Matemática. Matemática Avançada 3º ano João junho/11. Nome: Geometria Espacial

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1 Matemática Matemática Avançada 3º ano João junho/11 Nome: Geometria Espacial 1. (Fuvest) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4 e BC = 3. As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4 10 e Calcule o volume da pirâmide. 2. (Unesp) Em um camping, sobre uma área plana e horizontal, será montada uma barraca com a forma e as dimensões dadas de acordo com a figura. Em cada um dos quatro cantos do teto da barraca será amarrado um pedaço de corda, que será esticado e preso a um gancho fixado no chão, como mostrado na figura. a) Calcule qual será o volume do interior da barraca. b) Se cada corda formará um ângulo α de 30 com a lateral da barraca, determine, aproximadamente, quantos metros de corda serão necessários para fixar a barraca, desprezando-se os nós (use, se necessário, a aproximação 3 = 1,73). 3. (Unesp) Considere um cilindro circular reto de altura x cm e raio da base igual a y cm. Usando a aproximação π = 3, determine x e y nos seguintes casos: a) o volume do cilindro é 243 cm 3 e a altura é igual ao triplo do raio; b) a área da superfície lateral do cilindro é 450 cm 2 e a altura tem 10 cm a mais que o raio.

2 4. (PUC-RIO) Calcule a maior distância entre dois pontos de um cubo de aresta 3 cm. 5. (UEG) Uma peça mecânica de ferro tem a forma de um prisma cuja base é um hexágono regular de 10 cm de lado e a altura é de 3 cm. No centro da peça, existe um furo cilíndrico de 2 cm de raio. Qual é a quantidade de ferro, em volume, utilizada na confecção da peça? 6. (UERJ) Observe as figuras a seguir. A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a figura II, sua respectiva planificação, composta por dois trapézios isósceles congruentes e dois triângulos. Calcule: a) a distância h da aresta AB ao plano CDEF; b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e F, mostrado na figura I, em função de h. 7. (Unesp) Com o fenômeno do efeito estufa e consequente aumento da temperatura média da Terra, há o desprendimento de icebergs (enormes blocos de gelo) das calotas polares terrestres. Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg, podemos compará-lo com sólidos geométricos conhecidos. Suponha que o sólido da figura, formado por dois troncos de pirâmides regulares de base quadrada, simétricos e justapostos pela base maior, represente aproximadamente um iceberg. As arestas das bases maior e menor de cada tronco medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam e a altura mede 12 dam. Sabendo que o volume da parte submersa (Vs) do iceberg corresponde a aproximadamente 7/8 do volume total (V), determine Vs. 2

3 8. (Unicamp) Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone circular reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo. a) Determine os raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danificado. b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre o tecido que revestirá o abajur. 9. (UFPR) Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo de aresta 10 cm, conforme mostra a figura a seguir. a) Calcule a área do triângulo ABC. b) Calcule a área total da pirâmide ABCD. c) Calcule o volume da pirâmide ABCD. 10. (UFSCar) A figura 1 indica a jarra de um espremedor de frutas, e a figura 2 sua vista superior (sem a alça). Sabe-se que a jarra é cilíndrica, com parte central na forma de um tronco de cone, e que as três circunferências indicadas na vista superior são concêntricas. a) Qual é a área, em cm 2, da superfície lateral da parte externa da jarra (desconsidere a alça)? b) Qual é o volume máximo de suco, em cm 3, que a jarra pode conter? 11. (Unicamp) Seja ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 um cubo com aresta de comprimento 6 cm e sejam M o ponto médio de BC e O o centro da face CDD 1 C 1, conforme mostrado na figura a seguir. a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO intercepta CC 1 e DD 1 em K e L, respectivamente, calcule os comprimentos dos segmentos CK e DL. b) Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L, K, C e M. 3

