GRÁFICOS DE CONTROLE X PARA PROCESSOS ROBUSTOS

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1 GRÁFICOS DE CONTROLE X PARA PROCESSOS ROBUSTOS v.5, n.3, , dez. 998 Antono Fernando Branco Costa UNESP Camus de Guaratnguetá Dto. de Produção 25- C. Postal 25 Guaratnguetá SP emal: fbranco@rovale.com.br Resumo O avanço tecnológco tem tornado os rocessos rodutvos cada vez mas robustos (robustos no sentdo de roduzrem tens cada vez mas guas). Neste contexto, equenas alterações no rocesso odem ser crítcas, devendo ortanto ser elmnadas com radez. Tradconalmente, são utlzados os gráfcos das somas acumuladas ou das médas móves ara controlar tas rocessos. O objetvo deste trabalho é mostrar que os gráfcos de Shewhart também odem ser utlzados ara controlar rocessos robustos, bastando varar seus arâmetros de rojeto de manera arorada. Palavras-chave: rocessos robustos, controle de rocessos, gráfcos de Shewhart com arâmetros varáves.. Introdução A smlcdade oeraconal dos gráfcos de Shewhart tem sdo a rncal motvação ara o seu uso ntenso no montoramento de rocessos rodutvos. Contudo, esta smlcdade oeraconal, sto é, de se tomar amostras de tamanho n a cada h horas e nvestgar o rocesso somente quando um onto amostral ca fora dos lmtes de controle, faz dos gráfcos de Shewhart um dsostvo lento na detecção de equenas alterações no rocesso. Por conta dsto, os gráfcos de Shewhart vem sendo gradualmente substtuídos or outros gráfcos, tas como os gráfcos das somas acumuladas ou os gráfcos das médas móves, oeraconalmente mas

2 26 Costa Gráfcos de Controle X ara Processos Robustos comlexos, orém áges na detecção de equenas mudanças no rocesso. O avanço tecnológco vem ntensfcando esta tendênca, vsto que os rocessos estão cada vez mas robustos (robustos no sentdo de roduzrem tens cada vez mas guas em termos de eso, dmensões, comosção, etc.). Neste contexto, equenas alterações no rocesso odem ser crítcas, devendo ortanto serem elmnadas com radez. Nestes últmos dez anos, esecal atenção tem sdo devotada aos gráfcos de Shewhart vsando a sua utlzação no montoramento de rocessos robustos. A déa básca consste em se varar os arâmetros de rojeto dos gráfcos de Shewhart de manera arorada, entre um valor mínmo e um valor máxmo. Estes arâmetros são o tamanho da amostra n, o ntervalo de temo entre retrada de amostras h, e o fator de abertura k dos lmtes de controle (no caso artcular do gráfco X, os lmtes de controle são dados or μ ± kσ / n, onde e são resectvamente a méda e o desvo adrão da varável X). Assm, quando há susetas de que o rocesso se alterou, o controle se torna mas rígdo, caso contráro ele é relaxado. Susetas de que o rocesso se alterou são obtdas quando um onto amostral ca na chamada regão de advertênca do gráfco (veja Fgura ). Nestas condções, o controle se torna mas rígdo orque se toma uma, duas ou todas das seguntes meddas: a) redução no temo de esera ara a retrada da róxma amostra ( valor mínmo de h); b) aumento do tamanho da róxma amostra (valor máxmo de n); c) estretamento dos lmtes de controle (valor mínmo de k). Um onto amostral na regão central do gráfco é uma ndcação de que o rocesso não sofreu alterações. Nestas condções, o controle é relaxado orque se toma uma, duas ou todas das seguntes meddas: a) aumento no temo de esera ara a retrada da róxma amostra (valor máxmo de h); b) redução do tamanha da róxma amostra (valor mínmo de n); c) alargamento dos lmtes de controle (valor máxmo de k). Os gráfcos de Shewhart com o ntervalo entre retrada de amostras varável são chamados de gráfcos de controle com h varável. Analogamente, quando o tamanho das amostras e o ntervalo entre retrada de amostras são varáves, temos os gráfcos de controle com n e h varáves, etc. A déa de varar o ntervalo entre retrada de amostras fo rmero exlorada com os gráfcos X (REYNOLDS, et al., 988; RUNGER & PIGNATIELLO, 99; AMIN & MILLER, 993; RUNGER & MONTGOMERY, 993; BAXLEY, 995; REYNOLDS, ARNOLD & BAIK, 996; REYNOLDS, 996), mas logo se estendeu ara outros gráfcos (REYNOLDS, AMIN & ARNOLD, 99; SACCUCCI, AMIN & LUCAS, 992). Por sua vez, PRABHU, RUNGER & KEATS (993) e COSTA, (994) estudaram os gráfcos X com o tamanho das amostras varável. O róxmo asso fo então estudar os gráfcos X com n e h varáves (PRABHU, MONTGOMERY & RUNGER, 994; COSTA, 997). Recentemente, COSTA (999a; 999b; 998a) estudou os gráfcos conjuntos X e R com n e h varáves e o gráfco X solado e em conjunto com o gráfco R tendo todos arâmetros varáves. Uma revsão recente e bastante comleta sobre o assunto, englobando cerca de sessenta artgos, todos em nglês, fo elaborada or TAGARAS (998). 