologas aplcadas à smulação d scoamtos turbultos, postrormt, srão dfdos os obtvos do trabalho..3 - Smulação d Escoamtos Turbultos A maor part dos scoamtos cotrados a aturza m aplcaçõs prátcas são turbultos Slvra Nto, 2002, cosqütmt, é muto mportat comprdr os mcasmos físcos qu govram st tpo d fômo. Os scoamtos turbultos são stávs cotém flutuaçõs qu são dpdts do tmpo da posção o spaço. A turbulêca pod sr dfda como sdo um rgm d opração a qu pod star submtdo um sstma dâmco com lvado úmro d graus d lbrdad. Dtr sss sstmas dâmcos podm s quadrar os scoamtos d fludos a lvados úmros d

37 36 Ryolds, cosdrados os mas complxos mas sptaculars fômos cotrados a aturza Slvra Nto, A turbulêca tm sdo obto d studos d mutos psqusadors há város séculos. Sgudo Frr 2002, Loardo Da Vc fo o prcursor d mutos coctos mportats m mcâca dos fludos. Fo por mo da obsrvação dos pássaros dos scoamtos m ros qu Da Vc rtrou a maora d sus coctos dduçõs m mcâca dos fludos. El fz város dshos d scoamtos turbultos, os quas as stabldads ram muto bm rprstadas. Na Fgura. obsrva-s uma rprodução d uma quda d água fta por da Vc, a qual obsrva-s a rprstação squmátca das múltplas scalas da turbulêca. Fgura. - Vsualzação do scoamto a usat d uma pqua quda dágua sboçada por Da Vc Slvra Nto, As caractrístcas da turbulêca, sgudo Mollr & Slvstr 2004, Slvra Nto 2002, 2003 Tada-Martíz 2002, são: Os scoamtos turbultos são trdmsoas, rotacoas, rrgulars radômcos, o stdo d qu a vlocdad vara radomcamt com o tmpo. 2 Altamt dfusvos, o qu produz a mstura do fludo, aumtado a trasfrêca d calor, d quatdad d movmto d massa rtardado a sparação da camada lmt. 3 Ocorrm a altos úmros d Ryolds: a turbulêca surg ormalmt por uma stabldad do scoamto lamar, quado o úmro d Ryolds crsc. Ess úmro é rprstado pla razão tr os ftos covctvos altamt ão lars, amplfcadors d prturbação gradors d stabldad os ftos dfusvos amortcdors, ou bdors da formação d stabldad do scoamto.

38 37 4 Fortmt dsspatvos: há cotuamt covrsão d rga cétca turbulta m rga tra. Assm, a turbulêca dca s ão houvr rga sdo forcda costatmt. 5 Mo cotíuo: as mors scalas d comprmto da turbulêca são muto maors qu o camho médo lvr molcular do fludo. 6 Caractrístca do scoamto ão dos fludos: s o úmro d Ryolds é sufctmt alto, a maora das dâmcas assocadas à mor scala a turbulêca é a msma para todos os fludos. Em rsumo, as caractrístcas prcpas d scoamtos turbultos ão são cotroladas plas proprdads da partícula do fludo. D fato, um scoamto turbulto caractrza-s pla prsça d uma ampla vardad d scalas d comprmto d tmpo. O tamaho das maors struturas turblhoars possu baxa frqüêca aprstam tamahos comparávs à dmsão caractrístca do sstma o qual ocorr o scoamto, quato qu a dmsão das scalas dsspatvas d Kolmogorov l d é dfda pla fórmula d Hsbrg Mollr & Slvstr, 2004, como: 3 4 l d 6,25 L R c. a qual L é o tamaho das maors struturas turblhoars, R o úmro d Ryolds c é uma costat admsoal d valor aproxmadamt utáro. Assm, quato maor o úmro d Ryolds, mor a dmsão das pquas scalas. As grads struturas dtrmam o movmto médo do fludo, quato os pquos vórtcs são rsposávs plo procsso d dsspação vscosa da rga. Os métodos utlzados para aáls dos scoamtos turbultos podm sr classfcados m dos grads grupos: os xprmtas os tórcos. No prmro grupo são usuas os dvrsos tpos d trasdutors: amômtro a fo qut, a lasr, também, amomtra por mags rápdas PVI - Partcl Imag Vlocmtry. Os métodos tórcos dspotam-s como um potcal cada vz maor m fução do dsvolvmto d modlos métodos d solução mas avaçados, assm como dvdo ao dsvolvmto avaço dos computadors dgtas a crsct dspobldad dsss qupamtos as uvrsdads ctros d psqusa. Programas d smulação capazs d rprstar dfrts tpos d scoamtos, va solução umérca das quaçõs d Navr-Stoks, passaram a sr

39 38 mplmtados. Etrtato, durat váras décadas, a cofabldad d tas frramtas fo alvo d séras crítcas qustoamtos por part dos xprmtalstas mas crédulos. Não obstat, os programas d smulação voluíram s prolfraram, trasformados, pouco a pouco, m um strumto d stmávl valor para a aáls d scoamtos turbultos. Atualmt, códgos computacoas d grad vrsatldad cotram-s dspoívs o mrcado o hábto d utlzá-los s stala como cultura, ão apas o ambt ctífco, mas, também, os mos dustras. Apsar dsso, xstm, ada ho, séras dfculdads para a smulação umérca d scoamtos turbultos, sobrtudo quado s trata da sua aplcação a solução d problmas d trss prátco, os quas lvados úmros d Ryolds altos úmros d graus d lbrdad s fazm prsts. D fato, o úmro d graus d lbrdad d um scoamto pod sr stmado a partr do úmro d Ryolds, sgudo a quação Slvra Nto, 2002: 3 L 9 4 Ngl R L l.2 d Prcb-s com ssa quação qu quato maor for o úmro d Ryolds, maor também srá o úmro d graus d lbrdad do scoamto. A forma mas tutva d s smular um scoamto passa pla solução das quaçõs d Navr-Stoks. S a malha d dscrtzação for sufctmt fa, todos os fômos físcos são rsolvdos, ou sa, todos os graus d lbrdad todo o procsso d tração ão lar tr ls. Ess tpo d smulação é cohcdo como smulação umérca drta DNS Drct Numrcal Smulato da turbulêca. Obvamt, por qustõs d capacdad computacoal, ssa mtodologa, atualmt, só pod sr utlzada para scoamtos a baxos úmros d Ryolds. Isso é uma cosqüêca do fato d qu a cada grau d lbrdad corrspod uma quação lar dscrtzada, sdo cssára, assm, uma ova mtodologa para rsolvr scoamtos com altos úmros d graus d lbrdad. Ryolds 884 cou uma rflxão sobr ss assuto propôs um procsso d dcomposção das quaçõs govrats, d tal forma a s aalsar o comportamto do scoamto modlar suas flutuaçõs. Essa dcomposção coduz ao domado problma d fchamto da turbulêca Slvra Nto, Ess procsso d dcomposção das scalas du orgm a dos grupos d quaçõs para turbulêca:

40 39 Equaçõs médas d Ryolds RANS - Ryolds Avragd Navr-Stoks quatos Ryolds, 884, para as quas as scalas da turbulêca são sparadas as scalas rlatvas ao comportamto médo as scalas rlatvas às flutuaçõs m rlação a ssa méda; Equaçõs d Navr-Stoks fltradas Smagorsky, 963, para as quas as scalas da turbulêca são sparadas m dos grupos, ou sa, o grupo das grads scalas o grupo das pquas scalas. A smulação das grads scalas LES - Larg Eddy Smulato, como é cohcda a mtodologa d Smagorsky, a qual é utlzada st trabalho, pod sr vsta como uma mtodologa trmdára tr a smulação drta a smulação va quaçõs médas d Ryolds. Isso porqu prmt rsolvr xplctamt as grads scalas turbultas utlza um modlo sub-malha para rprstar a ação das pquas struturas, as quas possum dmsõs mors qu o tamaho da malha. Assm, a mtodologa LES xg rcursos computacoas muto mas modstos do qu a DNS, ofrcdo rsultados bm mas rfados qu a modlagm clássca da turbulêca. Além dsso, cosdrado-s qu as mors scalas tdm a sr mas homogêas sotrópcas, assm, mos aftadas plas codçõs d cotoro, é atural sprar qu os modlos utlzados m LES possam sr mas uvrsas dpdts dos dfrts tpos d scoamto, quado comparados com as dmas mtodologas clásscas. As mtodologas DNS LES são smlhats o stdo d qu ambas podm sr utlzadas a solução das quaçõs d Navr-Stoks trdmsoas. Sdo assm, LES cotua a xgr malhas rfadas. No tato, tora-s possívl rsolvr scoamtos a altos úmros d Ryolds, m razão do procsso d sparação d scalas utlzado do procsso d modlagm dos tsors sub-malha adcoas qu aparcm. Dvdo a ssas caractrístcas, LES torou-s uma das mas promssoras mtodologas d scoamtos turbultos. Sgudo Bogy t al tr os três dfrts métodos, LES aparc como o mas trssat para aproxmar uma ampla class d scoamtos, uma vz qu ão é rstrto a baxos úmros d Ryolds, ao cotráro do método RANS, uma part mportat das pquas scalas pod sr calculada prcsamt, s cosdradas corrtamt pla rsolução da malha..4 - Motvação Obtvos do Trabalho O prst trabalho tm como obtvo prcpal mplmtar, dsvolvr tstar um modlo umérco para smular scoamtos comprssívs d fludos vscosos m rgm

41 40 trast, utlzado o método d lmtos ftos basado m volums d cotrol CVFEM para a dscrtzação spacal. A dscrtzação do domío d trss é fta utlzado uma malha ão struturada formada por lmtos tragulars d ss ós. O programa computacoal é dsvolvdo com o tuto d smular algus casos d scoamtos comprssívs, m varávs prmtvas u,v,p, com ou sm trasfrêca d calor, m gomtras bdmsoas. Tas scoamtos são comumt cotrados a aroáutca, gração d potêca, procssos dustras o mo ambt. Exmplos spcífcos clum mcasmos d turba a gás, rators uclars, trocadors d calor dsprsão d poluts a atmosfra, como m ros m ocaos. Os lmtos ftos mas utlzados, sgudo a ltratura psqusada, plo CVFEM para o cálculo d scoamtos d fludos são os lmtos tragulars d três ós os quadrlatras d quatro ós. Os lmtos tragulars d ss ós cotêm três ós m cada fac. Nss lmto podm sr dfdas fuçõs d trpolação quadrátcas qu podm lvar a mlhors rsultados do qu com o uso d fuçõs d trpolação lars. Outra vatagm dss lmto é sua vrsatldad gométrca, pos pod sr dformado para rprstar, d mara mas prcsa, cotoros curvos d domíos rrgulars, os quas ormalmt os scoamtos ocorrm. O uso d lmtos ftos lars pod compromtr a aproxmação d cotoros rrgulars ou curvos, caso a malha ão possa sr sufctmt rfada. m outro obtvo é troduzr a mtodologa d smulação das grads scalas d turbulêca o códgo computacoal, para a smulação d scoamtos turbultos..5 - Rvsão Bblográfca Dtr os scoamtos qu são d trss mportâca para o homm, os qu aprstam baxo úmro d Mach, cohcdos como scoamtos comprssívs, são os mas comus. O ar qu os volv pod sr cosdrado como um fludo comprssívl, m quas todas as ocasõs, tas como: scoamtos ao rdor d carros, camhõs, ôbus, costruçõs outros. Ess msmo prcípo aplca-s ao scoamto d água ao rdor d barcos, submaros, torpdos, tubulaçõs, bm como à maora dos líqudos bomédcos, como o sagu, por xmplo. Em razão dss grad úmro d aplcaçõs, as últmas três décadas os métodos para a solução aproxmada das quaçõs d Navr-Stoks comprssívs têm sdo vstgados d mara xtsva.

42 4 Nsta rvsão bblográfca são aprstadas algumas aplcaçõs do método d lmtos ftos basado m volums d cotrol CVFEM para a solução d problmas d scoamtos d fludos. Três grupos prcpas trabalham o método d lmtos ftos basado m volums d cotrol. m é o grupo do Prof. B.R. Balga, a McGll vrsty, Motral, Caadá, qu usa prcpalmt lmtos ftos tragulars lars quadrátcos. Outro é o grupo do Prof. G.E. Schdr, a vrsdad d Watrloo, também o Caadá, qu trabalha com lmtos ftos quadrlatras lars. O trcro grupo, a Escola Poltécca d Motral, trabalha usado formulação m fução d corrt-vortcdad ão d varávs prmtvas como os dos prmros. Mas rctmt, têm aparcdo trabalhos m outros paíss, mas os grupos bm costtuídos stão o Caadá. Pod-s dzr qu o trabalho poro sobr o método d lmtos ftos basado m volums d cotrol CVFEM fo o trabalho d doutorado d Balga m 978 com rsultados publcados por Balga & Patakar 980. Nss trabalho costa qu o dsvolvmto dss método fo uma ttatva d prchr a cssdad d mlhors métodos m problmas d covcção-dfusão, prcpalmt para o tratamto d gomtras complxas sm o uso d coordadas gralzadas. A prcpal cotrbução fo o dsvolvmto d uma fução d forma aproprada para smular o procsso d dfusão-covcção, a qual vara xpocalmt a drção do vtor vlocdad méda larmt a drção ormal. O modlo fo aplcado ao problma-tst do scoamto tr dos cldros grats aprstou bos rsultados. Prakash & Patakar 985 aprstaram um método d lmtos ftos basado m volums d cotrol para rsolvr as quaçõs d scoamto d fludos usado uma trpolação d msma ordm para prssão vlocdad. Tal método prmt qu ambas sam calculadas m todos os potos do domío, utlzado o msmo couto d volums d cotrol para a dscrtzação das quaçõs d quatdad d movmto cotudad, o qu tora o códgo computacoal mas smpls, porém poddo coduzr ao aparcmto d campos osclatóros d prssão. A valdação do método d Prakash & Patakar 985 fo ralzada aplcado-o a algus problmas tsts. Prakash 987 xamou a mtodologa upwd com o método d lmtos ftos basado m volums d cotrol utlzado lmtos tragulars para rsolvr scoamtos d fludos com trasfrêca d calor. A vatagm chav do squma upwd é a garata d cofcts d dscrtzação postvos, forcdo stabldad umérca vtado ovr/udrshoots, apsar do aumto da dfusão umérca. Tal método fo avalado com a

