MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR
006-009 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. I9 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 009. [Livro do Professor] 660 p. ISBN: 978-85-87-0571-0 1. Pré-vestibular.. Educação.. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 70.71 Disciplinas Língua Portuguesa Literatura Matemática Física Química Biologia História Geografia Produção Autores Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
Polinômios e Equações Algébricas Polinômio Em Alexandria, na segunda metade do séc. III d.c., Diofanto produziu o primeiro tratado de Álgebra conhecido, denominado Aritmética, resultado de uma evolução gradual de trabalhos como os de Euclides e Heron. Foi um dos primeiros a adotar o chamado método sincopado que mesclava palavras abreviadas e variáveis. Os matemáticos hindus, destacando-se Brahmagupta e Bhaskara, se aproximaram mais de uma notação abreviada, inclusive com a introdução do conceito de número negativo. Os árabes também alcançaram grandes avanços, com destaque para os Rubaiyat de Omar Khayyam e a Álgebra de Al-Khowarizmi (de onde provém o vocábulo algarismo) e que usou pela primeira vez o termo álgebra que significa trocar de termo (um termo de uma equação). No Renascimento (séc. XVI) diversos matemáticos desenvolveram a Álgebra e particularmente os polinômios, notadamente a escola italiana com Girolano Cardano (1501-1576), Niccolo Tartaglia (1500-1557) e Ludovico Ferrari (15-1565). Um importante marco foi a demonstração, em 1798, pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) do Teorema Fundamental da Álgebra. Atualmente, diversos matemáticos desenvolvem trabalhos avançados sobre polinômios tanto em Matemática pura como aplicada. Chama-se polinômio inteiro em x a função P: C C dada por: P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 onde a n, a n 1,..., a 1, a 0 são chamados coeficientes e podem ser números reais ou complexos. Monômio: é o polinômio que possui um único termo. Ex.: p(x) = x. Polinômio completo: é aquele que não possui coeficientes nulos. Um polinômio completo de grau n possui n+1 termos. Valor numérico O valor numérico de p(x) em b (b C) é a imagem de b pela função p, ou seja, P(x) = a o b n + a 1 b n 1 + a b n +... + a n 1 b + a n Exemplos: P(x) = x 5x + x x +1 P() =. 5. +. + 1 = 1 P(x) = x ix x + (i ) P(i) = i i.i i + (i ) = 5i P(x) = x + x + x P( 1) = ( 1) +.( 1) +.( 1) = 0 P(1) = a o + a 1 +a +... + a n 1 + a n é a soma dos coeficientes. P(0) = a o é o termo independente. 1
Raízes Chamam-se raízes do polinômio P(x) os valores de x C tais que P(x) = 0. Um polinômio de grau n possui exatamente n raízes reais ou complexas. Dessa forma, a quantidade de raízes reais é no máximo n. O polinômio P(x) = x + x x é um polinômio completo de grau e possui três raízes reais: 1, 1 e. Grau Dado um polinômio P(x) com pelo menos um termo de coeficiente não-nulo, o grau de P, indicado por gr(p) é o maior dos expoentes da variável x nos termos com coeficientes não-nulos. Se P tem todos os coeficientes nulos, não se define o grau de P. Exemplos: P(x) = x x + 1 gr(p) = P(x) = 1 + x x gr(p) = P(x) = gr(p) = 0 P(x) = 0 não se define gr(p) Operações com polinômios Adição e subtração de polinômios A adição e a subtração de polinômios são feitas somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos termos de mesmo grau em todas as variáveis. Exemplos: 1) (x x) (x x ) = x + x + ) (x 1) + (x x +1) = x Frequentemente na subtração de polinômios é preciso eliminar parênteses. Deve-se atentar para o fato do sinal menos incidir sobre todos os termos entre parênteses de acordo com a propriedade distributiva da multiplicação. x x + 1 (x 5x + 1) = x x + 1 x + 5x 1 = x Multiplicação de polinômios Para multiplicar polinômios basta aplicar a distributividade da multiplicação. (x +x 1) (x + x + ) = x 5 + x + x + x + x + x x x = x 5 + x + x + x + x Note que se o produto de dois polinômios é nulo, pelo menos um dos polinômios deve ser nulo. p q = 0 p = 0 ou q = 0 O grau do produto é a soma dos graus dos fatores. gr(p q) = gr(p) +gr(q) No exemplo acima, o produto de fatores de graus e teve graus + = 5. Divisão de polinômios Dados dois polinômios P(x) e D(x), de graus p e q, respectivamente, dividir P(x) por D(x) é encontrar dois polinômios Q(x) e R(x), denominados quociente e resto, respectivamente, que satisfazem P(x) = D(x) Q(x) + R(x) onde o grau de R(x) deve ser menor que o grau de D(x) ou R(x) = 0. Se gr(p) < gr(d), então Q(x) = 0 e R(x) = P(x). Se gr(p) gr(d), a divisão pode ser efetuada pelo seguinte algoritmo denominado Método da Chave. I. Ordenam-se P(x) e D(x) segundo as potências decrescentes de x, inclusive com os termos do dividendo que possuem coeficiente 0.