2. Descrção dos Gráfcos X com Parâmetros Varáves A o longo deste trabalho, assume-se que os gráfcos X com arâmetros varáves são emregados ara montorar um rocesso onde as observações da característca de nteresse X têm dstrbução normal com méda e desvo adrão conhecdo. Consdera-se também que a rodução se nca com a méda do rocesso (méda de X) ajustada no alvo ( = ), mas aós algum temo de funconamento esta sofre um deslocamento ndo de ara, com

3 GESTÃO & PRODUÇÃO v.5, n.3, , dez Até antes da méda se deslocar, o rocesso ermanece em um estado de controle estatístco (abrevadamente, sob controle ). A função rmera do gráfco X é detectar alterações na méda, assnalando assm os nstantes arorados em que o rocesso deve sofrer ajustes. Quando o rocesso está sendo montorado or um gráfco convenconal do to X (.e., com arâmetros constantes), uma amostra de tamanho n é escolhda aleatoramente a cada h horas. Então, os valores da varável X vndos das amostras são lotados em um gráfco com lmtes de controle dados or μ ± kσ/ n, (também conhecdos como lmtes de ação). Um valor de X além dos lmtes de controle é uma ndcação de que o rocesso necessta de ajustes. Quando a méda do rocesso está centrada no alvo( = ) dfclmente um valor de X ca fora do ntervalo μ ± kσ/ n ; se sto acontecer tem-se um alarme falso, os o gráfco ndevdamente assnala um desajuste. A robabldade de um alarme falso é dada or = Pr[ Z > k Z ~ N(,)]. O gráfco X com arâmetros varáves é uma modfcação do gráfco X na qual os arâmetros de rojeto n, h e k varam entre dos valores como função da mas recente nformação do rocesso. Deste modo, a osção de cada onto amostral no gráfco estabelece o tamanho da róxma amostra e o nstante de sua amostragem (veja Fgura ). Se o onto amostral car dentro da regão de advertênca então a róxma amostra será grande, sto é n 2 > n, e ela será extraída aós um curto eríodo de esera, sto é h 2 < h. Por outro lado, se o onto amostral car dentro da regão central então a róxma amostra será equena, sto é n < n, e ela será extraída aós um longo eríodo de esera, sto é h > h. Além dsso, os valores de X serão lotados em um gráfco com lmtes de advertênca e ação dados or μ ± wσ / n e μ ± kσ / n resectvamente, onde = (=2) se X veo de uma amostra equena (grande), k > k > k 2 e w > w 2. Com sto, os lmtes de ação (e de advertênca) ara amostras equenas e ara amostras grandes não concdem. Para evtar o uso de dos gráfcos de controle, um ara cada tamanho de amostra, ou a lotagem de dos conjuntos de lmtes em um mesmo gráfco, o que odera ser fator de confusão, o usuáro ode, ara fazer os lmtes de ação (ou de advertênca) ara ambos os tamanhos de amostra concdrem em uma mesma lnha, construr o gráfco X com duas escalas, uma do lado esquerdo e outra do lado dreto. Resta orém o roblema que ao ajustar as escalas ara fazer os lmtes de ação concdrem, os lmtes de advertênca não concdrão (e, analogamente, se as escalas forem escolhdas de modo a fazer concdrem os lmtes de advertênca, os lmtes de ação não concdrão). Este masse ode ser soluconado or meo de uma quebra em uma das escalas, como lustrado na Fgura (no exemlo dessa fgura, a quebra ocorre na regão de advertênca, na escala da esquerda). Obvamente, o usuáro terá dfculdades ara lotar os ontos amostras (vndos das amostras equenas) quando estes caem na regão de advertênca. A sugestão aqu é lotar esses ontos em qualquer lugar dentro da regão de advertênca, uma vez que a exata osção dentro desta regão não é exgda elo crtéro de decsões adotado. (Comentáro: deendendo dos valores de k, k 2, w e w 2 o usuáro ode consderar mas convenente quebrar a escala da dreta, ou mesmo manter a quebra na regão central). O gráfco X com arâmetros varáves roduz um snal quando um onto amostral ca na regão de ação. Se o rocesso está oerando aroradamente com =, então este snal é um alarme falso; caso contráro trata-se de um alarme verdadero. Dfclmente a méda do rocesso sofre alterações logo no níco da rodução, ortanto é razoável retrar a rmera amostra (de tamanho n ) no nstante de temo h. Aós as nvestgações que se seguem a cada alarme falso, o rocesso é rencalzado.