43 42 rsolução d quatro problmas-tsts, mostrado sr tão ou mas prcso qu os squmas upwd por dfrças ftas covcoas. É mportat ctar também qu as quaçõs d trasport para a dâmca dos fludos podm sr dscrtas ão apas m fução das varávs prmtvas, ou sa, m fução das proprdads físcas do problma prssão/vlocdad, mas também por mo d formulaçõs altratvas qu usam, spcalmt, fução d corrt vortcdad. Coform Fortua 2000, ssas formulaçõs coxstram até a década d 80, quado a formulação com varávs prmtvas passou a prdomar os artgos qu tratam do assuto. Elkam t al. 99 dsvolvram um procdmto umérco plo método CVFEM para rsolvr scoamtos ratvos lamars utlzado uma fução d trpolação spcal, dfda m um sstma d coordadas locas. A dscrtzação do domío fo ão struturada com lmtos tragulars a formulação fução d corrt-vortcdad fo mprgada. O método fo aplcado a scoamtos ratvos ão ratvos, mostrado sr prcso stávl comparaçõs com xprmtos comprovaram qu l smula corrtamt a físca dos scoamtos. Krakov 992 aprstou um modlo o qual utlza CVFEM para rsolvr as quaçõs d Navr-Stoks a formulação fução d corrt-vortcdad, trpolado a vortcdad xpocalmt a fução d corrt larmt. O método fo aplcado a problmas clásscos, mostrado sr prcso. Masso t al. 994 aprstaram um método CVFEM com trpolação d msma ordm para rsolvr scoamtos comprssívs utlzado lmtos tragulars lars técca d upwd. Os casos studados foram scoamto lamar m um tubo; scoamto lamar m um tubo com uma cotração brusca; covcção atural uma cavdad clídrca scoamto lamar m uma réplca d sgmto d uma artéra coroára. Campos Slva 998 utlzou a mtodologa CVFEM para rsolvr scoamtos comprssívs m domíos bdmsoas, sm utlzar modlos d turbulêca, fazdo uso d uma malha struturada formada por quadrlátros d ov ós. Fo utlzado o tpo d formulação msta para trpolação das varávs, utlzado-s dos tpos d fuçõs: as orgas do lmto, as quas coduzram a rsultados satsfatóros; a técca upwd, a qual aprsta-s como uma altratva, d forma a s vtar rsultados spúros. Abbass t al aprstaram comparaçõs tr squmas d trpolação lars xpocas o método CVFEM. O caso tst utlzado fo o do vórtc d Gr- Taylor, o qual possu solução aalítca. Tas trpolaçõs foram aplcadas a um lmto tragular dpos a solução das quaçõs dscrtzadas, sobr o domío todo. Sobr o

44 43 lmto tragular, a trpolação lar fo mas prcsa para o domío todo, ssa fução d trpolação lvou a mos osclaçõs soluçõs também mas prcsas do qu a trpolação xpocal. Lma 2005 utlzou CVFEM para rsolvr problmas d scoamtos comprssívs com trasfrêca d calor massa, utlzado a mtodologa d smulação das grads scalas para a modlagm da turbulêca. O domío fo dscrtzado por malha struturada formada por quadrlátros quadrátcos d ov ós o método aplcado a casos d scoamtos padrõs, clásscos a valdação d códgos computacoas. Os rsultados cocordaram com os dspoívs a ltratura. Varaas 2006 aplcou o método CVFEM à solução d problmas bdmsoas d covcção-dfusão, dscrtzado o domío m malha ão struturada formada por trâgulos d três ós. Os trmos dfusvos foram trpolados larmt os covctvos xpocalmt, utlzado um squma upwd. O modlo fo valdado aplcado-o a problmas d trasfrêca d calor m uma gomtra quadrada. No cotxto d malha ão struturadas formada por lmto tragulars, o prst trabalho vsa mplmtar o modlo d vscosdad turbulta d Smagorsky, com trpolação quadrátca para vlocdad trpolação lar para prssão. Dsd sua aprstação, o método CVFEM passou por uma sér d mlhoras tm sdo muto utlzado a solução d város problmas m scoamtos d fludos trasfrêca d calor, coform pod sr comprovado plo grad úmro d publcaçõs cotradas a ltratura.

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46 FNDAMENTOS TEÓRICOS PARA A CONSTRÇÃO DO MODELO NMÉRICO 2. - Modlo Matmátco Métodos Numércos Para scoamtos d fludos, o modlo matmátco é stablcdo com bas as quaçõs d quatdad d movmto, d cosrvação da massa cosrvação d rga, submtdas a codçõs cas d cotoro apropradas. Gralmt, ssas quaçõs são dfrcas, como ão é possívl obtr soluçõs umércas sobr uma rgão cotíua, m razão d sus ftos potos, calmt o domío é dscrtzado, sto é, dvddo m potos ós somt sss potos é qu as soluçõs srão obtdas. Em sguda, os trmos qu aparcm as quaçõs são scrtos m fução dos valors das cógtas m potos dscrtos adacts. O rsultado é um couto d quaçõs algébrcas, gralmt lars, qu podm ou ão starm acopladas. m método aalítco qu tvss a habldad d rsolvr tas quaçõs forcra a solução m uma forma fchada, possbltado calcular os valors das varávs dpdts para um úmro fto d potos. O uso da CFD rqur o uso d métodos umércos para s calcular as gradzas d trss os scoamtos. Algus dos prcpas métodos utlzados para smulação d scoamtos d fludos são: Método d Dfrças Ftas FDM - Ft Dffrc Mthod; Método d Volums Ftos FVM - Ft Volum Mthod, Método d Elmtos Ftos FEM - Ft Elmt Mthod Método d Elmtos Ftos Basado m Volums d Cotrol CVFEM - Cotrol Volum Ft Elmt Mthod. Na raldad, todos sss métodos umércos drvam d um úco método, cohcdo como Método dos Rsíduos Podrados MWR - Mthod of Wghtd Rsduals, sdo dfrcados pla fução d

47 46 podração ou smplsmt, fução pso aplcada a aulação do rsíduo. Por xmplo, o FDM surg quado a fução pso é fta gual à fução dlta d Drac, o poto m cosdração; o FVM o CVFEM aparcm quado a fução pso é fta gual a um o volum d cotrol o qual s dscrtz a quação gual a zro m todos os outros volums. Postrormt srão aprstados os prcpas aspctos do método dos rsíduos podrados rspctvas fuçõs d podração qu dão orgm aos prcpas métodos umércos. Algus comtáros sobr a orgm dos prcpas métodos umércos utlzados para cálculos d scoamtos d fludos são ftos a sgur. Hstorcamt, o FDM fo mprgado a ára d mcâca dos fludos, quato o FEM o fo para a ára strutural, a solução d problmas d lastcdad. Esss problmas, do poto d vsta físco, são compltamt dfrts, pos os d scoamtos são altamt ão-lars, por volvrm as quaçõs d Navr-Stoks, quato os d lastcdad ão possum os trmos advctvos assmlham-s a problmas puramt dfusvos d trasfrêca d calor, d caractrístca lar Malska, 995. Portato, fo atural o fato d os psqusadors do FDM trm s coctrado a ttatva d domar as ão-lardads dos trmos advctvos o problma do dfícl acoplamto tr as quaçõs, dxado para um sgudo plao o problma do tratamto d gomtras complxas. Ess problma fo parcalmt solucoado plo uso d malhas ão-ortogoas, atualmt, o método d dfrças ftas tm sdo bastat utlzado para o cálculo d scoamtos d fludos trasfrêca d calor, coform s obsrva plo grad úmro d trabalhos a ltratura spcalzada. Até o íco da década d 70, tha-s o FDM com grad xprêca a ára d fludos, mas sm habldad para tratar gomtras complxas o FEM hábl o tratamto da gomtra, mas sm frramta para tratar os trmos advctvos prsts as quaçõs do movmto. m método aprstado por Patakar 980, domado a ltratura d Método d Volums Ftos, também chamado por mutos autors d Método d Dfrças Ftas Basado m Volums d Cotrol CVFDM - Cotrol Volum Ft Dffrc Mthod, costtu-s ho m um dos prcpas métodos para aáls umérca d scoamtos d fludos trasfrêca d calor. Nss método, o domío d solução é dvddo m um úmro d volums d cotrol, qu ão s sobrpõm qu coltvamt prchm compltamt o domío. Cada um dsss volums d cotrol aprsta um ó m su tror.

48 47 As quaçõs aproxmadas o FVM podm sr obtdas d duas maras. A prmra, por mo da ralzação d balaços da proprdad m qustão os volums lmtars, ou volums ftos. A sguda, a partr da tgração da quação dfrcal a forma cosrvatva sobr o volum lmtar, o spaço o tmpo. Os dos procssos são quvalts, pos, para dduzr as quaçõs dfrcas é cssáro prmro ralzar um balaço m um volum ftsmal, fazdo-s m sguda, o procsso d lmts para obtr as quaçõs dfrcas. A prfrêca m s utlzar a sguda mara vm do fato d qu m todos os balaços são fács d dduzr. A caractrístca prcpal dss método é a fácl trprtação físca dos trmos das quaçõs m trmos d fluxos, fots forças, dvdo ao fato da formulação rsultat sr d aturza cosrvatva, uma vz qu la é obtda sgudo os prcípos d cosrvação. O método d volums d cotrol com malhas ortogoas ão-ortogoas m coordadas gralzadas, para o tratamto d gomtras rrgulars, tm sdo mplmtado por város grupos d psqusa aplcado para a solução d problmas d scoamtos d fludos trasfrêca d calor. Em scoamtos d fludos, é muto mportat satsfazr os prcípos d cosrvação m ívl dscrto, caractrístca dos FVMs, pos s o qu s busca com um método umérco é a solução da quação dfrcal, qu é a rprstação da cosrvação da proprdad m ívl dscrto, parc lógco qu as quaçõs aproxmadas rprstm a cosrvação m ívl d volums ftos. Dssa forma, ão xst a possbldad d graçõs/sumdouros d quatdads, como massa, quatdad d movmto rga o tror do domío d cálculo. Também a dpuração d um programa computacoal fca mas fácl quado o aalsta tm tapas a srm cofrdas. Como os FVMs os balaços d cosrvação dvm sr satsftos m ívl d volums lmtars, para qualqur tamaho d malha, os prcípos d cosrvação d massa, rga quatdad d movmto podm sr cofrdos m uma malha bastat grossra. Ou sa, quas tudo pod sr fto mausado-s poucos rsultados m xcuçõs rápdas o computador. Dvdo às dfculdads m s utlzar o FDM m gomtras complxas, o FEM, calmt dsvolvdo para aáls d struturas, comçou a sr aplcado para o caso d scoamtos, m razão d sua grad vrsatldad a dscrtzação d domíos gomtrcamt complxos. As prmras ttatvas d uso do FEM d Galrk, uma varat do método, o qual a fução pso é fta gual à fução d trpolação, para problmas com advcção fort, ão

49 48 tvram sucsso. Isso porqu ss método é adquado apas para problmas puramt dfusvos, o qu quval ao uso d dfrças ctras o FDM, ambos produzdo stabldads m problmas d advcção domat. Etão, o FEM passou a mprgar outras fuçõs d trpolação para prmtr o tratamto adquado dos trmos advctvos. Através d sua combação com téccas upwd procura-s adquá-lo para o cálculo d scoamtos d fludos trasfrêca d calor para altos úmros d Ryolds Pclt,, atualmt, ss método é também muto utlzado para a smulação umérca tato d scoamtos lamars como turbultos, com ou sm trasfrêca d calor. Nst trabalho, é abordada uma vrtt do método d lmtos ftos cohcda como Método d Elmtos Ftos basado m Volums d Cotrol CVFEM o qual fo prmramt aprstado por Balga & Patakar 980, Balga & Patakar 983 Balga t al. 983, usado lmtos ftos tragulars. Postrormt, Schdr & Raw 986 aprstaram ss método para lmtos ftos quadrlatras lars lmtos com 4 ós. Raw t al. 985 utlzaram um lmto fto quadrlatral quadrátco lmto com ov ós para problmas d codução d calor. Sgudo Saabas 99, o método CVFEM ofrc uma combação da flxbldad gométrca do método FEM a fácl trprtação físca assocada ao método FVM. A formulação d CVFEM volv cco passos báscos Saabas, 99: Dscrtzação do domío d cálculo m lmtos uma postror dscrtzação m volums d cotrol assocados com os ós dos lmtos; 2 Itgração das quaçõs os volums d cotrol; 3 Prscrção d fuçõs d trpolação apropradas para as varávs dpdts, dtro das tgras; 4 Obtção d um sstma algébrco d quaçõs, as quas são aproxmaçõs das quaçõs dfrcas govrats ; 5 Escolha d um método para solução do sstma algébrco rsultat. A flxbldad gométrca do FEM é matda dvdo ao domío sr prmramt dscrtzado por uma malha d lmtos ftos, facltado a dscrtzação d gomtras rrgulars. Dtro dsss lmtos, as facs dos subvolums d cotrol são dfdas, d modo qu, com a motagm d todos os lmtos, os volums d cotrol sam formados. As proprdads cosrvatvas do FVM são susttadas dvdo às tgraçõs srm ralzadas sobr os volums d cotrol ão sobr os lmtos.