4 12. (UFMG) Nesta figura, está representado o prisma reto ABCDEF, cuja base é um triângulo retângulo, em que BAC é o ângulo reto: Sabe-se que: as arestas AB, AC e AD medem, respectivamente, 4 cm, 8 cm e 3 cm; M e N são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos EF e DF. a) Calcule a área do quadrilátero ABMN. b) Calcule o volume do sólido ABEDMN. 13. (UFU) O cone maior da figura a seguir tem raio da base e altura iguais a 10 cm. Determine a altura h de forma que o volume do tronco de cone de altura h seja igual à metade do volume do cone maior. 14. (FGV) No antigo Egito uma das unidades usadas para medir comprimentos era o cúbito, equivalente a cerca de 52 cm. O jovem Abdal, que viveu no século II a.c. e era curioso em Matemática, desejava saber a altura da grande pirâmide que tinha sido construída há mais de dois mil anos antes. Ele sabia que a pirâmide foi construída de forma que, no primeiro dia do verão, suas faces ficassem voltadas para os quatro pontos cardeais e, nesse dia, fez a seguinte experiência. No meio da manhã, a sombra da pirâmide era um triângulo isósceles de vértice P (veja o desenho). Ele mediu a distância de P ao ponto M, médio do lado da base (portanto a altura do triângulo da sombra) e achou 130 cúbitos. Nesse momento, ele percebeu que uma vara reta PA de 4 cúbitos de comprimento, colocada verticalmente, projetava uma sombra PB de 5 cúbitos. Abdal mediu também o lado da base da pirâmide, que é quadrada, e achou 440 cúbitos. Determine, em metros, um valor aproximado para a altura da grande pirâmide do Egito. 4

5 15. (Unifesp) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro regular. As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura. a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do cubo. b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro. 16. (UFU) Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem. Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H. 17. (UEG) Dentro de uma lata de óleo, no formato de um cilindro circular reto, com capacidade de 900 ml e altura de 20 cm, coloca-se um paralelepípedo reto, de base quadrada, de forma que essa base esteja totalmente apoiada no fundo da lata e que seus vértices toquem as laterais da lata. Determine a altura desse paralelepípedo, sabendo que seu volume corresponde a 10% do volume total da lata. 18. (UFRJ) Um cone circular reto de altura H circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura a seguir. A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o volume da menor. Determine H. 5

6 19. (UFC) As arestas de um cubo medem 1 unidade de comprimento. Escolhido um vértice V do cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo que as arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas nas arestas do cubo (como descrito na figura) e tenham a mesma medida, x = VA = VB = VC, com 0 1. a) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x. b) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determine o valor de x para que o plano determinado pelos pontos A, B e C seja tangente a essa esfera. 20. (UFF) Com o objetivo de construir uma caixa para acondicionar o seu produto, um comerciante desenhou numa folha de papelão uma figura plana constituída por um paralelogramo e quatro retângulos (figura 1). Essa figura será recortada no seu contorno e dobrada, para cima, nas linhas pontilhadas, formando uma caixa sem tampa em forma de prisma reto (figura 2). Determine a área total e o volume da caixa (sem tampa) construída. 6

7 21. (UFES) A base de uma piscina de paredes verticais é formada por duas plataformas retangulares horizontais, situadas em níveis diferentes, as quais correspondem à parte rasa e à parte funda da piscina, além de uma rampa também retangular, interligando as plataformas, conforme mostra a figura a seguir. A largura da piscina é de 5 m, as duas plataformas têm comprimento de 4 m e 6 m, respectivamente, e o comprimento da piscina é de 12 m. A água da piscina está em repouso, o nível de água na parte rasa é 0,5 m e o nível da água na parte funda é 1,5 m. Determine: a) o volume, em litros, da água na piscina. b) o volume de água, em litros, que é necessário despejar na piscina para elevar o nível da água em 10 cm. 22. (Fuvest) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que: apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo equilátero. Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio 2 3 cm, determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo. 7

8 23. (Fuvest) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que: 3 AB = CD = 2 AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1 AP = DQ = 1 2 Determine: a) A medida de BP. b) A área do trapézio BCQP. c) O volume da pirâmide BPQCE. 24. (UERJ) A figura a seguir representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Admitindo π = 3, determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa. 25. (UFRJ) Um sólido tem a forma de uma pirâmide ABCD e está apoiado sobre uma mesa. A base da pirâmide é o triângulo equilátero ABC e as outras faces são triângulos isósceles congruentes. A altura OD mede 5 cm e a aresta AD mede 10 cm. A pirâmide é girada em torno da aresta AB. O vértice D percorre um arco DD tal que D fica situado sobre a mesa. Determine o comprimento do arco DD. 8