4 262 Costa Gráfcos de Controle X ara Processos Robustos X k/ n w/ n - w/ n - k/ n Regão de Ação Regão de Advertênca Regão Central Regão de Advertênca Regão de Ação X k 2/ n 2 w 2/ n 2 - w 2/ n 2 - k 2/ n 2 h h 2 h + 2h + h 2 2(h + h 2 ) Temo Lmtes de advertênca Lmtes de ação => valores de X vndos das amostras de tamanho n (lotados no gráfco consderando a escala da esquerda). => valores de X vndos das amostras de tamanho n 2 (lotados no gráfco consderando a escala da dreta). Obs.: ara não sobrecarregar o desenho, os lmtes de controle foram obtdos consderando = e =. Fgura Gráfco X com arâmetros varáves 3. Proredades dos Gráfcos X com Parâmetros Varáves A velocdade com que um gráfco de controle detecta mudanças na méda do rocesso mede a sua efcênca estatístca. Quando o ntervalo entre amostras é varável a velocdade é medda elo AATS (Adjusted Average Tme to Sgnal), que reresenta o valor eserado de T 2, o temo entre os nstantes em que a méda do rocesso muda e o gráfco de controle detecta tal mudança (veja Fgura 2). O AATS ermte comarar a efcênca de dferentes gráfcos de controle. No entanto, esta comaração só é arorada se os gráfcos a serem comarados roduzrem a mesma freqüênca de alarmes falsos (ANFA, Average Number of False Alarms) e requererem a mesma freqüênca de amostras (ANS, Average Number of Samles) e de tens a nseconar (ANI, Average Number of Items) durante o eríodo em que a méda do rocesso ermanece ajustada no alvo ( = ). Mutos autores têm adotado a dstrbução exonencal ara descrever o nstante de temo T em que a méda do rocesso se altera (veja or exemlo DUNCAN, 956; MONTGOMERY, 997; COSTA, 993). Com esta hótese, é ossível determnar o AATS, ANS, ANFA e ANI ara o gráfco X com arâmetros fxos. A robabldade da méda do rocesso se alterar no -ésmo ntervalo h é dada or onde h (-) h -λt [( -)h < T < h] = λe dt () λ = /E(T). Portanto e ANS = = (2) = - e

5 GESTÃO & PRODUÇÃO v.5, n.3, , dez T T 2 h h h h h Processo sob Controle Processo fora de Controle Iníco de Oeração Méda do Processo se Altera Gráfco Detecta a Alteração Instantes de Retrada de Amostras Fgura 2 Fases do rocesso ANFA ANI ATC e - e = e - e = e - e = α n + h (3) (4) (5) O ATC (Average Tme of the Cycle) reresenta o temo médo entre o níco da rodução e o nstante em que o gráfco de controle detecta uma mudança na méda do rocesso, sendo [ Y > k Y ~ N( δ n,)] a robabldade de detecção. Portanto ATC= E(T+T 2 ) = / + AATS (veja Fgura 2), o que ermte obter o AATS, a artr de (5). O ANS, ANFA, ANI e AATS ara o caso do gráfco X com arâmetros varáves odem ser obtdos or meo de cadeas de Markov (uma abordagem nteressante que dsensa qualquer hótese sobre a dstrbução da varável T tem sdo adotado or COSTA, 999b). Assm, a cada amostragem, um dentre quatro estados transentes é alcançado de acordo com as condções do rocesso (sob ou fora de controle) e o tamanho da amostra (equena ou grande), sto é Estado : o rocesso está sob controle e a amostra é equena; Estado 2: o rocesso está sob controle e a amostra é grande; Estado 3: o rocesso está fora de controle e a amostra é equena; Estado 4: o rocesso está fora de controle e a amostra é grande. Alternatvamente, os estados transentes