50 Malhas Estruturadas Não-Estruturadas As malhas são usadas m mutas áras d aplcação, tas como m cartografa goprocssamto, por xmplo, possbltado uma rprstação compacta das proprdads d um dtrmado trro, m computação gráfca, od mutos obtos podm sr rprstados. Falmt, malhas são também sscas para a solução umérca das quaçõs dfrcas govrats dos problmas d CFD, pos, quado s utlza um método umérco, dv-s dscrtzar o domío do problma m um couto d potos, ou subdomíos. A Fgura 2. mostra um domío o qual fo utlzado ss tpo d dscrtzação. Obsrva-s qu, cada volum tro tm smpr o msmo úmro d vzhos a umração dos msmos tm uma sqüêca atural. Fgura 2. - Dscrtzação struturada Malska, 995. Ess tpo d dscrtzação aprsta uma sér d vatags para a mplmtação do programa computacoal, pos a rgra d ordação dos lmtos smplfca todas as rotas. Além dsso, a matrz rsultat tm dagoas fxas, prmtdo qu métodos para matrzs com bada fxa, qu são mas fács d mplmtar, possam sr aplcados. No tato, ss tpo d dscrtzação é muto lmtado, s o trss for rsolvr problmas ras d ghara os quas, quas smpr, a gomtra é rrgular. Assm, mutas altratvas surgram para o uso d malhas struturadas, tas como o uso d coordadas gralzadas. O mprgo d coordadas gralzadas cou-s tr os psqusadors do método d dfrças ftas fo a mas mportat rsposta dssa comudad para o tratamto d

51 50 problmas m gomtras arbtráras, uma cssdad qu prssoou ormmt os aalstas umércos o íco da década d 70 Malska, 995. Exstm algus tpos d dscrtzação struturada qu utlzam coordadas gralzadas, cohcdos como sstmas d coordadas cocdts com a frotra, ou boudary-fttd coordats. O uso d tas malhas xg qu s cotr uma trasformação tr o sstma cartsao x, y, z, rprstado o domío físco, um sstma gralzado ξ, η, ς, rprstado o domío trasformado, ou computacoal. m outro método, a técca d multblocos, pod sr utlzado para a dscrtzação d algus domíos rrgulars, aprstado a smplcdad das mtodologas d malha struturada. Por xmplo, o mapamto d gomtras com protubrâca actuada, ão são adquadas para a gração d uma malha com mapamto m bloco úco. Para coctrar lhas coordadas prto da pard da protubrâca crar-s-a uma malha muto rrgular. Etão, rcorrdo-s à técca d multblocos, o domío é dscrtzado utlzado coordadas ortogoas o problma é rsolvdo m blocos sparados, trado-s tr ls até a covrgêca do procsso. Com o tuto d grar malhas computacoas qu podm, com mas flxbldad, adaptar-s a dfrts tpos d domíos gomtras complxas, rcorr-s ao uso d malhas ão-struturadas. sualmt, as malhas ão-struturadas m duas dmsõs, são formadas por trâgulos, para domíos trdmsoas, por ttradros, dvdo à rlatva capacdad d adaptação a gomtras complxas. O algortmo utlzado para a gração d tas malhas fog ao scopo dss trabalho, mas é uma ára d psqusa qu torou-s popular dsd mados da década d 80. Mas formaçõs podm sr cotradas o lvro d Thompso t al Nst trabalho utlzam-s malhas ão-struturadas, qu, m gral, ofrcm maor vrsatldad a dscrtzação d domíos complxos. A adaptação o rfamto dss tpo d malha m rgõs spcífcas do domío são alcaçados com maor facldad. O uso dss tpo d dscrtzação stá s torado cada vz mas prst os métodos umércos Taguch & Kobayash, 99, Malska & Vascoclos, Por outro lado, com ssas malhas, crsc a complxdad dos algortmos para a solução das quaçõs dscrtzadas. A Fgura 2.2 mostra uma malha ão-struturada. Obsrva-s qu ão xst uma l d formação para umração dos volums lmtars, cosqütmt, o úmro d vzhos pod varar d volum para volum. O rsultado dssa ordação stablc o

52 5 tamaho da bada da matrz ssa varação mpossblta a aplcação d mutos métodos d solução d sstmas lars. Fgura Dscrtzação ão-struturada Malska, 995 Cosqütmt, os métodos d solução d sstmas lars com matrzs d bada varávl são mas laborados. Portato, o ordamto, qu é um procdmto trval m malhas struturadas, assum grad mportâca m malhas ão-struturadas, pos a largura da bada da matrz d cofcts é dpdt da aturza do ordamto. As vatags dsvatags do uso d malhas struturadas ão-struturadas são dscutívs pod-s dzr qu ão xst ada um cosso tr o uso d qual tpo d malha O Arrao das Varávs Dpdts a Malha A localzação rlatva das varávs a malha computacoal é cohcda como arrao d varávs su papl prcpal é a posção rlatva tr as compots do vtor vlocdad da prssão. No método d lmtos ftos, dos tpos d arraos são utlzados: o qu utlza trpolação d msma ordm o d trpolação msta. Na trpolação d msma ordm Prakash & Patakar, 985, as compots do vtor vlocdad a prssão são armazadas m todos os potos da malha trpoladas por fuçõs d msma ordm. Tal arrao faclta cosdravlmt a mapulação dos ídcs das varávs a mplmtação computacoal, possbltado usar o msmo tpo d lmto

53 52 para ralzar todas as dscrtzaçõs. Essa caractrístca tora-s rlvat, sobrtudo quado s dsa trabalhar com problmas m gomtras trdmsoas. No tato, o mprgo dss tpo d arrao fo bastat lmtado durat um logo tmpo, pos acrdtava-s qu as quaçõs dscrtzadas pudssm admtr campos d prssão osclatóros fscamt rras. Ess tpo d arrao é quvalt o método d volums ftos, ao arrao colocalzado, o qual todas as varávs são localzadas o ctro do msmo volum d cotrol. No arrao qu utlza a trpolação msta Balga & Patakar, 980, 983, a prssão é calculada m mos potos do qu a vlocdad a malha computacoal trpolada por uma fução d ordm mor do qu a usada para trpolar as compots da vlocdad. Tal arrao xg dfrts coutos d lmtos para a dscrtzação das quaçõs d quatdad d movmto d cotudad, torado o códgo computacoal mas complxo. No método d volums ftos ss tpo d arrao quval ao arrao dscotrado, o qual a prssão é localzada o ctro do volum d cotrol as vlocdads as trfacs. É, sm dúvda, um arrao fscamt cosstt, pos, tr outros fators, as prssõs fcam armazadas d tal forma qu o su gradt é a força motrz da vlocdad armazada tr dos potos d prssão. É mportat saltar qu, s por um lado o arrao d trpolação msta promov a stabldad cssára para o acoplamto prssão-vlocdad, também provoca uma complxdad adcoal do poto d vsta computacoal, uma vz qu o cotrol d ídcs das varávs é, obvamt, mas complxo. Também os balaços d cosrvação dvm sr ftos para volums dfrts, ocasoado fluxos d massa dfrts para cada varávl, rqurdo maor spaço d mmóra computacoal Sstma d Equaçõs a sr Rsolvdo As quaçõs qu govram os scoamtos podm sr scrtas para uma gradza scalar gral φ, da sgut mara: t x y z x φ x y φ y z φ z φ φ φ φ φ uφ vφ wφ Γ Γ Γ S 2.

54 53 O prmro trmo do lado squrdo da Eq. 2. é o trmo tmporal srv para avaçar a quação o tmpo. Fscamt, rprsta a varação com o tmpo da proprdad φ dtro do volum d cotrol. Os dmas trmos do lado squrdo rprstam o balaço covctvo da varávl φ são, umrcamt, os trmos mas complcados, dvdo às ãolardads. Os prmros três trmos do lado drto da quação rprstam o balaço dos fluxos dfusvos, quato o últmo é o trmo fot, rsposávl por acomodar todos aquls trmos qu ão s caxam a forma aprstada pla quação. O trmo fot cotém o gradt d prssão, quado φ for as compots do vtor vlocdad. A partr da Eq. 2., podm-s costrur todas as quaçõs dfrcas prsts ss trabalho. Ela rprsta a cosrvação da massa, quado φ S for gual a zro φ. As quaçõs da quatdad d movmto as três drçõs são obtdas, fazdo-s φ gual a u, v, w, com o trmo fot aproprado, qu, st caso, clu o gradt d prssão. A quação da rga é obtda fazdo-s φ T, também com o trmo fot aproprado. Γ φ rprsta o produto da dfusvdad pla massa spcífca da proprdad trasportada m cosdração. Para as quaçõs d Navr-Stoks Γ φ µ para a quação da rga Γ φ k c p, quado o scoamto é lamar, φ µ ftvo Γ Γ φ k cp ftvo, quado o scoamto for turbulto. Cada uma das quaçõs dfrcas acma dvrá sr rprstada por um sstma d quaçõs algébrcas lars, tdo-s, portato, um sstma d sstmas d quaçõs algébrcas para sr rsolvdo. A prmra dcsão a sr tomada, ao s ttar rsolvr ssas quaçõs é quato à aturza da solução: sgrgada ou smultâa. A solução smultâa do sstma d quaçõs algébrcas cra uma úca matrz, volvdo todos os cofcts rsolvdo todas as cógtas smultaamt d forma tratva, atualzado-s a matrz dos cofcts até a covrgêca. A solução sgrgada do sstma d quaçõs rsolv os sstmas lars um a um, atualzado os cofcts Caractrístcas do Acoplamto Prssão-Vlocdad A aturza sgrgada do procsso d solução rqur qu cada varávl tha uma quação volutva para sr avaçada.

55 54 Cosdrado-s, como xmplo, um scoamto trdmsoal com trasfrêca d calor o qual xstm cco quaçõs a srm rsolvdas: cosrvação da massa, uma quação do movmto m cada drção coordada a quação da rga, as cógtas são:, P, u, v, w T. É fácl dtfcar qu as varávs u, v, w T podm sr avaçadas rspctvamt, pla quação do movmto m cada drção pla quação da rga. Para calcular a prssão, dpd-s da aturza do scoamto, s comprssívl ou ão. Do poto d vsta umérco, o scoamto é comprssívl s vara fortmt com a prssão. Etão, s tm varação cosdrávl com P, a quação d stado rlacoado com P T é a rlação mprgada para o fchamto do problma. A quação d stado é, tão, a quação volutva para a prssão, quato a quação da cotudad o é para a massa spcífca. Essa formulação a qual todas as varávs dpdts possum a sua quação d volução é a chamada formulação comprssívl. Ess tpo d scoamto é ormalmt adotado quado a vlocdad do fludo é maor do qu 0 da vlocdad do som o fludo, ou quado xstm gradts d prssão tmpratura qu causm varaçõs aprcávs m sua dsdad. S a massa spcífca ão vara sgfcatvamt com a prssão, a quação do stado P P, T ão pod mas sr usada como quação para dtrmação d P, porqu pquos rros comtdos o cálculo d, va quação da cosrvação da massa, podrão produzr grads rros m P, calculados sgudo a rlação P P, T. S ss campo d prssõs for troduzdo as quaçõs do movmto as vlocdads rsultats substtuídas a quação da cotudad, para cálculo d para o próxmo trvalo d tmpo, séras stabldads ocorrrão a solução umérca do sstma d quaçõs. Como a massa spcífca ão dpd d P, parc lógco qu a quação d stado sa utlzada para o cálculo d, dpdt apas d T, T, sdo T dtrmada por mo da quação da cosrvação da rga. A dfculdad qu surg é qu, assm procddo, a quação d stado passa a sr uma quação para a prssão passa a ão possur uma quação volutva, aparcdo sua fluêca por mo do su gradt as quaçõs do movmto. É fácl vrfcar qu ão basta solar P d uma ou outra quação do movmto. Os gradts as três drçõs dvm sr combados para a dtrmação da prssão. Essa é a dfculdad. Dtrmar um campo d prssõs qu, quado srdo as quaçõs do movmto, org um campo d vlocdads qu satsfaça a quação da cosrvação da massa. Em outras palavras, o fato d ão varar com P troduz um fort

56 55 acoplamto tr a prssão a vlocdad, causado dfculdads para a solução do sstma d quaçõs. Ess tpo d scoamto, m qu f T mbora sa dfdo, rgorosamt como comprssívl, do poto d vsta umérco, rcb o msmo tratamto do caso m qu costat. Est tpo d formulação é chamado comprssívl. O trss dss studo stá rlacoado à solução d problmas qu volvm scoamtos comprssívs, os quas formam uma class d problmas qu tm xtsa aplcação prátca por starm rlacoados a procssos d produção d rga, fômos ambtas, ghara aroáutca arospacal, boghara outros. Nst trabalho adota-s a sgut stratéga d solução: os campos d vlocdads prssão são calculados rsolvdo-s smultaamt as quaçõs do movmto d cotudad como forma d tratamto do acoplamto prssão-vlocdad, utlza-s a trpolação msta, a qual é fscamt cosstt vta campos d prssão ão ralístcos.

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58 MODELO MATEMÁTICO 3. - Itrodução A obtção da solução d qualqur problma físco rqur a habldad da cração do modlo matmátco corrspodt. m modlo matmátco é uma dalzação d um procsso atural com o obtvo d smular suas proprdads. Ess modlo dv sr tal qu possa sr rsolvdo com tmpos d computação ão probtvos qu os rsultados obtdos rprstm bm o fômo físco m qustão. Para a cração d um modlo matmátco qu sa fl ao fômo qu s qur modlar, dv-s stablcr um sstma d quaçõs dfrcas quaçõs d quatdad d movmto, ls d cosrvação, tas como d massa da rga, rlaçõs costtutvas, modlos d turbulêca, tr outros qu sa váldo para um dtrmado domío mpors as codçõs d cotoro a codção cal. Dssa forma, o modlo matmátco stá complto, para aplcaçõs prátcas, busca-s cotrar uma solução para um couto partcular d dados umércos. Como apas formas muto smpls d quaçõs, dtro d cotoros trvas são possívs d srm rsolvdas com o uso d métodos matmátcos, rcorr-s à solução para um couto partcular d dados umércos. A déa básca dsss métodos é dscrtzar o problma cotíuo, sto é, o couto fto d úmros qu rprstam a fução ou fuçõs dscohcdas é substtuído por um couto fto d parâmtros dscohcdos, sdo qu ss procsso rqur alguma forma d aproxmação.