II. Divide-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro termo de D(x), obtendo-se o primeiro termo do quociente. III. Multiplica-se D(x) pelo primeiro termo do quociente e subtrai-se o resultado de P(x), obtendo-se o primeiro resto parcial. IV. Com o primeiro resto parcial e o divisor D(x) repetem-se as operações, obtendo-se o segundo termo do quociente e assim sucessivamente até se encontrar um resto de grau menor que o divisor. Calcular (x + x 1) : (x + x + ) x + 0x + x 1 x + x + x x x x 1 x + 0x 1 x + x + x + 1 Q(x) = x 1 e R(x) = x + 1 Dois polinômios idênticos são sempre de mesmo grau e têm todos os coeficientes iguais. Exemplos: 1) Calcular a, b e c de modo que se tenha, x R, ax +(b +1)x + (c 1) = x +1. A igualdade se verifica x R se os polinômios forem idênticos, assim: ax +(b + 1)x + (c 1) = x +1 a = 0 b + 1 = 1 b = 0 c 1 = 1 c = ) Obtenha A e B de forma que 1 x(x +1) = A x + B para todo x 0 e x 1. x + 1 1 x(x +1) = A x + B 1 = A(x + 1) + Bx x + 1 1 = (A + B)x + A Igualando os coeficientes temos: A = 1 A + B = 1 + B = 0 B = 1 O grau do quociente é a diferença dos graus do dividendo e do divisor. gr(q) = gr(p) gr(d) No exemplo acima, o quociente tem grau 1 =. Identidade de polinômios Dois polinômios são ditos idênticos quando têm sempre o mesmo valor, qualquer que seja o valor atribuído à variável. A divisão de polinômios também pode ser efetuada pelo método de Descartes ou método dos coeficientes a determinar, que é uma aplicação da identidade de polinômios. Nesse método, parte-se da expressão P(x) = D(x) Q(x) + R(x), onde gr(q) = gr(p) gr(d) e gr(r) MAX = gr(d) 1. O quociente e o resto são obtidos então igualando-se os coeficientes dos dois lados. Exemplos: 1) Dividir P(x) = x + x + x + x + 5 e D(x) =x + 1. Supondo Q(x) = ax + b e R(x) = cx + dx + e, temos: P = QD + R x + x + x + x + 5 = (ax + (x + 1) + (cx + dx + e) x + x + x + x + 5 = ax + bx + cx + (a + d)x + (b + e)
a = 1 b = c = a + d = d = b + e = 5 e = P( = [a( b/ +b] Q( b/ + R R = P( b/ Calcule o resto de P(x) = x + x + x + 1 por x + 1. Q(x) = x + e R(x) = x + x + ) Determine p e q de modo que x 6x + px 1 seja divisível por x + x q. Devemos fazer o resto R(x) = 0 e adotar um quociente Q(x) = ax + b do primeiro grau. Assim, x 6x + px 1 = (x + x q) (ax + x 6x + px 1 = ax + (b + x + (b aq)x bq Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos: a = 1 b + a = b + 1 = 6 b = 9 b aq = ( 9) 1 q = p p + q = 7 bq = 1 ( 9)q = 1 q = 1/9 p = 7 ( 1/9) = /9 Polinômio identicamente nulo: É aquele que é nulo para qualquer valor da variável. Um polinômio identicamente nulo tem todos os seus coeficientes iguais a zero. Se um polinômio de grau n possuir mais de n raízes, então ele é identicamente nulo. Teorema de D Alembert O resto da divisão de um polinômio P(x) por ax +b, com a 0, é igual a P( b/. O resto será P( 1) = ( 1) + ( 1) + ( 1) + 1 = 0. Logo, 1 é raiz de P(x). O polinômio P(x) é divisível por ax +b, com a 0 se, e somente se, P( b/ = 0. Determine m para que o polinômio P(x) = x +x +mx 10 seja divisível por x. P() = + + m 10 = 0 m = Regra de Ruffini-Horner Numa divisão de um polinômio P(x) por x a: 1. ) dispomos a e os coeficientes de P(x), inclusive os nulos;. ) o coeficiente do primeiro termo do quociente é igual ao coeficiente do primeiro termo do dividendo;. ) o coeficiente do segundo termo do quociente é igual ao coeficiente do segundo termo do dividendo mais o produto do coeficiente do primeiro termo do quociente pelo segundo termo do binômio tomado com o sinal trocado;. ) em geral, o coeficiente do termo de ordem p do quociente é igual ao coeficiente do termo da mesma ordem do dividendo, mais o produto do coeficiente do termo antecedente do quociente pelo segundo termo do binômio tomado com o sinal trocado; 5. ) finalmente, obtém-se o resto da divisão multiplicando o coeficiente do termo constante do quociente pelo segundo termo do binômio tomado com o sinal trocado e adicionando a esse produto o coeficiente do termo constante do dividendo. Demonstração: na divisão de P(x) por ax +b o resto deve ter grau zero. Assim, podemos dizer que a divisão terá um quociente Q(x) e resto R(x) = R = constante. Logo, P(x) = (ax + Q(x) + R(x) P(x) = (ax + Q(x) +R Fazendo x = b/a, teremos 1) Dividir x 5x + x por x Inicialmente alocar no dispositivo os coeficientes do dividendo e o segundo termo do binômio com o sinal trocado e então proceder como acima:
5 1 1.+( 5).( 1)+.1+( ) Q(x) = x x + 1 e R = ) Determinar a e b para que o polinômio x ax + bx 10 seja divisível por (x + )(x 1). O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação algébrica, no conjunto universo U, é o subconjunto de U que contém as raízes da equação. Duas equações são ditas equivalentes em U, quando apresentam o mesmo conjunto solução nesse domínio. Quantidade de raízes 1 a b 10 1 a + a + b 18 a b = 0 1 1 1 a + b=0 a + b = 18 e b + = 0 b = e a = 6 Ao longo da história, muitos matemáticos dedicaram-se ao estudo da resolução das equações polinomiais, tendo sido um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. As primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX e Bhaskara no século XII, com importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1. o e. o graus. Porém, só no século XVI, no Renascimento, é que os matemáticos italianos Cardano, Tartaglia e Ferrari começaram a propor fórmulas para resolver equações de. o e. o graus. Em 1798, Gauss demonstrou que toda equação de grau n (n N*) admite pelo menos uma raiz complexa, o que ficou conhecido como o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 18, o matemático norueguês Abel demonstrou que uma equação do 5. o grau não poderia ser resolvida através de fórmulas envolvendo radicais, resultado demonstrado em 189 por Galois e estendido a todas as equações polinomiais de grau maior que o. o. As descobertas de Abel e Galois não significam, no entanto, que nunca poderemos conhecer as raízes de uma equação de grau maior que. Existem teoremas gerais que, associados a condições particulares, permitem que descubramos soluções de equações deste tipo. Equação polinomial ou algébrica Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: p(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 onde a o, a 1,..., a n são chamados coeficientes e podem ser números reais ou complexos, e a n 0 é chamado coeficiente dominante. Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio de grau n 1 admite ao menos uma raiz complexa. Corolário 1: Toda equação polinomial de grau n admite exatamente n raízes complexas. Corolário : Todo polinômio p(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 de grau n pode ser colocado na forma fatorada: P(x) = a n (x r 1 ) (x r )... (x r n ) onde r 1, r,..., r n são as raízes de P(x). Corolário : Se um polinômio de grau n possuir mais de n raízes, então ele é identicamente nulo. Verificar que uma raiz da equação x x + x = 0 é o número 1, obter as outras raízes e obter a forma fatorada de P(x). Podemos aplicar diretamente o algoritmo de Ruffini: 1 1 1 0 Como o resto da divisão por x 1 é 0, então 1 é raiz de P(x). O quociente é q(x) = x x +, cujas raízes são 1 ± i. Raízes: 1, 1+ i e 1 i. P(x) = (x 1) (x 1 i) (x 1 + i) Multiplicidade Dizemos que r é raiz de multiplicidade m (m 1) da equação P(x) = 0 se, e somente se, 5
6 P(x) = (x r) m Q(x) e Q(r) 0 ou seja, r é raiz de multiplicidade m de P(x) = 0 quando o polinômio P é divisível por (x r) m e não é divisível por (x r) m+1. Quando m =1 dizemos que r é uma raiz simples; quando m =, dupla; tripla quando m = etc. Exemplos: 1) Verificar qual é a multiplicidade da raiz na equação x +6x +11x +1x +18 = 0. 1 6 11 1 18 1 6 0 1 0 0 1 11 P(x) = (x + ) (x + ) tem multiplicidade ) Qual é o grau de uma equação polinomial P(x) = 0 cujas raízes são,, 1 com multiplicidades 7, 6 e 10, respectivamente? P(x) = k (x ) 7 (x ) 6 (x + 1) 10, com k * gr(p) = Pesquisa de raízes Raízes racionais de equações com coeficientes inteiros Se r = p, p e q inteiros primos entre si, é uma q raiz racional da equação de coeficientes inteiros p(x) = a n x n + a n-1 x n 1 +a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n. Verificar se a equação x + x + x 1 = 0 admite raízes racionais. p x= q p {1, 1} e q {1, 1,, } p x= q {1, 1, 1, 1 } p(x) = x + x + x 1 p(1) = p( 1) = P(1/) = 0 p( 1/) = / Logo, a única raiz racional da equação é 1/. Raízes complexas de equações com coeficientes reais Se um complexo z = a + bi, a R e b R, é raiz de uma equação algébrica de coeficientes reais, então o conjugado z= a bi também é raiz da equação. Corolários: 1) Toda equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar admite pelo menos uma raiz real. ) Se o complexo z é raiz de multiplicidade m de uma equação algébrica de coeficientes reais, então o conjugado z também é raiz de multiplicidade m da equação. Resolver a equação x + x 17x + 6x 1 = 0 sabendo que 1 i é uma de suas raízes. Como trata-se de uma equação de coeficientes reais, se 1 i é raiz, então 1 + i também é raiz. Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini: 1 17 6 1 1 i 1 5 i 1 6i 7 + 7i 0 1 + i 1 6 7 0 x + 6x 7 = 0 raízes: x = 1 ou x = 7 S = {1, 7, 1+i, 1 i} Vale notar que esse exercício pode ser mais facilmente resolvido aplicando-se as relações de Girard do próximo tópico. Relações de Girard Seja o polinômio P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +a n x n +... + a 1 x + a 0 e S k a soma dos produtos das raízes tomadas em grupos de k, temos: S k = ( 1) k a n k a n 1) Sendo o polinômio P(x) = x + 6x + 11x + 6 cujas raízes são 1, e. S 1 = 1 + ( ) + ( ) = ( 1)1 6 = 6 1 S = ( 1)( ) + ( 1)( ) + ( )( ) = ( 1) 11 1 = 1 S = ( 1)( )( ) = ( 1) 6 1 = 6
) Se a, b, c e d são as raízes da equação x x + x 5x + 7 = 0, calcule o valor da expressão E = 1 a + 1 b + 1 c + 1 d. bcd + acd + abd + abc abcd = ( 5) 1 7 1 = 5 7 1) Se a = 1, o simétrico do coeficiente do.º n termo é a soma das raízes. ) Se a = 1, o termo independente multiplicado n por ( 1) n é o produto das raízes. ) Qualquer raiz inteira não-nula de uma equação de coeficientes inteiros é um divisor do termo independente. ) Se as raízes da equação são todas positivas, os seus coeficientes são alternadamente positivos e negativos. 5) Uma equação de coeficientes positivos tem todas as raízes reais negativas. Teorema de Bolzano Se um polinômio P(x) apresenta valores P( e P( tais que P(.P(< 0, então a equação admite um número ímpar (pelo menos um de raízes reais entre a e b. P(x) = x x x + P(0) = e P() = + = Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz entre 0 e. Na verdade, 1 é raiz de P(x). MMC e MDC de polinômios O máximo divisor comum (MDC) entre polinômios é o polinômio unitário (coeficiente dominante 1) formado pelos fatores comuns aos polinômios elevados aos seus menores expoentes, de forma que ele é o polinômio de maior grau que divide todos aqueles. As raízes comuns aos polinômios são também raízes de seu MDC, com a menor multiplicidade. Se o MDC de dois polinômios é 1, diz-se que eles são primos entre si. Quando os polinômios não estão na forma fatorada, o seu MDC pode ser obtido pelo método das divisões sucessivas. Obtenha o MDC dos polinômios p(x) = x x + x x + e q(x) = x x +. 1 x + x + 10 x 10 quocientes x x + x x + x x + 10x 10 10x 10 0 restos MDC(p, q) = 1 (10x 10) = x 1 10 7