da cadea de Markov odem ser defndos em função da stuação do rocesso (sob controle ou fora de controle) quando a amostra (+) é extraída e da osção do onto amostral () no gráfco de controle (veja Tabela ). O gráfco de controle roduz um alarme quando um onto amostral ca na regão de ação. Se o estado corrente for o estado ou 2 (3 ou 4) o alarme será falso (verdadero). O estado absorvente (estado 5) é alcançado quando um alarme verdadero ocorre. A matrz de robabldades de transção da cadea de Markov assocada ao gráfco de controle em estudo é a segunte: P =

6 264 Costa Gráfcos de Controle X ara Processos Robustos Tabela Os estados da cadea de Markov amostra () amostra (+) Posção do Ponto Amostral Stuação do Processo Estado da Cadea de Markov (Regão) Advertênca Sob controle 2 Advertênca Fora de controle 4 Central Sob controle Central Fora de controle 3 com λ { Pr[ w < Z < k Z ~ (,) ]}, = N λ [ w < < k ~ N(,) ], e h2 e h =, 2; Z Z =, 2; λ { Pr[ w < Z < k Z ~ (,) ]} ( ), = N e h λ [ w < Z < k ~ N(,) ]( ), Z [ Y < w Y ~ N( δ n,) ], 33 [ w < Y < k Y ~ N( δ n,) ], 34 [ Y < w 2 Y ~ N( δ n,) ], 43 2 [ w 2 < Y < k 2 Y ~ N( δ n,) ], 44 2 [ Y > k Y ~ N( δ n,) ], 35 [ Y > k 2 Y ~ N( δ n,) ] e h2 =, 2; =, 2; Das roredades elementares de cadeas de Markov tem-se: ' - ATC = b ( I Q) t (6) ' - ANS = b ( I Q) r (7) ' ANFA = b ( I Q) s (8) ANI = b ' - - ( I Q) v (9) onde b ' = (,,,), I é a matrz dentdade de ordem 4, Q é a matrz de robabldades de transção retrados os elementos assocados ao estado absorvente, = (h,h,h,h ), r ' = (,,,) ', ' s 2 [ Z > k t 2 2 ' v 2 = ( α, α,,), = (n,n,,) α Z ~ N(,)], =,2. As Tabelas 2 e 3 aresentam valores do AATS (=ATC-/ ) ara o gráfco adrão X (com h = ; n = 4,5; e k = 3,) e ara o gráfco X com arâmetros varáves, ( λ =, ). Os valores do AATS são ratcamente ndeendentes do valor de, exceto ara grande ( λ >.), ou seja, quando o rocesso se desajusta com freqüênca. O gráfco X é tanto mas efcente quanto menor for o h 2 ; no entanto, são as condções reas que defnem o valor deste arâmetro. Com amostras equenas tem-se ouca chance de detectar mudanças na méda do rocesso, ortanto é nteressante adotar valores grandes ara k (or exemlo k = 6,) de modo a se reduzr os rscos com alarmes falsos. Fxados h 2, n, n 2 e k, os arâmetros k 2, w, w 2 e h são determnados de modo a se gualar o ANS (dado elas exressões (2) e (7)), ANFA (dado elas exressões (3) e (8)) e o ANI (dado elas exressões (4) e (9)). Ou seja e

7 GESTÃO & PRODUÇÃO v.5, n.3, , dez Tabela 2 Valores do AATS ara o gráfco X com arâmetros varáves e com arâmetros fxos* (n = 4) λ =, δ n (n,n 2 ) (h,h 2 ) (w,w 2 ) (k, k 2 ),,5,75,,25,5 2, 3, 4, *(4;4) (,;,) (3,;3,) (3,;3,) ,7 43,4 24,5 4,5 5,8,5,69 (; 8) (,7;,5) (,79,79) (6,;2,73) 37 87,7 32, 2,6 5,88 3,45 2,7,39, **(; 2) (,36;,) (,;,8) (6,;2,59) 37 65,8 22,3 8,99 4,76 3,25 2,2,42,4 (; 6) (,2;,25) (,28;,25) (6,;2,49) 37 54, 8,2 7,95 4,75 3,54 2,52,59,6 (;8) (,7;,5) (,79;,79) (3,;3,) ,7 8,2 7,52 3,92 2,,38,9 (; 2) (,36;,) (,9;,9) (3,;3,) , 3,7 5,88 3,5 2,23,4,2 (; 6) (,2;,25) (,28;,28) (3,;3,) 37 34,7,7 5,57 3,72 2,52,56, (; 8) (,;,) (,79;,79) (3,;3,) ,9 25,9 2,2 6,54 2,76,3,4 (; 2) (,;,) (,6;,6) (3,;3,) ,3 8, 8,5 4,62 