59 Equaçõs Govrats D uma mara gral, qualqur scoamto d fludo wtoao, lamar ou turbulto, com ou sm trasfrêca d calor, pod sr matmatcamt bm rprstado plo sstma formado plas quaçõs d Navr-Stoks, d cosrvação da massa d trasport d um scalar qualqur, qu, scrtas uma forma gérca m otação tsoral cartsaa são, rspctvamt, dadas por: Equaçõs do scoamto: u u u t x p x x u µ x u x S u 3. u x Equaçõs d trasport d um scalar qualqur: φ u φ t x x Γ φ φ S x φ 3.3 Nas Eqs. 3. a 3.3, mbora o scoamto sa cosdrado comprssívl, m todo o trabalho optou-s por ão xtrar a dsdad d dtro da drvada. Nssas quaçõs, u rprsta as compots d vlocdads ao logo dos xos coordados corrspodts x, p a prssão, a massa spcífca do fludo, µ a vscosdad dâmca Γ φ é um cofct d dfusão qu dpd d qual varávl φ stá sdo trasportada; S u S φ são os trmos fots qu podm globar outros trmos, clusv dfrcas, qu ão são scrtos xplctamt. O trmo fot pod globar ftos d covcção atural, bm como d rotação do sstma d coordadas fto d forças ctrífugas d Corolls, sdo dado por: Su ω x ω ω ω x ] [ g β T T0 2ε lω ul 3.4

60 59 a qual g é o compot da aclração da gravdad a drção do xo x, β o cofct d xpasão volumétrca térmca, T 0 uma tmpratura d rfrêca ω é o compot da vlocdad agular d rotação do scoamto, s for o caso, m toro do xo O trmo [ β T T ] corrspod fscamt ao mpuxo dvdo à varação d g 0 dsdad, pla mudaça d tmpratura; [ 2 ε ω u ] é a aclração d Corols dcorrt do l movmto da partícula dtro do sstma d coordadas cartsaas [ l x. ω x ω ω ω x ] é a aclração ctrípta dcorrt da rotação do sstma d coordadas cartsaas. Na Eq. 3.3 o trmo φ pod rprstar quasqur varávs scalars, como: rga cétca turbulta, taxa d dsspação vscosa ou spcífca da rga cétca turbulta, tmpratura ou coctração d um cotamat m um mo Tratamto da Turbulêca - Smulação d Grads Escalas No prst trabalho, a mtodologa d smulação d grads scalas fo mplmatada um códgo usado lmtos ftos basado m volums d cotrol para rsolvr scoamtos bdmsoas comprssívs d fludos wtoaos. Nssa mtodologa, as varávs do scoamto passam por um procsso d fltragm qu spara as maors scalas das mors scalas. Os trmos fltrados são rsolvdos drtamt usado as quaçõs da quatdad d movmto, quato qu um modlo submalha é mprgado para rprstar as mors struturas. Sgudo Slvra Nto 2002, uma das prmras aplcaçõs d LES m ghara fo ralzada por Dardorff 970 a vstgação d um scoamto turbulto o tror d um caal a altos úmros d Ryolds Procsso d Fltragm das Equaçõs d Sparação das Escalas ma das proprdads mas marcats dos scoamtos turbultos é a multplcdad das scalas d comprmto d tmpo qu os caractrzam. O prmro passo a aplcação d LES cosst xatamt a sparação dssas scalas, utlzado-s um procsso d fltragm. Aplcado o oprador fltro às quaçõs govrats, as varávs são dcompostas r m uma compot rprstatva das grads scalas f x, t uma compot das r pquas scalas f ' x, t :

61 60 f r r r x, t f x, t f ' x, t 3.5 A opração d fltragm srv para dmur scalas a ordm da largura do fltro. A part fltrada, ou sa, a compot das grads scalas f é obtda com o auxílo d uma tgral d covolução volvdo a fução a sr fltrada f uma fução fltro aproprada G x x', como, r r r f x, t f x', t G x x' dx' 3.6 V A Fgura 3. lustra os squmas da fução f x d sua compot fltrada f x, aprstada por Tada-Martíz Fgura 3. - Fução f x sua compot fltrada Tada-Martíz, A fução fltro pod sr dfda d dvrsas maras o rsultado do procsso d fltragm dpd fortmt da scolha adquada dssa fução. ma das mas utlzadas é a fução fltro por volum Slvra Nto, 2002, dada por:

62 6 x' x G r r > c c x x x x V l l ' s 0 ' s 3.7 a qual V é o volum d tgração para a fltragm c l é o comprmto caractrístco do fltro, o qual dtrma a frqüêca d cort, sto é, df quas frqüêcas srão calculadas quas srão modladas. Aplcado-s o procsso d fltragm às quaçõs govrats 3. a 3.3, obtém-s, Equaçõs do scoamto: u S x u x u x x p x u u t u µ x u 3.9 Equaçõs d trasport d calor: ''' q x T c K x x T u c t T c p p p 3.0 as quas rprstam, rspctvamt, as quaçõs da quatdad d movmto, d cosrvação da massa d trasport d calor para as varávs fltradas. Na Eq. 3.0, p c rprsta o calor spcífco à prssão costat k a codutvdad térmca. Obsrva-s qu, ão s cosgu rsolvr as Eqs ssa forma a qual stão scrtas. Trata-s d quaçõs d trasport para u T, o tato, os trmos ão lars aparc o produto fltrado das varávs ão o produto das varávs fltradas, como dvra sr. Assm, podm-s scrvr sts produtos as formas: u u u u u u u u 3.

63 62 T u T u T u c T u c p p 3.2 qu, quado substtuídos as Eqs rsultam, rspctvamt, m: Equaçõs do scoamto: S x u x u x x p x u u t u u τ µ x u 3.4 Equaçõs d trasport d calor: ''' q q x T K x x T u c t T c t p p 3.5 Obsrva-s qu, do procsso d fltragm, aparcm os trmos τ t q a srm modlados qu srão cosdrados como fto das mors scalas d turbulêca. É mportat rssaltar qu sss trmos são cosdrados tr aturza físca smlhat ao tsor vscoso molcular, apsar d sua orgm lgada ao trmo ão lar. Dsta forma, é atural traspor sts trmos para o sgudo mmbro das quaçõs d quatdad d movmto d trasport d rga agrupá-los como tsor vscoso Modlagm Submalha da Turbulêca: Modlo d Smagorsky ma das propostas dst trabalho é modlar os trmos submalha por aaloga com a modlagm das quaçõs a sua forma prmtva. Assm, utlzado a déa do matmátco fracês Bousssq, o tsor submalha é xprsso m fução da taxa d dformação grada plo campo d vlocdads fltrado da rga cétca turbulta k, stablcdo-s a aaloga:

64 63 τ u u 2 uu uu µ t k δ 3.6 x x 3 a qual µ t rprsta a vscosdad absoluta turbulta, qu dv sr trprtada como caractrístca do scoamto ão do fludo qu pod sr calculada va dfrts modlos. A rga cétca turbulta pod sr corporada à prssão státca, grado dsta forma, uma prssão modfcada, como: 2 pt p k Assm, rsta ada o problma lgado ao cálculo da vscosdad absoluta turbulta µ t, obto d studo d dfrts tpos d modlos. Sm dúvda, o mas mportat é o chamado modlo d Smagorsky 963, proposto plo própro mtorologsta para smular scoamtos atmosfércos. Ess modlo torou-s popular dpos do trabalho poro d Dardorff 970 para scoamtos m caas tm sdo bas para o dsvolvmto d város outros modlos. Sgudo Smagorsky, a vscosdad dâmca turbulta pod sr xprssa m fução da taxa d dformação da scala d comprmto, costtudo-s uma spéc d comprmto d mstura, por mo da xprssão: µ S t C S a qual C S é a costat d Smagorsky, a spssura do fltro, calculada m fução da malha d dscrtzação S é a orma do tsor d dformação, dfdos rspctvamt, como: / 2 x y 3.9 / 2 S 2S S 3.20

65 64 sdo: S u 2 x u x 3.2 Portato, a vscosdad turbulta srá rprstada pla xprssão: µ C 2S S 3.22 t S 2 Sgudo Frgo 2004, a costat d Smagorsky, costat do método umérco C 0,8 fo dtrmada aaltcamt por Llly 967 para turbulêca homogêa S sotrópca. No tato, o valor dssa costat tm sdo qustoado adaptado sgudo o método umérco o tpo d malha utlzada a smulação. A ltratura mostra qu ssa costat pod varar tr 0, 0,23, dvdo sr austada caso a caso. Apsar da cssdad d aust, o modlo d Smagorsky é razoavlmt smpls d sr mplmtado pouco xgt m trmos computacoas, motvo plo qual tm sdo largamt utlzado ao logo das últmas décadas. O fluxo d calor dvdo ao fto submalha é dado por: q t T ν t T c p u T u T Kt c p 3.23 x Pr x t Substtudo as dfçõs das Eqs. 3.6 a 3.23 as Eqs. 3.3 a 3.5, obtém-s o ovo sstma d quaçõs, o qual as varávs dmsoas stão rprstadas com um astrsco como ídc supror: Equaçõs do scoamto: * * u u u * pt * * µ µ * t t x x x u x u x S u 3.24

66 65 0 * x u 3.25 Equaçõs d trasport d calor: ''' Pr * * * * * * * * * q x T c k x x T u c t T c t t p p p ν 3.26 com o trmo fot ] 2 [ 0 * * * l l u x x u T T g S ω ω ω ω ω ε β Admsoalzação das Varávs ma abordagm mas rgorosa ampla, a dtrmação das codçõs d smlhaça tr dos fômos físcos quasqur, pod sr obtda cosdrado-s as quaçõs dfrcas qu os govram suas rspctvas codçõs d cotoro. Dos fômos aprstam smlhaça quado são govrados por quaçõs dfrcas codçõs d cotoro qu possuam a msma forma admsoal. Nssas crcustâcas, a smlhaça dâmca é garatda pla rprodução dos cofcts admsoas tr modlo protótpo. No caso do prst couto d quaçõs govrats, rcorr-s a admsoalzação das varávs, pos, para a mplmtação dssas quaçõs, havra a cssdad d s fxar proprdads físcas para satsfazr os mas dvrsos fludos. Com sso, a opção por varávs admsoalzadas tora-s muto rlvat. Os parâmtros tomados como rfrêca para a admsoalzação dvm sr dfdos d acordo com as caractrístcas gométrcas, cmátcas dâmcas do problma a sr cosdrado. No caso d scoamtos volvdo covcção forçada ou msta, pod-s dfr as gradzas admsoas da sgut forma: - ; ; ; ; ; * * 0 φ φ φ θ T T T L u t t u p p P u u L x 3.28

67 66 os quas são os admsoas do spaço, da vlocdad, da prssão, do tmpo, da tmpratura d um scalar qualqur, rspctvamt. 0 0 * 0 * * 0 * 0 * 0 * 0 * ; ; ; ; ; ; ; p p p c c c u L g g g Ω Γ Γ Γ ω β β β ν ν ν µ µ µ φ φ φ 3.29 os quas são os admsoas da dsdad, da vscosdad absoluta, da vscosdad cmátca, do cofct d xpasão volumétrca térmca, do cofct d dfusão, da gravdad, da rotação do calor spcífco, rspctvamt. Nas Eqs L rprsta o comprmto caractrístco do domío, 0 u a vlocdad caractrístca do scoamto, 0 p a prssão d rfrêca, 0 a dsdad d rfrêca 0 µ a vscosdad absoluta d rfrêca. sado as gradzas admsoalzadas, as Eqs a 3.26 podm sr rscrtas, rspctvamt, a sgut forma: Equaçõs do scoamto: u t S R P t µ Equaçõs d trasport d calor: Γ S R t φ 3.32 a qual t t Pr Pr µ µ φ Γ 3.33

68 67 com o trmo fot rscrto a forma admsoal como: Su Gr gβθ 2ε klωk l 2 R Ω Ω Ω Ω 3.34 O couto d Eqs a 3.32, mbora, stam scrtas m varávs admsoas, pod sr utlzado para o cálculo dos scoamtos as varávs com dmsõs, bastado para sso fazr R Gr utáros ssas quaçõs. Para o cálculo dos scoamtos usado as varávs admsoas basta fazr as proprdads físcas utáras dsd qu las ão sam varávs, por xmplo, com a tmpratura. A vscosdad ftva é dfda como: µ para scoamtos lamars µ 3.35 µ µ t para scoamtos turbultos sdo qu µ t pod sr dtrmado usado o modlo d Smagorsky para smulação do fto da turbulêca. Os parâmtros admsoas: úmro d Ryolds, úmro d Grashof úmro d Pradtl são dfdos, rspctvamt, a sgut forma: 0u0L R 3.36 µ gβ TL Gr 3.37 µ c p µ 0 0 Pr 3.38 k 0

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70 DESENVOLVIMENTO DO MODELO NMÉRICO 4. - Itrodução Nst capítulo srá dsvolvdo o modlo umérco para as quaçõs aprstadas o capítulo atror. No Apêdc A, cotra-s um brv rsumo sobr o método dos rsíduos podrados, o qual costtu a bas dos prcpas métodos umércos tas como: método dos volums ftos, método das dfrças ftas método dos lmtos ftos Dscrtzação dos Domíos para Problmas Bdmsoas Na dscrtzação do domío d cálculo, utlzado a mtodologa CVFEM, dv sr usada uma malha d lmtos ftos, para a qual os tpos d lmtos mas comus são os trâgulos /ou os quadrlátros. Sgudo Bakr & Pppr 99, os lmtos tragulars são os mas smpls dtr os dspoívs para gomtras bdmsoas adaptam-s bm a cotoros rrgulars. Quado a rgão a sr modlada possur cotoros curvos, a dscrtzação é mas fct utlzado-s lmtos com cotoros também curvos. Esss lmtos podm sr obtdos aumtado-s o úmro d ós d trpolação o lmto lar. A trasformação d lados rtos para lados curvos, srá abordada mas adat. No prst studo, faz-s o uso do lmto tragular quadrátco, o qual possu cotoros parabólcos, coform mostrado a Fgura 4..

71 70 Fgura 4. - Elmto com cotoros parabólcos Dhatt Touzot, 984 A Fgura 4.2 mostra um domío bdmsoal dscrtzado utlzado-s lmtos tragulars d ss ós. Obsrva-s qu tas trâgulos adaptam-s bm a cotoros curvos a domíos d forma rrgular. Fgura Domío d forma rrgular dscrtzado m trâgulos d ss ós. O próxmo passo é a costrução dos volums d cotrol sobr a malha d lmtos ftos. Tas volums srão utlzados para a tgração das quaçõs d quatdad d

72 7 movmto, d cosrvação da massa d trasport d um scalar qualqur. Como st trabalho faz-s uso da trpolação msta para a prssão a vlocdad, tora-s cssára a costrução d duas famílas dfrts d volums d cotrol para a tgração das quaçõs d quatdad d movmto d cosrvação da massa. Para as quaçõs d quatdad d movmto d trasport d um scalar qualqur, as compots do vtor vlocdad do scalar são calculadas m todos os ós do trâgulo, utlzado-s a malha mostrada a Fgura 4.3-a. Obsrva-s qu cada lmto tragular d ss ós é dscrtzado d tal forma qu m toro d cada ó é formado um subvolum d cotrol. Os volums d cotrol são formados com a motagm d todos os lmtos,, cosqütmt, com a cotrbução d todos os subvolums d cotrol qu compartlham um dtrmado ó. Para facltar os cálculos das tgras, las srão ralzadas, lmto por lmto, sobr cada subvolum d cotrol. Os subvolums d formato quadrlatral são dvddos d modo a formar dos trâgulos, coform mostra a Fgura 4.3-b. a b Fgura Elmtos utlzados para a dscrtzação das quaçõs d quatdad d movmto d trasport d um scalar qualqur. A Fgura 4.4 mostra uma malha formada com a motagm d algus lmtos, a qual obsrva-s a formação dos volums d cotrol compltos, os quas srão utlzados para a tgração das quaçõs d quatdad d movmto d trasport d um scalar qualqur.

73 Fgura Malha computacoal formada por volums d cotrol para a tgração das quaçõs d quatdad d movmto d trasport d um scalar qualqur. Para a dscrtzação da quação d cotudad, usa-s a malha mostrada a Fgura 4.5-a, pos a prssão é calculada apas os ós dos vértcs dos trâgulos d ss ós. Obsrva-s qu cada lmto tragular d três ós é dscrtzado d tal forma qu m toro d cada ó é formado um subvolum d cotrol, udo-s o poto médo da hpotusa aos potos médos dos cattos do trâgulo. a b Fgura Elmtos utlzados para a dscrtzação das quaçõs d cotudad.

