Transferência de calor Transferência de calor por convecção Escoamento sobre cilindros e esferas º. semestre, 016 Cilindros e esferas Um escoamento externo muito comum envolve o movimento de um fluido na direção normal ao eixo de um cilindro circular, como mostrado na Fig. abaixo. Pontos importantes: a) Ponto de estagnação frontal: o fluido da corrente livre é levado ao repouso (u =0), com um corresponde aumento de pressão; b) A partir desse ponto (com aumento de x) a pressão diminui e a camada limite se desenvolve sob a influência de um gradiente de pressão favorável (dp/dx <0); c) Na distância angular θ=90 a velocidade é máxima e a pressão é mínima; d) Em θ=180º, a velocidade volta a ser zero e a pressão é máxima. 1
Cilindros e esferas Ao contrário do que acontecia na placa plana, as velocidades V e u não são iguais, pois u depende agora da distância x do ponto de estagnação. Assim, u tem um comportamento oposto ao da pressão p(x). A partir do ponto de estagnação, o fluido acelera devido ao gradiente de pressão favorável (du /dx>0) quando dp/dx<0, atinge uma velocidade máxima quando dp/dx=0 e desacelera (du /dx<0) devido ao gradiente de pressão desfavorável, dp/dx>0. 3 Cilindros e esferas A medida que o fluido desacelera, o gradiente de velocidade na superfície (du/dy) em y=0 acaba se tornando igual a zero. Esse local é conhecido como ponto de separaçãoou descolamentoda camada limite. Isso é, o fluido próxima à superfície não possui momento suficiente para superar o gradiente de pressão e a continuação do movimento à jusante se torna impossível. epois do ponto de separação, a camada limite se desprende da superfície e forma uma espécie de esteirade fluido na região do escoamento, que passa a ser caracterizado pela formação de vórtices e um escoamento altamente irregular. 4
Cilindros e esferas A figura abaixo apresenta as características complexas do escoamento externo sobre cilindros. 5 Cilindros e esferas A ocorrência de transição da camada-limite, que depende do número de Reynolds, influencia significativamente a posição do ponto de separação. ρv Re c = µ L = V ν onde o comprimento característico para esse tipo de escoamento é o diâmetro do cilindro,. O número de Reynolds crítico para um escoamento sobre um cilindro circular ou uma esfera é aproximadamente igual a Re cr x10 5. Isso é, a camada limite permanece laminar para cerca de Re x10 5 e se torna turbulenta para Re x10 5. (1) Obs.: à medida que Reaumenta, o ponto de separação da camada-limite é retardado. 6 3
Cilindros e esferas - Para Re 1: o escoamento é quase simétrico em torno do diâmetro transversal do cilindro (escoamento ideal). Forças de inércia são desprezíveis. Não há descolamento da camada limite. O calor é transmitido apenas por condução. Vórtices começam a surgir periodicamente para Re 40. - Para Re 100: a esteira aumenta e os vórtices, que podem ter um tamanho comparável com, se separam alternadamente em ambos os lados do cilindro e se estendem a uma distância do cilindro. - Re<10 5 : a camada limite permanece laminar e o descolamento da camada limite ocorre em uma posição angular de aproximadamente θ 80º, medidos a partir do escoamento. - Re>10 5 : camada limite de transição está presente. O escoamento na camada limite torna-se turbulento enquanto ainda está colado à superfície e o ponto de separação se move em direção à parte posterior em θ 140. 7 Coeficiente de atrito e força de arrasto A natureza do escoamento sobre um cilindro ou esfera afeta fortemente a força de arrasto, F, e consequentemente o coeficiente de arrasto total, C. Esta força terá duas componentes: uma devido à tensão de cisalhamento na camada limite (forças de atrito), e outra devido ao diferencial de pressão na direção do escoamento, que resulta na formação da esteira. O coeficiente de atrito (ou arrasto) é definido como: C τ s F = = ρv V Af ρ onde A f é a área frontal do cilindro ou esfera (área projetada no plano perpendicular à velocidade a montante) () L A, cil f = L (3) A f, esf = (4) π 4 8 4