2,46,54,25 (; 6) (,;,) (,28;,28) (3,;3,) , 4, 6,62 4,8 2,63,76,38 (4; 4) (2,;,5) (,65;,65) (3,;3,) ,3 3, 4,2 7, 2,28,6,99 (4; 4) (2,;,) (,63;,63) (3,;3,) , 3,7 4,6 7,35 2,45,8,97 (4; 4) (2,;,25) (,56;,56) (3,;3,) , 32,5 6, 8,43 2,98,5,95 * Gráfco X com arâmetros fxos, n = 4, h =, e k = 3, ( α =, 27 ). ** Esquema adotado no exemlo lustratvo. k 2 = Φ {[(n 2 n) Φ( k) (n 2 n) Φ( k)]/ /( n n)} w = Φ h = h 2 n { Φ(k) -[ Φ(k) -/2]( n [2Φ(k) -]e ln{ λ -λ(h -h ) 2 - n - n 2 2[ Φ(k 2Φ(w ) )e -λ(h -h 2 ) } =,2 ) Φ(w)] } É notóra a radez com que o gráfco de controle X com arâmetros varáves detecta alterações no rocesso, em alguns casos o temo de detecção (AATS) se reduz a menos de um quarto quando comarado com o gráfco de controle X com arâmetros fxos. É mortante comarar o gráfco X de arâmetros varáves com os gráfcos CUSUM (somas acumuladas) e EWMA (méda móvel onderada exonencalmente), uma vez que estes gráfcos são ndcados ara a detecção de equenas alterações na méda do rocesso. A Tabela 4 fornece o AATS ara o gráfco X com arâmetros varáves, e ara os gráfcos CUSUM e EWMA. Os três rmeros gráfcos das somas acumuladas foram obtdos or GAN (99); os dos últmos or REYNOLDS, AMIN & ARNOLD (99); e os três gráfcos da méda móvel onderada exonencalmente or LUCAS e SACCUCCI (99). Os arâmetros de cada gráfco de controle X, a ser comarado com um

8 266 Costa Gráfcos de Controle X ara Processos Robustos Tabela 3 Valores do AATS ara o gráfco X com arâmetros varáves e com arâmetros fxos* (n = 5) λ =, δ n (n,n 2 ) (h,h 2 ) (w,w 2 ) (k, k 2 ),,5,75,,25,5 2, 3, 4, (5; 5) (,;,) (3,;3,) (3,;3,) ,7 43,4 24,5 4,5 5,8,5,69 (; ) (,7;,5) (,77;,76) (6,;2,73) 37 87,5 32, 2,7 5,96 3,56 2,2,53,2 (; 5) (,36;,) (,7;,5) (6,;2,59) 37 65,4 22,2 9, 4,84 3,38 2,39,58,6 (; 2) (,2;,25) (,25;,23) (6,;2,49) 37 53,6 8, 7,97 4,85 3,69 2,72,78,29 (; ) (,7;,5) (,96;,96) (3,;3,) ,7 5,4 6,37 3,55 2,,36,2 (; 5) (,36;,) (,6;,6) (3,;3,) ,6 3,6 5,93 3,63 2,4,57,4 (; 2) (,2;,25) (,25;,25) (3,;3,) 37 34,,6 5,65 3,87 2,72,75,24 (; ) (,;,) (,76;,76) (3,;3,) ,5 25,7 2,2 6,52 2,77,33,8 (; 5) (,;,) (,6;,6) (3,;3,) ,7 7,8 8, 4,63 2,52,6,32 (; 2) (,;,) (,25;,25) (3,;3,) ,4 3,8 6,62 4,24 2,74,88,49 (5; 5) (2,;,5) (,65;,65) (3,;3,) ,3 3, 4,2 7, 2,28,6,99 (5; 5) (2,;,) (,63;,63) (3,;3,) , 3,7 4,6 7,35 2,45,8,97 (5; 5) (2,;,25) (,56;,56) (3,;3,) , 32,5 6, 8,43 2,98,5,95 * Gráfco X com arâmetros fxos, n = 5, h =, e k = 3, ( α =, 27 ). determnado gráfco CUSUM ou EWMA, foram escolhdos de modo a garantr a ambos os gráfcos uma mesma freqüênca de alarmes falsos, de amostras e de tens a nseconar durante o eríodo em que a méda do rocesso ermanece ajustada no alvo ( μ = μ ). Da Tabela 4 concluse que semre é ossível obter um gráfco X com arâmetros varáves mas efcente que o gráfco das somas acumuladas ou da méda móvel onderada exonencalmente (em termos da velocdade com que estes dsostvos detectam alterações no rocesso). Esta observação é de mortânca rátca, uma vez que em mutas stuações ode ser mas fácl montorar o rocesso com um gráfco de controle X de arâmetros varáves. Por fm, o usuáro tem agora três dsostvos dferentes ara o controle de rocessos sujetos a equenas alterações. 