74 73 Assm como fo fto para as quaçõs d quatdad d movmto, as tgras sobr os volums d cotrol dvrão sr ralzadas lmto por lmto, sobr cada subvolum d cotrol da Fgura 4.5-a. Para facltar os cálculos, os subvolums d cotrol d formato quadrlatral dvrão sr dvddos m trâgulos, como s obsrva a Fgura 4.5-b. A Fgura 4.6 mostra a malha computacoal, com os volums d cotrol compltos para a tgração da quação da cotudad Fgura Malha computacoal formada por volums d cotrol para tgração da quação d cotudad Obtção das Equaçõs Dscrtzadas Para a obtção das quaçõs dscrtzadas, as quaçõs dfrcas parcas govrats dvm sr tgradas os subvolums d cotrol dtro d cada lmto, coform mostrado o tm atror. Em prmro lugar é fta a dscrtzação o tmpo. Essa dscrtzação vsa forcr rlaçõs tr os valors d φ tomados m stats sucssvos d tmpo, d forma a prmtr o cálculo d atror o passo d tmpo atual. φ m fução d φ, sdo o passo d tmpo

75 74 Város squmas d dscrtzação o tmpo podm sr usados. No prst trabalho, ssa dscrtzação é dfda plo parâmtro θ, o qual dcará s o squma srá xplícto ou mplícto, da sgut mara: φ φ t φ t φ θ t φ θ t 4. Sdo θ a posção o trvalo d tmpo, pod-s tr os casos Rddy, 993: 0, Esquma xplícto; dfrças para frt ou Eulr - codcoalmt stávl; ordm d prcsão : O t 2, Esquma mplícto; Crak - Ncolso - stávl; ordm d prcsão : O t 2 θ , squma mplícto; método d Galrk - stávl; ordm d prcsão : O t 3, Esquma totalmt mplícto; dfrças para trás - stávl; ordm d prcsão :O t A dscrtzação o spaço é fta a partr da substtução das fuçõs d trpolação as quaçõs tgras d cosrvação. Os passos báscos para obtção das quaçõs dscrtzadas são dscrtos a sgur Dscrtzação Tmporal Sam, P os campos d vlocdad, prssão uma gradza scalar qualqur o stat d tmpo t t t, o qual t é o tamaho do trvalo d tmpo. A partr d, P, codçõs d cotoros spcfcadas, os campos, P são calculados plas quaçõs a sgur, aplcado-s o método θ : t θ µ R P θ S u

76 75 0 R u S P µ θ 4.3 A qual pod sr rscrta como: P t R µ θ u u R S θ 4.4 a qual: u u S P t R R µ θ 4.5 com a rstrção da cosrvação da massa: a quação d trasport d uma gradza scalar qualqur: R S t R Γ θ θ 4.7 a qual: Τ S t R R θ 4.8

77 76 Obsrva-s qu tomado θ 0, o sgudo o trcro trmos da Eq. 4.3 aulam-s. Tas trmos são formados plas varávs calculadas o msmo ívl d tmpo qu a cógta. A quação fca, tão, m fução apas das varávs qu á foram calculadas o passo d tmpo atror, o qu caractrza uma formulação xplícta. Fazdo θ, obsrvas qu os trmos aulados são os qu possum varávs do stat d tmpo atror, rstado apas os qu possum as varávs do tmpo atual, caractrzado uma formulação totalmt mplícta. E, por fm, tomado θ 2 ou θ 2 3, hum trmo srá aulado, trado o cálculo da cógta tato os trmos com as varávs do msmo ívl d tmpo, como as varávs do ívl d tmpo atror, o qu caractrza a formulação mplícta Dscrtzação Espacal A dscrtzação spacal das quaçõs o método d lmtos ftos é fta a partr da formulação fraca dssas quaçõs. Para sso, ralza-s o produto scalar dos trmos das quaçõs por fuçõs pso tgra-s por parts sobr o domío. Isso, a raldad, corrspod ao método d rsíduos podrados, como dmostrado o Apêdc A. No caso do método CVFEM, a fução pso é fta costat utára dtro do volum d cotrol sobr o qual dscrtza-s a quação ula fora dl. Etão, tgrado-s as Eqs. 4.4 a 4.8 sobr cada subvolum d cotrol dfdo atrormt, obtém-s: V µ dv dv t θ V θ V R S dv R dv P θ dv V u V u θ 4.9 a qual: u V t V R dv θ dv V µ P θ dv dv S dv θ V θ V u 4.0 R

78 77 V dv 0 4. Γ V V V dv S dv dv t R θ θ R 4.2 a qual Τ dv R dv t R V V θ V dv S θ 4.3 tlzado o Torma da Dvrgêca, pod-s trasformar as sguts tgras d volum m tgras d ára: da dv A V θ θ 4.4a da dv A V θ θ 4.4b da dv A V R R µ θ µ θ 4.4c dv V R µ θ

79 78 da A R µ θ 4.4d da dv A V Γ Γ R R θ θ 4.4 Γ dv V R θ da A Γ R θ 4.4f Substtudo as Eqs. 4.4 as Eqs , obtém-s: da dv t A V R µ θ u V u V R dv S dv P θ θ 4.5 a qual: da dv t R A V u R µ θ V u V dv S dv P θ θ 4.6 com a rstrção da cotudad: V dv a quação d trasport d uma gradza scalar qualqur:

80 79 V A V R dv S da dv t R Γ θ θ 4.8 a qual: Γ V A V dv S da dv t R R θ θ 4.9 as Eqs. 4.5 a 4.9, rprsta as compots do vtor ormal para fora das áras d frotras dos volums d cotrol, apotado a drção do xo. Ess vtor é dfdo como: da da 2 r r r 4.20 rsultado, para problmas bdmsoas com tgração o stdo at-horáro: dx dy da r r r 4.2 Tm-s qu: d V dy da da da a d Y dy da da da b d V dy da da da c d V dy da da da d

81 80 d Y dy da da Substtudo as Eqs as Eqs , tm-s o ovo sstma d quaçõs: A A A V d V dy d Y V dy dv t R R R µ θ µ θ µ θ u V u V R dv S dv P θ θ 4.23 a qual: A A A V u d V dy d Y V dy - dv t R R R R µ θ µ θ µ θ V u V dv S dv P θ θ 4.24 V dv Γ dy dv t A V R θ V A R dv S d Y V R Γ θ θ 4.26 a qual:

82 8 Γ A V dy dv t R R θ Γ V A dv S d Y V R θ θ 4.27 Na Eq o trmo cruzado fo sparado, pos a mplmtação computacoal l é dsprzado. Para s obtr o sstma algébrco d quaçõs, as Eqs a 4.27 são aplcadas para cada subvolum d cotrol dtro d um lmto. O sstma complto d quaçõs algébrcas é obtdo somado-s a cotrbução d lmto por lmto. Ess procdmto faclta a obtção das matrzs globas m huma forma afta o prcípo d cosrvação, uma vz qu, quado for lvada m cosdração a cotrbução d cada lmto para todos os ós, a cotrbução para os volums d cotrol compltos trá sdo fta. O procdmto adotado a maora dos trabalhos é tgrar as quaçõs para um volum d cotrol complto smlar ao qu é fto o método d volums ftos. No prst trabalho sguu-s o procdmto adotado o método clássco d lmtos ftos, como m Campos Slva Fuçõs d Itrpolação Na mtodologa d lmtos ftos basado m volums d cotrol, após a tgração das quaçõs, dv-s trpolar as varávs dscohcdas. No método d lmtos ftos as varávs dscohcdas podm sr trpoladas, dtro d um lmto, a forma:,,, t y x N t y x NNEL β β β 4.28,., ' ' ' t P y x N y t x P NNEL β β β 4.29,,, t y x N t y x NNEL β β β 4.30

83 82 as quas NNEL sgfca o úmro d ós do lmto, N β N β ' são as fuçõs d trpolação bdmsoas dtro d um lmto com NNEL potos odas vd tablas ; β, P β ' β são, rspctvamt, os valors odas da vlocdad o ó β, da prssão o ó β ' d um scalar qualqur o ó β d um lmto fto. sa-s β ' para cosdrar qu a prssão pod sr trpolada por fuçõs d ordm dfrt daqula usada para trpolar a vlocdad ou outro scalar qualqur. Gralmt, a ordm das fuçõs d trpolação para a prssão é mas baxa do qu as utlzadas para trpolar a vlocdad, para vtar valors ão ralístcos da prssão, coform utlzado st trabalho. Tabla 4. - Fuçõs d trpolação suas drvadas para trâgulo d três ós. β N β N ξ N η β β ξ η ξ 0 3 η 0 Tabla Fuçõs d trpolação suas drvadas para trâgulo d ss ós. β N β N ξ N η β β λ 2λ 4λ 4λ 2 4 ξλ 4 λ ξ 4ξ 3 ξ 2ξ 4ξ ξη 4 η 4 ξ 5 η 2η 0 4η 6 4 ηλ 4η 4 λ η λ ξ η.

84 83 D um modo gral, as fuçõs trpoladoras dvm sr dtrmadas d mara a satsfazr a codção d valrm um quado aplcadas ao ó a qual prtcm zro os outros ós do lmto, da sgut mara:. N, s x 4.3 0, s Para smplfcar os cálculos das fuçõs d trpolação, bm como das xprssõs aalítcas dos lmtos com formas complxas, todos os lmtos do plao ral, m coordadas cartsaas x, y, z, dvrão sr mapados m um lmto d rfrêca, com coordadas gralzadas ξ, η, ζ, cohcdo como Elmto Mstr, sobr o qual todos os cálculos dvrão sr ralzados. Tal lmto suas trasformaçõs srão dscrtos a sção 4.5. No caso das fuçõs d trpolação, o uso do lmto d rfrêca é d grad mportâca, pos tas fuçõs dpdm das coordadas dos ós dos lmtos, assm, ao vés d cotrar as fuçõs d trpolação para cada lmto o plao ral, utlzam-s as msmas fuçõs do lmto mstr para todos os lmtos, fazdo-s o mapamto. As fuçõs d trpolação suas drvadas para um lmto tragular d três ós, o qual é utlzado para o cálculo dos valors d prssão stão lstadas a Tabla 4., para o lmto tragular d ss ós, utlzado para o cálculo das vlocdads d um scalar qualqur, stão lstados a Tabla 4.2. Cosdra-s agora um dtrmado subvolum d cotrol assocado ao ó α d um lmto. A dscrtzação da Eq é fta, o prst trabalho, cosdrado lmtos tragulars com ss ós. Ess dsvolvmto é basado prcpalmt os trabalhos d Balga 980, Balga & Patakar, 983 Hooky t al. 988a,b. No caso d problmas bdmsoas, as tgras Eqs a 4.27 d volum s trasformarão m tgras as áras tgras d ára srão smplsmt tgras d lha, m cotoros dos subvolums d cotrol. Cosdrado tão as quaçõs para um subvolum d cotrol assocado a um dtrmado ó α d um lmto obtém-s:

85 84 Γ Γ Γ α θ µ θ θ µ θ µ θ α α α α α α α cotrbuçõs smlars d outros lmtos para o ó R R R u A u NF K A NF K NF K A K k K R da S d V dy da P d Y V dy da t 0 s for o caso s d cotoros cotrbuçõ 4.32 α A da 0 cotrbuíçõs d outros lmtos para o ó α 4.33 da t A α Γ Γ Γ Γ NF K K K d Y V dy α α θ cotrbuçõs smlars d outros lmtos para o ó α A R da S α α θ cotrbuçõs d cotoro s for o caso 3.34 as quas Γ Γ NF K NF k A u k K d Y V dy da t R R R α α α µ θ µ θ α Γ α α α θ θ µ θ A u A NF K da S da P d V dy K R 4.35

86 85 Γ Γ Γ Γ NF K A K K d Y V dy da t R α α α α θ da S A α θ 4.36 Substtudo as fuçõs d trpolação, dfdas plas Eqs a 4.30 as Eqs a 4.36, obtém-s o sgut sstma, a forma scalar, para um lmto: P H K C t M β αβ β αβ αβ αβ θ θ P H S S K C t M β αβ α α β αβ αβ αβ θ θ θ D β β α 4.38 S K C t M K C t M α β αβ αβ αβ β αβ αβ αβ θ θ θ S α θ 4.39 Nstas quaçõs, as matrzs são dfdas por: α β αβ A SVC da N M 4.40a Γ Γ α β αβ SVC d N C 4.40b Γ Γ d N K SVC β αβ α µ R 4.40c

87 86 N β H αβ ' da 4.40d A SVC α N β D ' da 4.40 α β A ' SBVα S µ d S da A u α Γ Γ SVC R 4.40f α SVCα S A SVCα S da 4.40g as quas A SVC α é a ára d um subvolum d cotrol, Γ SVC α o cotoro do subvolum d cotrol NF rprsta o úmro d facs do subvolum d cotrol. As fuçõs d trpolação podm sr cotradas m lvros d lmtos ftos, como, por xmplo, Dhatt & Touzot 984, ou fuçõs d trpolação spcas podm sr obtdas procurado-s modlar adquadamt os város trmos covctvos, dfusvos, prssão, fots para s vtar rsultados ão ralístcos. Rsultados sm sgfcado físco podm surgr, prcpalmt, quado o úmro d Ryolds é muto lvado o problma s tora covctvo domat. ma forma d s cotorar ss problma é utlzar téccas d upwd para s trpolar os trmos covctvos. Etrtato, td-s qu, s a malha pudr sr sufctmt rfada, ão é cssára huma técca d upwd Cálculo das Matrzs os Elmtos ma vz dfdas as fuçõs d trpolação, os lmtos das matrzs dfdas as Eqs podm sr rsolvdas para s obtr os cofcts das matrzs os lmtos. Ats d motar a matrz global, cssta-s do cálculo das matrzs os lmtos. Est trabalho é facltado fazdo-s o mapamto d cada lmto do domío ral m um lmto d rfrêca domado Elmto Mstr. Tal mapamto é fto m fução das coordadas globas dos ós do lmto das fuçõs d trpolação dfdas m coordadas locas o lmto.