9 26. (UFRJ) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura a seguir. Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. 27. (FGV) Uma pirâmide de base quadrada é secionada por um plano paralelo à sua base, distante 2 m dela. A área total da pirâmide menor, obtida pela seção, é igual à metade da área total da pirâmide original. a) Calcule a altura da pirâmide original. b) Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela seção para o caso em que a aresta da base da pirâmide maior meça 3 m. 28. (Unicamp) Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura a seguir. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica. Sabe-se que uma calota esférica tem volume 2 πh V cal (3R h) 3, em que h é a altura da calota e R é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por Acal = 2 π Rh. Atenção: não use um valor aproximado para π. a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel de madeira, em função de R. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que h = R/2, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado. 9

10 29. (UERJ) Uma sala tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Para levar fios a uma tomada T, um cano foi instalado tangentemente a duas paredes dessa sala. A primeira parte reta do cano, BA, faz um ângulo de 45º com o chão e a segunda parte, AT, congruente com a primeira, forma um ângulo de 45º com a parede inicial. Observe a ilustração. Desprezando a espessura do cano, calcule o ângulo BÂT, formado por suas duas partes. 30. (UERJ) Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD, um tetraedro regular VABC. Observe a figura abaixo: Considere os seguintes dados: os vértices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma; BD BE BC 1 m. Determine o volume inicial da pedra. 10

11 31. (Unicamp) A caixa de um produto longa vida é produzida como mostra a sequência de figuras abaixo. A folha de papel da figura 1 é emendada na vertical, resultando no cilindro da figura 2. Em seguida, a caixa toma o formato desejado, e são feitas novas emendas, uma no topo e outra no fundo da caixa, como mostra a figura 3. Finalmente, as abas da caixa são dobradas, gerando o produto final, exibido na figura 4. Para simplificar, consideramos as emendas como linhas, ou seja, desprezamos a superposição do papel. a) Se a caixa final tem 20 cm de altura, 7,2 cm de largura e 7 cm de profundidade, determine as dimensões x e y da menor folha que pode ser usada na sua produção. b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade seja igual a sua largura), escreva a fórmula do volume da caixa final em função das dimensões x e y da folha usada em sua produção. 32. (UERJ) Uma caixa cúbica foi dividida em duas partes por um plano que contém duas diagonais de faces opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto, conforme é ilustrado a seguir. Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na divisória, calcule a razão entre o volume do cilindro e o da caixa. 11

12 33. (UFBA) Considere uma pirâmide triangular regular de altura h, contida no interior de uma esfera de raio r. Sabendo que um dos vértices da pirâmide coincide com o centro da esfera e que os outros vértices são pontos da superfície esférica, determine, em função de h e r, a expressão do volume da pirâmide. 34. (UFU) No cubo ABCDEFGH, considere o ponto P na aresta AE satisfazendo AP 3PE. Sabendo que PG mede 33 cm, calcule o volume do cubo. 12

13 Gabarito u.v. 2. a) 36m3. b) 9,23m. 3. a) x = 9 e y = 3 b) x = 15 e y = cm π cm3 6. a) h = 0,8 m b) V = 8h 7. Vs = dam3 8. a) 30 cm e 60 cm b) π cm2 9. a) 50 3 cm2 b) 50 (3 + 3 ) cm2 c) cm a) 216π cm2 b) 720π cm3 11. a) CK = 2 cm e DL = 4 cm b) V = 42 cm3 12. a) 15 cm2 b) 20 cm3 13. h = ( ) cm 14. h = 280 cúbitos = 145,60m. 15. a) b) 3 (2 3) cm3 17. π cm 18. H = 40 cm 19. a) 3 x cm2; cm3 21. a) litros b) litros cm a) 4 b) 9 16 u.a. 3 3 c) % L = a/3 u.c. u.v. {π - arctg 27. a) x = ( )m b) V = (9 + 3 ) m³ 28. a). R Va = 6 2 b) A = 2 3. r / 3 m³ 31. a) x = 28,4 cm 32. π b) cm³ 33. V = 34. V = 64 cm³ }cm. b) x = (3 3) 2 Q:\editoracao\2011\Ped2011\Matemática\EM\Fichas\Matemática Avançada Ficha 06-3C.docx 13