vale notar que a divisão por 10 se faz necessária para que o MDC seja um polinômio unitário. O mínimo múltiplo comum (MMC) entre polinômios é o polinômio unitário formado por todos os fatores que aparecem nos polinômios, comuns ou não, elevados ao seu maior expoente, de forma que ele é o polinômio de menor grau que é múltiplo de todos aqueles. Todas as raízes dos polinômios são raízes do seu MMC. P(x) = x(x 1) (x ) e Q (x) = x (x 1)(x ). MDC (P, Q) = x(x 1) MMC (P, Q) = x (x 1) (x ) (x ) Transformações Transformação de uma equação algébrica P 1 (x) = 0 é toda operação com a qual se obtém uma nova equação P (y) = 0 cujas raízes estejam relacionadas com as raízes da equação inicial através de uma relação conhecida y = f(x). P 1 (x) = 0 equação primitiva P (y) = 0 equação transformada y = f(x) relação de transformação Transformação multiplicativa É a transformação em que y = k x (k 0). Para obter a equação transformada basta substituir na equação primitiva x = y/k y = k.x x = y k Obter a equação cujas raízes são o dobro das raízes da equação x + 5x 7x + 11 = 0. y = x x = y y y + 5 7 y + 11 = 0 1 8 y + 5 y 7 y + 11 = 0 y +10y 8y + 88 = 0 Transformação aditiva É a transformação em que y = x +a (a C). Para obter a equação transformada basta substituir na equação primitiva x = y a. y = x + a x = y a Obter a equação cujas raízes são unidades menores que as raízes de x 5x = 0. y = x x = y + (y + ) 5(y + ) = 0 y + 1y + 19y + = 0 Transformada aditiva e divisão de polinômios Dada a equação primitiva P 1 (x) = a n x n + a n-1 x n 1 +a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 a sua transformada aditiva é P (x + = R n (x + n +R n 1 (x + n 1 +... +R 1 (x + +R o = 0 onde R o, R 1,..., R n são os restos das divisões sucessivas de P 1 por x +a, que podem ser facilmente obtidos com o auxílio do algoritmo de Briot-Ruffini. Dada a equação x x + x + 1 = 0, obter sua transformada pela relação y = x +. 1 1 1 1 9 17 R 0 1 6 1 R 1 1 8 R 1 R (x + ) 8(x + ) + 1(x + ) 17 = 0 y 8y + 1y 17 = 0 Transformação recíproca É a transformação em que y = 1 x, x 0. Para obter a equação transformada basta substituir na equação primitiva x = 1 y. 8 y = 1 x x = 1 y
Obter a equação cujas raízes são os inversos das raízes da equação 5x + x x + 1 = 0. 5 1 y + 1 y 1 y + 1 = 0 y y + y + 5 = 0 Equações recíprocas Uma equação polinomial P(x) = 0 é chamada recíproca se, e somente se, é equivalente à sua transformada recíproca P 1 x = 0. Dada a equação recíproca P(x) = 0, se r é uma raiz de multiplicidade m, então 1 também é raiz com a mesma multiplicidade. r Uma equação polinomial P(x) = 0 é recíproca se, e somente se, os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais a ou opostos a. Classificação Equações recíprocas de 1.ª espécie: são aquelas em que os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais. Equações recíprocas de.ª espécie: aquelas em que os coeficientes equidistantes dos extremos são simétricos. Forma normal: diz-se que uma equação recíproca está na forma normal se ela é de 1.ª espécie e grau par. Se uma equação é recíproca de.ª espécie e grau par, então ela não possui termo central. par P(x) = 0 admite raízes 1 e 1. A divisão de P(x) por x 1 e x +1 conduz a uma equação recíproca de 1.ª espécie e grau par. I. Toda equação P(x) = 0, recíproca de 1.ª espécie e grau ímpar, admite a raiz 1. A divisão de P(x) por x +1 conduz a uma equação recíproca de 1.ª espécie e grau par. Resolução da equação recíproca normal Sendo a equação recíproca normal P(x) = A 0 x k + A 1 x k 1 +...+ A 1 x + A 0 = 0 Dividindo a equação por x k, tem-se A 0 x k + 1 x +A x k 1 + 1 k 1 x +...+A x+ 1 k 1 k 1 x +A k =0 Fazendo y = x + 1 e usando a identidade x x p+1 + 1 x =y. p+1 xp + 1 x p xp 1 + 1, onde p = p 1 x 1,,,... x 0 + 1 x = 0 x 1 + 1 x 1 = y x + 1 x = y x + 1 x = y y... Substituindo as expressões obtidas, obtém-se uma equação em y de grau k. Resolvendo a equação em y, pode-se obter os valores de x. Resolva a equação x x + 5x x + 1 = 0. Observando os coeficientes verificamos que trata-se de uma equação recíproca de 1.ª espécie e grau par, ou seja, na forma normal. Dividindo a equação por x : Propriedades I. Toda equação recíproca de.ª espécie e grau ímpar P(x) = 0 admite raiz 1. A divisão de P(x) por x 1 conduz a uma equação recíproca de 1.ª espécie e grau par. I. Toda equação recíproca de.ª espécie e grau x x + 5 x + 1 x = 0 x + 1 x x + 1 x + 5 = 0 Fazendo y = x + 1 x x + 1 x = y (y ) y + 5 = 0 y y + = 0 y = 1 ou y = i) x + 1 x = 1 x x +1 = 0 x = 1 9
ii) x + 1 x = x x +1 = 0 x = 5. (PUC-Rio) Considere o polinômio p(x) = x + x 1 Calcule o valor p(x) para x = 0, 1,. Ache as três soluções da equação x + x = 1 10 1. x (UFF) Considere o polinômio p(x) = + x + 1, x 1 x 1 e x 1. Determine o polinômio q(x) e as constantes A, A B e C tais que p(x) = q(x) + x 1 e A x 1 = B x 1 + C x + 1, x 1 e x 1. Solução: A =, B = / e C = / x +0x +x + 0x +1 x 1 x +x x + x +0x +1 x + p(x) = x + x + 1 x 1 q(x) = x + e A = x 1 = B x 1 + C x + 1 = x + + = B(x +1) + C(x 1) = (B + C)x + (B C) B = / e C = / B + C = 0 B C = x 1. (FGV) O polinômio P(x) = x + x + a é divisível por x + b e por x + c, em que a, b e c são números reais, distintos e não-nulos. Então b + c é igual a: d) e) 1 0 1 ` ` Solução: E P( = b b + a = 0 P( = c c + a = 0 b c (b = 0 (b (b + c 1) = 0 Como b c, então b + c 1 = 0 e b + c = 1 Outra forma de resolver essa questão é observar que, se P(x) é divisível por x + b e x + c, então b e c são raízes de P(x), logo a sua soma é ( + ( = 1/1 = 1 e b +c = 1.. Solução: p(0) = 1 p(1) = 1 + 1 =, p( 1) = 1 + 1 = 0, p() = 8 + 8 1 = 15 e p( ) = 8 + 8 1 = 1 x + x = 1 p(x) = x + x 1 = 0 Como p( 1) = 0, então podemos aplicar o algoritmo de Ruffini: 1 0 1 1 1 1 1 0 q(x) = x +x 1 = 0 que tem raízes 1 5. S = { 1, 1 5 } p(0) = 1, p(1) =, p( 1) = 0, p() = 15 e p( ) = 1 S = { 1, 1 5 } (UERJ) Numa autoestrada verificou-se que a velocidade média do tráfego V, entre meio-dia e seis horas da tarde, pode ser expressa pela seguinte função: V(t) = at + bt + ct + 0 Nesta função, V é medida em quilômetros por hora, t é o número de horas transcorridas após o meio-dia e a, b e c são constantes a serem determinadas. Verificouse, ainda, que à 1hora, às 5horas e às 6horas da tarde, as velocidades médias eram, respectivamente, 81km/h, 65km/h e 76km/h. O número de vezes, em um determinado dia, em que a velocidade média do tráfego atinge 9km/h, entre meio-dia e seis horas da tarde, é exatamente igual a: 1 d)
Solução: V(1) = 81 a + b + c + 0 = 81 a +b +c = 1 V(5) = 65 15a + 5b + 5c + 0 = 65 5a + 5b + c = 5 V(6) = 76 16a + 6b + 6c + 0 = 76 6a + 6b + c = 6 a + b + c = 1 5a + 5b + c = 5 6a + 6b + c + 6 6a + b = 9 11a + b = 1 5a = 10 Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini: p(x) = x + x + 10 1 0 1 10 1 5 0 x x + 5 = 0 x = 1 ± i q(x) = x 19x 0 1 0 19 0 1 15 0 a = b = 1 c = 60 V(t) = t 1t + 60t + 0 V(t) = t 1t + 60t + 0 = 9 t 1t + 60t 5 = 0 Para t = 16 8 + 10 5 = 0 Aplicando o algoritmo de Ruffini: 6. x x 15 = 0 x = 5 ou x = As raízes da 1.ª eq. são 1 i e da.ª são 5 e. (Fate Foi apresentado a um exímio calculista, conhecido como o homem que calculava, o sistema de equações x 1 + x + x = 7 0 x 1 x + x 1 x + x x = 1 5. (UERJ) As equações x + x + 10 = 0 e x 19x 0 = 0, em que x, têm uma raiz comum. Determine todas as raízes não-comuns. 80 60 0 0 1 60 5 17 6 0 q(x) = t 17t + 6 onde = 89 08 = 81 e t = 17 9, então t = 6,5 ou t =. Logo, a equação apresenta raiz (dupl e raiz 6,5 que não pertence ao domínio estabelecido. Portanto, a velocidade em questão só é atingida uma vez, como pode ser visto no gráfico abaixo. v = 9 v = t 1t + 60t + 0 0 1 5 x Solução: Sendo p(x) = x + x + 10 e q(x) = x 19x 0 e r a raiz comum, então p(r) = 0 e q(r) = 0, donde r é raiz de p(x) = q(x). x + x + 10 = x 19x 0 x = r = x 1 x x = 1 15 e ele rapidamente respondeu: Uma solução do sistema é x 1 = 1, x = 1 e x =. Em seguida 5 perguntaram-lhe: qual a soma dos quadrados das raízes da equação 0x 7x + 15x = 0? De pronto ele respondeu corretamente. A sua resposta foi: 7 00 7 50 101 600 d) 7 750 e) 69 900 ` ` Solução: E A equação proposta é a equação de raízes x 1, x e x, então a soma dos quadrados das raízes da equação é 1 = 69 900 + 1 + 5 = 1 9 + 1 + 5 = 100+5+.6 900 11
7. (FGV) Podemos afirmar que a equação x 6 5x 5 + 10x x 5x + = 0 admite: d) e) ` ` Solução: A duas raízes duplas e duas raízes simples. duas raízes duplas e uma raiz tripla. uma raiz simples, uma raiz dupla e uma raiz tripla. uma raiz tripla e três raízes simples. duas raízes triplas. As possíveis raízes racionais são ±1 e ±. Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini: 1 5 0 10 5 1 1 6 0 1 1 7 1 0 1 1 0 1 1 5 0 8. x 5x + = 0 5 17 Logo, a equação possui duas raízes duplas e duas raízes simples. (UERJ) Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição. A curva abaixo, cuja equação é e = t + at + bt + c, representa a posição e, em metros, do ciclista, em função do tempo t, em segundos, em que a, b, e c são números reais fixos. 9. 10. camos que existem três raízes reais: 0 é raiz simples e é raiz dupla. Então e = t (t ) e = t 6t + 9t Para determinar os instantes dos encontros: t 6t + 9t = t t 6t + 5t = 0 t (t 6t + 5) = 0 t = 0s; t = 1s e t = 5s posição dos encontros: 0m; m e 0m Posição mais afastada = 0m Sabendo-se que a, b e c são as raízes da equação x x 1 = 0, formar uma nova equação, cujas raízes sejam os números b + c, c + a e a + b. Solução: a + b + c = ( 1)/1 = 1 b + c = 1 a; c + a = 1 b; a + b = 1 c y = 1 x x = 1 y (1 y) (1 y) 1 = 0 y y + y + 1 = 0 y y + y + 1 = 0 (ITA) Determine a e b para que a equação 6x ax + 6x 5x + b a = 0 seja recíproca de primeira classe e resolva-a. Solução: Recíproca de 1.ª classe b a = 6 a = 5 a = 5 b = 1 6x 5x + 6 x 5x + 6 = 0 ( x ) 6x 5x + 6 5 x + 6 x = 0 6 x + 1 x 5 x + 1 x + 6 = 0 Fazendo y = x + 1 x x + 1 x = y 6(y ) 5y + 6 = 0 6y 5y + 50 = 0 y = 10/ ou y = 5/ 1 No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equação e = t, na mesma pista e no mesmo sentido. Determine a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar. Solução: Por meio da análise do gráfico e da equação, verifi- x + 1 x = 5 x 5x + = 0 x = ou x = 1/ x + 1 x = 10 x 10x + = 0 x = ou x = 1/ S = {1/, 1/,, } a = 5, b = 1 e S = {1/, 1/,, } 11. (UFF) Resolva a equação x 6 5x 5 + x x + 5x = 0.
Solução: x 6 5x 5 + x x + 5x = 0 Temos uma equação recíproca de.ª espécie e grau par, então: 5 0 5 1 1 1 0 1 5 5 0 Dividindo por (x 1) e (x +1), obtivemos um equação recíproca normal: x 5x + x 5x + = 0 ( x ) x 5x + 5 x + x = 0 x + 1 x 5 x + 1 x + = 0 10 y 9y + 1y = 5y s1 = t 9t + 1t O gráfico abaixo mostra as duas situações. y = 5 x y = x 9x 0,5 1 1,5,5,5,5 s 1 = t 9t + 1t Fazendo y 1 = x + 1 x + 1 x x = y (y ) 5y + = 0 y 5y = 0 y = 0 ou y = 5/ x + 1 x = 0 x + 1 = 0 x = ± i x + 1 x = 5 x 5x + = 0 x = ou x = 1/ S = {± i,, 1/} 1. Dois carros participam de um rally de regularidade. A função s 1 = t 6t +16t 6, representa a posição, em quilômetros, do 1.º carro, em função do tempo t, em horas. A posição do.º carro é representada pela função s = 5t. Sabendo que eles se encontram vezes durante o percurso, obtenha a equação que deve respeitar o movimento do 1.º carro para que, sem modificar a equação do movimento do.º carro, os encontros ocorram todos 1 hora mais tarde. Solução: Encontro: s 1 = s t 6t + 16t 6 = 5t t 6t + 11t 6 = 0 Para os encontros ocorrerem 1 hora mais tarde, devemos formar uma nova equação de raízes y = t +1, então (y 1) 6(y 1) + 11(y 1) 6 = 0 y 9y + 6y = 0 Como a equação do.º carro não muda, devemos ter: 1. (Fate O polinômio f(x) dividido por ax + b, com a 0, tem quociente q(x) e resto r O resto da divisão de x f(x) por x + b a é: r a r b b r a d) b a r e) a b r. (FGV) O polinômio P(x) = ax + bx + cx + satisfaz as P ( 1) = 0 seguintes condições:, qualquer que P( x) P( x) = x seja x real. Então: P(1) = 1 P(1) = 0 P() = 0 d) P() = 8 e) P() = 1. (UFRJ) O polinômio P(x) = x x 5x + d, d R, é divisível por (x ). Determine d. Calcule as raízes da equação P(x) = 0.. (UFF) Um aluno dividiu o polinômio p(x) = ax + bx+c, sucessivamente, por (x 1), (x ) e (x ) e encontrou, respectivamente, restos 0, 0 e 1. Determine o polinômio p(x). 1
1 5. (UFF) Considere o polinômio de coeficiente reais p(x) = x + ax + b. Determine os valores dos números reais a e b para os quais sejam satisfeitas, simultaneamente, as seguintes condições: I. p(x) seja divisível por x 1; II. o resto da divisão de p(x) por x seja igual ao resto da divisão de p(x) por x. 6. (UFF) O resto da divisão de p(x)= x + x + a por q(x)= x + 1 é um polinômio cujo termo independente é 8. Determine o valor do número real a. 5 7. (PUC-Rio) Se o polinômio p(x) = x + ax + b é divisível por (x + 1), então a soma a + b vale: 1 1 d) 1/ e) 1/ 8. (PUC-Rio) Dado que as raízes do polinômio p(x) = x + ax + bx + c são 0, 1 e 1, calcule p(). 9. (UFF) Determine as constantes reais r, s e t de modo que o polinômio p(x) = rx + sx + t satisfaça às seguintes condições: I. p (0) = 1; e II. a divisão de p(x) por x + 1 tem como resto o polinômio x + 5. 10. (UFF) O resto da divisão do polinômio p(x) por (x 1) é o polinômio r(x). Sabendo que o resto da divisão de r(x) por x 1 é igual a 5, encontre o valor de p(1). 