88 87 Elmto d Rfrêca Sa um lmto r V dfdo m um spaço admsoal abstrato com uma forma gométrca adquada covt. A gomtra do lmto d rfrêca mapará a gomtra do lmto ral usado xprssõs d trasformação gométrca. Por xmplo, cosdr a rgão tragular mostrada a Fgura 4.7. Tal lmto é o utlzado a dscrtzação das quaçõs d quatdad d movmto d trasport d um scalar qualqur o prst trabalho. ξ a Elmto d rfrêca ξ η x 2 x 3 x k 4 xl 5 x m 6 x b Elmto Ral x Fgura Mapamto d lmtos. x y A trasformação τ df as coordadas d cada poto do lmto ral x, y m trmos das coordadas abstratas ξ, η do corrspodt poto do lmto d rfrêca, coform a rgra abaxo: : k τ ξ x x ξ, x, x, x,..., 4.4

89 88 As trasformaçõs τ são scolhdas d modo a satsfazr as sguts proprdads: para cada poto do lmto d rfrêca dado lmto ral V ; r V, há um somt um poto d um 2 os ós gométrcos do lmto d rfrêca corrspodm aos ós gométrcos do lmto ral; 3 cada parcla do cotoro do lmto d rfrêca, dfdo plos ós gométrcos do cotoro, corrspod à porção do cotoro do lmto ral dfdo plo ó corrspodt. Trasformação das Coordadas Na Sção 4.4 fo mostrado qu a formulação plo método CVFEM gra um sstma d quaçõs algébrcas qu m cada cofct das matrzs stão volvdas tgras, as quas algus trmos são drvadas das fuçõs d trpolação com rlação às coordadas globas x y. Trasformaçõs a forma, x f ξ y f 2 η 4.42 são rqurdas a fm d rscrvr as tgras m trmos d ξ η ξ, η. As fuçõs f f 2 são cosdradas trasformaçõs btoras. Aqu, aproxma-s a gomtra da msma mara qu são aproxmadas as varávs dpdts. Essa aproxmação pod sr scrta a forma: NNEL N β, η β β ξ Y NNEL β N β β ξ, η Y 4.43 as quas β Y β são as coordadas globas o -ésmo ó do lmto N β são fuçõs d trpolação aprstadas a Tabla 4. para lmtos lars a Tabla 4.2 para lmtos quadrátcos. Nas Tablas também são aprstadas as suas drvadas das fuçõs d trpolação, qu são cssáras a avalação das matrzs dos lmtos. Essas

90 89 fuçõs d trpolação podm sr cotradas m város lvros d lmtos ftos, como, por xmplo, m Dhatt & Touzot 984. Como a matrz do lmto volv drvadas das fuçõs d trpolação com rlação a coordadas cartsaas, las dvm sr trasformadas m drvadas m fução d coordadas gralzadas. tlzado a Rgra da Cada da drvação, tm-s qu: ξ ξ ξ y y N x x N N η η η y y N x x N N 4.44 ou, m otação matrcal: y N x N J y N x N y x y x N N ] [ η η ξ ξ η ξ 4.45 a qual rlacoa-s as drvadas d N com as coordadas locas globas. A matrz [ J ] é chamada matrz Jacobaa da trasformação. Essa matrz dv sr vrtda, para forcr: η ξ N N J y N x N ] [ 4.46 o qu rqur qu a matrz Jacobaa sa ão sgular. Do sstma d Eqs. 4.46, pod-s scrvr as quaçõs: η ξ ξ η N y N y J x N ] dt[ 4.47 η ξ ξ η N x N x J y N ] dt[ 4.48

91 90 as quas: Nós x N x, ξ ξ Nós x N x, η η Nós y N y ξ ξ Nós y N y η η 4.49a-d as quas N ós é o úmro d ós do lmto. Para qu sa possívl o cálculo das drvadas das fuçõs d trpolação, uma codção cssára sufct para qu a vrsa da matrz acobaa xsta, é qu o dtrmat d J, sa ão ulo, ou sa: x y x y dt J ξ η η ξ Logo, as tgras d áras, m coordadas locas os lmtos, podm sr rprstadas, grcamt, por: f x, y dxdy r f ξ, η J dξdη 4.5 A A As tgras o cotoro podm sr rprstadas a forma: S fdx x r f dξ S a qual ξ ξ para ξ 4.52 η para 2 a qual os ídcs suprors r plao ral, rspctvamt. rprstam os lmtos o plao d rfrêca o Todas as trasformaçõs d coordadas são ftas localmt, para facltar a tgração das quaçõs os lmtos, dfrtmt do qu é fto o método d volums ftos FVM m coordadas gralzadas, m qu as quaçõs govrats, scrtas m coordadas cartsaas, são trasformadas para o sstma d coordadas gralzadas.

92 9 Itgração Numérca As tgras das Eqs dvm, tão, sr mapadas o lmto d rfrêca, forcdo tgras smlhats às aprstadas as Eqs Como m smpr é possívl rsolvr xplctamt ssas tgras, m razão da complxdad do tgrado, tora-s covt a aplcação d fórmulas d tgração umérca. A déa básca da tgração umérca rsd a aproxmação da fução tgrado por um polômo. A scolha dss polômo dos potos qu srão usados a sua dtrmação é o qu dfrca os város métodos d tgração. As fórmulas d tgração são somatóros cuas parclas são valors da fução f x calculados m potos multplcados por psos covtmt scolhdos. Assm, procura-s dsvolvr fórmulas d tgração do tpo: b a F x dx F ξ dξ W F ξ a qual ξ 0 < ξ <... < ξ são chamados potos d tgração, W são os psos da fórmula d tgração, F é o tgrado trasformado. Para cada fórmula d tgração, srão stablcdos os psos os potos d tgração corrspodts ao crtéro d aproxmação adotado. Em gral, o úmro d potos qu dv sr tomado dpd do grau do polômo tgrado do tpo do lmto qu stá sdo cosdrado. Exstm város métodos d tgração umérca, tas como: Rgra do Trapézo, Itgração d Rosmbrg, Fórmulas d Nwto-Cots outros Dhatt & Touzot, 984. Nst studo srá utlzada uma das fórmulas d quadratura umérca mas comumt usada, a quadratura d Gauss-Lgdr. A fórmula rqur qu a tgral dsgada sa avalada sobr um trvalo lmtado fchado [-,] para o caso udmsoal [, ] [, ] para o caso bdmsoal. Itgração sobr o Elmto Tragular por: A fórmula da quadratura para tgras dfdas sobr um lmto tragular é dada

93 92 ξ F ξ, η dξdη 0 0 W F ξ, η r 4.54 a qual r dota o úmro d potos d Gauss, ξ, η dotam os potos d Gauss, W dota os corrspodts psos d Gauss. No prst studo, as tgras m cotoros d subvolums d cotrol são ftuadas usado três potos d Gauss m áras, quatro potos d Gauss, cuas coordadas psos stão rprstados a Tabla 4.3. Tabla Coordadas psos d Gauss para áras cotoros. Ordm Potos Coordadas ξ, η Psos 3 4, 3 3, 5 5 3, 5 5 3, A Fgura 4.8 mostra as facs dos subvolums d cotrol, sobr as quas srão ralzadas as tgraçõs para os fluxos dfusvo covctvo. Essas trfacs foram

94 93 umradas fo adotada a covção para o stdo at-horáro d sal postvo para o fluxo trado o subvolum d cotrol sal gatvo para o fluxo dxado o subvolum d cotrol. Cada uma dssas facs dvrá sr mapada m uma fac d rfrêca d comprmto - a para a utlzação da quadratura d Gauss Lgdr a tgração. Fgura Itrfacs dos subvolums d cotrol utlzadas as tgras d fluxos covctvo dfusvo. Obsrvado a Fgura 4.8 pod-s otar qu as matrzs covctvas dfusvas, para um lmto, são costruídas a forma: C, β FLC, β FLC6, β C2, β FLC2, β FLC, β FLC3, β C3, β FLC3, β C4, β FLC5, β FLC2, β C5, β FLC4, β C6, β FLC6, β FLC5, β FLC4, β 4.55

95 94 K, β FLD, β FLD6, β K2, β FLD2, β FLD, β FLD3, β K3, β FLD3, β K4, β FLD5, β FLD2, β K5, β FLD4, β K6, β FLD6, β FLD5, β FLD4, β 4.56 Nas Eqs os fluxos covctvos dfusvos são, rspctvamt, dfdos por: y x y x FLC p, β u v N β dη u v N β dξ p η η p 4.57 ξ ξ N β y N β x N β y N β x FLD p β µ dη µ dξ p x η y η p x ξ y ξ, 4.58 as quas p rprsta um dtrmado cotoro d um subvolum d cotrol dtro d um lmto como mostrado a Fgura 4.8. A matrz d massa é calculada d forma cosstt como: M α, β N β J dξ dη 4.59 Aα O arrao das varávs dtro d um lmto é mostrado a Fgura 4.9. Para os campos d vlocdad prssão, cada lmto cotrá 5 graus d lbrdad. Em cada ó d cato xstrão 3 graus d lbrdad: duas compots d vlocdads uma d prssão. Nos dmas ós xstrão somt duas compots d vlocdad. D mara aáloga ao mapamto das trfacs dos subvolums d cotrol, cada trâgulo mostrado a Fgura 4.9 dv sr mapado m um trâgulo rtâgulo d lados utáros para a ralzação da tgração umérca.

96 95 Fgura Arrao das varávs u, p, v localmt m um lmto. As matrzs os lmtos são calculadas durat o procsso d solução, m cada tração, dvdo às ão lardads dos trmos covctvos dfusvos. Part dos cálculos rqurdos tas como valors das fuçõs d trpolação suas drvadas m potos d Gauss, as áras cotoros d subvolums d cotrol, são ftos uma úca vz armazados m arquvos tmporáros qu são ldos durat o procsso d cálculo das matrzs dos lmtos. Ess procdmto tm por obtvo rduzr o tmpo d computação para compsar, m part, o tmpo gasto o método frotal Taylor & Hughs, 98 com ltura d dados o dsco. Para um sstma computacoal com mmóra d procssamto sufctmt grad, podr-s-a armazar os dados a própra mmóra o qu aclrara m muto o procsso d cálculo. O método d solução, dscrto a próxma sssão, rqur a ltura d mutos dados o dsco rígdo o qu lva o tmpo total d procssamto. Etrtato, l é aproprado para sstmas d pquo port, m qu a capacdad d mmóra possa sr ada uma lmtação.

97 Solução do Sstma d Equaçõs Dscrtzadas Nst trabalho adota-s a sgut stratéga d solução: os campos d vlocdads prssão são calculados rsolvdo-s smultaamt as quaçõs do movmto d cotudad. O método d solução adotado fo o método frotal, dscrto por Taylor & Hughs 98. O prmro obtvo do método frotal é a lmação d varávs logo após sua trodução, va quaçõs apropradas, dtro da matrz global. Imdatamt após todas as cotrbuçõs d todos os lmtos para um ó partcular tvrm sdo cosdradas, as varávs corrspodts assocadas com aqul ó são lmadas. Dsta forma, a matrz complta uca é motada, vsto qu todas as quaçõs rduzdas podm sr lmadas da mmóra armazadas m dsco. As quaçõs matdas a mmóra, com os ós varávs corrspodts são domadas frot o úmro d varávs dscohcdas dtro do frot é domado largura do frot. A largura do frot muda cotuamt, pos, uma vz qu todas as cotrbuçõs para um ó tham sdo compltamt somadas, a rdução da quação corrspodt, basada m um pvotamto dagoal, pod sr xcutada. Nos métodos d solução para matrzs smétrcas, apas a tragular supror da matrz é armazada m qualqur tmpo. Etrtato, para matrz global assmétrca, qu é o caso do prst studo, um procdmto dfrt é adotado. ma ára d mmóra préassalada para a matrz global é prchda d cotrbuçõs d lmtos; a maor trada dagoal sta ára pré-assalada d mmóra é cotrada usada como pvô um procsso d lmação drta d Gauss. Quado o máxmo úmro pré-dtrmado d quaçõs é lmado, as quaçõs rduzdas corrspodts são scrtas o dsco mas lmtos quaçõs corrspodts troduzdos a mmóra. O rqurmto mímo d mmóra para matrzs assmétrcas é quas duas vzs aqul rqurdo para matrzs smétrcas. As quaçõs, ós varávs corrtmt a mmóra são domados atvos, aquls guardados m dsco são domados dsatvados aquls para srm ada troduzdos a mmóra são domados atvos. Isto é mostrado squmatcamt a Fgura 4.0. ma rota costruída por Taylor & Hughs 98 para lmtos com oto ós fo modfcada adaptada para aplcação st trabalho.

98 97 Fgura Dfção d frot omclatura usada o método frotal. O método frotal tm a vatagm d qu m hum stat a matrz global cssta sr motada compltamt, sdo qu a maor matrz qu é motada é dfda por um parâmtro qu df o tamaho do frot. Dsta forma, a solução do sstma pod sr ralzada m computadors com mmóras rlatvamt pquas com méda capacdad d armazamto m dsco. O prço a s pagar é um tmpo maor para a solução, vsto qu, durat o procssamto, srão ldos dados armazados m dsco ss procsso ada é muto lto. Ess método também pod sr adaptado faclmt para uma solução sgrgada, m qu cada quação é rsolvda sparadamt. No caso d problmas trdmsoas, uma solução sgrgada pod sr mas ftva m trmos d armazamto d varávs a mmóra do computador. O método frotal d solução fo scolhdo também plo foqu qu s adotou, o qual é basado prcpalmt o método d motagm da matrz global como o método d lmtos ftos d Galrk. Na maora dos trabalhos qu mprgam o método d lmtos ftos basado m volums d cotrol CVFEM, o foqu é smlar ao do método d volums ftos, m qu o acoplamto prssão-vlocdad é rsolvdo por métodos basados o método SIMPLE, Patakar 980. Assm, soluçõs sgrgadas são mas utlzadas. Nos métodos d volums ftos, os sstmas rsultats, gralmt, são matrzs com três, cco ou ov dagoas, dpddo d quatos ós vzhos são cosdrados para calcular os fluxos para os volums d cotrol. Para s dtfcar cada varávl utlzam-s dos vtors: um qu cotém o úmro d graus d lbrdad por ó outro qu dtfca o úmro do prmro grau d lbrdad m cada ó. Na solução das quaçõs do movmto, o prmro grau d lbrdad corrspod à

99 98 compot d vlocdad, o sgudo a prssão, s for um ó d cato o trcro grau d lbrdad corrspod à vlocdad V. Cada ó local um lmto tm um úmro global qu é dado pla matrz d coctvdad dfda quado s gra a malha. Taylor & Hughs 98 mostram claramt o procsso d motagm das matrzs os lmtos da matrz global. No prst trabalho, como s adotou o procsso d solução msto, sto é, xstm mas ós d vlocdad do qu d prssão, tm-s úmro d graus d lbrdad varávl por ó como stá mostrado a Fgura 4.. No cotxto global, uma varávl é dtfcada por um ídc dfdo a forma mostrada a Fgura 4. Taylor & Hughs 98 totu adfm o totv adfm o odfm o f odfm o. q.3 totp adfm o odfm o 2 Fgura 4. - Ilustração da formação do ídc das varávs a matrz global. Na Fgura 4., adfm é um vtor qu cotém o úmro global do prmro grau d lbrdad m cada ó, qu corrspod à vlocdad u; totv corrspod ao úmro global do trcro grau d lbrdad m ós od são calculados u,v,p ou ao úmro global do sgudo grau d lbrdad od são calculados u,v totp rprsta a varávl prssão m ós od sta é calculada. No prst caso, o vtor adfm é formado da mara lustrada a Fgura 4.2, quato qu o vtor odfm, para um lmto quadrátco qualqur, pod sr formado sgudo o procdmto mostrado a Fgura 4.3. adfm do po 2, po adfm po adfm po odfm po Fgura Formação do vtor cotdo o ídc global do prmro grau d lbrdad por ó.