4. Exemlo Ilustratvo C onsdere um rocesso de engarrafamento na qual a quantdade de líqudo em cada garrafa é o característco de qualdade de nteresse. As garrafas contém em méda 3 ml (méda do rocesso =3,) com um desvo adrão de 2 ml (desvo adrão do rocesso =2,). Ocasonalmente, o líqudo aresenta algumas murezas as quas entoem arcalmente o bocal or onde o líqudo flu, alterando a méda do rocesso. A elmnação or comleto de tas murezas demanda um nvestmento exorbtante ortanto, a alternatva encontrada fo a de mlantar um gráfco de controle X ara montorar a quantdade de líqudo em cada garrafa. Em função das característcas do

9 GESTÃO & PRODUÇÃO v.5, n.3, , dez Tabela 4 Valores do AATS ara o gráfco X com arâmetros varáves; gráfco CUSUM; e gráfco EWMA δ n ( nn,n, 2 ) V X Chart,,5,,5 2, 3, 4, ( h, h,h2 ) ( k, k,k2 ) (,3;; 8) (,3;,35;,3) (2,8;5,;,55) 25 4,6 9, 4, 2,2,,8 CUSUM(,75;3,8) 25 4, 9,5 4,3 2,7,5,9 (,7;; ) (,7;,82;,7) (2,7;5,;,66) 25 3,3 8, 4, 2,4,3, CUSUM(,5;4,39) 25 3,3 8,7 4,6 3,,8,4 ( 3,;; 2) (3,;3,6;,3) (2,5;5,;,84) 25 23,6 8, 4,8 3,3 2,2 2, CUSUM(,25;7,27) 25 25,4 9,9 6, 4,3 2,7 2, ( 3,3;; 4) (3,3;3,96;,7) (2,62;4,;,96) 37 25, 8,8 5,2 3,5 2,3,8 CUSUM(,25;8,) 37 25, 9,4 5,6 4, 2,5,8 (,3;;4) (,3;,43;,3) (2,92;4,;2,2) 37 6,7 8,6 2,9,7,,8 CUSUM(,;2,52) 37 68, 2,8 4,8 2,7,3,8 ( 4,;3;9) (,;,8;,) (2,94;3,;2,72) 3 98,4 5,5 3,4,5,8,6 EWMA(3,;,;3,) 3 3 8,9 3,7,5,8,6 ( 4,;;6) (,;,23;,) (3,9;6,;2,58) 5 65,3 8,4 3,6 2,5,5, EWMA(3,5;,;3,) 5 65,8 3, 5,2 3,,6, ( 4,;;8) (,;,2;,) (3,29;6,;2,77) 93,4 9,3 3,8 2,7,6, EWMA(3,;,;3,5) 97,7 6, 6, 3,4,7, n = tamanho médo da amostra durante o eríodo sob controle ( n = n/h ) CUSUM (a, b), a = valor de referênca; b = ntervalo de decsão EWMA(a,b,c), a = ntervalo de decsão; b = valor de referênca; c = fator de abertura rocesso otou-se or retrar uma amostra de tamanho quatro (quatro garrafas, n = 4) a cada vnte mnutos h = :2)) e lotar no gráfco o valor de X (o líqudo das quatro garrafas dvddo or quatro), veja Fgura 3. Segundo a tradção, os lmtes do gráfco de controle X foram estabelecdos a três desvos adrões amostras da méda alvo (3 ml), ou seja, lmtes de controle sueror e nferor resectvamente guas a 33 ml e 297 ml. O gráfco de controle X se mostrou veloz na detecção de deslocamentos grandes da méda do rocesso (em torno de ±3, ml), snalzando tas deslocamentos em aenas mea hora aós a ocorrênca (AATS=,5h, veja rmera lnha da Tabela 2) e nefcente na detecção de equenos deslocamentos (em torno de ±, ml) snalzando aenas aós quatorze horas e mea (AATS=43,4h ). A baxa velocdade com que o gráfco de controle X snalza equenas

10 268 Costa Gráfcos de Controle X ara Processos Robustos X Regão de Ação 33, 3, Regão Central 297, Regão de Ação 2 mn. 4 mn. h. Temo Fgura 3 Gráfco X com arâmetros fxos, n = 4, h = :2 e k = 3, alterações na méda do rocesso levou o resonsável elo rocesso a novar. A nova roosta consste em construr o gráfco X com uma regão de advertênca (veja Fgura 4) e em varar os arâmetros de rojeto (n, h, w e k) entre dos valores (n,n 2 ), (h,h 2 ), (w,w 2 ), (k,k 2 ), dados or (;2), (,36h ;,h ), (,;,8), (6,;2,59) resectvamente (veja tercera lnha da Tabela 2). Assm quando um onto X ca na regão de advertênca uma nova amostra