11. (UFSC) Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto e por (x ) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1). (x ) é da forma ax + b, com a, b R. O valor numérico da expressão a + b é: 1. (UFF) Considere os polinômios p(x) = x + x + 7x 1 e q(x) = x x 1. Calcule: os valores do número complexo z tais que p (z) = q (z); o número real k e o polinômio do primeiro grau r(x) tais que p(x) = (x k) q(x) + r(x). 1. (UENF) O gráfico abaixo é a representação cartesiana do polinômio y = x x x +. Determine o valor de B. Resolva a inequação x x x + > 0. 1. (UERJ) Os zeros do polinômio p(x) = x 1x +x 8 formam uma PA. O conjunto solução da equação p(x) = 0 pode ser descrito por: d) {0,, 8} {,, 6} { 1,, 9} {,, 6} 15. (Fate Sabe-se que 1 é raiz dupla do polinômio P(x) = x + x x x + 1. As outras raízes são números: imaginários puros. d) e) reais negativos. irracionais. racionais. pares. 16. (FGV) Um polinômio P, de coeficientes reais, apresenta + i e i como suas raízes (i é a unidade imaginári. Qual o menor grau possível de P? Justifique. 5 17. (FGV) Resolva a equação x + x + x + x + x + = 0 no conjunto dos números complexos. 18. (FGV) Dado o polinômio P(x) = x + x 6x x + k: Resolva a equação P(x) = 0, para k = 8. Determine o valor de k de modo que as raízes este- jam em progressão aritmética de razão igual a. 19. (FGV) Sejam a, b e c as raízes da equação x x + 6x 1 = 0. Calcule o valor da expressão: 1 + 1 + 1. ab ac bc Resolva a equação x x 5x + 6 = 0, sabendo que a soma de duas raízes vale.
0. (FGV) Um polinômio P do.º grau com coeficientes reais é tal que P() = 0 e P( + i) = 0, onde i é a unidade imaginária. Obtenha P sabendo-se que P(1) =. A equação polinomial x + x + x + k = 0 tem uma raiz igual a 1. Obtenha o valor de k e as outras raízes. 1. (Fuvest) O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = x mx + x + é igual a 1. Determinar: o valor de m. as raízes de p.. (UFRJ) Encontre as raízes de x + 15x + 66x + 80 = 0, sabendo que são reais e estão em progressão aritmética.. (UFF) A função f: definida por f(x) = mx + nx + px + q, m 0, é sempre crescente e possui raízes distintas. Sabendo-se que uma raiz é real, pode-se afirmar que as outras d) e) são complexas. têm sinais contrários. são nulas. são positivas. têm módulo unitário. o. (UFF) Três raízes de um polinômio p(x) do. grau estão escritas sob a forma i 576, i e i 97. O polinômio p(x) pode ser representado por: x + 1 x 1 x + x + 1 d) x x + 1 e) x x 1 5. (UFMG) Seja p(x) = x + ax + bx + um polinômio em que a e b são números inteiros. Sabe-se que 1+ é uma raiz de p(x). Considerando essas informações. Determine os coeficientes a e b. Determine todas as raízes de p(x). 6. (UFC) O polinômio P(x) = x x + ax + b, em que a e b são números reais, possui o número complexo i como uma de suas raízes. Então o produto a b é igual a: 1 0 d) 1 e) 7. (Unicamp) Sabendo que a equação x x + 7x = 0 tem raízes a, b e c, escreva, com seus coeficientes numéricos, uma equação cúbica que tem como raízes a + 1, b + 1 e c + 1. 8. (Unicamp) Ache todas as raízes inclusive complexas da equação x 5 x + x x + x 1 = 0. 9. (Unicamp) Considere a equação: 1 1 x + 7 x 0 x + + x + =. Mostre que x = i é raiz dessa equação. Encontre as outras raízes da mesma equação. 0. (Unicamp) Para resolver equações do tipo x + ax + bx + ax +1 = 0, podemos proceder do seguinte modo: como x = 0 não é raiz, divide-se a equação por x e, após fazer a mudança de variáveis u = x + 1, resolve-se x a equação obtida (na variável u). Observe que se x R e x > 0, então u. Ache as raízes da equação x x + x x + 1 = 0. Encontre os valores de b R para os quais a equação x x + bx x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz positiva. 1. Transformar a equação x x x + 5 = 0 em outra desprovida do termo do.º grau. 5. Dada a equação x x + x = 0. Reduzi-la à forma inteira, conservando porém o coeficiente do seu primeiro termo igual à unidade.. (UERJ) A figura abaixo representa o polinômio P definido por P(x) = x x. Determine as raízes desse polinômio. Substituindo-se, em P(x), x por x, obtém-se um novo polinômio definido por y = P(x ). Determine as raízes desse novo polinômio. 15
. (IME) Forme a equação recíproca de segunda classe e do.º grau que admite como raiz. 5. (ITA) Para que x + bx bx = 0 tenha quatro soluções reais distintas, devemos ter: b um número real qualquer. b = 0. b > 0. d) b < 1. e) b >. 6. (ITA) Multiplicando por as raízes da equação x x + x 1 = 0 vamos obter raízes da seguinte equação: y 6y + 6y = 0 y y + 8y 8 = 0 8y 8y + y 1 = 0 d) y 8y + 8y + 8 = 0 e) y y y 8 = 0 7. (ITA) Considere as afirmações: I. A equação x 10x + 10x = 0 só admite raízes reais. II. Toda equação recíproca admite um número par de raízes. III. As raízes da equação x + x x 16 = 0 são exatamente o dobro das raízes de x + x x = 0. Então: Apenas (I) é verdadeira. Apenas (II) é falsa. Apenas (III) é verdadeira. d) Todas são verdadeiras. e) n.d.a.. (UFF) Os gráficos da função polinomial p e da reta r estão representados na figura abaixo. Calcule o resto da divisão de p(x) por x. Escreva a equação de r. Determine a expressão que define p, sabendo que as três únicas raízes de p são reais.. (UFF) A equação x + 11x 8x + 5x = 0 tem duas raízes iguais a. Dadas as funções reais f e g definidas, respectivamente, por f(x) = x + 11x 8x + 5x e g(x) = log(f(x)), determine o domínio de g.. (UFF) Uma parte do esboço do gráfico de uma função polinomial f é dada na figura: 16 1. (UFF) O polinômio p(x) = x x + 5x 8x + também pode ser escrito sob a forma: p (x) = (x 1) n (x + s), n N e s R. O valor de n + s é: 1 0 d) 6 e) Sabe-se que a função f possui somente três raízes: a raiz x = e outras duas que são reais e simétricas. Determine: a expressão polinomial que define f. o(s) intervalo(s) em que f é positiva. 5. (UFJF) Sabendo que os polinômios q (x) = 1 x 9 e q (x) = x 5x + 6 dividem o polinômio p(x) = x + ax + bx + cx + d, onde a, b, c e d são reais, é incorreto afirmar que: o polinômio q (x) q (x) divide p(x). 1, e são raízes de p(x).