100 99 dofm úmro máxmo d graus d lbrdad um ó do lm, lm do odp, odp 2,2 odfml ods lm, odp dofm odfml ods lm, odp dofm Fgura Formação do vtor cotdo o úmro d graus d lbrdad por ó. Na Fgura 4.3, dofm 3 para a solução do scoamto, lm é o úmro d lmtos a malha, odp é o úmro d ós um lmto lods é a matrz d coctvdad. O crtéro d covrgêca ou d parada da solução, basado-s m Taylor & Hughs 98, é dfdo como: φ k φ φ k k ε 4.60 Na qual φ rprsta cada varávl do scoamto o valor d ε pod sr dfdo d acordo com o grau d prcsão qu s dsa a solução. Nos tsts do prst trabalho, dvdo a ão s dspor d rcursos computacoas com grad capacdad d procssamto, adotou-s ε 0,. Na Eq. 4.60, k é a tração o procsso d solução. Em cada tração a ova varávl é atualzada usado um fator d rlaxação a forma: ~ k k k φ rlax φ rlax φ, 0 < rlax < 4.6 O fator d rlaxação, gralmt é tomado tr 0,5 0,9.

101 Estrutura do Programa Computacoal A strutura do programa é aprstada a Fgura 4.4, a qual pod-s vr a sqüêca d chamada das váras subrotas. As subrotas são dscrtas a sgur: PROGRAMA PRINCIPAL DIMENS DINPT DRIVES ITERAT DIAGN DIAGN2 FRONTS WRITER SOLCP SHAPEG TOLREL FRONTP MATRI MATRIP TCEDIF DIFS MCONV PRESSL TFONTE TCEDIF MCONVT DIFST FONTET DJACOB DJACOB BONDRF DJACOB DJACOB DJACOB BONDRT DJACOB DJACOB SHAPEG DJACOB SHAPEG DJACOB Fgura Estrutura do programa computacoal. DIMENS Nsta subrota df-s as dmsõs máxmas da matrz d coctvdad, o tamaho do frot bm como o úmro máxmo d varávs o úmro total d varávs é calculado a subrota DINPT. Pod sr modfcada para dfr um dmsoamto dâmco das matrzs vtors usados o programa. 2 DINPT Todos os dados tas como: coordadas umração dos potos odas, umração dos lmtos a matrz d coctvdad, codçõs d cotoro cas, além das proprdads físcas do fludo, são ldos sta subrota. Os vtors cotdo o úmro d graus d lbrdad por ó o úmro global do prmro grau d lbrdad por ó são também dfdos sta subrota. Nsta subrota é fta também a vrfcação da malha bm como d outros parâmtros d trada por mo das subrotas DIAGN chcagm d dmsõs DIAGN2 chcagm d coordadas da matrz d coctvdad.

102 0 3 DRIVES Nsta subrota calcula-s as fuçõs d trpolação suas drvadas m todos os potos d Gauss m áras 6 potos cotoros 3 potos dos subvolums d cotrol dtro dos lmtos d rfrêca 6 ós para vlocdads 3 ós para prssão od as tgraçõs são ralzadas, através da subrota SHAPEG. Esss dados são armazados m arquvos o dsco rígdo são ldos o cálculo das matrzs dos lmtos. 4 ITERAT Esta subrota faz a chamada da subrota prcpal FRONTS para solução do problma cotrola a covrgêca do procsso tratvo por mo da subrota TOLREL. Os rsultados são mprssos pla subrota WRITER. A subrota FRONTS formula a matrz global, mpõ as codçõs d cotoro rsolv o sstma rsultat d quaçõs usado o método frotal ão smétrco d solução. FRONTS chama a subrota MATRI qu calcula as matrzs dos lmtos d acordo com o modlo umérco proposto o vtor do lado drto do sstma d quaçõs. A subrota MATRI, por sua vz, chama váras outras subrotas para o cálculo dos város trmos das quaçõs, tas como: TCEDIF, qu calcula os fluxos covctvos dfusvos os cotoros dos subvolums d cotrol; MCONV, qu mota a matrz dos trmos covctvos; DIFS qu mota a matrz dos trmos dfusvos calcula a matrz d massa; PRESSL, qu calcula as matrzs dos trmos d prssão das quaçõs d quatdad d movmto as matrzs dos trmos da quação d cotudad, por fm, TFONTE, qu calcula os vtors dos trmos fots das quaçõs d quatdad d movmto. 5 SOLCP D mara smlar à subrota ITERAT, a subrota SOLCP cotrola o procsso d solução da quação d trasport d um scalar qualqur. A subrota DJACOB, chamada m váras subrotas, calcula o acobao da trasformação das tgras o lmto ral para o lmto d rfrêca. A strutura do programa fo costruída d forma bm modular, o qu prmt mudaças rlatvamt d forma bm smpls trodução d ovos módulos d uma forma drta. Por xmplo, os módulos para calcular a vscosdad turbulta podm sr srdos a strutura do programa. Essa strutura fo basada prcpalmt o trabalho d Taylor & Hughs 98 qu dsvolvram um programa basado o método d lmtos ftos d Galrk usado um lmto com oto ós.

103 02

104 APLICAÇÕES DO MODELO NMÉRICO PARA ESCOAMENTOS ISOTÉRMICOS Toda qualqur modfcação ftuada um códgo computacoal drcoado à smulação d scoamtos dv, obrgatoramt, sr submtda a um procsso rgoroso d valdação, sobrtudo com o tuto d vrfcar s as ovas mplmtaçõs produzm rsultados cosstts, prmtdo uma boa rprstação d problmas físcos. m dos procdmtos tpcamt adotados para a valdação d programas d smulação cosst a scolha d casos-tst bchmarks para os quas s dspoham d soluçõs aalítcas ou, tão, uma boa quatdad d dados umércos ou xprmtas qu possam srvr como lmtos d comparação para os rsultados obtdos. No prst trabalho, dos problmas foram mprgados como caso-tst, a sabr: o scoamto o tror d cavdads com tampa dslzat ld-drv cavty o scoamto por covção atural ou covcção lvr fr or atural covcto dvdo a varaçõs a dsdad do fludo quado submtdo a varaçõs d tmpratura. Ests dos problmas são prftamt adaptados para a ralzação dssa tarfa, uma vz qu, além d xaustvamt xplorados a ltratura, ambos s caractrzam por aprstarm gomtras bastat smpls, o tror das quas s dsvolvm scoamtos bastat complxos. Nst capítulo a fomologa as prcpas caractrístcas do problma do scoamto o tror d uma cavdad com tampa dslzat srão dscutdas, com bas a rvsão d trabalhos dspoívs a ltratura os rsultados obtdos das smulaçõs ftuadas o âmbto do prst trabalho.

105 Escoamto uma Cavdad Quadrada com Pard Supror Dslzat Nst tm, são aprstados rsultados para o scoamto duzdo plo movmto da pard supror d uma cavdad quadrada hdrodâmca Squar Ld-Drv Cavty Flow. Nst caso, tm-s o tror d uma cavdad totalmt prchdo com fludo, od a frotra supror da cavdad há uma camada d fludo qu s mov utamt com a pard com vlocdad uform, sdo as pards rstats cosdradas pards sóldas com codção d adrêca. Dvdo aos ftos vscosos, ocorr uma trasfrêca d quatdad d movmto da frotra móvl para as camadas d fludo adacts, as quas também sofrm os ftos cotráros das pards sóldas. Assm, a solução fal sprada o stado stacoáro para o scoamto m uma cavdad srá a crculação movmto rotatóro do fludo cofado ao logo dos cotoros, d mara qu s possa prcbr a formação d um vórtc prcpal as lhas d corrt, o qual dpd, a sua forma posção, do úmro d Ryolds também da largura altura do domío. Vórtcs scudáros são também otados m algus casos, os quas dpdm das msmas codçõs ctadas. A solução dst tpo d problma costtu um xclt tst para a valdação d códgos umércos, pos apsar d sua gomtra bastat smpls, o scoamto m su tror é bastat complxo. Smulaçõs umércas dss tpo d problma são motvadas por quatro fators prcpas: a ss scoamto costtu uma rprstação dalzada d váras stuaçõs cotradas a prátca, tas como o sstma d dcomposção cotíua d plícula foto ssívl sobr flms papés fotográfcos, os scoamtos ao rdor d placas dvsoras cutouts os sulcos dos trocadors d calor ou, até msmo, m scoamtos as suprfícs d aroavs; b ss tpo d scoamto possu uma topologa altamt ão homogêa, qu agrga rgõs lamars turbultas, com fort tração tr struturas turblhoars, como dtalhado por Gha t al. 982; c a cofguração gométrca do problma faclta sobrmara a mposção das codçõs d cotoros; d xst a ltratura um cosdrávl úmro d artgos qu tratam dst tma, ofrcdo farto matral para a comparação d rsultados.

106 05 ma das vstgaçõs poras cocrts ao problma da cavdad duzda bdmsoal fo ralzada por Burggarf 966, qu aprsta prfs aalítcos umércos d vlocdads sobr lhas d ctro da cavdad, para úmros d Ryolds comprddos tr Nallasamy & Prassad 977 também vstgaram st tpo d scoamto, para 0<R<5.0 4, rsolvdo as quaçõs d Navr-Stoks através do método d dfrças ftas. Ests autors aprstaram soluçõs umércas para o problma da cavdad quadrada a úmros d Ryolds abaxo d 0 4, torado-s rfrêca para a maora dos trabalhos dsvolvdos postrormt. Gha t al. 982 rsolvram o problma da cavdad mprgado a formulação fução d corrt vortcdad, utlzado uma malha uform. Para aclrar a covrgêca, os autors usaram o método multgrd, qu s mostrou fcaz a solução utlzado malhas d alto ívl d rfamto. Os autors studaram o comportamto dos prfs d vlocdad u v a lha d ctro da cavdad o ctro do vórtc prmáro, para uma faxa d úmro d Ryolds d 400 a 0 4. Jorda & Ragab 993 vstgaram umrcamt o scoamto cofado m uma cavdad trdmsoal para úmro d Ryolds tr Para tato, fo mprgada a DNS como mtodologa para a smulação a úmros d Ryols modrados R LES para úmros d Ryolds suprors a ss valor. Tas autors utlzaram o modlo submalha d Smagorsky assocado à fução d amortcmto d Va Drst fo mprgado. Frgo t al fzram smulaçõs 2D para úmros d Ryolds 00, , 3D com Ryolds , com o obtvo d tstar as mplmtaçõs ftas um códgo dsvolvdo m volums ftos, bdmsoas, domado Fluds 2D. O caso aprstado st tm é d um scoamto bdmsoal, comprssívl d um fludo wtoao vscoso Gomtra Codçõs d Cotoro Na Fgura 5. são lustradas a gomtra as codçõs d cotoro do problma. A cavdad tm lado utáro a orgm do xo das coordadas cartsaas stá fxada o cato fror squrdo. Os plaos x 0, x y 0 foram submtdos à codção d ão dslzamto d mprmabldad, fazdo-s u v 0. Sobr o plao y, fo mposta a vlocdad u u w, com v 0.

107 06 Fgura 5. - Gomtra codçõs d cotoro da cavdad quadrada Equaçõs Govrats Dscrtzação do Domío As quaçõs govrats são as Eqs a 3.26 qu, admsoalzadas sm o trmo cruzado, fcam a forma: 0 Y V 5.3 Y Y P Y V t R R ν ν 5.4a Y V Y V Y P Y VV V t V R R ν ν 5.4b

108 07 A vscosdad ftva as Eqs. 5.4 é dfda como ν t. As varávs admsoas do spaço, das vlocdads, da prssão, do úmro d Ryolds da vscosdad turbulta, utlzadas as Eqs foram dfdas por: x y u v pt p0 uwl ν t ; Y ; ; V ; P ; R ; ν R 2 t 5.5 L L u u u µ ν w w w * as quas L é o comprmto do lado da cavdad. Com as codçõs d cotoro para as vlocdads dfdas atrormt, como: V 0 m 0 5.a V 0 m Y 0 5.b ; V 0 m Y 5.c Como o scoamto é cosdrado comprssívl, a codção d cotoro para a prssão pod sr mposta apas m um poto. Nss caso, fo mposta a mtad da pard fror, dfda como: P 0 m 0,5 Y A Fgura 5.2 mostra a malha utlzada a dscrtzação do domío, a qual é formada por lmtos tragulars d ss ós. Essa malha fo grada utlzado-s o pré-procssador do ANSYS 5.4 cotém 744 lmtos tragulars 360 ós. Todos os casos foram smulados com tmpos admsoas da ordm d 30 0, garatdo dssa forma a ão dpdêca com o tmpo. Nas quaçõs dscrtzadas, o passo d tmpo aparc o domador dos lmtos da matrz d massa, como pod sr vsto as Eqs a 4.39; dssa forma, fazdo-s o rgm prmat. t tdr ao fto, smula-s drtamt o

109 08 Fgura Cavdad quadrada dscrtzada m 744 lmtos. As smulaçõs foram ralzadas para Ryolds 00, 200, 400, , sdo qu para o prmro caso foram tomadas codçõs cas guas a zro. Para o sgudo caso, R 200, tomou-s como codção cal o rsultado obtdo m R 00, o msmo para os Ryolds sucssors. Nas Fguras 5.3 a 5.0 mostram-s, rspctvamt, os prfs d vlocdad obtdos para m 0, 5 lha ctral vrtcal V m Y 0, 5 lha ctral horzotal, para Ryolds gual a 00, 200, 400, sm dpdêca do tmpo. Algus rsultados são comparados com os rsultados d Gha t al Para os úmros d Ryolds 00, , a costat d Smagorsky fo fta gual a 0,6 obsrva-s plas Fguras 5.3 a 5.5 qu há uma xclt cocordâca com os rsultados para todos os valors, msmo ão havdo huma técca d upwd m tgração d sguda ordm o tmpo, como algus autors afrmam sr cssára para o uso d LES.