de tamanho 2 (n 2 = 2) é retrada do rocesso quase que medatamente (2 mnutos aós, sto é, h 2 =, h = 2 mnutos). Caso contráro, se o X ca na regão central do gráfco, um temo longo de esera de 27 mnutos (h 2 =,36 h = 27 mnutos) é estabelecdo até a retrada da róxma amostra que será de tamanho untáro (n = ). Os valores de X vndos das amostras equenas (neste caso artcular, como n =, X se reduz a X, quantdade de líqudo em uma garrafa) são lotados no gráfco consderando a escala da esquerda, onde os lmtes de advertênca são dados or μ ± wσ/ n (297,8;32,2) e os de ação or μ ± kσ / n (288,;32,). Por outro lado, os valores de X vndos das amostras grandes são lotados no gráfco consderando a escala da dreta, onde os lmtes de advertênca são dados or μ ± w2σ/ n2 (299,38;3,62) e os de ação or μ ± k2σ/ n2 (298,5;3,49). O gráfco de controle X com arâmetros varáves detecta equenos deslocamentos na méda do rocesso (em torno de ±,5 ml) em aenas três horas (AATS=8,99h, veja lnha três da Tabela 2). Ou seja, o gráfco de controle roosto reduz em onze horas e mea o temo que o rocesso ermanece fora de controle (de quatorze horas e mea ara aenas três horas). 5. Conclusões C om o auxílo de cadeas de Markov fo ossível determnar as roredades do gráfco X de arâmetros varáves (AATS, ANFA, ANS e ANI). Na verdade, neste estudo alternou-se os arâmetros de rojeto (n, h e k)

11 GESTÃO & PRODUÇÃO v.5, n.3, , dez X Regão de Ação X 32, 32,2 Regão de Advertênca 3,49 3,62 297,8 288, Regão Central Regão de Advertênca 299,38 298,5 Regão de Ação Mnutos Lmtes de advertênca Lmtes de ação => valores de X vndos das amostras de tamanho n = (lotados no gráfco consderando a escala da esquerda). => valores de X vndos das amostras de tamanho n 2 =2 (lotados no gráfco consderando a escala da dreta). Fgura 4 Gráfco X com arâmetros varáves (n = ; n 2 = 2),(h = :27; h 2 = :2), (k = 6,; k 2 = 2,59) entre aenas dos valores fxos, de modo a não se comrometer a oeraconaldade do gráfco. Neste sentdo, a Fgura 4 aresenta um gráfco X com duas escalas que evta o tédo de se ter de utlzar dos gráfcos, um ara amostras equenas e outro ara amostras grandes. A radez com que o gráfco X de arâmetros varáves detecta equenas alterações no rocesso valda o seu uso no montoramento de rocessos robustos. Por exemlo, o gráfco X de arâmetros fxos, com n = 4, k = 3, e n =,, necessta, em méda, de 43,4 ntervalos h ara detectar um deslocamento na méda do rocesso de meo desvo adrão ( δ n =,), veja lnha um da Tabela 2. Já o gráfco X de arâmetros varáves, com n =, n 2 =2, h =,35, h 2 =,, k =6, e k 2 =2,59 (tercera lnha da Tabela ), detecta este mesmo deslocamento, em méda, em aenas 9, ntervalos h (aroxmadamente 5 vezes mas radamente). Em alcações onde é comlcado ou mesmo mossível elmnar os nstantes fxos de amostragens (or exemlo, a cada mea hora), uma alternatva consste em se manter a retrada de amostras regulares a cada mea hora mas com a ossbldade da extração de amostras adconas entre amostras regulares. Detalhes desta roosta odem ser encontrados em COSTA (998b). Agradecmentos Este trabalho recebeu o aoo do CNPq a artr do rojeto 5299/97-5. O autor agradece aos revsores elas útes sugestões e correções.