6. d) o polinômio p(x) não possui raízes complexas. se d = 6, então a = 0. e) se d é irracional, então p(x) possui uma raiz irra- cional. (UFJF) A figura abaixo representa, no plano cartesiano, parte do gráfico do polinômio com coeficientes reais p(x) = x + ax + bx + cx + d, intersectando o eixo x nos pontos de abscissas x 1, 0 e x. x 6x + 160x y( x) =. 600 em um ponto de AB que dista x metros de A, conforme ilustra a figura abaixo. 7. Com base no gráfico é correto afirmar que: d 0. p(x) tem raiz complexa. (x α) divide p(x) d) o resto da divisão de p(x) por (x β) é igual a M. e) existe x [α, β] tal que p(x) < m. (UFMG) Seja o polinômio P(x) = n ( n + 1 j) x = nx + ( n 1) x + ( n ) x + K+ x 1 + x j = 1 j n n em que o resto da divisão de P(x) por x 1 é 55. Determine n. 8. (Unicamp) Considere o polinômio p(x) = x x + 5x + 6. Verifique se o número complexo + i é raiz desse polinômio. Prove que p(x) > 0 para todo número real x > -. 9. (UFC) Seja P(x) um polinômio de grau n 1, com coeficientes reais. Sabendo que P( + i) = i, onde i = 1, calcule P( i). 10. (UnB) Uma viga metálica de seção transversal variável está presa nas suas extremidades, A e B, e sofre uma deflexão (medida em metros) na vertical, em relação ao segmento horizontal AB, dada por 11. (IME) Prove que o polinômio x 9999 + x 8888 + x 7777 + K+ x + x 1111 +1 9 8 7 é divisível por x + x + x + K + x + x +1.. 1. (UERJ) Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16cm de largura por 0cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo foram retirados quadrados de área idêntica e, depois, foram dobradas para cima as abas resultantes. Determine a medida do lado do maior quadrado a ser cortado do pedaço de papelão, para que a caixa formada tenha: 1. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. (1) A distância entre os pontos A e B é igual a 10m. () No ponto C do segmento AB, distante m de B, a deflexão da viga é menor que 10cm. () Sabendo se que a maior deflexão da viga é área lateral de 0cm ; volume de 600cm. (FGV) igual a m e que uma das raízes do polinômio 5 x 6x + 160x = é igual a 18, conclui se. 600 5 que a maior deflexão ocorre em um ponto D que dista mais de 5m do ponto A. () O peso da viga e a sua dilatação devido ao aumento da temperatura ambiente são fatores que contribuem para a referida deflexão. A equação x 8x + mx + 16 = 0, sendo m um número real, tem raízes a, b e c, tais que: a = b +c. Determine o valor de S, tal que S = 1 ab + 1 bc + 1 ac. O polinômio P(x) = x x + 6x 58x +1 é 17
18 1 divisível por x. Encontre as raízes da equação P(x) = 0 no conjunto dos números complexos. 1 1. (UFPR) Sabendo-se que i, e + i são raízes de p(x) = x 6 6x 5 + 7x x + 18x + ax + 1, onde i é a unidade imaginária e a é número real, é correto afirmar: (( ) 1 também é raiz de p(x). (( ) também é raiz de p(x). (( ) O produto das raízes de p(x) é 1. (( ) p(x) é divisível por x + x + 1. 15. (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s). (01) O número real 1 (um) é uma das raízes do polinômio p(x) = x 5x + 5x 5x. (0) Se o polinômio x + ax + bx + admite três raízes reais distintas, então uma das possibilidades é que elas sejam 1, 1 e. (0) O polinômio x + x possui (pelo menos) uma raiz real. (08) O polinômio f(x) = x + mx 5 é divisível por x quando m é igual a. Soma ( ) 16. (Unesp) Considere a função polinomial de.º grau p(x) = x x +1. Calcule p( ), p(0), p(1) e p() e esboce o gráfico. Com base no item (, responda, justificando, quan- tas raízes reais e quantas raízes complexas (não reais) tem p(x). 17. (UERJ) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio x 1x +7x 1. Em relação a esse paralelepípedo, determine: a razão entre a sua área total e o seu volume; suas dimensões. 18. (Unesp) Considere a matriz A. O determinante de A é um polinômio p(x). 1 x 1 x x = 0 x 1 0 x Verifique se é uma raiz de p(x). Determine todas as raízes de p(x). 19. (Fuvest) Considere dois números reais λ e μ tais que λ 1, μ 1 e λ μ 0. Determine uma relação entre λ e μ, para que as equações polinomiais λx μx x (λ + 1) = 0 e 0. 1. λx x (λ + 1) = 0 possuam uma raiz comum. Nesse caso, determine a raiz comum. (Unicamp) Resolva a equação: x 5x 6 = 0. Mostre que, se a e b são números reais e se não são ambos nulos, então as raízes da equação x + ax + b = 0 não podem ser todas reais. (Unicamp) Seja a um número real e seja x 1 p( x) = det 0 a x 1 0 1 x Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0. Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tem uma única raiz real.. (Unicamp) Dada a equação polinomial com coeficientes reais x 5x +9x a = 0. Encontre o valor numérico de a de modo que o núme- ro complexo + i seja uma das raízes da equação. Para o valor de a encontrado no item anterior, de- termine as outras duas raízes da mesma equação.. (UFF) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar combustível. Os níveis de combustível, H 1 e H, em cada tanque, são dados pelas expressões: H 1 (t) = 150 t 190 t + 0 e H (t) = 50 t + 5 t + 0, sendo t o tempo em hora. O nível de combustível de um tanque é igual ao do outro no instante inicial (t = 0) e, também, no instante: t = 0,5h t = 1,0h t = 1,5h d) t =,0h e) t =,5h. (IME) Considere a, b e c números reais que a < b < c. Prove que a equação abaixo possui exatamente duas raízes, x 1 e x, que satisfazem a condição: a < x 1 < b < x < c.
