Sólidos Inscritos e Circunscritos 3.º Ano 1. (Fuvest 2013) Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é a) 2 3 b) 4 c) 3 2 d)3 3 e) 6 2. (Uerj 2013) Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um sólido de 12 faces triangulares congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do prisma, conforme representado na figura. Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma.
3. (Ufrn 2013) Por motivo de segurança, construiu-se um superaquário de vidro, em formato esférico, dentro de um cilindro também de vidro, conforme esquematizado na figura a seguir. A esfera está completamente cheia de água e, caso quebre, toda a água passará para o cilindro. Desconsidere a pequena diferença entre os raios da esfera e do cilindro e o volume de água deslocado pelos pedaços de vidro da esfera quando quebrada. Supondo que R é igual a 2 m, determine: a) O volume de água da esfera. b) A capacidade volumétrica do cilindro. c) A altura do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre. 4. (Udesc 2012) Algumas caixas de pizza para entrega têm o formato de um prisma regular de base hexagonal. Considere uma caixa destas com altura de 4 cm e, com base, um polígono de perímetro 72 cm. Se a pizza tem o formato de um cilindro circular, então o volume máximo de pizza que pode vir nesta caixa é: a) 216 3 cm 3 b) 576π cm 3 c) 864 3 cm 3 d) 108π cm 3 e) 432π cm 3 5. (Uff 2010) Em 1596, em sua obra Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler estabeleceu um modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares são colocados um dentro do outro, separados por esferas. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas dos planetas com as razões harmônicas dos poliedros regulares. A razão harmônica de um poliedro regular é a razão entre o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um poliedro regular é aquela que contém todos os vértices do poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é tangente a cada uma das faces do poliedro. A razão harmônica de qualquer cubo é igual a: a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) 3 2 Página 2 de 10
6. (Ufscar 2010) A figura mostra um prisma retangular reto de base quadrada com um cilindro circular reto inscrito no prisma. O lado da base do prisma mede 4 dm e a altura é dada por h(x) = x 3 5x 2 + 8x dm, com x > 0. a) Calcule o volume do prisma para x = 3 dm. b) Para x = 1 dm o volume do cilindro inscrito é 16 π dm 3. Encontre os outros valores de x para os quais isto acontece. 7. (Uerj 2010) Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza circular que tangencia as faces do prisma. Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma é igual a: a) 2 2 b) 3 2 4 2 +1 c) 2 2 1 d) 2 ( ) 8. (Fgv 2009) Considere uma pirâmide regular de altura 3 6 2 3. Calcule: a) o volume da pirâmide. b) o raio da esfera circunscrita à pirâmide. cuja base é um quadrado de lado Página 3 de 10
9. (Puc-rio 2009) Um cilindro reto de base circular de raio r e altura h é inscrito numa esfera de raio 5. a) Encontre a altura do cilindro quando r = 3. b) Calcule a área total do cilindro quando r = 3. c) Escreva a área total do cilindro como função de r. 10. (Uerj 2009) A figura a seguir representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Admitindo π= 3, determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa. 11. (Unesp 2008) Um porta-canetas tem a forma de um cilindro circular reto de 12 cm de altura e 5 cm de raio. Sua parte interna é um prisma regular de base triangular, como ilustrado na figura, onde o triângulo e equilátero e está inscrito na circunferência. A região entre o prisma e o cilindro é fechada e não aproveitável. Determine o volume dessa região. Para os cálculos finais, considere as aproximações π = 3 e 3 = 1,7. Página 4 de 10
12. (Ueg 2008) Um fabricante de bolas deseja adquirir uma caixa de forma cúbica para acondicionar uma bola de volume Vb. A razão entre os volumes dessa bola e do menor cubo possível para acondicioná-la é: a) π/4 b) π/5 c) π/3 d) π/6 13. (Ufmg 2007) Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST: Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede a) 8 2 cm 2. b) 8 3 cm 2. c) 16 2 cm 2. d) 16 3 cm 2. 14. (Puc-rio 2007) Seja E uma esfera de raio 1 metro. Considere dois cubos, um contido em E, de maior volume possível e outro que contém E, de menor volume possível. Ache a razão entre os volumes dos dois cubos. 15. (Ufu 2007) Calcule a medida da diagonal de um cubo circunscrito a uma esfera de volume 36π cm 3. 16. (Fuvest 2006) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é 3 2 e o volume do cone é π. Então, o comprimento g da geratriz do cone é a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 11