12 27 Costa Gráfcos de Controle X ara Processos Robustos Referêncas Bblográfcas AMIN, R.W. & MILLER, R.W.: A Robustness Study of X Charts wth Varable Samlng Intervals. Journal of Qualty Technology, vol.25,.36-44, 993. BAXLEY, R.V., Jr.: An Alcaton of Varable Samlng Interval Control Charts. Journal of Qualty Technology, vol. 27, , 995. COSTA, A.F.B.: Jont Economc Desgn of X and R Control Charts for Processes Subject to Two Indeendent Assgnable Causes. IIE Transactons, vol.25,.27-33, 993. COSTA, A.F.B.: X Charts wth Varable Samle Sze. Journal of Qualty Technology, vol.26,.55-63, 994. COSTA, A.F.B.: X Charts wth Varable Samle Szes and Samlng Intervals. Journal of Qualty Technology, vol.29,.97-24, 997. COSTA, A.F.B.: Jont X and R Charts wth Varable Parameters. IIE-Transactons, vol.3,.55-54, 998a. COSTA, A.F.B.: VSSI X Charts wth Samlng at Fxed Tmes. Communcatons n Statstcs Smulaton and Comutaton, vol.27, Issue, 998b. COSTA, A.F.B.: Jont X and R Charts wth Varable Samle Szes and Samlng Intervals. aceto ara ublcação no Journal of Qualty Technology., vol.3, 999a. COSTA, A.F.B.: X Charts wth Varable Parameters. aceto ara ublcação no Journal of Qualty Technology., vol.3, 999b. DUNCAN, A.J.: The Economc Desgn of X Control Charts to Mantan Current Control of a Process. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, vol.5, , 956. GAN, F.F.: An Otmal Desgn of CUSUM Qualty Control Chart. Journal of Qualty Technology, vol.23, , 99. LUCAS, J.M., & SACCUCCI, M.S.: Exonentally Weghted Movng Average Control Scheme: Proertes and Enhancements. Technometrcs, vol.32, , 99. MONTGOMERY, D.C.: Introducton to Statstcal Qualty Control. John Wley & Sons, Inc., thrd edton, 997. PRABHU, S.S.; RUNGER, G.C. & KEATS, J.B.: An Adatve Samle Sze X Chart. Internatonal Journal of Producton Research, vol.3, , 993. PRABHU, S.S.; MONTGOMERY, D.C. & RUNGER, G.C.: A Combned Adatve Samle Sze and Samlng Interval X Control Scheme. Journal of Qualty Technology, vol.26,.64-76, 994. REYNOLDS, M.R., Jr.; AMIN, R.W.; ARNOLD, J.C. & NACHLAS, J.A.: XCharts wth Varable Samlng Intervals. Technometrcs, vol.3,.8-92, 988. REYNOLDS, M.R., Jr.; AMIN, R.W. & ARNOLD, J.C.: CUSUM Charts wth Varable Samlng Intervals. Technometrcs, vol.32, , 99. REYNOLDS, M.R., Jr.; ARNOLD, J.C. & BAIK, J.W.: Varable Samlng Interval X Charts n the Presence of Correlaton. Journal of Qualty Technology, vol.28,.-28, 996. REYNOLDS, M.R., Jr.: Shewhart and EWMA Varable Samlng Interval Control Charts wth Samlng at Fxed Tmes. Journal of Qualty Technology, vol.28,.99-22, 996. RUNGER, G.C. & MONTGOMERY, D.C.: Adatve Samlng Enhancements for Shewhart Control Charts. IIE Transactons, vol.25,.4-5, 993. RUNGER, G.C., & PIGNATIELLO, J.J., Jr.: Adatve Samlng for Process Control. Journal of Qualty Technology, vol.23,.35-55, 99. SACCUCCI, M.S.; AMIN, R.W. & LUCAS, J.M.: Exonentally Weghted Movng Average Control Schemes Wth Varable Samlng Intervals. Communcatons n Statstcs Smulaton and Comutaton, vol.2, , 992. TAGARAS, G.: A Survey of Recente Develoment n the Desgn of Adatve Control Charts. Journal of Qualty Technology, vol.3,.22-23, 998.

13 GESTÃO & PRODUÇÃO v.5, n.3, , dez STATISTICAL CONTROL OF ROBUST PROCESSES Abstract Technologcal develoment has reduced the varablty between tems roduced on s large scale. Today, a small change n the rocess can be crtcal, requrng rad acton to elmnate t. Tradtonally, the CUSUM and the movng mean are the charts used to control these rocesses that we call robust rocesses. The am of ths aer s to show that the Shewhart chart can also be used to control robust rocesses, f the constrant of fxed desgn arameters s relaxed. Key words: robust rocesses, rocess control, varable arameter Shewhart charts.