1 1 x - a + 1 x - b + x - c = 0 5. (ITA) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e grau 6 é recíproca de.ª espécie e admite i como raiz. Se p() = 105 55 e p( ) =, então a soma de todas 8 8 as raízes de p(x) é igual a: d) e) 10 8 6 1 6. (Fuvest) Dado o polinômio p(x) = x (x 1) (x ), o gráfico da função y = p(x ) é melhor representado por: 7. (IME) Seja a equação x + px + qx + r = 0 cujas raízes são: a, b, c. Determine s, t, u em função de p, q, r, para que a equação x + sx + tx + u = 0 tenha raízes bc, ca e ab. 8. Dada a equação x + px + q = 0 obter a transformada dos quadrados das diferenças das raízes. 9. (UFJF) Sendo a, b e c as raízes de x + x + x + 1 = 0, forme a equação cujas raízes são a, b e c. 0. (ITA) Sabendo-se que a equação ax + bx + 5x + = 0 é recíproca e tem 1 como raiz, o produto das raízes reais desta equação é: 1 d) e) 1 1. (ITA) Sejam a e b constantes reais. Sobre a equação x (a + x + (ab + )x (a + x + 1 = 0 podemos afirmar que: não possui raiz real se a < b <. não possui raiz real se a > b >. todas as raízes são reais e a e b. d) possui pelo menos uma raiz real se 1 < a b < 1. e) n.d.a.. (ITA) Sejam P(x) = x + a 0 x + a 1 x + a x + a e Q(x) = a x + a x + a 1 x + a 0 x 1 dois polinômios, sabendo-se que P(x) > 0 para todo x real, temos: Q(a ) > Q(a ) < < Q(a ) < 1 d) Q(a ) > e) Nda.. (ITA) Sabendo-se que a equação, de coeficientes reais, x 6 (a + b + x 5 + 6x + (a x cx + 6x 1 = 0 é uma equação recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais desta equação é: d) e) 0 6. (ITA) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação x 6 x 5 + x = 0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que: todos são números reais. são números reais positivos. não são números reais. 19
d) e) são números reais positivos e não são reais. são números reais negativos. 5. (ITA) Seja a um número real tal que o polinômio p(x) = x 6 + x 5 + ax ax x 1 admite apenas raízes reais. Então: a [, [ a [-1, 1] a ]-, 7] d) a [-, 1[ e) a ]1, [ 6. A velocidade de um carro é expressa por V(t) = 6t 5t + 6t 5t + 86, onde V(t) é medida em quilômetros por hora e t é o número de horas de viagem. Esse veículo possui um sistema que toca um alarme quando o carro atinge a velocidade de 80km/h. O número de vezes que o alarme toca após a primeira hora de viagem é: 1 d) 7. (IME) Mostre que se p(x) = a + a x + a 0 1 x + a 1 x + a 0 x, então existe polinômio g(x) do.º grau, tal que p(x) = x g(x +x 1 ). Determine todas as raízes do polinômio p(x) = 1 + x + 5x + x + x. 0
1... D C P( 1) = a + b c + = 0 P(x) P( x) = x = ax + cx 1 a= ; b= ; c = 0 d = 10 S = {, 5, 5 } x. p(x) = x + 1 5. a = 5 e b = 6. 7. 8. a = 10 E 6 9. r =, s = e t = 1 10. 5 11. 1. 1. 1. 15. 16. 5 z = 0 ou z = i ou z = i 19x k = r x = e 1 ( ) + B = S = ] 1, 1[ ], + [ B D 17. S = { 1, i, i, i, i } 18. 19. S = {1,, } k = 1105/56 S = {, 1, } 1
0. 1. P(x) = x +1x 6x +0 k = 1 e S = { 1, ± i} m = 7 ; 1±. S = { 8, 5, }.. 5. 6. A B a = e b = S = {, 1± } A 7. y 5y + 1y 1 = 0 8. 1, 1 i 9. 0., 1 i Resposta pessoal. S= ± i +, 7 7, 1 (dupl e 1 i b 1. y y + = 0. y 5y + y 16 = 0. {, 0, } S = {1,, 5}. x + 5x 5x = 0 5. 6. 7. E B B 1.. D y = x + 1 p(x) = (x 1)(x + )(x ). Dom(g) = ]1, 6[ {}. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1. 1. 1. 15. 16. f(x) = 0,5 (x ) (x ) (x + ) ], [ ], + [ A D 10 Sim O trinômio y = x x + 1 possui Δ = 6 < 0, logo é positivo. x R. p(x) = (x x + 1) (x + ) > 0 x + > 0 x > + i C, C, E, C 1111 10 9999 8888 7777 1111 ( x ) 1 B= x + x + x +... + x + x + 1= = 1111 x 1 1111 9 1111 8 1111 B = ( x ) + ( x ) +... + x + 1 Logo, B é divisível por A. cm 5cm S = 1/ V = {1/, 1, +i, i} F, V, F, V (0 + 0) = 06 p( ) = 1, p(0) = 1, p(1) = 1, p() = raízes reais e nenhuma não-real.
17. 1 1/, +, + 1 18. p(x) = det(a) = x x. x x + 1 1 x. x 19. 0. 1.... 5. 6. p(x) = x x x + μ = λ 1 1±i 11, 1, Resposta pessoal. S = {, 1 + i, 1 i} ], 5] a = 5 S = { + i, i, 1} C Resposta pessoal. C A 7. s = q, t = pr e u = r 8. y + 6py + 9p y + p + 7q = 0 9. x + 5x + 7y 1 = 0 0. 1.... 5. 6. 7. B C A D D C B αg(x) = a0 x + a 1 x + (a a 0 ) S = 1 i, i 5