Coeficiente de atrito e força de arrasto Os coeficientes médios de arrasto, C,para escoamento cruzado sobre um único cilindro liso circular e uma esfera são mostrados na figura abaixo. As curvas exibem comportamentos diferentes em diferentes faixas de Re. - Para Re 1: o escoamento é viscoso e o coeficiente de arrasto diminui com o aumento do Re. Para uma esfera, C = 4/Re. Não existe separação do escoamento nesse regime; - Para Re 10: começa ocorrer separação na parte de trás do corpo, com desprendimento de vórtice começando com Re 90. A região de separação aumenta com o aumento de Re, até cerca de Re= 10 3. Nesse ponto, o arrasto deve-se principalmente ( 95%) ao arrasto de pressão. 9 Coeficiente de atrito e força de arrasto -O coeficiente de arrasto continua a diminuir no intervalo entre 10 <Re<10 3. A diminuição de C não implica necessariamente a diminuição de F, uma vez que F é proporcional ao quadrado da velocidade e que a velocidade aumenta com Re. -Na faixa 10 3 <Re<10 5 o coeficiente de arrasto mantém-se relativamente constante. O escoamento na camada limite é laminar mas o escoamento na região de separação atrás do cilindro ou esfera é altamente turbulento. -Entre 10 5 <Re<10 6 há uma súbita queda C pois o escoamento da camada limite torna-se turbulento, o que move o ponto de separação mais para trás do corpo, reduzindo o tamanho da esteira 10 5
Coeficiente de atrito e força de arrasto O efeito da rugosidade superficial em uma esfera ou cilindro diminui o coeficiente de arrasto, como mostrado na figura abaixo. No entanto, isso depende do valor de Re. Para corpos perfilados, no entanto, a rugosidade superficial aumenta o coeficiente de arrasto em escoamentos turbulentos. 11 Coeficiente de transferência de calor: cilindros Os escoamentos em cilindros e esferas, em geral, envolvem a separação do escoamento, o que torna o tratamento analítico difícil. Portanto, esses escoamentos devem ser tratados de forma experimental ou numérica. 1. Correlação de Hilpert(para cilindros): h Nu = = C Re k m 3 Pr 1/ onde os valores de Ce msão tabelados em função da faixa de Re. (5) Tabela 1. Constantes da equação (5). Corresponde à Tabela 7.3 (Incropera). Re C m 0,4-4 0,989 0,330 4-40 0,911 0,385 40-4.000 0,683 0,466 4.000-40.000 0,193 0,618 40.000-400.00 0,07 0,805 Obs.: Todas as propriedades devem ser avaliadas a T filme = (T s +T )/. 1 6
Coeficiente de transferência de calor: cilindros 1. Correlação de Hilpert(para cilindros): para o caso de outras geometrias 13 Coeficiente de transferência de calor (cilindros). Correlação de Zhukauskas(para cilindros): 1 / 4 h m n Pr Nu = = C Re Pr Válida para 0,7<Pr<500 e 1<Re <10 6 (6) k Pr p onde os valores de Ce msão tabelados em função da faixa de Re. Tabela. Constantes da equação (6). Corresponde à Tabela 7.4 (Incropera). Re C m 1,0-40 0,75 0,4 40 1.000 0,51 0,5 10 3 x10 5 0,6 0, 6 x105-106 0,076 0,7 Obs.: Todas as propriedades são avaliadas à temperatura do fluido, T, exceto Pr p que é avaliada na temperatura da parede, T p. Além disso, Se Pr<= 10, n=0,37 e se Pr >10, n=0,36. 14 7
Coeficiente de transferência de calor (cilindros) 3. Correlação de Churchill e Bernstein (para cilindros): Essa correlação é válida para uma ampla faixa de Ree Pr, e é recomendadapara (RePr) > 0,. Propriedades na temperatura do filme. Nu = 0, 3+ 0, 6 Re 1/ Pr 1/ 3 / 3 1/ [ 1+ ( 0, 4 / Pr) ] 4 Re 1 + 8. 000 5 / 8 4 / 5 (7) Obs.: Todas as propriedades devem ser avaliadas a T filme = (T s +T )/. 15 Coeficiente de transferência de calor (esferas) 1. Correlação de Whitaker (para esferas): Nu = + 0, 4 Re 0, 5 + 0, 06 Re 3 Pr 0, 4 µ µ p 1 4 (8) Válida para 0,7<Pr<380 e 3,5<Re <10 5 e 1<µ/µ p <3, Obs.: Todas as propriedades são avaliadas à temperatura do fluido, T, exceto µ p que é avaliada na temperatura da parede, T p. 16 8
Uma das principais aplicações desse tipo de escoamento é em trocadores de calor (evaporadores, condensadores, fan-coils, etc). Nessa análise, o diâmetro externo do tubo,, é utilizado com comprimento característico. 17 O arranjo dos tubos do feixe é caracterizado pelo passo transversal, S T, pelo passo longitudinal, S L, e pelo passo diagonal, S. O passo diagonal é determinado a partir da equação: S S = + T SL (9) 18 9
Quando o fluido entra no feixe de tubos, a área de escoamento diminui de A 1 =S T L para A T =(S T -)L entre os tubos e, consequentemente, aumenta a velocidade de escoamento. Nos feixes de tubos, as características do escoamento são dominadas pela velocidade máxima, V max, que ocorre dentro do feixe de tubos, em vez da velocidade de aproximação, V. Assim, o número de Reynolds é definido como: ρv Re = µ max = Vmax ν (10) 19 A velocidade máxima é determinada a partir da exigência da conservação da massa para escoamento permanente incompressível. Para arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre na área mínima de escoamento entre os tubos. Assim: V max ST = V S pois: T ρ VA 1 = ρv max A T (11) (1) 0 10
No arranjo escalonado, o fluido se aproxima através da área A 1, passa através da área A T e depois através da área A, uma vez que ele passa em torno dos tubos na próxima linha. Assim, se A > A T, a velocidade máxima ainda ocorre em A T entre os tubos e a relação para V max, dada pela Eq. (11) é válida. Se A < A T, a velocidade máxima ocorre na seção transversal diagonal e, portanto: V max S = (13) T ( S ) V 1 Existem diversas correlações para feixe de tubos. Uma delas, proposta por Zukauskas, tem a forma: h m n Nu = = C Re Pr k Pr Pr p 1/ 4 (14) Em linha Escalonado As propriedades devem ser calculadas na temperatura média: Tentra + Tsai Tm = (15) 11
As relações apresentadas na tabela anterior são válidas para feixes de tubos com 16 ou mais linhas. Tais relações podem ser utilizadas para valores menores, através da relação: Nu, N L = FNu (16) onde Fé um fator de correção, dado na tabela abaixo: Em linha Escalonado 3 A taxa de transferência de calor pode ser obtida pela lei de resfriamento de Newton, utilizando uma diferença de temperaturas adequada. Assim: q = ha T = mc & s ml p ( T T ) sai ent (17) onde a diferença de temperatura média logarítmica é dada por: T ml = ( Ts Tent ) ( Ts Tsai ) ( T ) s Tent ln ( T ) s Tsai (18) sendo T s a temperatura na superfície do tubo. Resolvendo a Eq. (17) para a T sai : T sai ( ) A = sh T s Ts Tent exp mc & p (19) 4 1
A taxa de massa é calculada como: m& = ρv ( N S L) T T (0) onde N T é o número de tubos em um plano transversal e Lé o comprimento dos tubos. a mesma forma, a área total de tubos é dada por: A s = NπL (1) onde Né o número total de tubos do feixe, calculado como: N = N L N T () onde N L é o número de tubos na seção longitudinal (na direção do comprimento do feixe de tubos) 5 Exemplos: 1. Um longo fio de alumínio de 3 mm de diâmetro é extrudadoa uma temperatura de 370 C. O fio é submetido ao escoamento cruzado de ar, a 30 C, com uma velocidade de 6 m/s. eterminar a taxa de transferência de calor a partir do fio para o ar, por metro de comprimento, quando ele é inicialmente exposto ao ar. 370 C. Ar deve ser resfriado na seção de um evaporador de um refrigerador, passando por um feixe de tubos de 8 mm de diâmetro externo e com 0,4 m de comprimento, dentro dos quais um fluido refrigerante vaporiza a -0 C. O ar aproxima-se do feixe de tubos na direção normal a 0 C e 1 atm, com uma velocidade média de 4 m/s. Os tubos são dispostos em linha, com passos longitudinal e transversal S L = S T = 15 mm. Existem 30 fileiras de tubos na direção do escoamento, com 15 tubos em cada uma. etermine a capacidade de refrigeração do sistema. 6 13