110 09 Já para úmros d Ryolds acma d 400, foram tstados outros valors para a costat d Smagorsky, pos os rsultados ão covrgram para a tolrâca dsada, usado 0,6. Nas Fguras 5.6 a 5.9 pod-s obsrvar a fluêca do valor dssa costat para úmro d Ryolds gual a.000. Obsrva-s qu, coform aumta-s o valor da costat, os rsultados aprstam mors osclaçõs maor cocordâca com Gha t al. 982, mbora aprstado ada algumas dscrpâcas. Os valors tstados para tal costat foram Cs 0,34, 0,4, 0,6 0,76. Esss valors d costat stão fora dos valors ctados a ltratura, o tato, o valor dssa costat tm sdo qustoado adaptado sgudo o método umérco o tpo d malha utlzada a smulação, dvdo sr austada caso a caso. São cssáras maors vstgaçõs smulaçõs para s tdr o comportamto dos rsultados obtdos com o prst método para os dfrts valors d tal costat. Para os rsultados com R3.200, mostrados as Fguras 5.0, o valor dssa costat fo tomado gual a 0,9, obsrvado-s algumas osclaçõs dscrpâcas, quado comparados com os rsultados aprstados por Gha t al. 982 para ss msmo valor d úmro d Ryoldas.

111 0,0 0,8 0,6 Y 0,4 0,2 R00 Est trabalho Gha t al ,0-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Fgura 5.3a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R 00. 0,2 0, 0,0 V -0, -0,2 R00 Est trabalho Gha t al ,3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Fgura 5.3 b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad para R 00.

112 ,0 0,8 0,6 Y 0,4 R200 Est trabalho 0,2 0,0-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Fgura 5.4a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R ,3 0,2 0, 0,0 V -0, -0,2 R200 Est trabalho -0,3-0,4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Fgura 5.4b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R 200.

113 2,0 0,8 0,6 Y 0,4 0,2 R400 Est trabalho Gha t al ,0-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2 Fgura 5.5a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R ,4 0,3 0,2 0, 0,0 V -0, -0,2-0,3 R400 Est trabalho Gha t al ,4-0,5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Fgura 5.5b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R 400.

114 3,0 0,8 0,6 Y 0,4 0,2 R 000 Est Trabalho Cs0,34 Gha t al ,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2 Fgura 5.6a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R.000 Cs0,34. 0,6 0,4 0,2 0,0 V -0,2-0,4-0,6-0,8 R000 Est trabalho Cs0.34 Gha t al ,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Fgura 5.6b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R.000 Cs0,34.

115 4,0 0,8 0,6 Y 0,4 0,2 R000 Est trabalho Cs0,4 Gha t al ,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2 Fgura 5.7a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R.000 Cs0,4. 0,6 0,4 0,2 0,0 V -0,2-0,4-0,6-0,8 R000 Est trabalho Cs0.4 Gh t al ,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Fgura 5.7b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R.000 Cs0,4.

116 5,0 0,8 0,6 Y 0,4 0,2 R 000 Est Trabalho Cs0,6 Gha t al ,0-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2 Fgura 5.8a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R.000 Cs0,6. 0,6 0,4 0,2 0,0 V -0,2-0,4-0,6 R000 Est trabalho Cs0.6 Gha t al ,8 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Fgura 5.8b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R.000 Cs0,6.

117 6,0 0,8 0,6 Y 0,4 0,2 R000 Est trabalho Cs0,76 Gha t al ,0-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2 Fgura 5.9a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R.000 Cs 0,76. 0,6 0,4 0,2 V 0,0-0,2-0,4 R000 Est trabalho Cs20,76 Gha t al ,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Fgura 5.9b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad par R.000. Cs 0,76.

118 7,0 0,8 0,6 Y 0,4 0,2 R 3200 Est trabalho Cs0,9 Gha t al ,0-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2 Fgura 5.0a - Vlocdad a lha d ctro vrtcal da cavdad para R Cs0,9. 0,6 0,4 0,2 0,0 V -0,2-0,4-0,6 R3200 Est trabalho Cs0,9 Gha t al ,8 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Fgura 5.0b - Vlocdad V a lha d ctro horzotal da cavdad para R Cs0,9.

119 8 As lhas d corrt são obtdas por mo da solução da sgut quação, utlzado o método d lmtos ftos basado m volums d cotrol: 2 2 ψ ψ u v 2 2 x y y x 5.6 As codçõs d cotoro para a fução d corrt foram tomadas ulas m todo o cotoro. Na Fgura 5. lustra-s as lhas d corrt para o úmro d Ryolds 00 m rgm prmat. Obsrva-s a formação do vórtc prcpal próxmo à altura 0,75Y largura 0,7. A posção dss vórtc corrspod aproxmadamt à posção d trada cotrada por Gha t al. 982 para o msmo úmro d Ryolds. Em suas smulaçõs, além dss vórtc prcpal, surgm outros dos vórtcs mors, domados scudáros, localzados os catos drto squrdo, sdo o do cato drto lgramt maor qu o do squrdo Y Fgura 5. - Lhas d corrt para R 00.

120 Para Ryolds 200, pod-s obsrvar a Fgura 5.2, qu além do vórtc maor ctral, cosdrado prcpal, surg um vórtc scudáro, localzado o cato fror drto da cavdad Y Fgura Lhas d corrt para R 200. Para as smulaçõs com úmro d Ryolds 400 obsrva-s através da Fgura 5.3 qu o vórtc prcpal va s aproxmado do ctro da cavdad, o vórtc do cato drto aumta o cato squrdo comça a surgr uma trcra rcrculação. Novamt, comparado os rsultados com Gha t al. 982, prcb-s qu os vórtcs prsts m suas smulaçõs aprstam-s um pouco mas voluídos quato ao tamaho d suas rcrculaçõs.

121 Y Fgura Lhas d corrt para R 400. Nas Fguras 5.4, são mostradas as lhas d corrt para Ryolds 000, com a costat d Smagorsky tomada gual a 0,4, 0,6 a 0,76. Pod-s obsrvar a volução dos vórtcs scudáros, prcpalmt o d cato squrdo qu ada ão aprstava formação para úmro d Ryolds 400. Comparado-s com os rsultados d Gha t al. 982, para R.000, a formação dos vórtcs scudáros do prst trabalho aprstam-s bm próxmos, mbora um pouco mos voluídos. A Fgura 5.7 aprsta as lhas d corrt para R Os rsultados aprstados por Gha t al. 982 para o msmo úmro d Ryolds aprstam um vórtc d cato supror squrdo, o qual ão aprstou formação os rsultados do prst trabalho, para st úmro d Ryolds. Em gral, o prst método umérco stá s comportado como s stvss smulado um R mor, pos para scoamtos com umros d Ryolds abaxo d 400 os vortcs scudáros ão aprstam a volução dsada.

122 Y Fgura Lhas d corrt para R.000 Cs0, Y Fgura Lhas d corrt para R.000 Cs0,6.

123 Y Fgura Lhas d corrt para R.000 Cs0, Y Fgura Lhas d corrt para R Cs0,9.

124 23 As Tablas mostram os valors das lhas d corrt ívs para os úmros d Ryolds smulados, as quas stão rprstadas as Fguras 5. a 5.7, para úmros d Ryolds 00, 200, 400, Tabla 5. - Valors das lhas d corrt para um scoamto duzdo uma cavdad quadrada para R00, Nívl R00 R200 R400-0, ,026-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0266E ,20528E-05-3,63853E-0.5 -,8255E ,278E-06-4,93836E-06 3,37842E ,27498E-07 -,47908E-05 0, A Tabla 5.3 cotém os valors máxmos mímos da fução d corrt, bm como as coordadas dos potos os quas sss valors stão localzados. Os comprmtos horzotal H L vrtcal V L dos vórtcs scudáros, os catos frors drto squrdo da cavdad, stão também lstados para R400. Esss valors foram cotrados fazdo uma trpolação através do TECPLOT. A Tabla 5.3 aprsta também, comparaçõs com rsultados obtdos por Saabas & Balga 994a,b utlzado CVFEM com lmtos tragulars d três ós m rgm prmat. Outra comparação aprstada, qu costuma sr xtsvamt utlzada para

125 24 valdar códgos umércos, são os rsultados aprstados por Gha t al. 982 para uma cavdad quadrada hdrodâmca. Como últma comparação, mostra os rsultados d Lma 2004, obtdos utlzado um método CVFEM para malha struturada formada por quadrlátros d ov ós. A Tabla 5.3 aprsta uma crta cocordâca para os valors dos vórtcs prmáro d cato drto. Como ão houv a formação do vórtc d cato squrdo, toram-s cssáras mas vstgaçõs smulaçõs, m trabalhos futuros, para s tdr tal comportamto. Tabla Valors das lhas d corrt para um scoamto duzdo uma cavdad quadrada para R000 Cs0,76, 000 Cs0, Nívl R.000 R000 R3.200 Cs0,76 Cs0,4-0,2978-0,459-0, , ,39-0, ,2202-0,252-0, , , , , , , , , , ,0595-0, , , , , , , , , , , , ,706E-05-4,85022E-5 2 0, , , ,34563E-5 0, , , , , , ,

126 25 Tabla Escoamto duzdo m uma cavdad quadrada, R 400. Vórtcs Gha Saabas994 FLO:8 8 Lma Prst Trabalho 360 lmtos Prmáros Cato Esqurdo Cato Drto Ψm -0,39-0,02-0,8-0,05 x 0,5547 0,5625 0,559 0,56 y 0,6055 0,625 0,6068 0,60 Ψmax,42E-5,033E-5 9,730E-6 - x 0,0508 0,050 0, y 0,0469 0,050 0, H L 0,273 0,05 0,0 - V L 0,08 0,0906 0, Ψmax 6,423E-4 5,85E-4 5,847E-4 4,28E-4 x 0,8906 0,8875 0, ,88 y 0,25 0,25 0,2037 0,2 H L 0,267 0,246 0,249 0,24 V L 0,3203 0,298 0,2958 0,28 Na Tabla 5.4 são aprstados rsultados smlars aos da Tabla 5.2 para o scoamto com úmro d Ryolds gual a.000, com costat d Smagorsky gual a 0,76. Pod-s obsrvar qu sta tabla aprsta uma cocordâca satsfatóra tr a maora dos rsultados dst trabalho os rsultados aprstados como rfrêca.

127 26 Tabla Escoamto duzdo m uma cavdad quadrada, R 000. Vórtcs Gha Saabas994 FLO:8 8 Lma Prst Trabalho 360 lmtos Prmáros Ψm -0,79-0,054-0,54-0,385 Cato Esqurdo Cato Drto x 0,533 0,5375 0,5333 0,53 y 0,5625 0,5625 0, ,578 Ψmax 2,3E-4,746E-4 2,00E-4,94E-4 x 0,0859 0,0750 0, ,078 y 0,078 0,0750 0, ,078 H L 0,288 0,95 0,2 0,2 V L 0,68 0,5 0,587 0,6 Ψmax,75E-3,505E-3,606E-3 2,054E-3 x 0,8594 0,875 0, ,859 y 0,094 0,25 0,075 0,8 H L 0,3034 0,277 0,3424 0,32 V L 0,3536 0,329 0,297 0,34 No prst caso, ão fo possívl r além da faxa d trasção d scoamto lamar para turbulto, qu é para úmro d Ryolds m toro d E, msmo assm, a partr d úmro d Ryolds maor do qu 000, tv-s qu aumtar o valor da costat d Smagorsky, muto além do valor rcomdado a ltratura. Em trabalhos futuros, dvrá sr vstgada a razão d sr tr uma costat d Smagorsky fora da faxa ormalmt ctada a ltratura, quado s aumtou o úmro d Ryolds. Da forma como a mtodologa d LES fo utlzada st trabalho, la fucoou mas como um modlo d vscosdad artfcal do qu propramt como a rfrda mtodologa LES. A ão covrgêca d rsultados para úmros d Ryolds mas lvados, pod tr sdo dvdo o uso d malhas ão struturadas tr lvado a soluçõs stávs com o lmto adotado. Também ão fo utlzada huma técca d upwd, m fo rodada a solução trast passo a passo.

128 APLICAÇÕES DO MODELO NMÉRICO PARA ESCOAMENTOS NÃO ISOTÉRMICOS Est capítulo tm como obtvo aprstar um caso smpls d scoamto ão sotérmco por covcção atural, com o obtvo d valdar o cálculo ss tpo d scoamto mplmtar a quação d trasport d um scalar qualqur o códgo costruído o prst trabalho Escoamto por Covcção Natural m uma Cavdad Quadrada A covcção atural ou covcção lvr fr or atural covcto caractrza-s plo scoamto atural do fludo sm a cssdad d uma codção xtra qu forc o scoamto, como o caso do scoamto ctado o capítulo 5. Ess scoamto ocorr dvdo a varaçõs a dsdad do fludo quado submtdo a varaçõs d tmpratura ou prssão. A varação da dsdad causa um scoamto, pos o fludo stá também submtdo à ação d uma força d corpo, gralmt caractrzada pla atração gravtacoal. A varação a dsdad do fludo é comumt assocada à prsça d um gradt d tmpratura, sdo sta xatamt a stuação tratada st capítulo. É mportat lmbrar qu a quação d stado para gass prftos P RT prmt stablcr uma rlação tr a tmpratura, prssão dsdad do fludo, sdo qu, gralmt, a dsdad dmu com o aumto da tmpratura, dvdo à xpasão do fludo.

129 Gomtra Codçõs d Cotoro O domío d cáculo para o scoamto com covcção atural pod sr vsto a Fgura 6., a aqual pod-s dtfcar duas dfrts codçõs d cotoro térmcas o problma. As pards horzotas supror fror adabátcas, portato, com uma codção d Nwma stablcdo um fluxo ulo d calor as pards vrtcas à drta à squrda od s fxa o valor da tmpratura, as quas rsultam m uma codção d cotoro d Drchlt para ambas as rgõs. Fgura 6. - Gomtra codçõs d cotoro para o scoamto por covcção atural. As codçõs d cotoro para a vlocdad srão do prmro tpo Drchlt, uma vz qu m todas as pards tm-s a codção d adrêca. A quação da cosrvação d quatdad d movmto dscrtzada clu a força d campo dfda pla atração gravtacoal g também a aproxmação d Bousssq para qu a quação clua os ftos da flutuação a dsdad. Ess dsvolvmto é aprstado o Apêdc B. Os rsultados são dados tdo como parâmtro o úmro d Raylgh, dfdo por: